ứng dụng bài toán GTNN, GTLN của hàm số vào thực tế

Trang 1

3 m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài

gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây bể là 600.000đồng/m2 Hãy xác định kích thướccủa bể sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất Chi phí đó là.

A 86 triệu đồng B 75 triệu đồng C 85 triệu đồng.D 90 triệu đồng.

Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 5 150

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000 75000000 đồng.

Câu 2.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Trãi Lần 1] Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 m được đặt ở

độ cao 1,8 m so với tầm mắt (tính đầu mép dưới của màn ảnh) Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đứng sao cho góc nhìn lớn nhất Tính khoảng cách từ vị trí đó đến màn ảnh.

Vị trímắtα

. Đặt ABx là khoảng cách cần tìm (hình vẽ) ta có:

1,8 1, 4 3, 2

BC BD DC   m m m.2

2 1,8

AD x  , AC x2 3, 22

Áp dụng hệ quả của định lý Cô-Sin cho tam giác ACD ta có:

Trang 2

Câu 3.[2D1-3.10-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy

hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ làít nhất Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.

A Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4.B Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2.C Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3.D Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1.

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Gọi x là cạnh của đáy hộp.

h là chiều cao của hộp. 

S x là diện tích phần hộp cần mạ.

Khi đó, khối lượng vàng dùng mạ tỉ lệ thuận với S(x).Ta có:S x  x24xh 1 ;V x h2  4 h4 /x2 2 Từ (1) và (2), ta có S x    2 16



Dựa vào BBT, ta có S x đạt GTNN khi  x 2.

Câu 4.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Tất Thành] Ngưởi ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng

hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bẳng 500 3

3 m , đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp

đôi chiều rộng Giá thuê nhân công xây bể là 500.000 đồng/m Chi phí thuê nhân công thấp2nhất là:

A 150 triệu đồng B 60triệu đồng C 75 triệu đồng D 100triệu đồng.

Lập bảng biến thiên suy ra Smin S 5 150

Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng Smin 150 Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là: 150.500000 75000000 đồng.

Câu 5.[2D1-3.10-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Chi phí cho xuất bản x cuốn tạp chí (bao

gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi C x  0,0001x2 0, 2x10000,

Trang 3

 

C x được tính theo đơn vị là vạn đồng Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là 4 nghìn đồng Tỉ

số M x  T x 

 với T x là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho   x cuốn tạp chí, được

gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản x cuốn Khi chi phí trung bình chomỗi cuốn tạp chí M x thấp nhất, tính chi phí cho mỗi cuốn tạp chí đĩ. 

Chọn D.

Ta cĩ ( )T x =C x( ).10000 4000 x x 22000x100000000(đồng).Suy ra

Câu 6.[2D1-3.10-3] [THPT An Lão lần 2] Một cửa hàng cà phê sắp khai trương đang nghiên

cứu thị trường để định giá bán cho mỗi cốc cà phê Sa khi nghiên cứu, người quản lý thấy rằng nếu bán với giá 20.000 đồng một cốc thì mỗi tháng trung bình sẽ bán được 2000 cốc, cịn từ mức giá 20.000 đồng mà cứ tăng giá thêm 1000 đồng thì sẽ bán ít đi 100 cốc Biết chi phí nguyên vật liệu để pha một cốc cà phê khơng thay đổi là 18.000 đồng Hỏi cửa hàng phải bán mỗi cốc cà phê với giá bao nhiêu để đạt lợi nhuận lớn nhất?

A 22.000 đồng.B 25.000 đồng.C 31.000 đồng.D 29.000 đồng.Hướng dẫn giải

Cách 2: Gọi số tiền tăng là x ( nghìn đồng).

Lợi nhuận thu được tính theo hàm số sau:( ) (20 )(2 0,1 ) 18(2 0,1 )

f x  x  x   x (2 0,1 )(2 x x) 0,1x21,8x 4'( ) 0, 2 1,8

Câu 7.[2D1-3.10-3] [THPT Tiên Lãng] Chi phí nhiên liệu của một chiếc tầu chạy trên sơng được

chia làm hai phần Phần thứ nhất khơng phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1

giờ Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v 10(km giờ thì phần thứ hai / )

Trang 4

bằng 30nghìn đồng/ giờ Hãy xác định vận tốc của tàu để tổng chi phí nguyên liệu trên 1km

đường sơng là nhỏ nhất ( kết quả làm trịn đến số nguyên).

A 20(km giờ / ) B 15(km giờ / ) C 25(km giờ / ) D 10(km giờ / )

Chọn D.Chọn D.

Gọi (x km h là vận tốc của tàu, / ) x 0.Thời gian tàu chạy quãng đường 1km là: 1

x (giờ).

+) Chi phí tiền nhiên liệu cho phần thứ nhất là: 1 480480.

xx ( ngàn đồng).

+) Hàm chi phí cho phần thứ hai là p kx 3 ( ngàn đồng/ giờ).

Mà khi x 10 p30 k0,03 Nên p0,03x3 ( ngàn đồng/ giờ).Do đĩ chi phí phần 2 để chạy 1 km là: 1 0,03 0,03 x3  x2

Vậy tổng chi phí: f x( )4800,03x2 240 240 0,03x2 3 1728 36.3 

Dấu ’’=’’ xảy ra khi x 20.

Câu 8.[2D1-3.10-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Ơng An cần sản xuất một cái thang để trèo

qua một bức tường nhà Ơng muốn cái thang phải luơn được đặt qua vị trí C, biết rằng điểm C

cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường nhà 1m (như hình vẽ bên).

Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 300.000 đồng/1 mét dài Hỏi ơng An cần ít nhất bao nhiêutiền để sản xuất thang? ( Kết quả làm trịn đến hàng nghìn đồng).

A 3.125.000 đồng B 2.350.000 đồng C 600.000 đồng D 1.249.000 đồng.Hướng dẫn giải

Chọn D.

Trang 5

13.10 1

xf x

23.10 1

Khi đó chi phí sản xuất thang là 1.249.000 đồng.

Câu 9.[2D1-3.10-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Một công ty kinh doanh nghiên cứu thị

trường trước khi tung ra sản phẩm và nhận thấy để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại A và

B thì mất lần lượt là 2000 USD và 4000 USD Nếu sản xuất được x sản phẩm loại A và ysản phẩm loại B thì lợi nhuận mà công ty thu được là 

Gọi x y, lần lượt là số phẩm loại A B, .

Theo đề bài ta có: x.2000y.4000 40000  x2y20 x20 2 y.

238000 20 2

Trang 6

Xét hàm 11

2320 2

6 

     

Nhận xét: 2132

  nên dấu của y là dấu của biểu thức 5 103y

Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất khi y 6 x8.Vậy x02y02 6282 100 (Không có đáp án).

Câu 10.[2D1-3.10-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Trung Tâm Hiếu Học Minh Châu của Thầy Trần

Tài chứa tối đa mỗi phòng học là 200 em HS Nếu một phòng học có x HS thì học phí cho

mỗi HS là

  (nghìn đồng) Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất khi có 200 HS.

B Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 4.320 (nghìn đồng).C Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất khi có 360 HS.

D Một buổi học thu được số tiền học phí cao nhất bằng 3.200 (nghìn đồng).Hướng dẫn giải

         

(120) 4.320; (200) 3.200

Vậy xmax[0;200] f x( )f(120) 4.320

Câu 11.[2D1-3.10-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho tam giác đều ABC cạnh a Người ta

dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC Hai đỉnh P và Q theo thứ

tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác Xác định độ dài đoạn BM sao cho hình chữnhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

Chọn D.

Trang 7

.Đặt BM x.

Độ dài MN  a 2x và QM BM.tan 60 x 3.

Khi đó, diện tích MNPQ MN QM x 3a 2x  32x2ax

2 2

32 3

Câu 12.[2D1-3.10-3] [Cụm 1 HCM] Công ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ có

nắp với dung tích bằng 100cm , bán kính đáy 3 xcm , chiều cao  hcm (xem hình bên) Khi thiết kế, công ty X luôn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích toàn phần hình trụ là nhỏ nhất Khi đó, kích thước của x và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để công ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?

5, 031

h  cm và x 2,515cm 

3, 261

h  cm và

Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là Stp 2xh2x2 2 200

2 xx

  (với x 0).Đặt   2 200

32

Trang 8

Câu 13.[2D1-3.10-3] [THPT CHUYÊN LÊ KHIẾT] Một xýởng làm cõ khắ nhận làm những chiếc

thùng phi với thể tắch theo yêu cầu là 2000 lắt mỗi chiếc Hỏi bán kắnh đáy và chiều cao của thùng lần lýợt bằng bao nhiêu để tiết kiệm vật liệu nhất?

A 1m và 2m B 2dm và 1 dm C 2m và 1m D 1 dm và 2dm.

Chọn A.

Gọi , R h lần lượt là bán kắnh đáy và chiều cao của thùng.

Gọi , SVtp lần lượt là thể tắch và diện tắch toàn phần của thùng.

2000 dm

 =2 m 3.2

Câu 14.[2D1-3.10-3] [SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH L2] Người ta muốn làm một cái bình thủy tinh hình lăng

trụ đứng có nắp đậy, đáy là tam giác đều để đựng 16 lắt nước Để tiết kiệm chi phắ nhất (xemtấm thủy tinh làm vỏ bình là rất mỏng) thì cạnh đáy của bình là.

A 4 m B 2 2 dm 3 C 4 dm D 2 4 m 3

Chọn C.

Gọi x là độ dài cạnh đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ đứngx h , 0.

Khi đó thể tắch của khối lăng trụ đã cho là 2

Trang 9

Câu 15.[2D1-3.10-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Người ta muốn xây một cái bể chứa nước dạng khối hộp

chữ nhật không nắp có thể tích 500 3

3 m Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều

rộng, giá thuê nhân công để xây bể là 500000 đồng / m2 Nếu biết xác định kích thước của bểhợp lí thì chi phí thuê nhân công sẽ thấp nhất, chi phí thấp nhất đó là.

A 70 triệu đồng B 85 triệu đồng.C 80 triệu đồng.D 75 triệu đồng.

Chọn D.

Câu 16.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Một con cá hồi bơi ngược dòng để vượt một khoảng

cách là 400 km Vận tốc dòng nước là  10 km/h Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yênlà vkm/h thì năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được cho bởi công thức E v  cv t3,trong đó c là một hằng số, E được tính bằng jun Tìm vận tốc của cá khi nước đứng yên đểnăng lượng tiêu hao là ít nhất.

Trang 10

Vận tốc di chuyển ngược dòng của con cá hồi là : v 10 (km/h).

Thời gian để con cá hồi vượt 400 (km) ngược dòng nước là : 400 (km)  1010

Xét hàm số  3

vf v

v vf v

Câu 17.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Văn Cừ] Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật

liệu cho trước là a m thẳng hàng rào Ở đó người ta tận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một( )

cạnh của hàng rào Vậy để rào khu đất ấy theo hình chữ nhật sao cho có diện tích lớn nhất thìgiá trị lớn nhất đó tính theo a bằng.

af yy ayy æ öç ÷

= - " Î ç ÷÷çè ø.

afyy æ öç ÷

Trang 11

Câu 18.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Đăng Đạo] Chiều dài ngắn nhất của cái thang AB để nó có thể

dựa vào tường AC và mặt đất BC , ngang qua cột đỡ DE cao 4 m , song song và cách tường( )

0.25( )

 

Trang 12

Lập bảng biến thiên suy ra Vmax =V( )2

Câu 20.[2D1-3.10-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT] Cho một tấm nhôm hình tam giác đều có cạnh

bằng 20 cm Người ta cắt ở ba góc của tấm nhôm đó ba tam giác như hình vẽ dưới đây để

được hình chữ nhật MNPQ Tìm độ dài đoạn MB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất.

x xS   x x   x x     

Dấu bằng xảy ra khi 10 x x  x5.

Câu 21.[2D1-3.10-3] [THPT Lý Thái Tổ] Từ một tờ giấy hình tròn bán kính R , ta có thể cắt ra một

hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Trang 13

S a bR Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Câu 22.[2D1-3.10-3] [THPT Lý Thái Tổ] Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 2016 cm Người tacắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng

Trang 14

Câu 25.[2D1-3.10-3] [THPT Quế Vân 2] Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở địa

điểm A đến một hòn đảo ở địa điểm C Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km Khoảng cách từ Bđến A là 4 km Hỏi điểm  S cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A

qua S rồiđến C là ít tốn kém nhất, biết rằng mỗi kmdây điện đặt từ A đến S mất 3000 USD

, mỗi km dây điện đặt từ S đến C mất 5000 USD.

Trang 15

Câu 26.[2D1-3.10-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 03] Có hai chiếc cọc cao 12m và 28m, đặt cách nhau

30m (xem hình minh họa dưới đây) Chúng được buộc bởi hai sợi dây từ một cái chốt trên mặtđất nằm giữa hai chân cột tới đỉnh của mỗi cột Gọi x (m) là khoảng cách từ chốt đến chân cọcngắn Tìm x để tổng độ dài hai dây ngắn nhất.

Trang 16

Điều kiện 0 x30; ,y z0 Gọi d là tổng độ dài hai sợi dây Khi đó d  y z.Theo Pitago, ta có 2222

Chọn A.

Gọi một cạnh góc vuông là x 0x5 2 nên cạnh còn lại 2

50 x Diện tích tam giác vuông là: 1 50 2

x  S 

Câu 28.[2D1-3.10-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Một con thuyền đang ở ngoài khơi cách

đất liền 120km và cách hòn đảo 450km Hòn đảo cách đất liền 270km Con thuyền cần cậpbến để tiếp nhiên liệu rồi mang quà Tết ra đảo Tìm quãng đường ngắn nhất mà con thuyền đóđi (làm tròn đến hàng đơn vị).

.

Trang 17

A 623 km B 584 km C 711 km D 576 km.

Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi vị trí thuyền và đảo lần lượt là ; T D

Gọi T là điểm đối xứng với Tqua trục Ox

Khi đó quãng đường thuyền phải đi là: TI ID T I ID    ngắn nhất là T D Ta có: T0; 120 ;  D 4502150 ; 2702  T D 576

Câu 29.[2D1-3.10-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Người ta muốn mạ vàng cho một cái hộp có đáy

hình vuông không nắp có thể tích là 4 lít Tìm kích thước của hộp đó để lượng vàng dùng mạ làít nhất Giả sử độ dày của lớp mạ tại mọi nơi trên mặt ngoài hộp là như nhau.

A Cạnh đáy bằng 3, chiều cao bằng 4.B Cạnh đáy bằng 1, chiều cao bằng 2.C Cạnh đáy bằng 4, chiều cao bằng 3.D Cạnh đáy bằng 2, chiều cao bằng 1.



Dựa vào BBT, ta có S x đạt GTNN khi  x 2.

Câu 30.[2D1-3.10-3] [TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa] Người ta giới thiệu một loại thuốc kích

thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn Sau t phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức:

 0 30 1000

f f  , f 20 5000 Vậy    0;30

Trang 18

Xét hàm số ( ) 2 5002

.Khi đó, chi phí là 150.500000=75000 000.

Câu 32.[2D1-3.10-3] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có

chiều cao là 60 cm , thể tích 96000 cm Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có3giá thành 70000 VNĐ/m2 và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100000 VNĐ/m2 Tính chiphí thấp nhất để hoàn thành bể cá.

Để có bể cá với chi phí thấp nhất thì mặt đáy của bể có diện tích lớn nhất.

Tức là đáy bể là hình vuông có cạnh bằng 0, 4 m

Trang 19

Khi đĩ:

Giá thành để cĩ mặt đáy là 0,16m 2 100000 16000 VNÐ Giá của 4 mặt bên là 4 0, 4 m0,6m70000 67 200 VNÐ Vậy chi phí thấp nhất để hồn thành bể cá là 83200 VNÐ

Câu 33.[2D1-3.10-3] [THPT Thanh Thủy] Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được cho bởi cơng

thức   1 230 

F x  x  x, trong đĩ x là liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân ( x được tính

bằng miligam) Liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều nhất là.

0 (loại)20

Câu 34.[2D1-3.10-3] [Cụm 1 HCM] Cơng ty X muốn thiết kế các hộp chứa sản phẩm dạng hình trụ cĩ

nắp với dung tích bằng 100cm , bán kính đáy 3 xcm , chiều cao  hcm (xem hình bên) Khi thiết kế, cơng ty X luơn đặt mục tiêu sao cho vật liệu làm vỏ hộp là ít nhất, nghĩa là diện tích tồn phần hình trụ là nhỏ nhất Khi đĩ, kích thước của x và h gần bằng số nào nhất trong các số dưới đây để cơng ty X tiết kiệm được vật liệu nhất?

5, 031

h  cm và x 2,515cm 

3, 261

h  cm và

3,124

Trang 20

Ta có thể tích của hộp là V x h2 100 1002.

Ta có diện tích toàn phần của vỏ hộp là Stp 2xh2x2 2 200

2 xx

  (với x 0).Đặt   2 200

Câu 35.[2D1-3.10-3] [BTN 175] Sau khi phát hiện ra dịch bệnh vi rút Zika, các chuyên gia sở y tế

TP.HCM ước tính số người nhiễm bệnh kể từ khi xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ t

là f t  15t2 t3 Ta xem f t là tốc độ truyền bệnh (người/ngày) tại thời điểm '  t Tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ bao nhiêu?

A Ngày thứ 5 B Ngày thứ 10 C Ngày thứ 25 D Ngày thứ 20.

Câu 36.[2D1-3.10-3] [BTN 171] Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình mẫu.

Hộp có đáy là một hình vuông cạnh x cm , chiều cao  h cm và có thể tích là  3

Trang 21

.Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất.

2500 500

.  3 3 20 3 0 20

BC km Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vậntốc 6km h rồi đi xe đạp từ /  M đến C với vận tốc 10km h (hình vẽ bên) Xác định/ khoảng cách từ M đến C để người đó đi từ A đến C là nhanh nhất.