DẠNG 4: Các giới hạn đặc biệt Nhắc lại: 2 14� � � 1 n 1414 43 �1 n � � 3� � a3 b3 a b � a ab 4b 4 � so hang � � � � � n 1 n2 � an bn a b � a a4n42b44an443b � � � ab 4bn431 � 4 4 4 4 � � n so hang � � Tìm L lim n x�0 1 ax x LỜI GIẢI Cách giải: Đặt t n 1 ax � tn 1 ax � x tn a Ta có x � t � a t 1 Khi L lim n x�1 t a t 1 a a lim lim n 1 n n 1 n2 x�1 x�1 t t � � � t1 n t 1 t t ��� t Vậy L lim x�0 L lim n x�0 n 1 ax a x n 1 ax m 1 bx x LỜI GIẢI n m 1 ax 1 1 1 bx 1 ax 1 bx a b (áp dụng L lim lim lim x�0 x � x � x x x n m kết kế trên) n m n 1 ax x�0 m 1 bx L lim ab �0 LỜI GIẢI 1 ax x a m am L lim � � (áp dụng kết trên) m x�0 x 1 bx n b bn n L lim n 1 ax m 1 bx 1 x x�0 LỜI GIẢI �n 1 ax m 1 bx 1� 1 ax 1 1 1 bx x L lim � lim � � 1 x � x�0 x x 1 x x�0 � � x � n m �a b � 2� � �n m � m x 1 x�1 n x 1 L lim LỜI GIẢI Đặt t mn x�x t mn , m x t , x tm n n t 1 tn1 tn2 ��� t tn tn 1 tn � � � t1 n lim lim m m m t�1 t t�1 t�1 tm 1 tm � � � t1 m t 1 t t ��� t L lim x x2 x3 � � � xn n x�1 x x2 x3 � � � xm m L lim LỜI GIẢI � � x n x 1 x2 x3 � � � xn Ta có: x x x � x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 � � � x 1 x x � � � 1 x 1 � 1 x 1 x x 1 � � � x x � � � 1 � � � � � x m x 1 x 1 x 1 � � � x Tương tự: : x x x � x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 � � � x 1 x x � � � 1 x 1 � 1 x 1 x x 1 � � � x x � � � 1 � � � 1 x 1 x x 1 � � � x x � � � 1 � x 1 � � � L lim Vậy � x 1 �1 x 1 x x 1 ��� x x ��� 1 � � 1 x 1 x x 1 � � � x x � � � 1 lim 1 x 1 x x 1 � � � x x � � � 1 n n 1 n1 2 n m m 1 m 2 n1 n 1 m m1 2 x�1 m 1 m1 m x�1 n 1 n 1 n 1 m m 1 n(n 1) 1 3 � � � n n(n 1) 1 3 � � � m m(m 1) m(m 1) x100 2x x�1 x50 2x L lim LỜI GIẢI x x x 1 x x99 x 1 x100 x x L lim 50 lim 50 lim x�1 x x x x�1 x�1 x x x 1 x x49 x 1 lim x�1 x x 1 x 100 x 1 x lim � � � x 1 x 1 x 1 x x x 1 x98 x97 � � � x x 1 48 x 47 x�1 x 1 99 x98 � � � x2 x 49 x � � � x 48 x99 x98 � � � x2 x 98 49 x�1 x49 x48 � � � x2 x 48 24 lim L lim xn n 1 x n x 1 x�1 LỜI GIẢI n n n Ta có x n 1 x n x x nx n x x n x 1 x x 1 xn1 xn1 � � � x n x 1 x 1 xn xn1 � � � x2 x n �n � 1 x 1 � x 4 xn � � � 4x4 3x 414 2 14� � � 1� 4 43 � � n so hang n so hang � � x 1 �xn xn1 x2 x 1 � � � � � � � � n1 n2 � � n n 3 � x 1 � x x x � � � x x x � � � � � � x x x � � � � �1 44 4 43 � �1 44 4 43 � � � � n 4� 44444 4 4�4 4 4� 4 n414 4 4� 4 4 4 4 4 43 � � n � � � � � � � � n � � n 1 n n x 1 � x x � � � x x � � � � � � x � � � � � 44 4 43 � �1 44 4 43 � � � � n n 1 � � � � 4 4 4 4 4 44 4 4 4 4 4 43 � � n � � � � � � n1 n � � n � 2� n3 x � � � � � x 1 1� x 1 ��x1 44x2 4 4��� 431� � 14 44x2 44 431� � � � Do đó: 4 4n 4 4�4� 44 4n41 4 � 4 4 4 43 � � � � n � L lim x�1 x 1 � � � � � n n � � n2 � n L lim � x 44x2 4 � � � 31� � x x2 4 � � � 31� � � � x 1 1� � 4 44 x�1 � � � 4 4n 4 4�4� 44 4n 41 4 � 4 4 4 43 � � � n � n (n 1) � � � 2 1 �m n lim � m x�1 1 x xn � n n 1 � �, m,n ��* � LỜI GIẢI � � �m �� n � �m � � n � lim � � lim � m � � n � � m � lim � n � x�1 x � x � 1 x � �1 x 1 x � 1 x � �1 x �1 x �1 x 1 x � � � m 1 x x2 � � � xm1 �m � lim � m � lim x�1 1 x 1 x � x�1 1 xm � 1 x 1 x ��� 1 x m lim 1 xm x�1 1 1 x � � � 1 x x � � � x � 1 x � � � 1 x 1 x x ��� x 1 1 x � � � 1 x x � � � x 1 � � � m1 m 2 lim x�1 lim m 1 m m 1 x x � � � x � n � n1 Tương tự lim � � x�1 1 xn x� � x�1 m m1 �m n � m1 n1 m n Vậy lim � � x�1 1 xm 2 1 xn � � Ví dụ: Tìm giới hạn sau: x 3x 3x 13 x a) lim b) lim x�0 x�1 x1 x2 x 1.2x 13 2.3x 14 3.4x c) lim x�0 x LỜI GIẢI 3x a) lim x�1 x 3x 3x �Tính lim x�1 x lim lim x�1 x�1 3x 2 x �Tính lim x�1 Vậy lim x�1 lim x�0 2 x lim 2 x 3x x1 x�1 x 1 � � 2 x � x 1� � 3x 3x 1 3 lim lim x � x � x 3x x 1 3x 3x 13 x 2 x1 12 b) 3x 1 x 1 � lim x x�1 2 x x1 3x 3x x 23 3x x2 x lim x�0 3x lim 8 3x 4 x x2 x x�0 x2 x �Tính lim 3x lim 4 x x x x�0 x�0 3x.x x x 1 4 x 23 3x 2lim x�0 �Tính x�0 x2 x lim lim Vậy lim x�0 x�0 1.2x 13 2.3x 14 3.4x lim x x�0 2.3x x 1 4 x � 23 3x 4� � x 3x 1 1 2 x2 x c) L lim 3x 3x � x x 1 �3 3x � 2lim x�0 � 3x 23 3x 4� x 1 � � � � x�0 3.4x 2x 2.3x 14 3.4x x 3.4x x�0 x�0 x x n ax a Ta chứng minh lim a �0,n ��* x�0 x n lim lim GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x � � DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp Ví dụ: Tính giới giới hạn sau: 3x) a) xlim(2x �� b) lim x2 3x x��� c) xlim � � 2x2 x LỜI GIẢI � � 3x) lim x3 � � lim 2x3 � a) xlim(2x �� x� � � x � x�� � � 4� lim � x 1 � � � x�� x �� x x � xlim � x2 3x lim x 1 � � ��� � b) xlim ��� x��� � x x lim x � � � � x�� lim x � x�� x x2 � � � 1� � � � 2x2 x lim � x2 � � x � lim �x x � � x��� � x��� x � � � � x � � � � lim � x x � lim x � � x � � x��� x � � � DẠNG 2: � c) xlim � � PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Chia tử mẫu cho xk lũy thừa cao tử mẩu (hoặc đặt xk làm nhân tử chung) Ví dụ 1: Tìm giới hạn hàm số sau: a) xlim � � 3x 2x2 5x 1 x b) xlim � � 2x 2x 3 d) L lim x�� 2x e) lim x x2 x x�� 2x5 x3 1 x x c) lim x� � x x1 x2 x 2x3 x f) lim 2x x x�� x x 3 1 2x LỜI GIẢI � 1� � 1� 3x.x2 � 2 � 3�2 � � x � lim � x � 3.2 lim a) xlim � � x� � � x � � 1�2 � � � 1� � � 5.1 5x 1 x 2x x� 5 � x � 1 � 5 � 1 � � � � x� � x� � x� � x� 3x 2x2 b) xlim � � 2x5 x3 2x x3 x � 1� � 1� x5 � 2 � �2 � x x � x x � � lim lim � 1 x�� x � � � �3 � � � 1� � 1� x2 � 2 � x � 1 � � � 2� 2� � x � � x � � x � � x � 1 x x 1 2 x x1 x lim x lim x c) lim x�� x x x�� x x x�� 1 1 2 x x x d) L lim x�� 2x 3 x2 x x � �� x � x x Vậy L xlim �� 2x x2 x � 3� x� 2 � 2 x� 2x 2x � x lim lim lim lim 2 x�� x�� x�� 5 � x�� 2� x 1 x 1 1 x � 1 � x x x x x x � x x � 2x3 x lim x e) lim x x�� x x x�� lim x�� x x � 1� � 1� x3 � 2 � 2 � � x � � lim x � x � � � x�� � 3� x5 � 1 � x2 � 1 � x x � � � x x � � 1� � 1� 2 � 2 � � � � x � lim � x � � � x�� � � 1 � 1 � � � � x x � � x x � � 1� x4 � 2 � f) lim 2x x � x x � x� � lim 1 2x x� � 1 2x lim 1 1 x 2 � x2 x4 lim x x lim � x � � � � � x � � x � � 1 2x � � 2 x x2 x�� Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: a) lim x 1 x� � lim x�� x 2x x2 b) lim x� � x x2 x x 10 c) x2 3x 2x 3x x2 x 3x d) lim x�� f) lim 4x2 1 x e) lim x�� x2 x 3x 4x2 1 x (x3 2x2 )2 x x3 2x2 x2 x� � 3x2 2x LỜI GIẢI a) lim x 1 x�� 2 x x 1 x x x2 x3 (Chú lim lim 1 2x4 x2 x�� 2x4 x2 x�� 2 x x thích: Vì x � � nên x � (x 1) ta được vào dấu b) x x2 x lim x� � lim 1 1 x�� c) x 10 10 x 1 � 1� 1 x x2 � 1 � x x 1 x x 1 x x � � x lim lim lim x�� x�� x�� x 10 x 10 x 10 x 2 (Chú giải: Vì x � � nên x x x ) x2 3x 2x lim lim x�� x�� 3x � 3� x2 � 1 � 2x x 1 2x x � � x lim x� � 3x 3x 1 1 2x x (Chú giải: Vì x � � nên lim x x�� lim 3 x�� 3 3x x x x x ) x 1 x x 3x d) xlim � � 4x2 1 x lim x�� x2 x 3x x2 x 3x x x x x lim x�� 4x2 1 x 4x2 1 x x x x x x2 x 1 3 1 3 x x x x 1 x2 lim x� � 2 1 4x2 1 4 1 x x x x2 lim x�� x x 3x e) xlim � � 4x2 1 x lim x�� x2 x 3x x2 x 3x x x x x lim x�� 4x2 1 x 4x2 1 x x x x x x2 x 1 3 1 2 x x x x 1 x lim lim x�� x� � 1 4x 1 4 1 x x x x �3 � � � 2� 3� x � 1 � 1 � x2 � � x � 3 2 2 f) (x 2x ) x x 2x x � x� � � x� � lim lim 2 x�� x � � 3x 2x 3x 2x 2 � 2� � 2� � 2� 1 � x3 � 1 � x x2 � 1 � x 1 x2 � x � x� � x� � x� lim lim 2 x�� x � � 3x 2x 3x 2x � � � 2� 3 1 � 2� x2 � 1 1� 1 � � �� x � � x � 1 x x � 1 1 � � lim � lim � x�� x�� � � 3 x2 � 3 � x � x� x Ví dụ 3: Tìm giới hạn sau: � 4x4 � x x � 2x2 � � 3 � b) lim � a) lim x � � x � x�� x��� x 2x4 x x � � � � � LỜI GIẢI a) Đặt x x � � y � y I lim y�0 1 2y 1 3y y2 � 1 2y (1 y) 1 3y (1 y) � � lim � 2 y�0 � � y y � � � � y2 y2(y 3) � lim � y�0 � y2 1 2y (1 y) y2(3 (1 3y)2 (1 y)3 1 3y (1 y)2 ) � � � � � y3 � lim � y�0 � 1 y 1 2y 1 3y (1 3y)2 � (1 y) (1 y) � � 1 Vậy I 2 � �2x2 �� � 4x4 x2 � �� � x �� � 4x4 � 2x2 � � � � lim � x � b) lim � x��� x 2x4 x � � x x � � x 2x � � � � � x � � � � � � � � � � 1 x 2 � x 2 � � 4 � 4 � 4 � 4 x � x � x x x 2 � lim � lim � lim � � x��� � x��� x��� x x x2 � 2 � 2 � � 2 � � � � x3 � �x � �x � � � � � � � 2 2 DẠNG 3: � � PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN: Nhân lượng liên hợp sau làm dạng Ví dụ: Tìm giới hạn sau: ( x2 x x) a) xlim �� ( x2 x x) b) lim( x2 3x x) c) xlim �� x�� d) lim( x2 3x x) x�� f) xlim �� x x 2) e) xlim( � � x2 4x x2 3x g) xlim � � x2 4x x2 3x LỜI GIẢI � � 1� � � � x2 x x) lim � x2 � 1 � x � lim �x 1 x � a) xlim( � � � � x� �� x � � � x � � � � x� � � � � 1 � lim � x 1 x � lim x � 1 1� � Chú giải: Vì x � � nên x x��� � x � � � x x � � � � � x x b) lim( x2 3x x) lim x� � x2 3x x2 x� � x 3x x lim 3x x� � � 2� x2 � 1 � x � x x � 3 3x 3x x lim lim lim x�� x� � x�� 3 x 1 x x 1 x 1 x x x x x x Chú thích: Do x � � nên x x x c) xlim � � lim x� � x2 x x x2 x x x2 x x lim x� � x2 x x2 lim x� � x �x x � x 1 x x2 � � x x �x � x x 1 lim lim lim x� � x� � x� � � � 1 x 1 x 1 x� 1 1� � � x x x � � x � � x Chú giải: Vì nên x x x xx 2 � �x2 3x � � � � x2 3x x lim � x2 � �x 1 x � � x � xlim � � x� �� � � x x x � � � � � � � � � � � 3 lim � x 1 x � lim x � 1 1� � � � x��� x � � x x x x � � � � Do x � � nên x x x Có lim lim nên x�� x x�� x d) L xlim � � � � x � Từ suy L � lim � 1 1� xlim �� � � x x � � x�� c) lim( x x 2) lim x�� x�� d) xlim �� lim x� � lim x 2 x x2 4x x2 3x lim lim x�� 0 � 2� x � 1 1 � � x x� � � x2 4x 3 (x2 3x 2) x� � x2 4x x2 3x � 1� x � 1 � x� x � lim x� � � � 3� � 2� 3 x2 � 1 � x2 � 1 � x � 1 1 � x x x x � x x � � x x � � e) xlim �� x� � x2 4x x2 3x lim � � � � x2 4x 3 (x2 3x 2) x� � x2 4x x2 3x � 1� x � 1 � x � x� lim � 3� � � x� � � 3 x2 � 1 � x2 � 1 � x � 1 1 � x x x x � x x � � x x � � � � � � 2k 1 � 4k � bx c ax Nhận xét: Nếu lim � (ax) �hoặc x��� � k� 2k lim � � (ax) bx c ax �(với a > 0, k ��) ta tính trực tiếp khơng nhân x��� � lượng liên hợp Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau: 2� � �3 � a) lim � 4x 3x 2x � b) lim � 8x 2x 1� x��� x��� � � LỜI GIẢI 4x4 3x2 1 4x4 2� � a) lim � 4x 3x 2x � lim x��� � x�� 4x4 3x2 2x2 lim x�� 3x2 � 1� x4 � � 2x x � � x 3 lim x�� x2 4 x x � � � � 3 8x 1 8x �3 � � b) lim � 8x 2x 1� lim � � x��� � x����3 3 �� 8x 1� � 8x 1.2x 4x � � �� � � � � � � � � � � � � � 1 � lim � � lim � x��� x��� 2 � � � � � � 1 1 �x2 � �x2 � � x3 8 2x 4x2 � � 2x2 4x2 � � � x � � � � x � � x x � � � � � � � � � � � � � � 1 � � lim � lim � x�� x��� �� x2 4 4 � �2� � � � 1� � 1� � 8 23 � � � �x � � � �� x � � x � � �� � � �� � � �1 � lim � � x��� 12x � GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VÔ ĐỊNH 0.� PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Giả sử cần tìm giới hạn hàm số h x f x g x x � x0 x � �� f x � g x � �� Ta thường biến đổi theo hướng sau: Nếu x � x0 ta thường viết Nếu x � �� ta thường viết f x g x f x g x f x đưa dạng vô định g x g x � đưa về dạng � f x Tuy nhiên nhiều toán giới hạn loại ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu thức, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn quen thuộc Ví dụ: Tìm giới hạn sau: �1 � x � � a) lim b) lim x 2 x�3 x x � � � � x 3 x3 x LỜI GIẢI �1 1� 3 x 1 lim lim � � � a) lim 3 x�3 x x � x � 3x x 3 � 3� x 3 3x x 3 lim x3 a) L x� ( 1) x lim x 1 x2 x x x�( 1) x 1x x 1 Vì x � 1 � x 1 � x x 1 x x 1 x 1 Vậy L lim x2 x x�(1) b) lim x 2 x� � x lim x�� x x lim x 2 x3 x x�� x�( 1) x 1 x 3.0 � 1� x� 1 � � x � lim x � x� � 3� x � 1 � � x � 1 1 � � x lim 1 x � x��� x� � 1 1 x x 1 lim x2 x x1 x 1� 2� x � 1 � � x � 1 ... � x � � �� � � �� � � �1 � lim � � x��� 12x � GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ DẠNG VƠ ĐỊNH 0.� PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Giả sử cần tìm giới hạn hàm số h x f x g x x � x0 x � �� f x � g ... dạng � f x Tuy nhiên nhiều toán giới hạn loại ta cần thực số biến đổi đưa thừa số vào dấu thức, quy đồng mẫu số, ta đưa giới hạn quen thuộc Ví dụ: Tìm giới hạn sau: �1 � x � � a) lim b)... lim lim GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHI x � � DẠNG 1: Tính giới hạn trực tiếp Ví dụ: Tính giới giới hạn sau: 3x) a) xlim(2x �� b) lim x2 3x x��� c) xlim � � 2x2 x LỜI GIẢI � � 3x)