CHỦ đề 15 đa THỨC CỘNG TRỪ đa THỨC

Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.. + Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn.. + Muốn cộng hai đa thức, ta viết

CHỦ ĐỀ 15: ĐA THỨC - CỘNG TRỪ ĐA THỨC

A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ

+ Đa thức là một số hoặc một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn

+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có)

+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có)

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP:

DẠNG 1: THU GỌN ĐA THỨC TÌM BẬC CỦA ĐA THỨC

Để thu gọn đa thức ta thực hiện cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng có trong đa thức đó với nhau

Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó Nếu mọi hạng tử trong đa thức thu gọn đều có cùng một bậc thì đa thức thuần nhất

Bài 1: Thu gọn các đa thức

a) 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4

b) 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2

c) 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - 1

d) 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2

Hướng dẫn

a) 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4

b) 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4

c) 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - 1 = 6ab2 - 0,2b3 - 1

d) 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y

Bài 2: Cho đa thức: M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9

Thu gọn các đa thức sau và xác định bậc của đa thức

Hướng dẫn

M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + 3 – y9

= (2x2y4 + 3x2y4 ) + ( 4xyz – 4xyz ) + (– 2x2 - y9 ) + (-5 + 3 )

= 5x2y4 – 2x2 - y9 - 2

Bậc của đa thức là 6

Bài 3: Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - 1

3x2y + 2xy + x2y + xy + 6

Thu gọn rồi xác định bậc của đa thức kết quả

Hướng dẫn

A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- 1

3x2y + x2y) + 6

= 4 xy2 + 4xy + 2

3x2y + 6 Bậc của đa thức là 3

Bài 4: Cho đa thức A = (a – 2)x2 + 3x(x – y) – 8y(x + y) a là hằng số

a) Viết đa thức A dưới dạng tổng các đơn thức rồi thu gọn

b) Đa thức A sau khi thu gọn có phải là đa thức thuần nhất không?

Hướng dẫn

a) A = (a- 2)x2 + 3x2 – 3xy – 8xy – 8y2 = (a + 1)x2 – 11xy – 8y2

b) Đa thức A là đa thức thuần nhất vì mọi hạng tử đều có cùng bậc 2

Bài 5: Cho các đa thức A = 8a – 9b ; B = 5b – c ; C = 3c – 2a trong đó a, b, c ∈ N Không cần

thực hiện phép nhân, hãy cho biết tích A.B.C có giá trị là một số chẵn hay số lẻ?

Hướng dẫn

Xét A + B + C = (8a – 9b) + (5b – c) + (3c – 2a) = 6a – 4b + 2c

= 2(3a – 2b + c) ⋮ 2

=> Tổng A + B + C là một số chẵn => Trong tổng ít nhất có một hạng tử chia hết cho 2

=> Tích A.B.C có giá trị là một số chẵn

Bài 6: Viết các đa thức sau dưới dạng tổng của các đơn thức rồi thu gọn

a) D = 4x(x + y) – 5y(x – y) – 4x2

b) E = (a – 1)(x2 + 1) – x(y + 1) + (x + y2 – a + 1)

Đáp án

a) D = - xy + 5y2

b) E = (a – 1)x2 – xy + y2

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC

Cần thu gọn đa thức trước, sau đó thay giá trị của ẩn vào đa thức thu gọn rồi tính giá trị Nếu bài cho đẳng thức liên hệ giữa các biến ta tính giá trị như sau:

+ Cách 1: Từ đẳng thức liên hệ giữa các biến, rút ra một biến theo biến còn lại, rồi thay biến vừa rút vào biểu thức thu gọn

+ Cách 2: Biến đổi biểu thức thu gọn sao cho xuất hiện đẳng thức giữa các biến, rồi tính giá trị

Bài 1: Tìm giá trị của biểu thức

a) 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - 2

b) 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - 1

Hướng dẫn

a) Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a

Với a = - 2 giá trị của biểu thức là:

2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - 2 = - 18 b) 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y

Với x = 1; y = - 1 ta có:

- 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - 1 = 3 + 1 - 1 =- 3

Bài 2: Tính giá trị của các đa thức :

a) 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1

b) 1

2xy2 + 2

3x2y – xy + xy2 - 1

3x2y + 2xy Tại x = 0,5 ; y = 1

Hướng dẫn

a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x2y – 5xy2 + xy

Ta được 5.(-2) 2.(-1) - 5(-2)(-1)2 + (-1).(-2) = -8

Vậy -8 là giá trị của biểu thức 5x2y – 5xy2 + xy tại x = -2 ; y = -1

b) 1

2xy2 + 2

3x2y – xy + xy2 - 1

3x2y + 2xy

= (1

2xy2 + xy2) + (2

3x2y - 1

3x2y) + (– xy + 2xy )

= 3

2xy2 - 1

3x2y + xy

Thay x = 0,5 = 1

2 ; y = 1 vào 3

2xy2 - 1

3x2y + xy

Ta được 3

2.1

2.12 - 1

3.(1

2)2.1 + 1

2.1 = 3

4 - 1

12 + 1

2 = 14 7

126

Vậy 7

6 là giá trị của biểu thức 3

2xy2 - 1

3x2y + xy tại x = 0,5 ; y = 1

Bài 3: Tính giá trị của các đa thức sau biết x - y = 0

a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - 5

b/ N = x (x2 + y2) - y (x2 + y2) + 3

Hướng dẫn

a) M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – 5

Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức M là -5

b) N = x.x2 + x.y2 - yx2 - y.y2 + 3 = x2 ( x – y ) + y2 (x – y ) + 3

Vì x – y = 0 nên giá trị của biểu thức N là 3

Bài 4 Cho đa thứcA = −2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + 1

a) Thu gọn đa thức A

b) Tính giá trị của A tại x = 1

2; y = − 1

Hướng dẫn

a) A = 3xy2 + 8xy + 1

b) Thay x = 1

2; y = − 1 vào biểu thức 3xy2 + 8xy + 1

Ta được 3 1

2.(-1) + 8 1

2.(-1) + 1 = 3

2 - 4 + 1 = -3

2

Vậy -3

2 là giá trị của biểu thức trên tại 3xy2 + 8xy + 1

Bài 5: Tính giá trị của mỗi đa thức sau:

a) x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 tại x = 5 và y = 4

b) xy - x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8 tại x = -1 và y = -1

Hướng dẫn

a) A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 tại x = 5 và y = 4

Trước hết ta thu gọn đa thức

A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 = x2 + 2xy + y3

Thay x = 5; y = 4 ta được:

A = 52 + 2.5.4 + 43 = 25 + 40 + 64 = 129

Vậy A = 129 tại x = 5 và y = 4

b) M = xy - x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8 tại x = -1 và y = -1

Thay x = -1; y = -1 vào biểu thức ta được:

M = (-1)(-1) - (-1)2.(-1)2 + (-1)4. (-1)4-(-1)6.(-1)6 + (-1)8.(-1)8

= 1 -1 + 1 - 1+ 1 = 1

Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau: A=x3 - 4xy + y2 biết |x - 1| + 2|2y + 4| = 0

Hướng dẫn

Vì |x-1|≥ 0; |2y+4|≥ 0 nên |x-1|+2|2y+4|=0 khi x=1;y=-2 Thay vào A=13

Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: B= 4xy-y4 biết 3|x-1|+(y-2)2 ≤0

Hướng dẫn

Vì |x-1|≥ 0; (y - 2) ≥ 0 nên chỉ có thể 3|x-1|+(y-2)2 = 0 khi x = 1;y = 2 Thay vào A = - 8

Bài 8: Cho đa thức: A = 11x4 y3 z2 + 20x2 yz – (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) – (2008xyz2 + 8x4y3z2)

a) Xác định bậc của A

b) Tính giá trị của A nếu 15 x - 2y = 1004z

Hướng dẫn

a) A = 30x2yz – 4xy2z – 2008xyz2 => Bậc của A là 4

b) A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) => A = 0

Bài 9: Tính giá trị của các đa thức sau biết x – y = 0

a) M = 7x – 7y + 4ax – 4ay - 5

b) N = x(x2 + y2) – y(x2 + y2) + 3

Hướng dẫn

Dùng tính chất A.B + A.C = A.(B + C) để làm xuất hiện x – y trong các đa thức

a) M = - 5

b) N = 3

Bài 10: Cho đa thức A = 2x2 + |7x – 1| - (5 – x + 2x2)

a) Thu gọn A

b) Tìm x để A = 2

Hướng dẫn

a) A = 2x2 + |7x – 1| - 5 + x – 2x2 = |7x – 1| + x - 5

+) Nếu 7x – 1 ≥ 0 => A = 7x – 1 + x – 5 = 8x – 6

+) Nếu 7x – 1 < 0 => A = - (7x – 1) + x – 5 = - 7x + 1 + x – 5 = - 6x – 4

b) Ta có A = 2

+ Nếu 7x – 1 ≥ 0 => 8x – 6 = 2 => 8x = 8 => x = 1 (thỏa mãn)

+ Nếu 7x – 1 < 0 => - 6x – 4 = 2 => - 6x = 6 => x = - 1 (thỏa mãn)

Vậy với x = {- 1 ; 1} thì A = 2

DẠNG 3: TÍNH TỔNG, HIỆU CÁC ĐA THỨC

Cho hai đa thức A và B

+ Để tính tổng A + B ta thực hiện cộng các hạng tử của đa thức A với các hang tử của đa thức B và thu gọn các đơn thức thức đồng dạng

+ Để tính hiệu A – B = Biểu thức của A – (Biểu thức của B)

- Thực hiện bỏ ngoặc và đổi dấu các hạng tử của đa thức B

- Thu gọc các đơn thức đồng dạng với nhau

+ Nếu A và B là hai đa thức đối nhau thì A + B = 0

Bài 1: Tính hiệu

a) (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z)

b) (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3)

c) (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3)

Hướng dẫn

a) (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z

b) Làm giống câu a

c) 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy

Bài 2: Cho đa thức

A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1

B = - 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y

C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + 5

Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C rồi xác định bậc của đa thức đó

Hướng dẫn

A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - 3 - 5x + y

= 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai

A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1 + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + 3 + 3x2 - 4xy + 7y2

- 6x + 4y + 5 = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai

A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai

Bài 3: Cho các đa thức

A = 4x2 - 5xy + 3y2;

B = 3x + 2xy + y2

C = - x2 + 3xy + 2y2

Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B

Hướng dẫn

A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2)

= 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2

B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2)

= 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2

C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2)

= - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2

Bài 4: Tính tổng của 3x2y – x3 – 2xy2 + 5 và 2x3 -3xy2 – x2y + xy + 6

Đáp án:

2x2y + x3 – 5xy2 + xy + 11

Bài 5 Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2 + x − 3

2 và Q(x) = x4 − x3 + x2 +5

3

a) Tính M (x) = P(x) + Q(x)

b) Tính N(x) = P(x) − Q(x) và tìm bậc của đa thức N(x)

Đáp án

a) M(x) = 5x4 – x3 – 2x2 + x + 1

6

b) N(x) = x4 + x3 – 4x2 + x - 19

6 là đa thức bậc 4

Bài 6: Cho đa thức :

A = 4x2 – 5xy + 3y2

B = 3x2 + 2xy - y2

Tính A + B; A – B ; B – A

Hướng dẫn

A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) + (3x2 + 2xy - y2 )

= (4x2 + 3x2 ) + (-5xy + 2xy ) +( 3 y2 - y2 )

= 7x2 - 3xy + 2y2

A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) - (3x2 + 2xy - y2 )

= (4x2 - 3x2 ) + (-5xy - 2xy ) +( 3 y2 + y2 )

= x2 - 7xy + 4y2

B - A = (3x2 + 2xy - y2 ) - (4x2 – 5xy + 3y2 )

= (3x2 - 4x2 ) + (2xy + 5xy ) +( - y2 -3 y2 )

= -x2 +- 7xy - 4y2

Bài 7: Cho đa thức

A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3

B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5

Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);

Đáp án:

A(x) + B(x) = 11x4 – 11/15x3 + 2x2 - 9x -13/5

A(x) - B(x) = -5x4 – 19/15x3 + 2x2 + 9x -17/5

B(x) - A(x) = 5x4 + 19/15x3 - 2x2 - 9x +17/5

Bài 8: Cho các đa thức

A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4

B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4

C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + 1

Tính A + B - C

Đáp án:

A + B – C = x4 - 10x3y - x2y2 - 32y4 - 1

Bài 9: Cho các đa thức: A = xyz – xy2 – xz2 và B = y3 + z3 Chứng minh rằng nếu x – y – z = 0 thì A và B là hai đa thức đối nhau

Hướng dẫn

Xét A + B = xyz – xy2 – xz2 + y3 + z3 với x – y – z = 0 => x = y + z

=> A + B = (y + z)yz – (y + z).y2 – (y + z).z2 + y3 + z3

= y2z + yz2 – y3 – zy2 – yz2 – z3 + y3 + z3 = 0

=> A và B là hai đa thức đối nhau

DẠNG 4: TÌM ĐA THỨC CHƯA BIẾT TỪ ĐẲNG THỨC

* Nếu có đa thức A => - A là đa thức đối của đa thức A

* Nếu có A + B = C, tìm được A = C – (B) hoặc B = C – (A)

* Nếu A – B = C

+ Tìm được A = C + B

+ Tìm được B = A – (C)

Bài 1: Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - 1

3x2y + 2xy + x2y + xy + 6

a) Thu gọn rồi xác định bậc của đa thức kết quả

b) Tìm đa thức B sao cho A + B = 0

c) Tìm đa thức C sao cho A + C = -2xy + 1

Hướng dẫn

a) A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- 1

3x2y + x2y) + 6

= 4 xy2 + 4xy + 2

3x2y + 6 bậc của đa thức là 3 b) Vì B + A = 0 nên B là đa thức đối của đa thức A

=> B = -5xy2 - xy + xy2 + 1

3x2y - 2xy - x2y - xy - 6

c) Ta có A + C = -2xy + 1

Nên 4 xy2 + 4xy + 2

3x2y + 6 + C = -2xy + 1

C = -2xy + 1 – (4 xy2 + 4xy + 2

3x2y + 6) = -6xy - 4 xy2 - 2

3x2y - 5

Bài 2: Cho đa thức M(x) = -9x5 + 4x3 – 2x2 + 5 x – 3 Tìm đa thức N(x) là đa thức đối của đa thức M(x)

Hướng dẫn

N(x) = 9x5 - 4x3 + 2x2 - 5 x + 3

Bài 3: Tìm đa thức A biết: A+ (3x2y −2xy3) = 2x2y − 4xy3

Hướng dẫn

A = ( 2x2y − 4xy3 ) – ( 3x2y −2xy3 ) = (2x2y - 3x2y) + (-4xy3 + 2xy3 )

= -x2y - 2xy3

DẠNG 5: TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC TỪ ĐIỀU KIỆN BÀI CHO

Bài 1: Cho đa thức P = 2xy2 + axy – x2 + 1 (a là hằng số) Tìm a biết tại x = 3, y = -1 thì P = 5

Hướng dẫn

Thay giá trị của x, y vào đa thức P ta có:

2.3.(-1)2 + a 3 (-1) – 32 + 1 = 5 => 6 – 3a – 9 + 1 = 5 => - 2 – 3a = 5 => a = - 7/3

Bài 2: Cho đa thức P = ax4y3 + 10xy2 + 4y3 – 2x4y3 – 3xy2 + bx3y4

Biết a, b là hằng số và đa thức P có bậc 3 Tìm a, b

Hướng dẫn

Ta có P = (a – 2)x4y3 + bx3y4 + 7xy2 + 4y3

Vì P có bậc 3 nên a – 2 = 0 và b = 0 => a = 2 và b = 0

Bài 3: Xác định a, b và c để hai đa thức sau là đồng nhất

A = ax2 – 5x + 4 + 2x2 – 6

B = 8x2 + 2bx + c – 1 – 7x

Hướng dẫn

A = (a + 2)x2 – 5x – 2

B = 8x2 + (2b – 7)x + c – 1

Hai đa thức là đồng nhất => Mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng nhau

Do đó: a + 2 = 8 ; 2b – 7 = -5 và c – 1 = - 2

=> a = 6 ; b = 1 ; c = - 1