GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

13 140 0
GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt Nhắc lại: 2 14� � �  1 n 1414 43 �1 n � � 3� � a3  b3   a  b � a  ab  4b 4 � so hang � � � � � n 1 n2 � an  bn   a  b � a  a4n42b44an443b � � �  ab 4bn431 � 4 4 4 4 � � n so hang � � Tìm L  lim n x�0 1 ax  x LỜI GIẢI Cách giải: Đặt t  n 1 ax � tn  1 ax � x  tn  a Ta có x � t � a t  1 Khi L  lim n x�1 t  a t  1 a a  lim  lim n 1 n  n 1 n2 x�1 x�1 t  t � � �  t1 n  t  1 t  t  ��� t   Vậy L  lim x�0 L  lim n x�0 n  1 ax  a  x n 1 ax  m 1 bx x LỜI GIẢI n m 1 ax  1 1 1 bx 1 ax  1 bx  a b (áp dụng L  lim  lim  lim   x�0 x � x � x x x n m kết kế trên) n m n 1 ax  x�0 m 1 bx  L  lim  ab �0 LỜI GIẢI 1 ax  x a m am L  lim �  �  (áp dụng kết trên) m x�0 x 1 bx  n b bn n L  lim n 1 ax  m 1 bx 1 x  x�0 LỜI GIẢI �n 1 ax  m 1 bx  1� 1 ax  1 1 1 bx x L  lim �  lim �  � 1 x  � x�0 x x 1 x  x�0 � � x � n m   �a b �  2�  � �n m � m x 1 x�1 n x 1 L  lim LỜI GIẢI Đặt t  mn x�x t mn , m   x  t , x  tm n n    t  1 tn1  tn2  ��� t  tn  tn 1  tn   � � �  t1 n  lim lim  m m m t�1 t  t�1 t�1 tm 1  tm   � � �  t1 m  t  1 t  t  ��� t  L  lim x  x2  x3  � � �  xn  n x�1 x  x2  x3  � � �  xm  m L  lim LỜI GIẢI � �  x  n   x  1  x2   x3   � � �  xn  Ta có: x  x  x  �         x  1   x  1  x  1   x  1  x  x  1  � � �   x  1  x  x  � � �  1   x  1 � 1 x  1   x  x  1  � � � x x � � �  1 � �  � � �  x  m   x  1   x  1   x  1  � � �  x Tương tự: : x  x  x  �   x  1   x  1  x  1   x  1  x  x  1  � � �   x  1  x  x  � � �  1   x  1 � 1 x  1   x  x  1  � � � x x � � �  1 � �  � 1 x  1   x  x  1  � � � x x � � �  1 �  x  1 � �  � L  lim Vậy �  x  1 �1  x  1   x  x  1  ���  x  x  ��� 1 � � 1  x  1   x  x  1  � � �  x  x � � �  1  lim 1  x  1   x  x  1  � � �  x  x � � �  1 n n 1 n1 2 n m m 1 m 2 n1 n 1 m m1 2 x�1 m  1 m1 m x�1 n 1 n 1 n 1 m m 1 n(n  1) 1  3 � � � n n(n  1)    1  3 � � �  m m(m  1) m(m  1) x100  2x  x�1 x50  2x  L  lim LỜI GIẢI x  x   x  1 x x99    x  1 x100  x  x  L  lim 50  lim 50  lim x�1 x  x  x  x�1 x�1 x  x   x  1 x x49    x  1  lim x�1  x x  1  x   100      x  1  x   lim � � �  x  1   x  1  x  1  x x x  1 x98  x97  � � �  x    x  1 48 x 47 x�1     x  1 99  x98  � � �  x2  x  49 x � � � x 48 x99  x98  � � �  x2  x  98 49   x�1 x49  x48  � � �  x2  x  48 24  lim L  lim xn   n  1 x  n  x  1 x�1 LỜI GIẢI n n n Ta có x   n  1 x  n  x  x   nx  n  x x   n  x  1         x  x  1 xn1  xn1  � � �  x   n  x  1   x  1 xn  xn1  � � �  x2  x  n  �n � 1   x  1 � x 4 xn  � � � 4x4 3x  414 2 14� � �  1� 4 43 � � n so hang n so hang � �         x  1 �xn   xn1   x2    x  1 � � � � � � � � n1 n2 � � n n 3 �   x  1 � x  x  x  � � �   x  x  x  � � �   � � �  x  x   x  � � � �   �1 44 4 43 �   �1 44 4 43 �       � � � n 4� 44444 4 4�4 4 4� 4 n414 4 4� 4 4 4 4 4 43 � � n � � � � � � � � n � � n 1 n n   x  1 � x  x  � � �   x  x  � � �   � � �  x   � � � �   � 44 4 43 � �1 44 4 43 � � � � n n 1 � � � � 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 43 � � n � � � � � � n1 n  � � n � 2� n3 x � � � � �   x  1  1�  x  1 ��x1 44x2 4 4��� 431� � 14 44x2 44 431� � � � Do đó: 4 4n 4 4�4� 44 4n41 4 � 4 4 4 43 � � � � n � L  lim x�1  x  1 � � � � � n  n � � n2 � n L  lim � x 44x2 4 � � � 31� � x  x2 4 � � � 31� � � �   x  1  1� � 4 44 x�1 � � � 4 4n 4 4�4� 44 4n 41 4 � 4 4 4 43 � � � n �  n  (n  1)  � � �  2 1 �m n lim � m  x�1 1 x  xn � n  n  1 � �, m,n ��* � LỜI GIẢI � � �m �� n � �m � � n � lim � � lim � m � � n  � � m � lim � n � x�1 x � x � 1 x � �1 x 1 x � 1 x � �1 x �1 x �1 x 1 x � � �  m  1 x  x2  � � �  xm1 �m � lim � m  � lim x�1 1 x 1 x � x�1 1 xm �  1 x   1 x   ���  1 x  m  lim 1 xm x�1 1 1 x  � � �   1 x  x  � � � x �  1 x � �  �  1 x  1 x  x  ��� x  1  1 x  � � �   1 x  x  � � �  x  1  � � �  m1 m 2 lim x�1 lim  m 1 m  m 1 x  x  � � � x � n � n1  Tương tự lim � � x�1 1 xn  x� � x�1 m  m1 �m n � m1 n1 m n    Vậy lim � � x�1 1 xm 2 1 xn � � Ví dụ: Tìm giới hạn sau:  x  3x  3x  13  x  a) lim b) lim x�0 x�1 x1 x2  x 1.2x  13 2.3x  14 3.4x   c) lim x�0 x LỜI GIẢI  3x  a) lim x�1   x   3x    3x  �Tính lim x�1 x   lim  lim x�1 x�1   3x  2 x �Tính lim x�1 Vậy lim x�1 lim x�0  2 x     lim 2 x  3x   x1 x�1  x  1 �  � 2 x  �   x  1� � 3x   3x  1 3  lim  lim  x � x � x 3x    x  1 3x     3x  13  x  2    x1 12 b)  3x  1  x  1 �  lim  x x�1 2 x  x1 3x   3x    x   23  3x  x2  x  lim x�0  3x    lim 8 3x  4 x  x2  x x�0 x2  x �Tính lim  3x    lim 4 x  x x x�0 x�0  3x.x x x  1   4 x  23  3x   2lim x�0 �Tính x�0 x2  x lim   lim Vậy lim x�0 x�0  1.2x  13 2.3x  14 3.4x    lim x x�0  2.3x    x  1   4 x    �  23  3x  4� �   x  3x  1   1 2 x2  x c) L  lim  3x  3x  � x x  1 �3  3x �  2lim  x�0 �  3x  23  3x  4�  x  1 � � � �  x�0 3.4x    2x   2.3x  14 3.4x  x 3.4x   x�0 x�0 x x n ax   a Ta chứng minh lim   a �0,n ��* x�0 x n  lim  lim GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x � � DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp Ví dụ: Tính giới giới hạn sau:  3x) a) xlim(2x �� b) lim x2  3x  x���  c) xlim � �  2x2   x LỜI GIẢI � �  3x)  lim x3 �  � lim 2x3  � a) xlim(2x �� x� � � x � x�� � � 4� lim � x 1  � � � x��  x �� x x � xlim � x2  3x   lim x 1   � �  ��� � b) xlim ��� x��� � x x lim x � � � � x�� lim x   � x�� x x2 �   � � 1� � � � 2x2   x  lim � x2 �  � x � lim �x   x � � x��� � x��� x � � � � x � � � �  lim � x   x � lim x    � � x � � x��� x � � � DẠNG 2: � c) xlim � �   PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Chia tử mẫu cho xk lũy thừa cao tử mẩu (hoặc đặt xk làm nhân tử chung) Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số sau: a) xlim � �   3x 2x2   5x  1  x b) xlim � �   2x 2x 3 d) L  lim x��  2x e) lim x x2  x  x�� 2x5  x3    1 x  x c) lim x� � x x1 x2  x  2x3  x f) lim 2x  x  x�� x x 3 1 2x LỜI GIẢI � 1� � 1� 3x.x2 � 2 � 3�2  � � x �  lim � x �  3.2   lim a) xlim � � x� � � x �  � 1�2 � � � 1� � � 5.1  5x  1 x  2x x� 5 � x � 1 � 5 � 1 � � � � x� � x� � x� � x�   3x 2x2  b) xlim � �   2x5  x3   2x    x3  x � 1� � 1� x5 � 2  � �2   � x x � x x � �  lim  lim � 1 x�� x �  � � �3 � � � 1� � 1� x2 � 2 � x � 1 �   � � 2� 2� � x � � x � � x � � x � 1 x x 1  2 x x1 x  lim x  lim x   c) lim x�� x  x  x�� x  x  x�� 1 1  2 x x x d) L  lim x�� 2x 3 x2  x  x � �� x  � x  x Vậy L  xlim �� 2x  x2  x  � 3� x� 2  � 2  x� 2x  2x  � x  lim  lim  lim  lim 2 x�� x�� x�� 5 � x�� 2� x 1  x 1   1  x � 1  � x x x x x x � x x � 2x3  x  lim x e) lim x x�� x  x  x��  lim x�� x x � 1� � 1� x3 � 2 � 2 � � x � �  lim x � x � � � x�� � 3� x5 � 1  � x2 � 1  � x x � � � x x � � 1� � 1� 2 � 2 � � � � x �  lim  � x �  � � x�� � � 1  � 1  � � � � x x � � x x � � 1� x4 � 2  � f) lim 2x  x  � x x � x� �  lim 1 2x x� � 1 2x  lim 1 1  x 2  � x2 x4  lim x x  lim �  x � � � � � x �  � x �  � 1 2x � � 2 x x2  x�� Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: a) lim  x  1 x� � lim x�� x 2x  x2  b) lim x�  � x  x2  x x  10 c) x2  3x  2x 3x  x2  x   3x  d) lim x�� f) lim 4x2   1 x e) lim x�� x2  x   3x  4x2   1 x (x3  2x2 )2  x x3  2x2  x2 x� � 3x2  2x LỜI GIẢI a) lim  x  1 x�� 2   x x  1 x x x2 x3  (Chú  lim  lim 1 2x4  x2  x�� 2x4  x2  x�� 2  x x thích: Vì x � � nên x  � (x  1)  ta được vào dấu b) x  x2  x lim x� �  lim 1 1 x�� c) x  10 10 x 1 � 1� 1 x  x2 � 1 � x  x 1 x  x 1 x x � � x  lim  lim  lim x�� x�� x�� x  10 x  10 x  10 x  2 (Chú giải: Vì x � � nên x  x   x ) x2  3x  2x lim  lim x�� x�� 3x  � 3� x2 � 1 � 2x x 1  2x x � � x  lim x� � 3x  3x   1  1  2x x   (Chú giải: Vì x � � nên  lim x x��  lim 3 x�� 3 3x  x x  x   x )  x 1 x  x   3x  d) xlim � � 4x2   1 x  lim x�� x2  x   3x  x2  x  3x   x x x x  lim x�� 4x2   1 x 4x2  1 x   x x x x x2  x  1  3 1   3 x x x x 1 x2  lim   x� � 2 1 4x2  1 4    1 x x x x2  lim x�� x  x   3x  e) xlim � � 4x2   1 x  lim x�� x2  x   3x  x2  x  3x   x x x x  lim x�� 4x2   1 x 4x2  1 x   x x x x x2  x  1  3  1    2 x x x x 1 x  lim  lim   x�� x� �   1 4x  1  4     1 x x x x  �3 � � � 2� 3� x � 1 � 1 � x2 � � x � 3 2 2 f) (x  2x )  x x  2x  x � x� � � x� � lim  lim 2 x�� x �  � 3x  2x 3x  2x 2 � 2� � 2� � 2� 1 �  x3 � 1 � x x2 � 1 �  x 1  x2 � x � x� � x� � x�  lim  lim 2 x�� x �  � 3x  2x 3x  2x � � � 2� 3 1 � 2� x2 �  1  1� 1 � � �� x � � x �  1 x  x � 1 1 � � lim �  lim �   x�� x�� � � 3 x2 � 3 � x � x� x  Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: � 4x4  � x x � 2x2  � � 3  � b) lim � a) lim x � � x � x�� x��� x  2x4 x x � � � � � LỜI GIẢI a) Đặt x  x � � y � y I  lim y�0 1 2y  1 3y y2 � 1 2y  (1 y) 1 3y  (1 y) � �  lim �  2 y�0 � � y y � � � �  y2 y2(y  3) �  lim �  y�0 � y2 1 2y  (1 y) y2(3 (1 3y)2  (1 y)3 1 3y  (1 y)2 ) � � � � � y3 �  lim �   y�0 � 1 y  1 2y 1 3y  (1 3y)2 � (1  y)  (1  y) � �  1   Vậy I  2 � �2x2  �� � 4x4  x2 � �� � x �� � 4x4  � 2x2  � � � � lim � x �   b) lim � x��� x  2x4 x �  � x x � � x  2x � � � � � x � � � � � � � � � � 1 x 2 � x 2 � � 4 � 4 � 4 � 4 x � x � x  x  x  2 �  lim �  lim �  lim � � x��� � x��� x��� x x x2 � 2 � 2 � � 2 � � � � x3 � �x � �x � � � � � � �  2  2 DẠNG 3: � � PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN: Nhân lượng liên hợp sau làm dạng Ví dụ: Tìm giới hạn sau: ( x2  x  x) a) xlim �� ( x2  x  x) b) lim( x2  3x   x) c) xlim �� x�� d) lim( x2  3x   x) x��  f) xlim �� x   x  2) e) xlim( � � x2  4x   x2  3x    g) xlim � � x2  4x   x2  3x   LỜI GIẢI � � 1� � � � x2  x  x)  lim � x2 � 1 � x � lim �x 1  x � a) xlim( � � � � x�  �� x �  � � x � � � � x� � � � � 1 �  lim �  x 1  x � lim  x � 1  1� � Chú giải: Vì x � � nên x  x��� � x �  � � x x � � � � � x   x b) lim( x2  3x   x)  lim x� � x2  3x   x2 x� � x  3x   x  lim 3x  x� � � 2� x2 � 1  � x � x x � 3  3x  3x  x  lim  lim  lim  x�� x� � x�� 3 x 1   x x 1   x 1   x x x x x x Chú thích: Do x � � nên x  x  x  c) xlim � �   lim x�  � x2  x  x  x2  x  x  x2  x  x   lim  x� � x2  x   x2  lim x� � x �x  x � x 1  x x2 � � x x �x � x x 1  lim  lim  lim  x� � x�  � x�  � � � 1 x 1  x 1  x� 1  1� � � x x x � � x �  � x  Chú giải: Vì nên x  x x xx 2 � �x2  3x  � � � � x2  3x   x  lim � x2 � �x 1   x � � x � xlim � � x� �� �  � x x x � � � � � � � � � � � 3  lim � x 1   x � lim x � 1   1� � � � x��� x �  � x x x x � � � � Do x � � nên x  x  x Có lim  lim  nên x�� x x�� x  d) L  xlim � �  � � x  � Từ suy L  � lim � 1   1� xlim �� � � x x � � x�� c) lim( x   x  2)  lim x�� x��  d) xlim �� lim x� �  lim x 2 x  x2  4x   x2  3x   lim  lim x�� 0 � 2� x � 1  1 � � x x� � � x2  4x  3 (x2  3x  2) x�  � x2  4x   x2  3x  � 1� x � 1 � x� x  �  lim x� � � � 3� � 2� 3 x2 � 1  � x2 � 1  � x � 1   1  � x x x x � x x � � x x � � e) xlim �� x�  �  x2  4x   x2  3x   lim  � � � � x2  4x  3 (x2  3x  2) x�  � x2  4x   x2  3x  � 1� x � 1 � x  � x�  lim � 3� � � x� � � 3 x2 � 1  � x2 � 1  � x � 1   1  � x x x x � x x � � x x � �  � � � � 2k 1 � 4k  �  bx  c   ax Nhận xét: Nếu lim � (ax) �hoặc x��� � k� 2k lim � � (ax)  bx  c   ax �(với a > 0, k ��) ta tính trực tiếp khơng nhân x��� � lượng liên hợp Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 2� � �3 � a) lim � 4x  3x   2x � b) lim � 8x   2x  1� x��� x��� � � LỜI GIẢI 4x4  3x2  1 4x4 2� � a) lim � 4x  3x   2x � lim x��� � x�� 4x4  3x2   2x2  lim x�� 3x2  � 1� x4 �   � 2x x � � x 3  lim x�� x2  4   x x � � � � 3 8x  1 8x �3 � � b) lim � 8x   2x  1� lim � � x��� � x����3 3 �� 8x  1� �  8x  1.2x  4x � � �� � � � � � � � � � � � � � 1 �  lim � �  lim � x��� x��� 2 � � � � � � 1 1 �x2 � �x2 �  �  x3 8 2x  4x2 �  �  2x2   4x2 � � � x � � � � x � � x x � � � � � � � � � � � � � � 1 � �  lim �   lim � x�� x��� �� x2   4 4 � �2� � � � 1� � 1� � 8  23 �  � � �x � � � �� x � � x � � �� � � �� � � �1 �  lim � �  x��� 12x � GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH 0.� PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Giả sử cần tìm giới hạn hàm số h  x  f  x g  x x � x0 x � �� f  x � g  x � �� Ta thường biến đổi theo hướng sau: Nếu x � x0 ta thường viết Nếu x � �� ta thường viết f  x g  x  f  x g  x  f  x đưa dạng vô định g  x g  x � đưa về dạng � f  x Tuy nhiên nhiều toán giới hạn loại ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu thức, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn quen thuộc Ví dụ: Tìm giới hạn sau: �1 � x � � a) lim b) lim  x  2 x�3 x x �  � � � x  3 x3  x LỜI GIẢI �1 1� 3 x 1  lim  lim  � � � a) lim 3 x�3 x x � x � 3x  x  3 � 3� x  3 3x  x  3   lim x3  a) L  x� ( 1) x  lim  x  1 x2  x  x  x�( 1)   x  1x x  1  Vì x � 1 � x  1 � x     x  1 x   x  1  x  1 Vậy L  lim x2  x  x�(1) b) lim  x  2 x� � x  lim x�� x x  lim  x  2 x3  x x�� x�( 1)   x  1 x  3.0  � 1� x� 1 � � x �  lim x    � x� � 3� x � 1 � � x � 1 1 � � x  lim 1 x  � x��� x� � 1 1 x x 1   lim x2  x  x1 x 1� 2� x � 1 � � x � 1 ... � x � � �� � � �� � � �1 �  lim � �  x��� 12x � GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VƠ ĐỊNH 0.� PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Giả sử cần tìm giới hạn hàm số h  x  f  x g  x x � x0 x � �� f  x � g ... dạng � f  x Tuy nhiên nhiều toán giới hạn loại ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu thức, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn quen thuộc Ví dụ: Tìm giới hạn sau: �1 � x � � a) lim b)...  lim  lim GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x � � DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp Ví dụ: Tính giới giới hạn sau:  3x) a) xlim(2x �� b) lim x2  3x  x���  c) xlim � �  2x2   x LỜI GIẢI � �  3x)

Ngày đăng: 22/09/2018, 18:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan