GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

GIỚI HẠN HÀM SỐ LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1) Giới hạn hàm số điểm: a) Giới hạn hữu hạn: Giả sử  a; b  khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định tập hợp  a; b  \ x0  Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến x (hoặc điểm x ) với dãy số  x n  tập hợp f  x  L  a; b  \ x0  mà lim xn x0 ta có lim f  xn  L Khi ta viết: xlim X f  x   L x  x0 Nhận xét: f  x   lim c c  Nếu f  x  c, x   , c số xlim x x x 0 f  x   lim x x  Nếu f  x  x, x   xlim x x x 0 b) Giới hạn vô cực: Giả sử  a; b  khoảng chứa điểm x f hàm số xác định tập hợp  a; b  \ x0  f  x   với dãy số  x  trog tập hợp  a; b  \ x  mà lim x x  xlim n n x ta có lim f  x   f  x    với dãy số  x  trog tập hợp  a; b  \ x  mà lim x x  xlim n n x ta có lim f  x    2) Giới hạn hàm số vô cực: Giả sử hàm số f xác định khoảng  a;   Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần tới  với dãy số  x n  khoảng  a;   mà lim x n  ta có lim f  x n  L Khi ta viết: lim f  x  L f  x   L x   x   f  x  , Các giới hạn xlim   lim f  x   , lim f  x  L, lim f  x  , x   x   x   lim f  x    định nghĩa hoàn toàn tương tự x   Nhận xét: Áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số, chứng minh rằng: Với số nguyên dương k, ta có: 1 lim x k  lim 0 lim k 0 x   x   x k x   x 3) Một số định lí giới hạn hữu hạn: Định lí 1: Giả sử lim f  x  L lim g  x  M (với L, M   ).Khi đó: x  x0 x  x0  f  x   g  x   L  M  xlim   x0   f  x   g  x   L  M  xlim   x0   f  x  g  x   L.M  xlim   x0   Nếu M 0 lim x  x0 f  x g  x  L M Hệ quả:  c.f  x   c.L  Nếu c số xlim   x0    k k  lim a.x ax0 ( a số k   ) x x f  x  L Khi đó: Định lí 2: Giả sử xlim x f  x  L  xlim x  lim x  x0 f  x  3 L  Nếu f  x  0 với x  J\ x0  , J khoảng chứa x0 , L 0 lim x x f  x  L Chú ý: Định lí định lí thay x  x0 x   x    Định lí 3: (Định lí kẹp giới hạn hàm số): giả sử J khoảng chứa x f, g, h ba hàm số xác định tập hợp J\ x0  Nếu f  x  g  x  h  x  với f  x   lim h  x  L lim g  x  L x  J\ x0  xlim x x x x x 0 Chú ý: Định lí thay x  x0 x   (trong trường hợp thay tập hợp J\ x  khoảng  a;   ) x    (trong trường hợp thay tập hợp J\ x  khoảng   ; a  ) f  x   lim Định lí 4: Nếu xlim x x x 0 0 f  x 4) Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực: f  x   lim g  x  L (với L 0 ) lim  f  x  g  x   Qui tắc 1: Nếu xlim  x0 x  x0 x  x0 cho bảng sau: lim f  x  Dấu L     +  x  x0 lim  f  x  g  x   x  x0       f  x  L,  L 0  , lim g  x  0 g  x   g  x   với Quy tắc 2: Nếu xlim x x x 0 x   a; b  \ x  lim x  x0 f  x cho bảng sau: g  x Dấu g  x  Dấu L lim x  x0     f  x g  x     +    5) Các dạng vô định: Các dạng vô định trường gặp:  , ,0.,     6) Giới hạn bên: a) Giới hạn hữu hạn:  Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0    Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  x n  khoảng  x0 ; b  mà lim x n x0 , ta có lim f  x n  L Khi ta viết: lim f  x  L f  x   L x  x  x  x0  Giới hạn bên trái: Giả sử hàm số f xác định khoảng  a; x0  ,  x0    Ta nói hàm số f có giới hạn bên trái số thực L x dần đến x0 (hoặc điểm x0 ) với dãy số  x n  khoảng  a; x  mà lim x n x , ta có lim f  x n  L Khi ta viết: lim f  x  L f  x   L x  x  x  x0 f  x  L  lim f  x   lim f  x  L Định lí 5: xlim  x0 x x x x 0  Giới hạn vô cực: lim f  x  , lim f  x   , lim f  x   lim f  x    phát biểu tương x x x x x x x x 0 0 tự định nghĩa phần giới hạn hữu hạn Định lí với giới hạn vô cực Các định lí giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vơ cực trường hợp x  x 0 hay x  x 0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN VẤN ĐỀ 1: TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: f  x  ta làm sau: a) Để tìm xlim x  Xét dãy số  x n  thuộc tập xác định D với x n x0 mà lim x n x0  Tìm lim f  x n  : f  x  L  Nếu ta có lim f  x n  L xlim x f  x    Nếu ta có lim f  x n   xlim x f  x  lim f  x  ta làm sau : b) Để tìm xlim   x    Xét dãy số  x n  thuộc tập xác định mà lim x n   Tìm lim f  x n  :  Nếu ta có lim f  x n  L lim f  x  L x    Nếu ta có lim f  x n   lim f  x   x   f  x Hồn tồn tương tự tính xlim  c) Để chứng minh hàm số f  x  khơng có giới hạn x  x0 ta thường làm sau : Chọn hai dãy số  un   v n  thuộc tập xác định hàm số cho u n x , v n x có lim u n lim v n x0 Chứng minh lim f  u n  lim f  v n  hai giới hạn khơng tồn Khi theo định nghĩa ta suy hàm số khơng có giới hạn x  x0 Đối với trường hợp x  x0 , x  x0 , x   , x   ta làm tương tự CÁCH KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH DẠNG 1: Hàm số f  x   P  x Q  x (Dạng thường gặp x  x ) P  x  ,Q  x  đa thức theo biến x PHƯƠNG PHÁP: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau rút gọn biểu thức làm tử mẫu Phân tích đa thức thành nhân tử có phương pháp sau:  Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ  Nếu tam thức bậc hai sử dụng ax2  bx  c a  x  x1   x  x  ,  a 0  với x1 ,x nghiệm phương trình ax  bx  c 0  Sử dụng phương pháp Hoocner Phép chia đa thức P  x  ax  bx  cx  dx  e cho (x  x0 ) theo sơ đồ Hoocner sau: a x0 a b c d b1 ax0  b c1 ax 02 d1 ax03  bx0  c  bx02  cx0  d e Hàng thứ điền hệ số đa thức P  x  từ ô thứ hai đến ô cuối Ở hàng thứ hai ô điền giá trị x nghiệm P  x  , ô thứ hai viết lại a, lấy  x0 a  b    ax đặt vào ô thứ ba, lấy x0  x a  b   c ax0  bx  c điền váo ô thứ tư, lấy  x0 ax02  bx0  c  d ax03  bx02  cx  d điền vào ô thứ năm, lấy x0   bx02  cx0  d  e 0 (bắt buộc tổng phải 0, phép chia hết) Khi P  x  viết lại  P  x   x  x0  ax  b1x  c1x  d1  Ví dụ: Tìm giới hạn sau: x3  x   x  11x  18 a) lim b) L lim  12   d) lim   x  x  x  8 e) lim x x 2x  5x  2x  4x  13x  4x  2x3  5x  4x  x3  x2  x    1  f) lim   x   x  3x  x  5x    x3 x  4x  LỜI GIẢI  c) lim x  3 a).Ta có x  x   x   x  2x  (áp dụng đẳng thức), x  11x  18  x    x   (với x1  x  hai nghiệm phương trình x  11x  18 0 )    x   x  2x  x3  x  2x  12  lim  lim  x   x  11x  18 x  x  x9  x  2  x  9 Do lim 2x  5x  2x  x  4x  13x  4x  Thay x 3 vào tử mẫu thấy 0, nên x 3 nghiệm hai đa thức mẫu tử Có nghĩa (x  3) nhân tử chung, ta phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử phương pháp Hoocner Cách làm sau: b) L lim  2 Phân tích tử số: 2x  5x  2x   x   2x  x   Kẻ bảng sau Sau điền hệ số số hạng với số mũ giảm dần vào ô hàng với ô thứ để trống Ở hàng thứ hai: điền giá trị làm đa thức chữ số Ô thứ hai điền lại giá trị ô thứ hai hàng xuống (ta thường hay nói “đầu rơi xuống”), sau lấy 3.2  (  5) 1 điền chữ số vào ô thứ ba, lấy 3.1  (  2) 1 điền chữ số vào ô thứ tư, cuối lấy 3.1  (  3) 0 điền vào ô cuối 2 -5 -2 -3  2 Phân tích mẫu số: 4x  13x  4x   x   4x  x  4 -13 -1  x    2x Do L lim  x    4x x c) L  lim 2 x  -3  lim 2x 4x  x  1  x 1 2x3  5x  4x  x x  x  x Ta thấy 2  x  11   x  17   lim 2x  5x  4x  0 x  ta phải phân tích tử mẫu thành nhân tử để khử vơ định Phân tích nhân tử phương pháp Hoocner   lim x  x  x  0 dạng giới hạn vô định x   2 Phân tích tử số: 2x  5x  4x   x  1 2x  3x  1     2 Phân tích mẫu số: x  x  x   x  1 x  0x   x  1 x  1 1 1 1  1  x  1  2x2  3x  1 2x  3x  L  lim  lim Từ , ta thấy lim  2x  3x  1 0 2 x   x  x   x 1  x    x  1 nên phân tích thành nhân tử tiếp, ta  x  1  2x  1  lim 2x   2x  3x   lim làm sau: L  lim x  x    x  1  x   x  x  x 1   lim x  0 ta cịn dạng vơ định x  d) Bước ta phải quy đồng mẫu, sau phân tích đa thức tử thành  12   nhân tử rút gọn hạng tử vô định L lim   x  x  x  8   (x  2)(x  4) 12 x  2x  lim lim    lim  2 x  (x  2)(x  2x  4) x  x  (x  2)(x  2x  4)  x (x  2)(x  2x  4)  lim x x4  x  2x  2 e) L lim x 1  x3   Phân tích tử số  x   x   x  x Phân tích mẫu số x  4x  Hoocner: x  4x  x  0x  4x  0x  3 4 3 3 1  Do x  4x   x  1 x  x  3x      x  x2    x    x  x2  lim  Từ L lim x  x  x  x  3x     x x  x  3x      1 1  lim    f) L lim   x   x  3x  x    x  1  x   x  5x    x    x      x  2 lim  lim x  x   x  1  x    x    x  1  x   DẠNG 2: Hàm số f  x   P  x Q  x P  x  ,Q  x  biểu thức có chứa thức theo biến x PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Nhân lượng liên hợp  a  b2 a  b  ab  a  b2  a  b   a  b     a  b2 a  b  a b   a b  a  b3 a  b3  ab  a  ab  b a  ab  b 2   a  b  a  a.b  b  a  b3     3a b 2 3 a  a.b  b2 a  a.b  b          a  b    a   a.b  b   ab     a b   a   a.b  b  a   a.b  b   a  b   a  a b   b    a  b     a b  a  a b   b  a  a b   b  3 3 3 2 3 3 3 2 3 3 2 3  a  b   a  b   a b    a b  a  a b   b  a  a b   b    a  b    a   a b   b    a b     a b  a   a b   b   a   a b   b    a  b    a   a b   b    ab     a b  a   a b   b   a   a b   b  3 2 3  a b  3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Bước 2: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau rút gọn hạng tử chung tử mẫu Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau : a) lim x d) lim x g) lim x x3  x b) lim x x2  x  x  2x   x  2x  x  4x  c) lim x x2  x    x x4  x e) lim x 7  4x   2 x x  49 3x  f) lim x h) lim x x3  x2  2x x 1 3 x x 1  3x  2x   x 6 LỜI GIẢI a) lim x x3  x   22 x 1 lim lim lim  x x x x x3 2  x  1 x    x  1 x       2 x  (x  3) 7 x lim lim b) lim x x  x  x  49 x  49  x   x  7  x 7  x    lim x 1  x  7   c) lim x lim x x      56     x  2x   x  2x  x  2x   x  2x   lim x x  4x  x  4x  x  2x   x  2x      x  3  x  1  x    2 x  2x   x  2x   lim x  4  x  1  2 x  2x   x  2x    x2   x 7     lim  x    x   2  x  2  x2  d) lim x lim x x 7   x   2 x 7 3 x 7 3 x 2 x 7  3  x2 2 lim x   x2  x     x  x2  x    x lim e) lim x  x  x4  x x4  x x2  x    x lim x  x  2x   x x3   x x  x 1 x 3 x   x  2 x 3x  x3  x  x  1 x  x  0   x2  x    x   x   2x   x    x  x  x    x   x   2x  x   2x 4x   g) lim  x  lim x  3 x   x  1 lim  x2  x    x 2x x 1   x  2 x  x2  f) lim lim x2  x    x x 1 lim x         lim x  x  3 x  x   2x     4x   3x    x    x  x     4x   3x   lim  x  1  x    lim x x     4x   3x   x lim x3 2  4x   3x  h) lim x x 1  3x  2x   x6 lim   x  3   x  3  x  lim   2x   x    3x    x   3x   2x   x  x 1  x Ví dụ 2: Tìm giới hạn sau : a) lim x 4x  x d) lim x x1 x  1 b) lim x  e) lim x 10  2x  x  x  3x  2x   c) lim x x1 x x 1 f) lim x LỜI GIẢI x  27 4x2  28 4x   x a) Ta có  4x    4x      4x     4x  4x            4x   4x   23  A  4x   x    A A A Do lim x b) Ta có  x  2 4x  2 lim lim  x   x   A x A x 2  4.2    4.2  10  2x   x  1  10  2x  x     10  2x              2 10  2x  x  1   x  1     10  2x x   x                      10  2x       A  10  2x   x   3x3  3x2  3x   x  1 x  2x          A A A   Và có x  3x   x  1  x   Do lim 10  2x  x  x  x  3x    x  1 x  2x   lim  x  1  x   A x   x  2x   lim  x   A x  c) Ta có x     (x  1)    3    3.6  12 4x  28 2  3 4x  28    x  1   x  1 4x  28   4x  28         x  1   x  1 4x2  28   4x2  28                    A 3   4x  28  x   x  2x     x  x  3x  27    A A A x  27 3 Và x  27 x   x   x  3x  Do lim x x   4x  28  x  1    x    x2  3x   x  x  x  2x     lim A x lim x    3x  A x  2x   27.48 54 24  d) Có  x  1  x1     x   x  1  x   x    A A , x  x         3 3 3 A   x    x   x   1    x  1  x   x  1               x  1  B  x B B x B x1 lim A lim  1 Từ lim x  x  x x   x A B  2x   x  2x   2x  x   3 e) Có 2x   x  2 2x   2x  x  x                      A   3    x 2x  3 x A x x x 1 lim A lim  x x  x A A Do lim x 2x   x1 x  x  1 x 1 x 1 f) Có  4x     4x    4x   4x    4x    4x    4x   1 4x   1  x  1  4x 3 1  4x  3 1  A A Do 4x   lim lim x x x  x  1 A x lim x 4  1 A   x 2   DẠNG 3: Thêm bớt số hạng biểu thức vắng để khử dạng vô định: k Các dạng hay gặp lim f  x  k g  x  c x  x0 x  x0 k lim f  x  m g  x  c x  x0  x  x0  n k lim f  x  m g  x  c x  x0 x  x0 Trong k, m, n   * n min(k,m) PHƯƠNG PHÁP: Thông qua ví dụ sau, ta rút phương pháp giải: Ví dụ 1: Tìm giới hạn sau : 2x   5x   x a) lim x c) lim 2x  4x  11  b) lim x 2 d) lim 5x   x  x   2x  x x x 7 x2  x 3x   5x  x LỜI GIẢI a) Ta có x    2x   5x    dạng vơ định f  x  c , ta phải tách dạng lim g  x  m 0 cho giới hạn x x x nhân lượng liên hợp khử dạng vô định Kỹ thuật ta thay x 1 vào 2x  2 5x  3 nên số    tách thành        gom lại sau : x   lim    2x    5x   2x   5x   lim x x x x 2x   5x   Sau tính giới hạn lim  lim x x x x lim 2x   lim x x  Tính L1 lim x lim x  2x   x  1   x 5x   x  1  Kết luận lim x lim  x  9 5x   lim  x 2x    x  1   2x   2x   2  x  1  x  1  5x   lim x x x lim 4 2x    Tính L lim    2x   5x    x  1    x 5x    x  1  x  1  5x   2x   5x   5    x  lim 5x      2x   2   lim x 5  5x   3 3x   5x  Ta dễ dàng thấy dạng vô định tử số có x x hai thức khác loại, nên ta phải thêm bớt số c cho đưa b) L lim dạng lim f  x  c g  x c giới hạn tính giới hạn khử x x x dạng vô định phương pháp nhân lượng liên hợp x  lim Kỹ thuật 1: Thay x 2 vào 3x  5x  Suy giá trị ta cần thêm bớt Kỹ thuật 2: Cho x  0  x 2 sau giải hệ  3x  2 3x  8 x 2    c 2 giá trị cần thêm bớt   5x  4 x 2  5x  2    3 3x     5x  Cụ thể làm sau: L lim 3x   5x  lim x x x x 3x   2  5x  lim  lim x x x x 2   3x    3x   3x    3x     L lim lim x Tính x x    x    3x   2.3 3x                        A lim x  x  2  x   A Tính L lim lim 2  A    x  2  x  2      5x   5x  5x   (5x  6)   x  x    5x   x    5x   x  x 5x  5    5x      5 Do L L1  L    4 c) L lim x 2x  4x  11  x 7 , tương tự câu b) thay x 2 vào x 4 x  Như giá trị cần thêm bớt, cụ thể   2x  4x  11        L lim  x x 4 x 7  lim x 2x  4x  11  x 4 2x  4x  11  lim x 3 x 7 x 4  Tính L lim 2x  4x  11  x x2   2x  4x  11     2x  4x  11   3 2x  4x  11              lim x   x    2x  4x  11   2x  4x  11                           A  2x  4x  11   27    x  2  x  4  x  4 2x2  4x  16  lim  lim lim lim  2 x x x   x    x   A x   x   A x  A x  A      Tính: L lim 3 x2  x lim x x 7 lim x 2 x  x  2  x  2   x 7    x    x    x  4   x   1 lim  x  2   x x 7   24 1  Do L L1  L   24 72 2 d) lim 5x   x  x   2x  Ta thấy x  tử mẫu x x  nên thuộc dạng vô định Kỹ thuật giải giống câu a, b, c Bước thay x 1 vào x  x  thay x 1 vào L lim x L lim x   5x   x2  x   2x   3 lim  lim x x x x x x x 2x  Nên giới hạn viết lại 5x     x  x      2x        x  Tính L1 lim lim 5x  2, thay x 1 vào 5x   lim x x  x  1  x  1  5x    lim x  5x     x  1  5x   5  5x   5x      x2  x    x2  x    Tính L lim lim  x x x  x  1    x  x      x  x      x  1  x   x2  x  x2 lim lim  x  x  1  x2  x    x  x  1  x2  x    x x2  x   lim  2x     2x       2x     lim  Tính L lim x x x    x  1  2x     x  1  x  1  x  1 2x  lim lim 2 x  2x    x x   2x    x  2x2   x            lim 17 Từ suy L L1  3L  5L3    10  4 Ví dụ *: Tính giới hạn sau: a) lim  4x   6x 8x  x  6x   9x  27x  27 x3 x 2x2  6x   b) lim x x2 x c) lim 3 3x  9x   x  2 d) lim x 6x   x x3  x2  x  LỜI GIẢI Cách khử vô định k f  x  m g  x dạng lim ta phải thêm bớt biểu thức n x  x0  x  x0  h  x  cho liên hợp tử xuất lượng nhân tử  x  x0  n sau khử vô định Cách làm sau: k L  lim f  x  m g  x n x  x0  lim  k   f  x  h  x  h  x  m g  x  n x x  x  x0   x  x0   k f  x   h  x    lim  h  x   m g  x    u  x  x  x0  n  v  x   x  x0  n  lim n n n n x x x x  x  x0   x  x0   x  x0  P  x   x  x0  Q  x  Trong P  x  lượng liên hợp  k f  x   h  x   Q  x  lượng liên hợp  h  x   0 m  g  x  Cụ thể qua ví dụ bạn hiểu rõ a) Phân tích hướng giải, bước ta phải thêm lượng h  x  có nghĩa  4x  lim x  h  x   lim    x  6x    lim   4x  h  x   x2 x  x  4x  h  x   6x x2  4x  h  x  x  4x  h  x   h  x   x Tính L lim   lim x x  6x  , ta có   4x  h  x    4x  h  x   4x  h  x  ta phải tìm hàm h  x   4x  h  x   4x  h  x  cho h  x  phải xuất   4x  Ta phân tích 2  4x  h  x    2.1.(2x)   2x  h  x     2x  h  x   h  x  1  2x Đến tốn xem hồn thành (vì phương pháp nhân lượng liên hợp bạn thành thạo ví dụ trên) Cách làm cụ thể : lim  4x  x  lim   x2    2x   x x  6x  Tính L1 lim  x lim x  4x x2      2x    lim  x  4x    2x   4x    2x  lim   4x    2x   x2  x2 4  x  4x    2x  x  lim  6x  4x    2x     2x    6x x  lim x  4x    2x  x2    4x    2x   4x    2x    lim   4x    2x   x   4x   4x  4x lim  x x2 x    4x  4x    2x      2x    Tính L lim  6x  x2    2x    6x     2x     2x   6x     x lim   6x    6x   6x  2   2  x    2x     2x                      x A lim   2x     6x   6x  12x  8x  (1  6x) lim lim x x x A 4x   2x  x A   2x  lim 4 x A Do L L1  L   2 x b) L lim x 2x2  6x    x  2 3x  9x  x A Để dễ thêm bớt ta nên đặt x  t  x t  x   (x  2)  t  Suy 2(t  2)2  6(t  2)   L lim 3(t  2)2  9(t  2)  t2 t lim 2t  2t   3t  3t  t2 t đến ta phải thêm bớt lượng h  t  để tử phải xuất lượng t u  t  Ta bắt đầu thực  2t  2t   h t    h t  3t  3t            L lim  t t  2t  2t   h t   h t  3t  3t              lim  lim 2 t t  tt Phân tích  2t  2t   h t   2t  2t   h t   2t  2t   h t                L1 lim  lim t t t2 t  2t  2t   h  t     lim t 2t  2t   h  t  ta phải tìm hàm h  t  cho h  t  phải   t  2t  2t   h  t     xuất lượng  2t  1 Ta thực sau:  2t  h  tt  2t2  h t    t  1 h  t   h  tt 1 mấu chốt tốn ta giải xong Ở ta lại lấy giới hạn đầu để phân tích? Thật lấy giới hạn thêm bớt phải lượng h  t  , ta tìm bớt lượng h  t  giới hạn đầu giới hạn sau hiển nhiên phải nhận thêm lượng h  t  Và tìm hàm h  t  lấy giới hạn có thức bậc hai dễ nhân lượng liên hợp  2t  2t   t     t          Cách làm cụ thể này: L lim  t t2 3t  3t     2t  2t   t    t   3t  3t             lim  lim t t t2 t2  Tính  2t  2t   t    2t  2t   t    2t  2t   t                L1 lim  lim t t t2 t  2t  2t    t  1     2t  2t    t      t2 1  lim  lim lim  t  t  t 2   2t  2t    t  1 t 2t  2t    t  1 t 2t  2t    t        t 1     Tính L lim  3t  3t    t t  t   3t  3t    t   t  3t  3t    3t  3t                   lim t   23t    tt2   1  t  1 3t  23t 1  3t                           A 3   3t  3t     lim tt lim 0 lim t t  t A t A t A 1 Kết luận L L1  L    2  t  1 c) lim 8x  x  6x   x tìm lượng h  x  Có x3 9x  27x  27 Tương tự câu a b trước tiên ta phải  8x  x  6x   h x   8x  x  6x   h x          8x  x  6x   h  x    8x3  x2  6x   h  x   8x  x  6x   h  x  8x  x  6x   h  x  có nghĩa h  x   x   tương đối dễ, ta thấy x  6x   x    h  x   x   Cách làm cụ thể sau:  8x  x  6x   (x  3)    (x  3)  9x  27x  27      L lim  x x  8x3  x2  6x   (x  3)  (x  3)  9x  27x  27        lim  lim  3 x x  x x  8x  x  6x   (x  3)     Tính L1 lim  x x  8x  x  6x   (x  3)   8x  x  6x   (x  3)      lim  x x  8x  x  6x   (x  3)                A lim 8x  x  6x    x   x x A  (x 3)    Tính L lim   x  3 x A lim x   9x  27x  27 8   A  2  x   x     x   9x  27x  27   9x  27x  27                             x 1  B 27 x B 37  Kết luận L L1  L   27 27 x x3 B lim 8x3 9x  27x  27   x x lim x lim lim x d) lim 6x   x x x  x  x 1  2 Mẫu số phân tích x  x  x  x  x  1   x  1   x  1 x   x  1  x  1 , nên giới hạn viết lại L lim x Đặt t x  nên L lim tt2   t lim x 6x   x x3  x2  x   lim x (x  1)  x x3  x2  x  lim x 6(t  1)2  t   lim t  x    x  1 6t  12t   t  tt 22   6x   (x  1)  (x  1)  x x3  x2  x  6x   x lim x  6x   (x  1) x3  x2  x  ... Các định lí giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vơ cực trường hợp x  x 0 hay x  x 0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN VẤN ĐỀ 1: TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ BẰNG ĐỊNH NGHĨA: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: f  x... , ,0.,     6) Giới hạn bên: a) Giới hạn hữu hạn:  Giới hạn bên phải: Giả sử hàm số f xác định khoảng  x0 ; b  ,  x0    Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải số thực L x dần đến x0... giới hạn đầu để phân tích? Thật lấy giới hạn thêm bớt phải lượng h  t  , ta tìm bớt lượng h  t  giới hạn đầu giới hạn sau hiển nhiên phải nhận thêm lượng h  t  Và tìm hàm h  t  lấy giới