A KIẾN THỨC CẦN NHỚ.+ Đa thức là một số hoặc một đơn thức hoặc một tổng (hiệu) của hai hay nhiều đơn thức.Mỗi đơn thức trong một tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong hạng tử ở dạng thu gọn.+ Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp các hạng tử của hai đa thức cùng với dấu của chúng rồi thu gọn các hạng tử đồng dạng (nếu có).+ Muốn trừ hai đơn thức, ta viết các hạng tử của đa thức thứ nhất cùng với dấu của chúng rồi viết tiếp các hạng tử của đa thức thứ hai với dấu ngược lại. Sau đó thu gọn các hạng tử đồng dạng của hai đa thức (nếu có).
BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà CHỦ ĐỀ 15: ĐA THỨC - CỘNG TRỪ ĐA THỨC A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ + Đa thức số đơn thức tổng (hiệu) hai hay nhiều đơn thức Mỗi đơn thức tổng gọi hạng tử đa thức + Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao hạng tử dạng thu gọn + Muốn cộng hai đa thức, ta viết liên tiếp hạng tử hai đa thức với dấu chúng thu gọn hạng tử đồng dạng (nếu có) + Muốn trừ hai đơn thức, ta viết hạng tử đa thức thứ với dấu chúng viết tiếp hạng tử đa thức thứ hai với dấu ngược lại Sau thu gọn hạng tử đồng dạng hai đa thức (nếu có) B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP: DẠNG 1: THU GỌN ĐA THỨC TÌM BẬC CỦA ĐA THỨC Để thu gọn đa thức ta thực cộng (trừ) đơn thức đồng dạng có đa thức với Bậc đa thức bậc hạng tử có bậc cao dạng thu gọn đa thức Nếu hạng tử đa thức thu gọn có bậc đa thức Bài 1: Thu gọn đa thức a) 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 b) 3xx4 + 4xx3 - 5x2x3 - 5x2x2 c) 3a.4b2 - 0,8b 4b2 - 2ab 3b + b 3b2 - d) 5x2y2 - 5x.3xy - x2y + 6xy2 Hướng dẫn a) 2a2x3 - ax3 - a4 - a2x3 + ax3 + 2a4 = 2a2x3 - a2x3 - ax3 + ax3 - a4 + 2a4 = a2x3 + a4 b) 3x5 - 5x5 + 4x4 - 5x4 = - 2x5 - x4 c) 12ab2 - 6ab2 - 3,2b2 + 3b3 - = 6ab2 - 0,2b3 - d) 10xy2 + 6xy - 15x2y - x2y = 16xy2 - 16x2y Bài 2: Cho đa thức: M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + – y9 Thu gọn đa thức sau xác định bậc đa thức BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Hướng dẫn M = 2x2y4 + 4xyz – 2x2 -5 + 3x2y4 – 4xyz + – y9 = (2x2y4 + 3x2y4 ) + ( 4xyz – 4xyz ) + (– 2x2 - y9 ) + (-5 + ) = 5x2y4 – 2x2 - y9 - Bậc đa thức Bài 3: Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - x2y + 2xy + x2y + xy + Thu gọn xác định bậc đa thức kết Hướng dẫn A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (- = xy2 + 4xy + x2y + x2y ) + x2y + Bậc đa thức Bài 4: Cho đa thức A = (a – 2)x2 + 3x(x – y) – 8y(x + y) a số a) Viết đa thức A dạng tổng đơn thức thu gọn b) Đa thức A sau thu gọn có phải đa thức không? Hướng dẫn a) A = (a- 2)x2 + 3x2 – 3xy – 8xy – 8y2 = (a + 1)x2 – 11xy – 8y2 b) Đa thức A đa thức hạng tử có bậc Bài 5: Cho đa thức A = 8a – 9b ; B = 5b – c ; C = 3c – 2a a, b, c ∈ N Khơng cần thực phép nhân, cho biết tích A.B.C có giá trị số chẵn hay số lẻ? Hướng dẫn Xét A + B + C = (8a – 9b) + (5b – c) + (3c – 2a) = 6a – 4b + 2c = 2(3a – 2b + c) ⋮ => Tổng A + B + C số chẵn => Trong tổng có hạng tử chia hết cho => Tích A.B.C có giá trị số chẵn Bài 6: Viết đa thức sau dạng tổng đơn thức thu gọn a) D = 4x(x + y) – 5y(x – y) – 4x2 b) E = (a – 1)(x2 + 1) – x(y + 1) + (x + y2 – a + 1) BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà Đáp án a) D = - xy + 5y2 b) E = (a – 1)x2 – xy + y2 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC Cần thu gọn đa thức trước, sau thay giá trị ẩn vào đa thức thu gọn tính giá trị Nếu cho đẳng thức liên hệ biến ta tính giá trị sau: + Cách 1: Từ đẳng thức liên hệ biến, rút biến theo biến lại, thay biến vừa rút vào biểu thức thu gọn + Cách 2: Biến đổi biểu thức thu gọn cho xuất đẳng thức biến, tính giá trị Bài 1: Tìm giá trị biểu thức a) 6a3 - a10 + 4a3 + a10 - 8a3 + a với a = - b) 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y với x = 1; y = - Hướng dẫn a) Ta có: 6a3 - 8a3 + 4a3 - a10 + a10 + a = 2a3 + a Với a = - giá trị biểu thức là: 2(- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18 b) 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y Với x = 1; y = - ta có: - 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- Bài 2: Tính giá trị đa thức : a) 5x2y – 5xy2 + xy x = -2 ; y = -1 b) xy2 + 2 x2y – xy + xy2 - x2y + 2xy Tại x = 0,5 ; y = Hướng dẫn a) Thay x = -2 ; y = -1 vào 5x2y – 5xy2 + xy Ta 5.(-2) 2.(-1) - 5(-2)(-1)2 + (-1).(-2) = -8 Vậy -8 giá trị biểu thức 5x2y – 5xy2 + xy x = -2 ; y = -1 b) xy2 + x2y – xy + xy2 - x2y + 2xy BỒI DƯỠNG TOÁN LỚP – CLC =( = 2 2 xy + xy ) + ( xy2 - 3 x2y - x2y) + (– xy + 2xy ) x2y + xy Thay x = 0,5 = ; y = vào Ta Vậy Khu vực: Ngã Tư Sở - Đội Cấn – Thái Hà xy2 - x2y + xy 2 31 - ( ) + 1 = + = 14 2 2 - 12 12 2 giá trị biểu thức xy - x y + xy x = 0,5 ; y = Bài 3: Tính giá trị đa thức sau biết x - y = a/ M = 7x - 7y + 4ax - 4ay - b/ N = x (x2 + y2) - y (x2 + y2) + Hướng dẫn a) M = 7( x - y ) + 4a( x – y ) – Vì x – y = nên giá trị biểu thức M -5 b) N = x.x2 + x.y2 - yx2 - y.y2 + = x2 ( x – y ) + y2 (x – y ) + Vì x – y = nên giá trị biểu thức N Bài Cho đa thứcA = −2xy2 + 3xy + 5xy2 + 5xy + a) Thu gọn đa thức A b) Tính giá trị A x = ; y = − Hướng dẫn a) A = 3xy2 + 8xy + 1 b) Thay x = ; y = − vào biểu thức 3xy2 + 8xy + Ta (-1) + (-1) + 1= -4+1=- Vậy - giá trị biểu thức 3xy2 + 8xy + Bài 5: Tính giá trị đa thức sau: a) x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 x = y = b) xy - x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8 x = -1 y = -1 Hướng dẫn a) A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 x = y = Trước hết ta thu gọn đa thức A = x2 + 2xy – 3x3 + 2y3 + 3x3 – y3 = x2 + 2xy + y3 Thay x = 5; y = ta được: A = 52 + 2.5.4 + 43 = 25 + 40 + 64 = 129 Vậy A = 129 x = y = b) M = xy - x2y2 + x4y4 – x6y6 + x8y8 x = -1 y = -1 Thay x = -1; y = -1 vào biểu thức ta được: M = (-1)(-1) - (-1)2.(-1)2 + (-1)4 (-1)4-(-1)6.(-1)6 + (-1)8.(-1)8 = -1 + - 1+ = Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau: A=x3 - 4xy + y2 biết |x - 1| + 2|2y + 4| = Hướng dẫn Vì |x-1|≥ 0; |2y+4|≥ nên |x-1|+2|2y+4|=0 x=1;y=-2 Thay vào A=13 Bài 7: Tính giá trị biểu thức sau: B= 4xy-y4 biết 3|x-1|+(y-2)2 ≤0 Hướng dẫn Vì |x-1|≥ 0; (y - 2) ≥ nên 3|x-1|+(y-2)2 = x = 1;y = Thay vào A = - Bài 8: Cho đa thức: A = 11x4 y3 z2 + 20x2 yz – (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) – (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc A b) Tính giá trị A 15 x - 2y = 1004z Hướng dẫn a) A = 30x2yz – 4xy2z – 2008xyz2 => Bậc A b) A = 2xyz( 15x - 2y - 1004z ) => A = Bài 9: Tính giá trị đa thức sau biết x – y = a) M = 7x – 7y + 4ax – 4ay - b) N = x(x2 + y2) – y(x2 + y2) + Hướng dẫn Dùng tính chất A.B + A.C = A.(B + C) để làm xuất x – y đa thức a) M = - b) N = Bài 10: Cho đa thức A = 2x2 + |7x – 1| - (5 – x + 2x2) a) Thu gọn A b) Tìm x để A = Hướng dẫn a) A = 2x2 + |7x – 1| - + x – 2x2 = |7x – 1| + x - +) Nếu 7x – ≥ => A = 7x – + x – = 8x – +) Nếu 7x – < => A = - (7x – 1) + x – = - 7x + + x – = - 6x – b) Ta có A = + Nếu 7x – ≥ => 8x – = => 8x = => x = (thỏa mãn) + Nếu 7x – < => - 6x – = => - 6x = => x = - (thỏa mãn) Vậy với x = {- ; 1} A = DẠNG 3: TÍNH TỔNG, HIỆU CÁC ĐA THỨC Cho hai đa thức A B + Để tính tổng A + B ta thực cộng hạng tử đa thức A với hang tử đa thức B thu gọn đơn thức thức đồng dạng + Để tính hiệu A – B = Biểu thức A – (Biểu thức B) - Thực bỏ ngoặc đổi dấu hạng tử đa thức B - Thu gọc đơn thức đồng dạng với + Nếu A B hai đa thức đối A + B = Bài 1: Tính hiệu a) (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) b) (x3 + 6x2 + 5y3) - (2x3 - 5x + 7y3) c) (5,7x2y - 3,1xy + 8y3) - (6,9xy - 2,3x2y - 8y3) Hướng dẫn a) (3x + y - z) - (4x - 2y + 6z) = 3x + y - z - 4x + 2y - 6z = - z + 3y - 7z b) Làm giống câu a c) 5,7x2y - 3,1xy + 8y3 + 2,3x2y - 6,9xy - 8y3 = 8x2y - 10xy Bài 2: Cho đa thức A = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + B = - 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y C = 7y2 + 3x2 - 4xy - 6x + 4y + Tính A + B + C; A - B + C; A - B - C xác định bậc đa thức Hướng dẫn A + B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + 1- 2x2 + xy + 2y3 - - 5x + y = 2x2 - 6xy + 8y2 - 9x + 3y + 3: có bậc hai A - B + C = x2 - 3xy - y2 + 2x - 3y + + 2x2 - xy - 2y2 + 5x - 2y + + 3x2 - 4xy + 7y2 - 6x + 4y + = 6x2 - 8xy + 4y2 + x - y + 9: có bậc hai A - B - C = - 10y2 + 13x - 9y - 1: có bậc hai Bài 3: Cho đa thức A = 4x2 - 5xy + 3y2; B = 3x + 2xy + y2 C = - x2 + 3xy + 2y2 Tính A + B + C; B - C - A; C - A - B Hướng dẫn A + B + C = (4x2 - 5xy + 3y2) + (3x + 2xy + y2 ) + (- x2 + 3xy + 2y2) = 4x2 - 5xy + 3y2 + 3x2 + 2xy + y2 - x2 + 3xy + 2y2 = 6x2 + 6y2 B - C - A = (3x + 2xy + y2) - (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) = 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2 C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2) = - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 - 3x2 - 2xy - y2 = - 8x2 + 6xy - 2y2 Bài 4: Tính tổng 3x2y – x3 – 2xy2 + 2x3 -3xy2 – x2y + xy + Đáp án: 2x2y + x3 – 5xy2 + xy + 11 Bài Cho hai đa thức: P(x) = 2x4 − 3x2 + x − Q(x) = x4 − x3 + x2 + a) Tính M (x) = P(x) + Q(x) b) Tính N(x) = P(x) − Q(x) tìm bậc đa thức N(x) Đáp án a) M(x) = 5x4 – x3 – 2x2 + x + b) N(x) = x4 + x3 – 4x2 + x - 19 đa thức bậc Bài 6: Cho đa thức : A = 4x2 – 5xy + 3y2 B = 3x2 + 2xy - y2 Tính A + B; A – B ; B – A Hướng dẫn A + B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) + (3x2 + 2xy - y2 ) = (4x2 + 3x2 ) + (-5xy + 2xy ) +( y2 - y2 ) = 7x2 - 3xy + 2y2 A - B = (4x2 – 5xy + 3y2 ) - (3x2 + 2xy - y2 ) = (4x2 - 3x2 ) + (-5xy - 2xy ) +( y2 + y2 ) = x2 - 7xy B-A= + 4y2 (3x2 + 2xy - y2 ) - (4x2 – 5xy + 3y2 ) = (3x2 - 4x2 ) + (2xy + 5xy ) +( - y2 -3 y2 ) = -x2 +- 7xy - 4y2 Bài 7: Cho đa thức A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5 Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x); Đáp án: A(x) + B(x) = 11x4 – 11/15x3 + 2x2 - 9x -13/5 A(x) - B(x) = -5x4 – 19/15x3 + 2x2 + 9x -17/5 B(x) - A(x) = 5x4 + 19/15x3 - 2x2 - 9x +17/5 Bài 8: Cho đa thức A = 16x4 - 8x3y + 7x2y2 - 9y4 B = -15x4 + 3x3y - 5x2y2 - 6y4 C = 5x3y + 3x2y2 + 17y4 + Tính A + B - C Đáp án: A + B – C = x4 - 10x3y - x2y2 - 32y4 - Bài 9: Cho đa thức: A = xyz – xy2 – xz2 B = y3 + z3 Chứng minh x – y – z = A B hai đa thức đối Hướng dẫn Xét A + B = xyz – xy2 – xz2 + y3 + z3 với x – y – z = => x = y + z => A + B = (y + z)yz – (y + z).y2 – (y + z).z2 + y3 + z3 = y2z + yz2 – y3 – zy2 – yz2 – z3 + y3 + z3 = => A B hai đa thức đối DẠNG 4: TÌM ĐA THỨC CHƯA BIẾT TỪ ĐẲNG THỨC * Nếu có đa thức A => - A đa thức đối đa thức A * Nếu có A + B = C, tìm A = C – (B) B = C – (A) * Nếu A – B = C + Tìm A = C + B + Tìm B = A – (C) Bài 1: Cho đa thức A = 5xy2 + xy - xy2 - x2y + 2xy + x2y + xy + a) Thu gọn xác định bậc đa thức kết b) Tìm đa thức B cho A + B = c) Tìm đa thức C cho A + C = -2xy + Hướng dẫn a) A = (5xy2 - xy2 ) + ( xy + 2xy + xy ) + (= xy2 + 4xy + x2y + x2y + x2y ) + bậc đa thức b) Vì B + A = nên B đa thức đối đa thức A => B = -5xy2 - xy + xy2 + x2y - 2xy - x2y - xy - c) Ta có A + C = -2xy + Nên xy2 + 4xy + x2y + + C = -2xy + C = -2xy + – (4 xy2 + 4xy + x2y + 6) = -6xy - xy2 - x2y - Bài 2: Cho đa thức M(x) = -9x5 + 4x3 – 2x2 + x – Tìm đa thức N(x) đa thức đối đa thức M(x) Hướng dẫn N(x) = 9x5 - 4x3 + 2x2 - x + Bài 3: Tìm đa thức A biết: A+ (3x2y −2xy3) = 2x2y − 4xy3 Hướng dẫn A = ( 2x2y − 4xy3 ) – ( 3x2y −2xy3 ) = (2x2y - 3x2y) + (-4xy3 + 2xy3 ) = -x2y - 2xy3 DẠNG 5: TÌM HỆ SỐ CỦA ĐA THỨC TỪ ĐIỀU KIỆN BÀI CHO Bài 1: Cho đa thức P = 2xy2 + axy – x2 + (a số) Tìm a biết x = 3, y = -1 P = Hướng dẫn Thay giá trị x, y vào đa thức P ta có: 2.3.(-1)2 + a (-1) – 32 + = => – 3a – + = => - – 3a = => a = - 7/3 Bài 2: Cho đa thức P = ax4y3 + 10xy2 + 4y3 – 2x4y3 – 3xy2 + bx3y4 Biết a, b số đa thức P có bậc Tìm a, b Hướng dẫn Ta có P = (a – 2)x4y3 + bx3y4 + 7xy2 + 4y3 Vì P có bậc nên a – = b = => a = b = Bài 3: Xác định a, b c để hai đa thức sau đồng A = ax2 – 5x + + 2x2 – B = 8x2 + 2bx + c – – 7x Hướng dẫn A = (a + 2)x2 – 5x – B = 8x2 + (2b – 7)x + c – Hai đa thức đồng => Mọi hệ số đơn thức đồng dạng chứa hai đa thức phải Do đó: a + = ; 2b – = -5 c – = - => a = ; b = ; c = - ... = -1 Thay x = -1 ; y = -1 vào biểu thức ta được: M = (-1 ) (-1 ) - (-1 )2. (-1 )2 + (-1 )4 (-1 ) 4-( -1 )6. (-1 )6 + (-1 )8. (-1 )8 = -1 + - 1+ = Bài 6: Tính giá trị biểu thức sau: A=x3 - 4xy + y2 biết |x - 1|... là: 2 (- 2)3 + (- 2) = - 16 - = - 18 b) 4x6y3 - 3x6y3 + 2x2y2 - x6y3 - x2y2 + y = 3x6y3 + x2y2 + y Với x = 1; y = - ta có: - 3.(1)6 (- 1)3 + 12 (- 1)2 - = + - =- Bài 2: Tính giá trị đa thức :... - (4x2 - 5xy + 3y2) = 3x2 + 2xy + y2 + x2 - 3xy - 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 = 4xy - 4y2 C - A - B = (- x2 + 3xy + 2y2) - (4x2 - 5xy + 3y2) - (3x + 2xy + y2) = - x2 + 3xy + 2y2 - 4x2 + 5xy - 3y2 -