Chuyên đề 1 kỹ NĂNG BIẾN đổi góc

Các chuyên đề hình học dành cho bạn THCS(Số 1) Nguyễn Duy Khương-khoá 1518 chuyên Toán-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Đôi điều chuyên mục: Ở chuyên mục mở tơi trình bày chun đề liên quan tới hình học phẳng qua kì thi vào lớp 10, thi chọn HSG TP lớp Mỗi tháng viết chuyên đề Mong bạn ủng hộ, đặc biệt bạn lớp chuẩn bị bước vào kì thi chuyên cam go Do giới hạn kiến thức cho học sinh lớp khó tránh việc lời giải có lúc dài(do phải xét nhiều trường hợp hình vẽ khác nhau) mong bạn, thầy cô thông cảm Chuyên đề 1: Kĩ biến đổi góc Khi học hình học phẳng, nói chung tốn có khả biến đổi góc được, có điều có luyện tập nhiều để biết phép cộng góc,cung, cho hợp lí Để có kĩ cần phải luyện tập để nhận móc nối giả thiết kết luận để tìm mấu chốt mắc kẹt biến đổi vòng quanh(khơng tới đâu!!!) Ở tức đơi ta khơng thể tìm phép biến đổi góc hợp lí, mà cần có cá hình vẽ phụ để kết nối phép biến đổi với Bài toán 1(chọn đội tuyển thi VMO-Hà Nội 2014-2015): Cho tứ giác ABCD(AB < BD) nội tiếp đường tròn (O) biết AC = CD Gọi I tâm nội tiếp đường tròn ABD Gọi (BIC) cắt AB điểm thứ hai F Gọi E trung điểm AD Chứng minh rằng: AI ⊥ EF ∠BAD ∠BAD + ∠DAL = + ∠BAI = ∠AIL tam 2 giác AIL cân L Chứng minh tương tự ta có: IL = LD Lại có theo hệ thức lượng tam giác vng CDL LD2 = LE.LC = LI ta có: LEI ∼ CIL(g.g) Vậy ta có: 90◦ + ∠ICB = 90◦ + ∠IEA ∠ICB = ∠IEA Do ta thu tam giác ∠F IA = ∠EIA ta thu được: IF A = IEA(g.c.g) hiển nhiên thu được: AI trung trực EF ta có đpcm Lời giải: Ta có: ∠LAI = Nhận xét: Bài tốn khơng q khó thuộc vào phần ăn điểm xong kĩ biến đổi góc lời giải hay quan trọng Đáng ý điểm hình vẽ khơng thơng thường giúp tiếp cận lời giải dễ Ta tiếp tục với toán sau Bài toán 2(Bổ đề Sawayama Thebault): Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy D điểm nằm AC Dựng đường tròn tiếp xúc DB,DC, (O) E, F, J Chứng minh tâm nội tiếp tam giác ABC nằm EF Lời giải: Ta dễ nhận thấy việc sau: JF qua trung điểm cung AC không chứa B (O) điểm M Gọi I giao điểm BM EF Kẻ tiếp tuyến Jx với (O) Thế thì: ∠IBJ = ∠F Jx suy ∠F EJ = ∠F Jx ∠IEJ = ∠IBP IEBP nội tiếp ⇒ ∠BEJ = ∠BIJ, ∠EF J = ∠BEJ suy ∠BIJ = ∠EF J ⇒ ∠M IJ = ∠M F I M IF ∼ M JI(g.g) M I = M P.M F = M B = M C Vậy thu M tâm nội tiếp tam giác ABC Do có đpcm Nhận xét: Bài tốn bổ đề quan trọng với hình học phẳng song chứng minh có nhiều chỗ đề cập tới biến đổi góc phức tạp Đối với học sinh cấp nói chung tốn khơng dễ chút Trong năm gần đây, đề thi vào trường chuyên KHT N , chuyên ĐHSP có nhiều tốn thi từ vòng đánh giá cao khả biến đổi góc người làm Bài tốn 3(thi Vòng chun KHTN 2015-2016): Cho tam giác ABC nhọn khơng cân có tâm đường tròn nội tiếp I AI cắt BC D Lấy E, F đối xứng D qua IB IC M, N, J trung điểm DE, DF, EF (AEM ) cắt (AF N ) P khác A Chứng minh A, J, P thẳng hàng AB AB Lời giải: Hiển nhiên E F thuộc AB AC Ta có: = = AE BD AC EF BC (theo định lí Tháles đảo) Bây ta chứng minh M P N J CF tứ giác nội tiếp Thật ta có: M J, M N, JN đường trung bình tam giác DEF ta có:∠M JN = ∠EDF mà ∠M P A + ∠EAP = 180◦ đồng thời: ∠N P A + ∠AF N = 180◦ ∠M P N = 360◦ − (∠AED + ∠AF D) = ∠DEF + ∠DF E = 180◦ − ∠EDF (chú ý rằng: EF BC nên ED, F D phân giác góc F EB EF C) dễ thấy ∠M JN + ∠M P N = 180◦ M, N, P, J đồng viên Vậy ta có: ∠M P J = ∠M N J = ∠DEF = ∠EDB = 180◦ − ∠AED = ∠M P A A, J, P thẳng hàng(đpcm) Nhận xét: Cả tốn chuỗi biến đổi góc liên tục từ đầu đến cuối Điểm khó ta khơng tìm điểm mấu chốt đoạn chứng minh M P N J nội tiếp khó đến với đpcm Bài toán 4(Đề thi thử vào chuyên KHTN 2014):Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Lấy E F thuộc cung BC không chứa A cho EF BC( tia AE nằm tia AB AF ) Gọi H trực tâm tam giác ABC F H cắt (O) điểm F Gọi (L) đường tròn ngoại tiếp AHG i) Chứng minh L nằm AE ii) Gọi (L) cắt AC, AB điểm M, N khác A Chứng minh AF vng góc M N P ∠GLA = 90◦ − ∠GHA Gọi AH cắt BC điểm K, GF cắt BC J Do ∠LAG = 90◦ − ∠JHK = ∠GJB = (GB + F C) Do đó: ∠LAB = ∠LAG − ∠BAG = F C = ∠BAE hiển nhiên ta có: A, L, E thẳng hàng Lời giải: i) Trường hợp : Tam giác AHG nhọn Ta có: ∠LAG = 90◦ − Trường hợp : Tam giác AHG có ∠G ≥ 90◦ Chứng minh tương tự(biến đổi với góc phụ 180◦ ) 1 ∠ALM = (180◦ − 2∠LAM ) = 90◦ − ∠LAM = 90◦ − 2 ∠BAF (do ta chứng minh A, L, E thẳng hàng ∠BAL = ∠CAF ∠LAM = ∠BAF ) ta có: ∠AN M + ∠BAF = 90◦ AF ⊥ M N (đpcm) ii) Ta có: ∠AN M = Bài tốn 5(Thi vào lớp Toán,Tin chuyên ĐHSP 2016-2017): Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC Kẻ đường cao AH Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC tương ứng điểm D, E Đường thẳng DE cắt BC điểm S a) Chứng minh rằng: BDEC nội tiếp b) Chứng minh rằng: SB.SC = SH c) Đường thẳng SO cắt AB, AC M, N tương ứng, đường thẳng DE cắt HM, HN điểm P, Q tương ứng Chứng minh rằng: BP, CQ, AH đồng quy Lời giải: a) Gọi (I) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta thấy theo hệ thức lượng cho tam giác vuông AHB AHC thì: AD.AB = AE.AC(= AH ) Do thu được: B, D, E, C đồng viên b) Ta để ý thấy: ∠SHD = ∠HED(do SH tiếp xúc (O)) SH = SE.SD = SB.SC ta có: SH = SB.SC BM BS BS = = , lại MA SK SH SB BH có: SB.SC = SH nên SB.HC = SH(SH − SB) = SH.BH = SH HC BM HB = M H AC Điều dẫn tới BDHP nội tiếp BP ⊥ M H MA HC suy BP ⊥ AC Hoàn toàn tương tự CQ ⊥ AB Vậy ta có: BP, CQ, AH đường cao tam giác ABC nên chúng đồng quy điểm(đpcm) c) Gọi K điểm đối xứng H qua S Ta có: SO AK Bài tốn 6(trích đề vòng KHTN 2016-2017): Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có AD phân giác tam giác AD cắt lại (O) điểm thứ hai E Gọi M trung điểm AD BM cắt lại (O) điểm thứ hai điểm P khác B EP cắt AC điểm thứ hai N a) Chứng minh N trung điểm AC b) Gọi (EM N ) cắt BM R khác M Chứng minh rằng: RA ⊥ RC ∠BAC ) ta có M AP N nội tiếp Do ta có: ∠AP M = ∠AN M = ∠ACB M N BC Do hiển nhiên N trung điểm AC Lời giải: a) Ta thấy rằng: ∠M AN = ∠BP E = ∠M P N (= b) Ta gọi (EM N ) cắt AC điểm thứ hai Q khác N Ta có AN.AQ = AM.AE 1 AD.AE = AQ.AC AD.AE = AQ.AC Ta lại có AD.AE = AB.AC 2 (do ADB ∼ ACE) nên ta có AQ = AB B đối xứng Q qua AD hẳn nhiên điều có nghĩa EB = EQ Ta lại có rằng:∠M RQ = ∠AN M = ∠ACB ta có rằng: BRQC tứ giác nội tiếp đồng nghĩa với việc ER = EB = EC (do E trung điểm cung BC không chứa A (O)) Ta lại có: ∠REN = ∠RQN = ∠P M N = ∠P AC = ∠N EC R C đối xứng qua N E N R = N C = N A ý N trung điểm AC nên ta có RA ⊥ RC (đpcm) Nhận xét: Thử cho M di động đoạn AD, bạn thử kiểm tra kết luận toán xem sao? Bài toán 7(chọn đội tuyển Hà Nội thi VMO 2012-2013): Cho tứ giác ABCD nội tiếp khơng phải hình thang Gọi AB cắt CD E AD cắt BC điểm F Phần giác góc CF D BEC gặp điểm H Hai đường chéo tứ giác ABCD cắt điểm I Gọi (ABI) cắt (CDI) điểm thứ hai K Chứng minh rằng: E, F, H, K đồng viên Lời giải: Trước tiên ta có: ∠F HE = 180◦ − ∠HF D − ∠HEB − ∠EAD = 180◦ − 180◦ − ∠D − ∠C 180◦ − ∠B − ∠C ∠B + ∠D − = = 90◦ (1) 2 Ta gọi L giao điểm thứ hai khác A (EAB) (ECD) Thế ta có: EL.EF = EA.EB = EI.EK tứ giác LF KI nội tiếp Áp dụng tính chất trục đẳng phương cho đường tròn (F AB), (F CD), (O), (LF KI) ta có: LF, AB, CD, IK đồng quy điểm điểm E Gọi M, N trung điểm AD, BC Ta có: ∠LAD = 180◦ − ∠LAF = 180◦ −∠LBF = ∠LBC Vậy ta có: LAM ∼ LBN (c.g.c) ∠LM F = ∠LN F L thuộc (F M N ) Vậy ta thu được: ∠OLF = 90◦ Vậy mà theo định lí Borcard OI ⊥ EF Vậy O, I, L thẳng hàng Hay ta có: ∠EKF = 90◦ (2) Từ (1)(2) ta thu E, F, H, K đồng viên(đpcm) Như khẳng định qua viết kĩ biến đổi góc đặc biệt cần thiết học hình học phẳng, cách để tìm đường biến đổi tốt nằm kinh nghiệm người Để giúp bạn luyện tập kĩ biến đổi góc thành thục tơi xin đề nghị ba tập sau: Bài tốn 8(Mở rộng vòng đề chuyên KHTN):Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Có phân giác ∠BAC cắt BC (O) D E khác A Lấy M điểm đoạn AD BM cắt lại (O) điểm thứ hai P P E cắt AC N (EM N ) cắt BM điểm thứ hai R Lấy K đối xứng C qua N Giả sử R thuộc đoạn BM Chứng minh KR ⊥ RC Bài toán 9: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)(AD < BC) Gọi I giao điểm hai đường chéo Kẻ đường kính CM DN tứ giác Gọi K giao điểm AN BM Chứng minh rằng: I, K, O thẳng hàng Bài toán 10(VMO 2014): Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) có AB < AC Gọi I trung điểm cung BC không chứa A (O) Trên AC lấy điểm K khác C cho IK = IC BK cắt lại (O) D khác B cắt AI E Đường thẳng DI cắt AC F a) Chứng minh rằng: EF = BC b) Trên DI lấy điểm M cho CM AD KM cắt BC điểm N Gọi (BKN ) cắt (O) P khác điểm B Chứng minh rằng: P K chia đôi AD ... toán bổ đề quan trọng với hình học phẳng song chứng minh có nhiều chỗ đề cập tới biến đổi góc phức tạp Đối với học sinh cấp nói chung tốn khơng dễ chút Trong năm gần đây, đề thi vào trường chuyên. .. chuyên KHT N , chun ĐHSP có nhiều tốn thi từ vòng đánh giá cao khả biến đổi góc người làm Bài tốn 3(thi Vòng chuyên KHTN 2 015 -2 016 ): Cho tam giác ABC nhọn không cân có tâm đường tròn nội tiếp I... có: ∠LAG = 90◦ − Trường hợp : Tam giác AHG có ∠G ≥ 90◦ Chứng minh tương tự (biến đổi với góc phụ 18 0◦ ) 1 ∠ALM = (18 0◦ − 2∠LAM ) = 90◦ − ∠LAM = 90◦ − 2 ∠BAF (do ta chứng minh A, L, E thẳng hàng