SKKN sử dụng phương pháp trượt điểm để tính khoảng cách

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góchạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy + Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính

1.MỞ ĐẦU.

1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán lớp 11,12 bài toán khoảng cách trong môn hình học không gian chiếm một vị trí rất quan trọng Đặc biệt trong các đề thi THPT quốc gia hiện nay rất nhiều học sinh có khuynh hướng chọn ngẫu nhiên các phương án các bài tập hình học, đặc biệt là các bài toán liên quan đến tính khoảng cách

Trong sách giáo khoa và các loại tài liệu tham khảo bài tập về tính khoảng cách rất nhiều, nhưng những tài liệu này chỉ cung cấp lời giải chứ không có hệ thống và cung cấp phương pháp giải chi tiết Với mục tiêu cung cấp cho học sinh một phương pháp giải chi tiết và một phương pháp học phần khoảng cách để các

em học sinh có thể có thêm một hướng tiếp cận các bài tập khoảng cách dễ dàng hơn Trong đề tài này tôi sẽ cung cấp cho các em một phương pháp làm nhanh và

dễ dàng hơn cho các em

Với giáo viên do thời lượng trên lớp tương đối ít vì vậy việc hệ thống và làm

rõ cách tính đối với bài toán khoảng cách cho học sinh là không nhiều

Đối với học sinh do tâm lí ngại học hình nói chung và hình học không gian nói riêng dẫn đến tâm lí là chọn ngẫu nhiên các phương án trả lời trong đề thi

Trước các lí do trên, tôi quyết định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang

tên: “Cách giải nhanh các bài toán khoảng cách hình học không gian 11 bằng

kĩ thuật trượt điểm” nhằm cung cấp cho học sinh một cái nhìn tổng quát và có hệ

thống về bài toán tính khoảng cách trong không gian, một hệ thống bài tập đã được phân loại từ dễ tới khó một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e

sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay

ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán

Mặc dù vậy, vì điều kiện thời gian còn hạn chế nên sự phân loại có thể chưa được triệt để và chỉ mang tính chất tương đối, rất mong được các bạn bè đồng nghiệp góp ý kiến chỉnh sửa để đề tài này được hoàn thiện hơn

1.2 Mục đích nghiên cứu

Tôi nghiên cứu đề tài này với mục tiêu:

- Giúp các em học sinh có thêm một cách tiếp cận nữa đối với bài tập tính khoảng cách trong môn hình học lớp 11

- Tạo cho các em có thêm sự hứng thú trong quá trình học tập bộ môn

- Giúp các em giải nhanh hơn các bài toán khoảng cách trong đề thi trắc nghiệm

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 11 trường THPT

Tôi thực hiện đề tài này trên 3 lớp:

Lớp thực nghiệm: 11B2 trường THPT Yên Định 2

2 lớp đối chứng: 11B6, 11B7 trường THPT Yên Định 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu lý luận:

+ Thông qua việc nghiên cứu tài liệu sách tham khảo, các SKKN của đồng nghiệp liên quan đến đề tài

+ Nghiên cứu lý luận về đổi mới trong dạy học môn Toán nói chung và trong dạy học hình học không gian nói riêng theo hướng giúp học sinh hoạt động phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề

+ Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Toán 11, mục đích yêu cầu dạy học hình học không gian ở trường phổ thông

- Phương pháp điều tra thực tiễn nhằm xác định những thuận lợi, khó khăn của học sinh trong việc liên hệ những kiến thức tương tự giữa hình học không gian

và hình học phẳng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề trong dạy học hình học không gian lớp 11

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến.

A Cơ sở lí thuyết

Chú ý: Công thức tính đường cao của tam giác

vuông:

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH

Khi đó:

2

B

H

2 2 2

AH AB  AC

Suy ra:

AB AC

AH





a Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm M và đường thẳng d Gọi H là hình chiếu của M trên d Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường

thẳng d Kí hiệu d(M,d)

* Nhận xét

-  N d,MNd(M,d)

- Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của M trên  và tính M

+ Áp dụng công thức

b Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của O trên () Khi đó khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng () Kí hiệu d O( ,( ))

* Nhận xét

- M( ), OM d O( ,( ))

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một

trong các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

* Phương pháp chung.

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH   ( H  ) Khi đó d O( ,( )) OH Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Cách 2 Sử dụng phép trượt đỉnh ( đây là phương pháp tính nhanh và phương pháp chính của chuyên đề này )

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi O', ta quy việc tính d O( ,( )) về việc tính

( ',( ))

d O  Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì

( ;( )) ( ;( ))

d M  d N 

Kết quả 2 Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N

không trùng với I) thì

( ;( )) ( ;( ))



Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì ( ;( )) 1 ( ;( ))

2

nếu I là trung điểm của MN thì ( ;( )) d M  d N( ;( )) ( Chúng ta sẽ cố gắng trượt khoảng cách cần tính đến chân đường cao của hình chóp)

Thay vì việc chúng ta phải đi dựng và tính khoảng cách rất khó, thì phương pháp trượt đỉnh sẽ chuyển về việc tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt bên

c Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

4

Cho điểm đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu d( ,( )) 

* Nhận xét

- M ,N( ), MN d ( ,( )) 

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

d Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu d(( );( )) 

* Nhận xét

- M( ), N( ), MN d (( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

e Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi

là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu d a b( , )

* Nhận xét

- M a N b MN d a b ,  ,  ( , )

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

+ Tìm H và K từ đó suy ra d a b( , )HK

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó ( , ) ( ,( ))

d a b d b P

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

( , ) (( ),( ))

d a b d P Q

* Đặc biệt

- Nếu a b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó

( , )

d a b IH

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

* Các phương pháp tính:

Cách 1: Dựng đoạn vuông góc chung suy ra tính đoạn vuông góc chung

Cách 2: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:

B1: Dựng mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng b song song với a

( hoặc dựng mặt phẳng đi qua a song song với b )

Suy ra: d(a,b)= d(a, (P)) = d ( M, (P)) Với M là điểm bất kì trên a

Tuy nhiên khi dựng mặt phẳng song song thì chúng ta lưu ý:

+ Những đường thẳng nằm trên mặt đáy chúng ta giữ nguyên

+ Chỉ dựng mặt phẳng đi qua đường thẳng không nằm trên đáy

+ Cuối cùng trượt về khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng

B2: Dựng hình chiếu M của chân đường cao lên giao tuyến

B3: Dựng hình chiếu H của chân đường cao lên SM

Suy ra khoảng cách

2.2.CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ

I) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

Cách dựng khoảng cách từ chân đường cao tới mặt bên.

Bước 1: Xác định giao tuyến.

Bước 2: Dựng hình chiếu M của chân đường cao O lên giao tuyến

Bước 3: Gọi H là hình chiếu của O trên SM

Suy ra: SH là khoảng cách từ O đến mặt bên.

Dạng 1: Hình chóp có các cạnh bên vuông góc với đáy.

Suy ra đường cao là đường hạ từ đỉnh đến tâm của mặt đáy

Ví dụ 1:

6

M

K O

D

A

S

H

P G

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O Cạnh bên bằng 2a Gọi M,N,P,G lần lượt là trung điểm của SA, AD, BO, và trọng tâm tam giác ABD Tính khoảng cách từ O, M, N, P, G đến mặt phẳng (SDC)

Lời giải:

O là chân đường cao của hình chóp Muốn dựng khoảng cách từ O đến mặt bên (SDC) chúng ta thực hiện các bước theo quy tắc sau:

Bước 1: Xác định giao tuyến ( giao tuyến của mặt bên ( SDC) với đáy là DC)

Bước 2: Gọi K là hình chiếu của O trên DC ( K là trung điểm DC)

Bước 3: Gọi H là hình chiếu của O trên SK

Bước 4: Chứng minh OH vuông góc với (SDC) ( tự chứng minh)

Suy ra:

( ,(SDC)) OH SO OK

d O



Tính SO ?

2

4

Tính OK ?

OK

2

a



Tính OH?

Thay vào công thức trên ta được OK 210

30

a



* d(M,(SCD))=?

Vì OM//SC => OM//(SCD) => d(M,(SCD)) = (O,(SCD)) 210

30

a

* d(N,(SCD))=?

Vì ON//CD => ON//(SCD) => d(N,(SCD)) = (O,(SCD)) 210

30

a

M

S

D

G P H

* d(P,(SCD))=?

Dễ thấy:

3

2

( ,( )) ( ,(SCD))



* d(G,(SCD))=?

Dễ thấy:

4

3

( ,( )) ( ,(SCD))



Nhận xét:

* Trong quá trình tính khoảng cách từ các điểm M,N,P,G đến mặt phẳng(SCD) chúng ta không đi dựng khoảng cách và tính khoảng cách trực tiếp từ các điểm này đến mặt phẳng (SCD) Mà chúng ta đã trượt các điểm này đến điểm O là chân đường cao của hình chóp và chúng ta dễ dàng tính được khoảng cách từ các điểm M,N,P,G đến mặt phẳng (SCD)

* Đối với hình chóp điểm đặc biệt quan trọng trong việc tính khoảng cách đó chính

là chân đường cao của hình chóp vì vậy tôi chia ra thành 3 dạng hình chóp thông thường trong các đề thi và bài tập để các em có thể dựng hình nhanh chóng và tính khoảng cách được dễ dàng

Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc

với đáy

=> Đường cao của hình chóp là cạnh bên

vuông góc với đáy.

Ví dụ:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình

vuông cạnh a SA vuông góc với đáy, SA=2a

Gọi M,N,P,G lần lượt là trung điểm của SD,

8

DC, OA và trọng tâm của tam giác ADC Tính khoảng cách từ A,M,N,P,G đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải:

Nhận xét:

A chính là chân đường cao của hình chóp

Từ A dựng hình chiếu lên mặt phẳng (SBC)

B1: Giao tuyến của mặt phẳng(SBC) với mặt

đáy là BC

B2: Từ A dựng vuông góc lên giao tuyến

( được điểm B)

B3: Gọi H là hình chiếu của A trên SB

=> AH =d(A,(SBC))

( Dễ dàng chứng minh điều này)

* d(A,(SBC)) = AH

( ,(S C)) H

5

 Bây giờ tính khoảng cách từ các điểm còn lại tới mặt phẳng (SBC) chúng ta chỉ cần sử dụng phương pháp trượt điểm

* d(M,(SBC))=?

a

* d(N,(SBC))=?

a

* d(P,(SBC))=?

( ,(S C)) ( ,( ))

a

* d(M,(SBC))=?

a

* d(G,(SBC))=?

a

Một ví dụ nữa cho thấy tính hiệu quả của phương pháp trượt điểm để tính khoảng cách trong hình học không gian.

Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy

=> Đường cao của hình chóp là đường cao của mặt bên vuông góc.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M,H,N,P,G lần lượt là trung điểm của SD, AD, DC, OA và trọng tâm của tam giác ADC Tính khoảng các từ H,M,N,P,G đến mặt phẳng (SBC)

Lời giải:

Nhận xét:

Với mô hình, hình chóp này đường cao của

hình chóp chính là đường cao của tam giác

SAD => SH chính là đường cao của hình

chóp.

Bây giờ chúng ta đi dựng và tính khoảng

cách từ H đến mặt phẳng(SBC) các điểm còn

lại chúng ta sử dụng phương pháp trượt điểm

về điểm H để suy ra khoảng cách

Các bước dựng khoảng cách từ H tới mặt (SBC)

B1: Giao tuyến của (SBC) và đáy là BC

B2: Gọi K là hình chiếu của H trên BC lúc này K chính là trung điểm của BC

B3: Gọi I là hình chiếu của H trên SK

Dễ dàng chứng minh được HI là khoảng cách từ điểm H tới mặt phẳng (SBC)

* d(H,(SBC)) =?

Xét tam giác vuông SHK có :

10

K

M

O

D

S

G

P H

I

3

2

a

SH 

HK a

( ,(S C))

7

 Bây giờ chúng ta sử dụng phương pháp trượt điểm về điểm H để tính khoảng cách

từ các điểm M,N,P,G đến mặt phẳng (SBC)

* d(M,(SBC))=?

a

* d(M,(SBC))=?

a

* d(P,(SBC))=?

a

a

K M

O

D

S

G

P H I

Như vậy chỉ với phương pháp trượt điểm chúng ta đã dễ dàng tính khoảng cách từ các điểm đến một mặt phẳng bằng cách trượt các điểm về chân đường cao của hình chóp

Phương pháp trượt điểm này thực sự hiệu quả trong các bài thi trắc nghiệm,

để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì các em cố gắng trượt điểm cần tính khoảnh cách đến chân đường cao của hình chóp

II Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Phương pháp tính:

PP1: dựng ngay đoạn vuông góc chung nếu trong đề bài nhận thấy có một mặt

phẳng đi qua đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng chứa đường thẳng kia

PP2: Muốn tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta đi dựng mặt

phẳng (P) chứa đường thẳng b và song song với a

Khi đó: d(a,b) =d(a,(P)) =d(M, (P))

Với M là điểm bất kì trên đường thẳng a

Sau đó dùng phương pháp trượt điểm để trượt về chân đường cao của hình chóp Trong khuôn khổ để tài này tôi xin nhấn mạnh phương pháp tính thứ 2

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 (Đề thi Đại học khối A năm 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

DM và SC theo a.

Lời giải.

Nhận xét:

* DM và SC có những đặc điểm sau:

DM là đường thẳng thuộc mặt đáy vì vậy

chúng ta sẽ giữ nguyên đường thẳng này

H

C

D

S

K

* SC không thuộc mặt đáy nhưng điểm C thuộc mặt đáy vì vậy chúng ta sẽ dựng đường thẳng qua C

Hướng dẫn giải cụ thể:

B1: Dựng hình bình hành CDME như hình vẽ

Suy ra: DM//CE

=> DM // (SCE)

=> d(DM, SC) = d(DM, (SCE))=d(H,(SCE))

(Bằng khoảng cách từ điểm bất kì trên DM đến mặt (SCE) Trong bài này ta nên chọn ngay chân đường cao H)

Vì CE//DM

Mà DM  NC suy ra: HCCE

Bây giờ đi dựng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCE)

B1: Giao tuyến là CE

B2: Hình chiếu của H trên CE là C

B3: Gọi K là hình chiếu của H trên SC

( Dễ dàng chứng minh HK là khoảng cách từ H tới (SCE))

Vậy: d DM SC( , ) d(H,(SCE)) HK HS2.HC 2



Để tính khoảng cách lúc này chúng ta chỉ cần tính HC nữa là xong

5

HC

CN

2 57 19

HK





 ,  2 57

19

a

d DM SC 

* Như vậy trong bài tập này chúng ta sử dụng ngay chân đường cao mà không cần trượt điểm

Ví dụ 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC và AD Tính

a d(BN, SC)= ?

b d( MN, DC)=?

Lời giải:

(Nhận xét: Đây là dạng hình chóp thứ 3 có

mặt bên vuông góc với đáy => đường cao là

đường cao của mặt bên vuông góc với đáy.)

Gọi H là trung điểm của AB Theo bài ra

=> SH là đường cao của hình chóp

Dựng hình bình hành NBCE ta có:

BN//CE => BN//(SCE)

=> d(BN,SC) =d (BN,(SCE)) = d(B,(SCE))

( Bây giờ chúng ta sẽ trượt khoảng cách từ điểm B đến

điểm H )

Dễ dàng ta có:

4

5

BI

HI 

=> d(B,(SCD))= 4

5 d(H,(SCD)) Dựng khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCE)

Ta có SCCE

Gọi K là hình chiếu của H Trên SC

Suy ra: HK là khoảng cách từ H đến mặt phẳng(SCE)

2

HK



14

E N

M

H

D

A

S

K

H I

E N

B

C