TÌM KIẾM tài NĂNG TOÁN học MYTS LOP 7 8 9 2018 TAoM

https://www.facebook.com/groups/TAoMathematics/ by Mr Cuo ng T A oM The ART of MATHEMATICS Hội Toán học Việt Nam phối hợp với Hexagon of Maths & Science Trung tâm Phát triển KHCN Tài trẻ Trung ương Đoàn (CYTAST) tiếp tục tổ chức Kỳ thi tìm kiếm tài tốn học trẻ Việt Nam 2018 (viết tắt tiếng Anh MYTS-2018) dành cho học sinh từ lớp tới lớp 10 trường phổ thông phạm vi nước vào cuối tháng Ba đầu tháng Tư năm 2018 Các thí sinh đạt kết xuất sắc thi lưu hồ sơ cá nhân CSDL Tài trẻ Việt Nam lựa chọn cử dự kỳ thi Olympic Toán Singapore SMO vào cuối tháng 5/2018 ĐỀ THI MYTS 2018 – Tìm kiếm tài TỐN HỌC, ngày 31/3/2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 7, ngày 31/3/2018 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Diệp nghĩ số có ba chữ số abc Nếu lấy tổng số acb, bac, bca, cab, cba 3496 Hỏi số Diệp nghĩ số nào? Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cuối tuần, Tuấn đến nhà bạn chơi Tuấn với tốc độ không đổi Khi quay về, theo đường cũ Tuấn nhẩm tính rằng, nhanh lúc 200 mét 20 21 thời gian lúc Còn giảm tốc độ 400 mét thêm phút so với lúc Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn đến nhà bạn km? Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, , 2018 Sau xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 Sau số lần làm vậy, bảng lại hai số Biết hai số 96 Hãy tìm số Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho tam giác ABC vuông A Trên đoạn thẳng BC, lấy điểm F D cho ACB = BAF BAD = BAF Trên tia phân giác góc ACB, lấy điểm E nằm tam giác ABC cho AE = AD Chứng minh AEF tam giác Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Có 10 người ngồi quanh bàn tròn Biết người tổng số tuổi người với tuổi hai người ngồi hai bên cạnh số lẻ Chứng minh tất người ngồi bàn có số tuổi số lẻ Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Hãy tìm tất số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cho a < b < c a + b + c + ab + ac + bc chia hết cho abc ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Hướng dẫn giải Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Diệp nghĩ số có ba chữ số abc Nếu lấy tổng số acb, bac, bca, cab, cba 3496 Hỏi số Diệp nghĩ số nào? Lời giải Ta có abc + acb + bac + bca + cab + cba = 222a + 222b + 222c = 222( a + b + c) Từ suy 222( a + b + c) = abc + 3496 3496 3496 + 999 > 15 a + b + c < < 21 Ta có abc = 222( a + b + c) − 3496 222 222 Thay a + b + c số từ 16, 17, 18, 19, 20 ta thấy a + b + c = 17 abc = 278 thỏa yêu cầu đề Suy a + b + c > Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cuối tuần, Tuấn đến nhà bạn chơi Tuấn với tốc độ không đổi Khi quay về, theo đường cũ Tuấn nhẩm tính rằng, nhanh lúc 200 mét 20 21 thời gian lúc Còn giảm tốc độ 400 mét thêm phút so với lúc Hỏi khoảng cách từ nơi Tuấn đến nhà bạn km? Lời giải Gọi t (h) thời gian, v (m/h) vận tốc lúc đi, s (m) quãng đường từ nơi Tuấn đến nhà bạn Vì nhanh lúc 200 mét 20 21 thời gian lúc Ta có v 20 = ⇒ v = 4000 v + 200 21 Vì giảm tốc độ 400 mét thêm phút so với lúc Ta có 4000t s = t+ ⇔ = t+ ⇒ t = 0, v − 400 60 3600 60 Vậy s = vt = 1200 m = 1, km Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1, 2, 3, , 2018 Sau xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 Sau số lần làm vậy, bảng lại hai số Biết hai số 96 Hãy tìm số Lời giải Ta có + + + 2018 = 2018.2019 = 2037171 Mặt khác 2037171 ≡ ĐỀ THI MYTS 2018 (mod 31) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Khi xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 số số thuộc tập {0; 1; 2; ; 30} Hiển nhiên, dù bước thứ tổng số lại có bảng chia 31 dư Do đó, bảng số mà có số 96 ta suy 96 số chưa bị xóa số lại số bị thay Do đó, số cần tìm số thuộc tập {0; 1; 2; ; 30} Gọi số a Khi đó,   a ∈ {0; 1; 2; ; 30}  a + 96 ≡ (mod 31)   a ∈ {0; 1; 2; ; 30} ⇔  a + ≡ (mod 31) ⇒a=3 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho tam giác ABC vuông A Trên đoạn thẳng BC, lấy điểm F D cho ACB = BAF BAD = BAF Trên tia phân giác góc ACB, lấy điểm E nằm tam giác ABC cho AE = AD Chứng minh AEF tam giác Lời giải B Đặt BAF = x, ACB = 2x BAD = 3x F Theo tính chất góc ngồi ta có AFD = B + x = 90◦ − x Hơn nữa, ADF = DAC + 2x = 90◦ − 3x + 2x = 90◦ − x Do D AFD tam giác cân A, suy AF = AD Vậy AF = AE (1) Mặt khác, FAC = 90◦ − x suy CAF cân C Mà CE phân giác nên suy CE trung trực AF Vậy EA = EF (2) Từ (1) (2) suy E C A AEF Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Có 10 người ngồi quanh bàn tròn Biết người tổng số tuổi người với tuổi hai người ngồi hai bên cạnh số lẻ Chứng minh tất người ngồi bàn có số tuổi số lẻ Lời giải Giả sử tồn người có số tuổi chẵn đặt A1 Suy hai người ngồi hai bên có người có tuổi chẵn, người có tuổi lẻ Khơng tính tổng qt đặt A2 có số tuổi lẻ, suy A3 có số tuổi chẵn, A4 chẵn, A5 lẻ, A6 chẵn, A7 chẵn, A8 lẻ, A9 chẵn, A10 chẵn C L C C L C C L C C A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − A7 − A8 − A9 − A10 ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Tuy nhiên, ta thấy A9 , A10 , A1 ngồi cạnh nhau, tổng số tuổi lại số chẵn, mâu thuẫn Vậy tất người ngồi bàn có số tuổi số lẻ Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Hãy tìm tất số nguyên dương a, b, c đôi nguyên tố cho a < b < c a + b + c + ab + ac + bc chia hết cho abc Lời giải Ta chia trường hợp sau: • Nếu a ≥ abc ≥ 4bc ≥ 3bc + 4c > ab + ac + bc + a + b + c, mâu thuẫn • Nếu a = 3bc|3 + 4b + 4c + bc mà ta lại có + 4b + 4c + bc < 3bc + < 4bc 3bc = + 4b + 4c + bc ⇔ 2bc = 4b + 4c + 3, mẫu thuẫn tính chẵn lẻ • Nếu a = 2bc|2(1 + b + c) + b + c + bc ⇒ 2|b + c + bc suy 2|b 2|c, mẫu thuẫn tính nguyên tố b, c • Nếu a = bc|2b + 2c + Vì (b − 2)(c − 2) ≥ ⇔ bc + > 2b + 2c + Vậy 2b + 2c + < bc + < 2bc Do bc = 2b + 2c + ⇔ (b − 2)(c − 2) = ⇒ b = 3, c = Vậy a = 1, b = 3, c = ba số cần tìm ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 8, ngày 31/3/2018 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Tìm tất số có chữ số mà số lập phương tổng chữ số Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hai số a, b khác thỏa mãn: (1 + a )2 (1 + b )2 + = 35 a + b = b a Tính a7 + b7 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1;2;3 ;2018 Sau đó, xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 Sau số lần làm vậy, bảng lại hai số Biết hai số 96 Tìm số Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hình vng ABCD có tâm O Trên tia đối tia CD lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho CM + DN = CD Gọi I giao điểm AM BN; P giao điểm OI AB Chứng minh MPN = 90o Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD 19 đường thẳng đôi phân biệt, đôi không song song đường thẳng cách hai đỉnh tứ giác ABCD Chứng minh có đường thẳng đường thẳng đồng quy Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Với số nguyên n ≥ 2, kí hiệu Fn tập hợp tất a phân số có dạng với ≤ a < b ≤ n a, b hai số ngun tố Ví dụ, ta có b F2 = ; , F3 = 1 ; ; ; 3 , F4 = 1 ; ; ; ; ; 3 Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, tập hợp Fn có số chẵn phần tử ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Hướng dẫn giải Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Tìm tất số có chữ số mà số lập phương tổng chữ số Lời giải Gọi số cần tìm có dạng abc, theo đề ta có abc = ( a + b + c)3 Do 100 ≤ abc ≤ 999 ⇒ 100 ≤ ( a + b + c)3 ≤ 999 ⇒ ≤ a+b+c ≤ TH1 a + b + c = ( a + b + c)3 = 53 = 125 (không thoả) TH2 a + b + c = ( a + b + c)3 = 63 = 216 (không thoả) TH3 a + b + c = ( a + b + c)3 = 73 = 343 (không thoả) TH4 a + b + c = ( a + b + c)3 = 83 = 512 (thoả) TH5 a + b + c = ( a + b + c)3 = 93 = 729 (không thoả) Vậy số cần tìm 512 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hai số a, b khác thỏa mãn: (1 + a )2 (1 + b )2 a + b = + = 35 b a Tính a7 + b7 Lời giải Ta có (1 + a )2 (1 + b )2 + = 35 b a + 2a + a2 + 2b + b2 ⇔ + = 35 b a ⇔ ( a + b) + a2 + b2 + a3 + b3 = 35ab ⇔ ( a + b) + ( a + b)2 − 2ab + ( a + b) ( a + b)2 − 3ab = 35ab ⇔ + 32 − 2ab + 32 − 3ab = 35ab ⇔ ab = Do đó, a2 + b2 = ( a + b)2 − 2ab = 32 − = ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp a3 + b3 = ( a + b) a2 − ab + b2 = ( a + b) ( a + b)2 − 3ab = 32 − = 18 a4 + b4 = a3 + b3 ( a + b) − ab a2 + b2 = 18.3 − 1.7 = 47 a7 + b7 = a4 + b4 a3 + b3 − ( ab)3 ( a + b) = 47.18 − 1.3 = 843 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Ghi lên bảng 2018 số nguyên dương đầu tiên: 1;2;3 ;2018 Sau đó, xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 Sau số lần làm vậy, bảng lại hai số Biết hai số 96 Tìm số Lời giải Ta có + + + 2018 = 2018.2019 = 2037171 Mặt khác 2037171 ≡ (mod 31) Khi xóa số số thay vào đó, ghi số dư phép chia tổng số vừa xóa cho 31 số số thuộc tập {0; 1; 2; ; 30} Hiển nhiên, dù bước thứ tổng số lại có bảng chia 31 dư Do đó, bảng số mà có số 96 ta suy 96 số chưa bị xóa số lại số bị thay Do đó, số cần tìm số thuộc tập {0; 1; 2; ; 30} Gọi số a Khi đó,   a ∈ {0; 1; 2; ; 30}  a + 96 ≡ (mod 31)   a ∈ {0; 1; 2; ; 30} ⇔  a + ≡ (mod 31) ⇒a=3 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hình vng ABCD có tâm O Trên tia đối tia CD lấy điểm M, tia đối tia DC lấy điểm N cho CM + DN = CD Gọi I giao điểm AM BN; P giao điểm OI AB Chứng minh MPN = 90o Lời giải ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp A P B I O N D Q K C M Gọi Q giao điểm PO CD IA = Khi theo cách ta có IM IP = Từ có I trọng tâm tam giác APC nên AM qua trung điểm K PC Suy IQ AP PK Tiếp tục dùng định lý Thales, có = = CM KC Vậy AP = CM Trên DC lấy điểm K (K nằm C, D) cho DK = CM Khi DK = AP, suy APKD hình chữ nhật Do đó, PK = AD = AB Mặt khác, ta có NK = ND + DK = KC + CM = KM Do đó, K trung điểm MN Ngoài ra, N M = 2NK = 2AB Do đó, MN = 2PK Suy ra, tam giác PN M tam giác vuông P Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Trong mặt phẳng cho tứ giác ABCD 19 đường thẳng đôi phân biệt, đôi không song song đường thẳng cách hai đỉnh tứ giác ABCD Chứng minh có đường thẳng đường thẳng đồng quy Lời giải Trước hết ta có nhận xét sau: Nếu đường thẳng cách đỉnh tứ giác đường thẳng thuộc trường hợp sau: ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 10 TH1 Đường thẳng song song trùng cạnh tứ giác Trường hợp ta có TH ( ý ta xem TH song song TH trùng một) TH2 Đường thẳng song song trùng với hai đường chéo tứ giác Trong TH ta có đường thẳng TH3 Đường thẳng qua trung điểm cạnh qua trung điểm đường chéo Trong TH ta có vơ số đường thẳng Gọi số đường thẳng thuộc TH1, TH2, TH3 x, y, z Theo đề ta có x + y + z = 19 x ≤ 4, y ≤ Do đó, z = 19 − x − y ≥ 19 − − = 13 Mặt khác, ta thấy z đường thẳng qua trung điểm cạnh đường chéo tứ giác nên theo nguyên lí Dirichle ta thấy tồn 13 +1 = đường thẳng qua điểm Vậy ta có điều phải chứng minh Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Với số nguyên n ≥ 2, kí hiệu Fn tập hợp tất a phân số có dạng với ≤ a < b ≤ n a, b hai số ngun tố Ví dụ, ta có b F2 = ; , F3 = 1 ; ; ; 3 , F4 = 1 ; ; ; ; ; 3 Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, tập hợp Fn có số chẵn phần tử Lời giải Ta chứng minh Fn có chẵn phần tử quy nạp (∗) Hiển nhiên với trường hợp n = 2, 3, thỏa (∗) Ta giả sử (∗) tới n − Ta chứng minh (∗) với n Tức Fn có chẵn phần tử Ta thấy F2 ⊂ F3 ⊂ ⊂ Fn ⊂ Fn = Fn−1 ∪ i1 i2 i ; ; ; k n n n với ≤ i1 , i2 , , ik < n i1 , i2 , , ik số nguyên tố với n Do Fn−1 có chẵn phần tử (theo giả thiết quy nạp) nên ta quy toán việc chứng minh k chẵn ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp Tương đương với việc chứng minh rằng: Số số từ đến n nguyên tố với n số chẵn Thật vậy, ta chứng minh ( a, n) = (n − a, n) = Giả sử (n − a, n) = d ta có    n d  n d ⇒ ⇒ (n, a) = d ⇒ d =  n − a d  a d Áp dụng bổ đề trên, ln có số chẵn số từ đến n nguyên tố với n Từ ta có điều phải chứng minh ĐỀ THI MYTS 2018 11 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 12 ĐỀ THI MYTS 2018 - LỚP 9, ngày 31/3/2018 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Giải phương trình √ 8x + = 9x2 + 10x + Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Chứng minh 2017, 49 < 1+ + 22 1+ +···+ 32 1+ < 2018 20182 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành Trên tia đối tia CD, lấy điểm M tia đối tia DC, lấy điểm N, cho CM + DN = CD Gọi I giao điểm AM BN; gọi P giao điểm OI AB Chứng minh AP = CM Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Tìm tất cặp số nguyên tố ( p, q) cho 3p2 + 25pq + 3q2 luỹ thừa 31 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Có đống sỏi, với số sỏi đống 10 viên, 20 viên, 30 viên 40 viên Bạn Nam bóc sỏi từ đống bỏ sang đống theo quy tắc: Mỗi lần, lấy viên từ đống, đống viên, bỏ sang đống lại Hỏi, sau số hữu hạn lần thực liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam làm cho đống sỏi có số sỏi hay khơng? Vì sao? Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho đa giác lồi P có 2018 đỉnh Bạn Ngoan muốn ghi vào đỉnh P số nguyên dương cho điều kiện sau đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số ghi, có số chẵn; 2/ Tổng số ghi đỉnh liên tiếp tuỳ ý số lẻ Hỏi bạn Ngoan thực ý muốn nêu hay khơng? Vì sao? ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 13 Hướng dẫn giải Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Giải phương trình √ 8x + = 9x2 + 10x + Lời giải Với x ≥ − , phương trình cho tương đương √ √ 8x + = 36x2 + 40x + ⇔ 8x + + 8x + + = 36x2 + 48x + 16 √ 8x + + = (6x + 4)2 ⇔  √ 8x + + = 6x + ⇔ √ 8x + + = −6x − √ 8x + = 6x +  ⇔ √ 8x + + 6x + = (vô lý x ≥ − )  6x + ≥ ⇔ 8x + = (6x + 2)2   6x + ≥ √ √ ⇔ − + − −  x = ∨x = 18 18 √ −4 + ⇔x= (thoả x ≥ − ) 18 √ −4 + Vậy phương trình cho có nghiệm x = 18 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Chứng minh 2017, 49 < 1+ + 22 1+ +···+ 32 1+ < 2018 20182 S= 1+ + 22 1+ +···+ 32 1+ 20182 Lời giải Đặt Ta chứng minh hai bất đẳng thức phụ sau: Với n ∈ N n ≥ ta có 1+ < n ( n + 1) 1+ < + n2 n2 Thật vậy, 1+ 2 1 ≥ 1+ ⇔ 1+ ≥ 1+ + ⇔ ≤ 2, (đúng ∀n ∈ N, n ≥ 1) 2 n ( n + 1) n ( n + 1) n ( n + 1) n+1 n n ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 14 1+ 2 1 ≤ + ⇔ + ≤ + + ⇔ ≥ 0, (đúng ∀n ∈ N, n ≥ 1) n n n n n n Áp dụng bất đẳng thức vào toán ta 2017 + 1 1 + +···+ < S < 1+ +1+ +···+1+ 2.3 3.4 2018.2019 20182 1 1 < S < 2017 + + +···+ ⇒ 2017 + − 2019 1.2 2.3 2017.2018 1 ⇒ 2017 + − < S < 2017 + − 1000 2018 ⇒ 2017, 49 < S < 2018 Vậy 2017, 49 < 1+ + 22 1+ +···+ 32 1+ < 2018 20182 Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho hình bình hành ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo hình bình hành Trên tia đối tia CD, lấy điểm M tia đối tia DC, lấy điểm N, cho CM + DN = CD Gọi I giao điểm AM BN; gọi P giao điểm OI AB Chứng minh AP = CM Lời giải A P B I O N D Q C M Gọi Q điểm đối xứng với M qua C, suy DQ = DC − QC = DC − CM = DN Do AB MN nên IM MN CM + DN + CD 2DC = = = = IA AB CD DC Khi OA QC I M · · = · · = OC QM I A Nên theo định lý Menelaus I, O, Q thẳng hàng Từ P, I, O, Q thẳng hàng Hơn nữa, AP MQ nên AP AI QM = = ⇒ AP = = CM QM IM 2 ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 15 Vậy AP = CM IP IA = Suy = IM IQ Từ có I trọng tâm tam giác APC nên AM qua trung điểm K PC Tiếp tục dùng định lý AP PK Thales, có = = Vậy AP = CM CM KC Cách Gọi Q giao điểm PO CD Khi theo cách ta có Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Tìm tất cặp số nguyên tố ( p, q) cho 3p2 + 25pq + 3q2 luỹ thừa 31 Lời giải Ta phân tích A = 3p2 + 25pq + 3q2 = 3p2 − 6pq + 3q2 + 31pq = ( p − q)2 + 31pq (1) Do A luỹ thừa 31 nên A chia hết cho 31 Từ (1) suy ( p − q)2 chia hết cho 31 hay p − q chia hết cho 31 (do 31 số nguyên tố) Do vai trò p, q nhau, giả sử p > q đặt p − q = 31k với k ∈ N Khi đó, lại từ (1) suy A = (31k )2 + 31pq = 31 3.31k2 + pq (2) Ta thấy A phải có dạng 31n với n ∈ N, từ (2), n = Do 3.31k2 + pq phải chia hết cho 31, suy pq chia hết cho 31, từ ta có p = 31 q = 31 Ta chứng minh p = q = 31 Thật vậy, khơng tính tổng quát giả sử q = 31, p = 31, từ p − q = 31k ⇔ p = 31(1 + k ) chia hết cho 31 vô lý p nguyên tố, nên p = 31 Kiểm tra lại, ta thấy cặp ( p, q) = (31, 31) thoả yêu cầu đề Vậy ( p, q) = (31, 31) Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Có đống sỏi, với số sỏi đống 10 viên, 20 viên, 30 viên 40 viên Bạn Nam bóc sỏi từ đống bỏ sang đống theo quy tắc: Mỗi lần, lấy viên từ đống, đống viên, bỏ sang đống lại Hỏi, sau số hữu hạn lần thực liên tiếp việc chuyển sỏi theo quy tắc trên, Nam làm cho đống sỏi có số sỏi hay khơng? Vì sao? Lời giải Ta xét số dư chia số sỏi đống cho Đặt Sn số dư chia số sỏi đống cho bước thứ n Ban đầu, số sỏi đống 10, 20, 30, 40 nên số dư 2, 0, 2, Nên S0 = {2; 0; 2; 0} ý ta không quan tâm thứ tự phần tử Sn Do lần bốc, ta bốc viên sỏi từ đống, đống viên sau bỏ vào đống lại nên số sỏi đống giảm tăng sau lần bốc (chú ý theo modulo −1 ≡ (mod 4) ) Do đó, ta thấy S1 = {1; 1; 3; 3} ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 16 Tương tự S2 = {2; 0; 2; 0} Nên ta thấy quy luật, với số tự nhiên n S2n−1 = {1; 1; 3; 3} S2n = {2; 0; 2; 0} Giả tồn lúc đó, số sỏi đống số sỏi đống 25 (giả sử bước k) Khi Sk = {1; 1; 1; 1} (vơ lí) Vậy khơng thể xảy trường hợp số sỏi đống Câu (MYTS lớp - Vòng - 2018) Cho đa giác lồi P có 2018 đỉnh Bạn Ngoan muốn ghi vào đỉnh P số nguyên dương cho điều kiện sau đồng thời thoả mãn: 1/ Trong 2018 số ghi, có số chẵn; 2/ Tổng số ghi đỉnh liên tiếp tuỳ ý số lẻ Hỏi bạn Ngoan thực ý muốn nêu hay khơng? Vì sao? Lời giải Sắp thứ tự đỉnh liên tiếp Ai , Ai+1 , (1 ≤ i ≤ 2017) Do 2018 đỉnh ghi số, có số chẵn, vai trò đỉnh nên giả sử giả số A1 số chẵn Để thoả điều kiện đề ta ghi số theo hai cách sau C C L C C L C L C C C L C C L C L C C L A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − · · · − A2015 − A2016 − A2017 − A2018 A1 − A2 − A3 − A4 − A5 − A6 − · · · − A2015 − A2016 − A2017 − A2018 (Nhận xét số cách thứ nhất, số lẻ có dạng A3k (k ∈ N); cách thứ hai số lẻ dạng A2+3k (k ∈ N).) Tuy nhiên, thấy rằng, cách thứ nhất, đỉnh A2017 , A2018 , A1 ghi số chẵn, nên tổng chẵn; cách thứ hai, đỉnh A2018 , A1 , A2 ghi hai số lẻ, chẵn, nên tổng chẵn Điều cho ta mâu thuẫn Vậy bạn Ngoan thực ý muốn nêu ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 17 THÔNG BÁO Xin chào tất bạn đọc! Hiện TAoM thực dự án toán chuyên cấp hai cấp ba Tuyển tập tốn từ kì thi HSG tỉnh thành phố năm học 2017-2018 dự án thứ hai nhóm TAoM năm 2018 Và bất đẳng thức chuyên đề mà chúng tơi thực Ngồi ra, năm học 2018-2019 tới chúng tơi thực khố " TỰ HỌC" theo lộ trình kiến thức chuẩn dành cho bạn chuẩn bị cho kì thi HSG tỉnh thành phố thi vào lớp chuyên toán Chúng tơi xin mơ tả sơ lượt khố học • Thời gian: khoá học từ tháng 6/2018 đến cuối tháng 3/2019 (tổng cộng 10 tháng) • Nội dung: Đại số, số học, hình học tổ hợp • Học phí: 50k tháng khố học 500k • Mơ tả: chúng tơi gửi kế hoạch khố học cho bạn học viên ( kế hoạch gửi vào đầu tháng 6) Mỗi chuyên đề chúng tơi cung cấp lí thuyết tập mẫu thật chuẩn với cấu trúc thi HSG tỉnh đề tốn chun cho bạn, sau tập tự luyện – 21h tối thứ bắt đầu phát tài liệu tập tự luyện Các bạn đọc làm tập – 21h tối thứ tuần sau phát đáp án chi tiết • Sau chun đề, chúng tơi có kiểm tra cho bạn để đánh giá mức độ (trung bình tháng có bài) Chúng chấm, công bố điểm có lời khuyên phần bạn hạn chế Điểm số 10 tháng cộng lại tổng kết sau kết thúc khoá học bạn cao điểm tặng KHOÁ LUYỆN ĐỀ VÀO 10 CHUYÊN vào tháng 4/2018 Những lí mà bạn nên chọn khố TỰ HỌC TAoM: • Học phí RẺ (50k tháng tương đương với bữa ăn sang) • Lộ trình khoa học dành cho bạn thi HSG tỉnh, TP luyện thi vào chuyên (như bạn không lan man, bắt đầu học từ đâu) • Hệ thống tập chuẩn,và khoa học dựa đề thi HSG tỉnh, TP thi chuyên năm • Chúng liên tục kiểm tra đánh giá mặt hạn chế bạn bạn để giúp bạn phát triển • Ngồi ra, thầy dạy đội tuyển muốn mua khoá học để bồi dưỡng học sinh ĐỀ THI MYTS 2018 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 18 Chúng bắt đầu tuyển sinh vào tháng 5/2018 Hy vọng thầy/cô, bậc phụ huynh, em học sinh quan tâm giới thiệu để khoá học đến với học sinh đam mê mơn tốn, có dự định thi HSG tỉnh, TP thi vào lớp 10 chuyên toán Xin chân thành cảm ơn tất bạn! Thay mặt admin nhóm TAoM Phạm Quốc Sang - Lê Minh Cường - Phạm Hữu Hiệp ĐỀ THI MYTS 2018 ... 3.4 20 18. 20 19 20 182 1 1 < S < 20 17 + + +···+ ⇒ 20 17 + − 20 19 1.2 2.3 20 17. 20 18 1 ⇒ 20 17 + − < S < 20 17 + − 1000 20 18 ⇒ 20 17, 49 < S < 20 18 Vậy 20 17, 49 < 1+ + 22 1+ +···+ 32 1+ < 20 18 20 182 Câu... THI MYTS 20 18 11 Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang - Phạm Hữu Hiệp 12 ĐỀ THI MYTS 20 18 - LỚP 9, ngày 31/3/20 18 Câu (MYTS lớp - Vòng - 20 18) Giải phương trình √ 8x + = 9x2 + 10x + Câu (MYTS. .. Sau số lần làm vậy, bảng lại hai số Biết hai số 96 Hãy tìm số Lời giải Ta có + + + 20 18 = 20 18. 20 19 = 20 371 71 Mặt khác 20 371 71 ≡ ĐỀ THI MYTS 20 18 (mod 31) Thầy Lê Minh Cường - Phạm Quốc Sang