Bất đẳng thức trong lớp hàm siêu việt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ HỒNG DUYÊN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM SIÊU VIỆT Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội - Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số tính chất hàm mũ logarit 1.1 Hàm đơn điệu 1.2 Hàm lồi, lõm 1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm hàm số mũ hàm logarit 1.3.1 Tính đơn điệu hàm số mũ hàm logarit 1.3.2 Tính lồi, lõm hàm số mũ hàm logarit 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển 1.5 Vai trò hàm số mũ, hàm logarit chứng minh bất đẳng thức cổ điển 4 5 6 Các bất đẳng thức lớp hàm mũ, hàm logarit 13 2.1 Bất đẳng thức hàm số mũ 13 2.2 Bất đẳng thức hàm logarit 26 Một số toán áp dụng 3.1 Các toán cực trị liên quan đến hàm mũ hàm logarit 3.2 Bất đẳng thức siêu việt dãy số giới hạn 3.3 Bất đẳng thức siêu việt phương trình hệ phương trình 34 34 42 50 KẾT LUẬN 58 Tài liệu tham khảo 59 Mở đầu Bất đẳng thức lĩnh vực khó chương trình toán học phổ thông, song lại có sức hấp dẫn, thu hút tìm tòi, óc sáng tạo học sinh Dạng toán bất đẳng thức thường có mặt kỳ thi tuyển sinh cao đẳng đại học, thi học sinh giỏi hay kỳ thi Olympic Lý thuyết bất đẳng thức đặc biệt, tập bất đẳng thức phong phú đa dạng Đặc biệt bất đẳng thức lớp hàm siêu việt phần chuyên đề hay, đóng vai trò quan trọng bồi dưỡng học sinh giỏi Để góp phần đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi bất đẳng thức, luận văn "Bất đẳng thức lớp hàm siêu việt" đưa số toán bất đẳng thức lớp hàm mũ logarit, số toán áp dụng cúa bất đẳng thức siêu việt vào việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số, toán dãy số giới hạn khảo sát số phương trình hệ phương trình Luận văn "Bất đẳng thức lớp hàm siêu việt" chủ yếu sưu tầm, nghiên cứu tài liệu sách tham khảo liên quan đến bất đẳng thức lớp hàm mũ, logarit toán ứng dụng liên quan Luận văn chuyên đề nhằm góp phần hướng tới bồi dưỡng học sinh giỏi bậc trung học phổ thông (xem [1-9]) Ngoài phần Mở đầu Kết luận, Luận văn chia làm ba chương sau: Chương Các kiến thức bổ trợ Chương trình bày số tính chất hàm số mũ hàm logarit (tính đơn điệu, tính lồi lõm); ý nghĩa hàm số mũ, hàm logarit chứng minh bất đẳng thức cổ điển số bất đẳng thức cổ điển sử dụng luận văn 3 Chương Các bất đẳng thức lớp hàm mũ, logarit Chương đưa toán bất đẳng thức mũ, logarit nghiên cứu tổng hợp tài liệu tham khảo Chương Một số toán áp dụng Chương đưa toán cực trị liên quan đến hàm mũ, hàm logarit; toán áp dụng bất đẳng thức siêu việt dãy số giới hạn, khảo sát phương trình hệ phương trình Trong thời gian thực luận văn này, tác giả nhận hướng dẫn, bảo tận tình GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Thông qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc trân trọng công lao, quan tâm, động viên tận tình bảo, hướng dẫn thầy Nguyễn Văn Mậu Tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Cơ - Tin học dạy bảo tận tình; chân thành cảm ơn thầy cô Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Sau đại học, văn phòng khoa Toán - Cơ - Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập làm luận văn Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2015 Học viên Nguyễn Thị Hồng Duyên Chương Một số tính chất hàm mũ logarit 1.1 Hàm đơn điệu Định nghĩa 1.1 (Xem [1-3]) Cho hàm số f : R → R xác định tập I(a; b) ⊂ R, I(a, b) ký hiệu tập hợp (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] với a < b Khi đó, ứng với x1 , x2 ∈ I(a, b), ta có với x1 < x2 suy f (x1 ) ≤ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng I(a; b) Đặc biệt, ứng với cặp x1 , x2 ∈ I(a; b), ta có f (x1 ) < f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ta nói f (x) hàm đơn điệu tăng thực I(a; b), hay gọi hàm đồng biến Ngược lại, ứng với x1 , x2 ∈ I(a, b), ta có với x1 < x2 suy f (x1 ) ≥ f (x2 ) ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm I(a; b) Nếu f (x1 ) > f (x2 ) ⇔ x1 < x2 ; ∀x1 , x2 ∈ I(a; b) ta nói f (x) hàm đơn điệu giảm thực I(a; b), hay gọi hàm nghịch biến Định lý 1.1 Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm khoảng (a; b) f (x) > với x ∈ (a; b) hàm số f (x) đồng biến khoảng Ngược lại, f (x) < với x ∈ (a; b) hàm số f (x) nghịch biến khoảng 5 1.2 Hàm lồi, lõm Định nghĩa 1.2 (Xem [1-3]) Hàm số f (x) gọi hàm lồi (lồi xuống dưới) tập I(a; b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ I(a; b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≤ αf (x1 ) + βf (x2 ) Nếu dấu đẳng thức xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) I(a; b) Hàm số f (x) gọi hàm lõm (lồi trên) tập I(a; b) ⊂ R với x1 , x2 ∈ I(a; b) với cặp số dương α, β có tổng α + β = 1, ta có f (αx1 + βx2 ) ≥ αf (x1 ) + βf (x2 ) Nếu dấu đẳng thức xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực (chặt) I(a; b) Định lý 1.2 (Xem [1-3]) Nếu f (x) khả vi bậc hai I(a; b) f (x) lồi (lõm) I(a; b) f (x) ≥ (f (x) ≤ 0) I(a; b) 1.3 Tính đơn điệu, tính lồi lõm hàm số mũ hàm logarit 1.3.1 Tính đơn điệu hàm số mũ hàm logarit - Xét hàm số y = ax , a > 0, a = liên tục R, ta có y = ax ln a (a > 0, a = 1) Khi a > y > nên hàm số đồng biến R Khi < a < y < nên hàm số nghịch biến R - Xét hàm số y = loga x, a > 0, a = 1; x > ta có y = (loga x) = x · ln a Khi a > y > nên hàm số đồng biến (0; +∞) Khi < a < y < nên hàm số nghịch biến (0; +∞) 6 1.3.2 Tính lồi, lõm hàm số mũ hàm logarit - Xét hàm số y = ax , a > 0, a = 1, ta có y = ax ln a (a > 0, a = 1), y = (ln a)2 ax Ta thấy y > với < a = 1, x ∈ R hàm số y = ax hàm lồi R - Tương tự, với hàm số y = loga x, a > 0, a = 1; x > 0, ta có y = (loga x) = x · ln a −1 y = x ln a Nếu a > tức ln a > y < suy hàm số lõm (0; +∞) Nếu < a < tức ln a < y > suy hàm số lồi (0; +∞) 1.4 Một số bất đẳng thức cổ điển Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM - GM, Xem [1-3]) Giả sử x1 , x2 , , xn số không âm Khi √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 xn n Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Định lý 1.4 (Bất đẳng thức dạng Karamata, Xem [1]) Cho hai dãy số xk , yk ∈ I(a, b), k = 1, 2, , n, thỏa mãn điều kiện x1 ≥ x2 ≥ · · · ≥ xn , y1 ≥ y2 ≥ · · · ≥ yn  x1 ≥ y1 ,     x1 + x2 ≥ y1 + y2 , · · · · · · ··   x1 + x2 + · · · + xn−1 ≥ y1 + y2 + · · · + yn−1 ,    x1 + x2 + · · · + xn = y1 + y2 + · · · + yn Khi đó, ứng với hàm lồi thực f (x) (f (x) > 0) I(a, b), ta có f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xn ) ≥ f (y1 ) + f (y2 ) + · · · + f (yn ) 7 Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Jensen, Xem [1]) Cho hàm số y = f (x) liên tục lồi [a, b] Cho số k1 , k2 , , kn ∈ R+ ; k1 + k2 + · · · + kn = Khi với xi ∈ [a, b]; i = 1, 2, , n, ta có n n ki f (xi ) ≥ f ( i=1 ki xi ) i=1 Nếu hàm số y = f (x) lõm [a, b] bất đẳng thức đổi chiều, tức n n ki f (xi ) ≤ f ( i=1 ki xi ) i=1 Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Bernoulli (dạng liên tục), Xem [1]) Cho x > Khi xα + (1 − x)α ≥ Khi α ≥ α ≤ xα + (1 − x)α ≤ Khi ≤ α ≤ Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli tam thức bậc (α, β) , Xem [1] ) Cho cặp số (α, β) thỏa mãn điều kiện α > β > Khi đó, với x ∈ R+ xα + α α − ≥ xβ β β Dấu đẳng thức xảy x = Định lý 1.8 (Bất đẳng thức Schur) Với số thực dương a, b, c k ∈ R+ ta có ak (a − b)(a − c) + bk (b − c)(b − a) + ck (c − a)(c − b) ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = c a = b c = hoán vị Hai trường hợp quen thuộc sử dụng nhiều k = k = tức (i) a(a − b)(a − c) + b(b − c)(b − a) + c(c − a)(c − b) ≥ (ii) a2 (a − b)(a − c) + b2 (b − c)(b − a) + c2 (c − a)(c − b) ≥ 8 Phương pháp đổi biến p, q, r Đối với số bất đẳng thức đối xứng có biến không âm ta đổi biến sau Đặt p = a + b + c; q = ab + bc + ca; r = abc Ta có số bất đẳng thức sau • ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) = pq − 3r • (a + b)(b + c)(c + a) = pq − r • ab(a2 + b2 ) + bc(b2 + c2 ) + ca(c2 +2 ) = p2 q − 2q − pr • (a + b)(a + c) + (b + c)(b + a) + (c + a)(c + b) = p2 + q • + b2 + c2 = p2 − 2q • a3 + b3 + c3 = p3 − 3pq + 3r • a4 + b4 + c4 = p4 − 4p2 q + 2q + 4pr • a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = q − 2pr • a3 b3 + b3 c3 + c3 a3 = q − 3pqr + 3r2 • a4 b4 + b4 c4 + c4 a4 = q − 4pq r + 2p2 r2 + 4qr2 Có thể thấy lợi ích phương pháp mối ràng buộc biến p, q, r mà biến a, b, c ban đầu • p2 ≥ 3q • p3 ≥ 27r • q ≥ 3pr • pq ≥ 9r • 2p3 + 9r ≥ 7pq • p2 q + 3pr ≥ 4q • p4 + 4q + 6pr ≥ 5p2 q p(4q − p2 ) • r≥ (4q − p2 )(p2 − q) • r≥ 6p 1.5 Vai trò hàm số mũ, hàm logarit chứng minh bất đẳng thức cổ điển Định lý 1.9 (Bất đẳng thức AM - GM suy rộng, [1]) Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , , xn ; p1 , p2 , , pn Khi đó: xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ x1 p1 + x2 p2 + · · ·xn pn p1 + p2 + · · ·pn p1 +p2 +···pn Dấu đẳng thức xảy x1 = x2 = · · · = xn Chứng minh Đặt s= x1 p1 + x2 p2 + · · ·xn pn p1 + p2 + · · ·pn Sử dụng bất đẳng thức hàm mũ ex−1 ≥ x, ∀x ∈ R, ta thu Từ ta thu hệ Suy x1 x1 x1 ≤ e s −1 ⇔ x1 ≤ se s −1 s  x1 s −1 , x ≤ se   x2  x2 ≤ se s −1 ,  ···········   xn xn ≤ se s −1  p1 x p1 ( s1 −1)p1 x ≤ s e ,   x  1p2 p2 ( s2 −1)p2 x2 ≤ s e ,  ···········   pn xn xn ≤ spn e( s −n)pn Vậy nên xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1 +p2 +···pn e x1 p1 +x2 p2 +···+xn pn −(p1 +p2 +···+pn ) s hay xp11 · xp22 · · · xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn , (đpcm) x1 x2 xn Dấu đẳng thức xảy = = ··· = = hayx1 = x2 = s s s · · · = xn 59 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn, 2006 Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Các thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, 1990 - 2014, NXB Giáo dục [5] D.S Mitrinovic (1970), Analytic Inequalities, Springer [6] Rajendra Bhatia (2008), The Logarithmic Mean, Indian Statistical Institute [7] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer [8] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, 2005, Giáo trình giải tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang,Nguyễn Viết Triều Tiên, Hoàng Quốc Toàn, 2001, Bài tập giait tích 1, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [...]... tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 2006, Bất đẳng thức định lý và áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, 1993, Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn, 2006 Các đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Các bài thi Olympic Toán trung học phổ thông Việt Nam, 1990 - 2014, NXB Giáo dục