Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (Luận văn thạc sĩ)

Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

HOÀNG THỊ HOÀNG ANH

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC

VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THÁI NGUYÊN - 2018

Mục lục

1.1 Đồng nhất thức lượng giác 1

1.1.1 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm sin và cosin 1

1.1.2 Một số đồng nhất thức liên quan đến hàm số tang và cotang 5 1.2 Tính chất của các hàm lượng giác ngược 9

Chương 2 Bất đẳng thức trong lớp các hàm lượng giác và lượng giác ngược 13 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác 13

2.1.1 Bất đẳng thức sinh bởi hàm cosin 13

2.1.2 Bất đẳng thức sinh bởi hàm sin 15

2.2 Bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác ngược 19

2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arcsin và arccosin 19 2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức giữa lớp hàm arctan và arccotan 23 Chương 3 Một số dạng toán liên quan 28 3.1 Các bài toán cực trị trong lượng giác 28

3.2 Phương pháp lượng giác trong đại số và hình học 35

3.2.1 Phương pháp lượng giác trong đẳng thức 35

3.2.2 Phương pháp lượng giác trong bất đẳng thức 41

3.2.3 Phương pháp lượng giác trong phương trình, bất phương trình 44

3.2.4 Phương pháp lượng giác trong hình học 50

3.3 Một số dạng toán liên quan từ các đề thi Olympic 60

iii

MỞ ĐẦU

Chuyên đề lượng giác là một trong những chuyên đề quan trọng ở bậc trung họcphổ thông Tuy nhiên, do giảm tải về nội dung mà các vấn đề sâu sắc liên quanđến lượng giác ngược không còn được đề cập trong sách giáo khoa

Lượng giác không chỉ là đối tượng nghiên cứu mà còn là công cụ đắc lực trongnhiều lĩnh vực khác của toán học Một trong những phương pháp được sử dụngtrong đại số là khảo sát các tính chất của đa thức lượng giác để áp dụng trong cácbài toán ước lượng đánh giá đa thức và phân thức hữu tỷ, các tính toán liên quanđến đạo hàm và tích phân của biểu thức đại số

Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, Olympic Toán sinh viên, các bài toánliên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức và bài toán cực trị liênquan thường xuyên được đề cập Những dạng toán này thường được xem là thuộcloại khó, nhiều dạng toán cần tới phần kiến thức về nội suy đa thức lại không nằmtrong chương trình chính thức của giáo trình Đại số và Giải tích bậc trung học phổthông hiện hành

Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp về chuyên đề lượng giác chogiáo viên và học sinh giỏi tôi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức trong lớp cáchàm lượng giác và lượng giác ngược”

Luận văn nhằm trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong

đa thức lượng giác và xét các ứng dụng liên quan đến các bài toán cực trị, khảo sátphương trình, bất phương trình Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sửdụng các tài liệu tham khảo [1]-[6]

Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và 3 chương

Chương 1 Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược.Chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượnggiác ngược Xét các ví dụ áp dụng liên quan

Chương 2 Bất đẳng thức trong đa thức lượng giác và lượng giác ngược

Chương này trình bày các bất đẳng thức đại số sinh bởi các hàm lượng giác,lượng giác ngược và các dạng toán liên quan

Chương 3 Một số dạng toán liên quan

Xét một số dạng toán về phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trịtrong đại số và một số bài tập áp dụng lượng giác trong các bài toán hình học Tiếptheo, chương này trình bày hệ thống các bài tập giải các đề thi HSG quốc gia vàOlympic liên quan

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Nhà giáo nhân dân,GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc tới GS - Người thầy rất nghiêm khắc, tận tâm trong công việc và đã truyềnthụ nhiều kiến thức quý báu cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tácgiả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu đề tài

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán

- Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, cùng các thầy cô giáo

đã tham giảng dạy và hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trườngTHPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh và gia đình đã tạo điều kiện cho tác giả có cơhội học tập và nghiên cứu

Tác giả

Chương 1 Một số tính chất của các hàm lượng giác và lượng giác ngược

Trong chương này trình bày các tính chất cơ bản của các hàm lượng giác và lượnggiác ngược là cơ sở cho các bài toán trong các chương tiếp theo

Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức

chính là công thức

12

Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức

Ví dụ 1.4 Hệ thức đại số ứng với công thức

cos 5t + cost = 2 cos 3t cos 2t,chính là công thức



a2



Từ đó, sử dụng kết quả khai triển các hàm lượng giác cos 3t và cos 2t ta thu đượcđồng nhất thức đại số sau

12

Ví dụ 1.5 Cho số thực m với |m| > 1 Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1.6 Xét công thức khai triển

Từ đây ta thu được công thức

Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức

12

Ví dụ 1.7 Xét công thức biến đổi

Ta viết lại công thức dưới dạng

h

i

Hệ thức đại số ứng với công thức trên là đồng nhất thức

Luận văn đủ ở file: Luận văn full