Phân tích đa thức thành nhân tử

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MƠN TỐN TRƯỜNG THCS MỤC LỤC PHẦN I GIỚI THIỆU CHUNG I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI III NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI IV ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN II CƠ SỞ THỰC TIỄN III MỘT SỐ BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP PHẦN III KẾT LUẬN PHẦN PHỤ LỤC - GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM - TÀI LIỆU THAM KHẢO 3 4 5 21 23 23 26 PHẦN THỨ NHẤT: GIỚI THIỆU CHUNG I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình Đại số THCS đa thức phân tích đa thức thành nhân tử nội dung bản, sở để xây dựng nhiều nội dung kiến thức, nhiều dạng tập khác như: Quy đồng mẫu phân thức, rút gọn phân thức, giải phương trình, bất phương trình, tìm cực trị Đặc biệt kỹ phân tích đa thức thành nhân tử kỹ quan trọng, nắm vững thành thạo kỹ học sinh có khả giải nhiều vấn đề chương trình đại số lớp lớp nhiều vấn đề toán học khác có liên quan Nhưng đơi việc phân tích đa thức thành nhân tử có khó khăn học sinh trường hợp đa thức có bậc cao, hệ số lớn, phức tạp Nếu áp dụng phương pháp thông thường học sách giáo khoa học sinh khơng thể phân tích Có đa thức khơng có nghiệm thực học sinh khơng thể phân tích thành nhân tử Vì câu hỏi thường đặt trường hợp là: Những đa thức khơng thể phân tích thành nhân tử ? Nếu trả lời câu hỏi trên, học sinh có khả giải cách nhanh gọn số tập cụ thể Bên cạnh ngồi phương pháp thơng thường, sử dụng số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử trường hợp định , phương pháp chương trình sách giáo khoa chưa có điều kiện đề cập đến giáo viên cung cấp thêm học sinh hiểu cách tồn diện lý thuyết có kỹ giải tốn tổng hợp cách nhanh chóng Để cung cấp cho học sinh cách có hệ thống đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử Giáo viên cần phải hiểu nắm vững kiến thức vành đa thức, đa thức bất khả quy, nghiệm đa thức cách xác có hệ thống, hiểu gốc vấn đề Từ giáo viên cho học sinh biết điều đến chừng mực để có vận dụng hợp lí, đưa vào giảng nội dung kiến thức phù hợp với trình độ học sinh đưa dạng tập thích hợp II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Vận dụng kiến thức cấu trúc đại số, lý thuyết nhóm,vành trường vào giảng dạy phần đa thức phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Đại số lớp THCS nhằm cung cấp cho học sinh kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử mức độ phù hợp III NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Về lý thuyết: Nghiên cứu lý thuyết để nắm vững nội dung kiến thức - Cấu trúc đại số : Nhóm, vành, trường, vành đa thức - Các khái niệm đa thức, nghiệm đa thức, đa thức bất khả quy - Một số định lý nghiệm đa thức - Một số định lý phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bất khả quy Về thực tiễn giảng dạy: - Nghiên cứu nội dung, chương trình sách giáo khoa để nắm mức độ, giới hạn nội dung kiến thức cung cấp cho học sinh - Vận dụng nội dung lý thuyết mức độ phù hợp vào giảng dạy phần đa thức phân tích đa thức thành nhân tử chương trình Đại số cấp THCS - Thực tế vận dụng vào giảng cụ thể phần phân tích đa thức thành nhân tử IV ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đề tài tập trung nghiên cứu việc vận dụng số kiến thức đa thức ẩn, nghiệm đa thức ẩn vào giảng dạy phần phân tích đa thức (một ẩn) thành nhân tử chương trình đại số lớp Áp dụng với đối tượng học sinh lớp trường THCS Làng Chếu năm học 2014 – 2015 V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Phương pháp điều tra thực tiễn - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp thử nghiệm sư phạm PHẦN HAI: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN - Giáo viên người hướng dẫn điều khiển học sinh tiếp thu tri thức nên không nắm vững nội dung kiến thức kĩ sư phạm cần thiết - Mỗi nội dung tốn học nói riêng khoa học nói chung tách rời khỏi tổng thể mà nội dung phận cấu thành Vì vấn đề cần nhìn nhận cách tổng thể khía cạnh yếu tố tác động đến vấn đề ảnh hưởng đến nội dung khác - Hoạt động dạy – học đạt đến hiệu cao chủ thể (thầy giáo – học sinh) nhận thức rõ nội dung, ý nghĩa cơng việc mà thực II CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng 1.1 Thuận lợi: - Được quan tâm tạo điều kiện BGH, tổ chun mơn giúp tơi hồn thành đề tài - Các cấp quản lí quyền địa phương có quan tâm thỏa đáng đến hoạt động chuyên môn nhà trường - Ý thức lực chuyên môn giáo viên tương đối cao 1.2 Khó khăn: - Một phận khơng nhỏ học sinh trường gặp khó khăn việc tiếp thu kiến thức tốn học Khó nhận thức vấn đề tốn học cách nhìn tổng thể, bao quát Tình hình thực tế Khảo sát chất lượng học sinh (chưa áp dụng sáng kiến): - Nội dung khảo sát: Kiểm tra khả giải dạng toán nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp năm học 2014 – 2015 - Thời điểm khảo sát: 1) Ngày 2/10/2014 2) Ngày 2/12/2014 - Đề khảo sát 1: (Thời gian làm 30phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, 12x2-18xy2-30y5; 3, a3 -3a +3b – b3; 5, 4x2 -25 +(2x + 7)(5 – 2x); 7, x2 – 7xy + 10y2; 2, 5x2-5xy – 10x + 10y; 4, a4 +6a2b + 9b2 -1; 6, x2+2x-15; 8, a4 + 9, 3x – 6y 10, 8x3 – 27 - Đề khảo sát 2: (Thời gian làm 45phút) Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x (2x  3y)  6y2 + 4xy 2, 8x3 + 4x2  y3  y2 3, a3  a2b  ab2 + b3 4, ab2c3 + 64ab2 5, 27x3y  a3b3y 6, 2x2  3x + 7, y4 + 64 8, x5 + x3 + x2 + 9, x2 – xy + y2 – 25 z2 10, x2 – 4x + Câu 2: Thu gọn phân thức sau: x  xy  y a) 2 x  xy  y 2 x  3x  b) x x - Kết khảo sát: Lớp năm học 2014 - 2015 Sĩ số: 28 G Kh TB Y Kém Xếp loại học tập mơn tốn HK1 SL 15 % 28,6 53,6 17,8 KQ khảo sát KQ khảo sát SL 19 SL 18 % 21,4 67,9 10,7 % 17,9 64,3 17,8 Căn vào kết khảo sát nêu trên, ta nhận thấy học sinh khảo sát thể lực học tập môn khảo sát 1, tức kiểm tra thực em vừa học xong nội dung Phân tích đa thức thành nhân tử Tuy nhiên sau thời gian (3 tháng sau) kiến thức kĩ em bị hao hụt đáng kể Chỉ có số học sinh giữ kĩ cần thiết, lại học sinh có sức học trung bình, yếu đáp ứng tập mức độ đơn giản Có nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nguyên nhân học sinh tiếp thu kiến thức rèn luyện kĩ phân tích đa thức thành nhân tử mức độ lặp lại máy móc mà chưa nhận thức đầy đủ mối liên quan đơn vị kiến thức nội dung mối quan hệ với nội dung kiến thức khác chương trình Với nhận thức với mong muốn học sinh tiếp cận kiến thức toán học cách có hệ thống, nhanh chóng hình thành kĩ giải tốn, tơi nghiên cứu tài liệu, thực thử nghiệm đề số giải pháp nhằm nâng cao chất lượng học tập học sinh nội dung phân tích đa thức thành nhân tử, góp phần nâng cao lực học tốn cho học sinh III MỘT SỐ BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP Tìm hiểu giới hạn nội dung, chương trình sách giáo khoa: Trong chương trình Đại số chương IV học sinh học khái niệm đa thức, bậc đa thức, cách tìm giá trị đa thức giá trị ẩn, định nghĩa nghiệm cuả đa thức, bước đầu học sinh biết cách tìm nghiệm đa thức, số đa thức đơn giản (bậc bậc hai) Trong chương I sách giáo khoa Đại số học sinh học phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thức (phép chia hết phép chia có dư) Nhưng học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử đa thức tương đối đơn giản, có bậc thấp số cách thơng thường, chưa có liên hệ kết nối kiến thức nghiệm đa thức với việc phân tích đa thức thành nhân tử, giá trị đa thức, dư phép chia đa thức với việc tìm nghiệm đa thức nên học sinh chưa có hiểu biết cách tồn diện có hệ thống đa thức Những nội dung kiến thức cần cung cấp làm rõ cho học sinh q trình giảng dạy đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử:  Các khái niệm bản: - Một đa thức biến x,y, ,z biểu thức nguyên chữ x,y, ,x z biến - Nếu x = a đa thức f(x) có giá trị ta nói a nghiệm đa thức f(x) - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa biến đổi thành tích đơn thức đa thức  Các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG VÀ CÁCH GIẢI PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3x2-8x+4 Nhận xét: Đa thức khơng chứa thừa số chung Khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ, khơng thể nhóm số hạng Ta biến đổi đa thức thành đa thức có nhiều số hạng hơn: Cách 1: (tách số hạng thứ 2) 3x -8x+4 = 3x2-6x-2x+4 = (3x2-6x)-(2x-4) =3x(x-2)-2(x-2) = (x-2)(3x-2) Cách 2:(tách số hạng thứ nhất) 3x -8x+4 = 4x2-8x+4-x2 = (2x-2)2 -x2 = (2x-2+x)(2x-2-x) = (3x-2)(x-2) Tổng quát: Để phân tích tam thức bậc hai ax2+x+c thành thừa số ta tách số hạng bx=b1x+b2x cho: b1b2= ac Trong thực hành ta làm sau: Bước 1: Tìm tích ac Bước 2: Phân tích a.c thành tích thừa số nguyên cách Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng b Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x -4x-3 (a=4,b=-4,c=-3) Ta có: ac= 4.(-3)=-12 -12=-6.2=-4.3=2.(-6)=4.(-3)=1.(-12)=-12.1 Vì -6+2= -4 =b nên ta làm sau: Cách 1: 4x2-4x-3 = 4x2-6x+2x-3 = (4x2-6x)+(2x-3) = 2x(2x-3)+(2x-3) = (2x-3)(2x+1) Cách 2: Tách số hạng thứ 3: 4x2-4x-3 =4x2-4x+1-4 = (4x2-4x+1)-4 = (2x-1)2-22 = (2x-1-2)(2x-1+2) = (2x-3)(2x+1) Qua hai ví dụ ta thấy việc tách số hạng thành nhiều số hạng khác thường nhằm mục đích: + Làm xuất hệ số tỷ lệ nhờ mà xuất thừa số chung (cách 1) + Làm xuất hiệu hai bình phương (cách 2) Với đa thức có bậc từ trở lên, để dễ dàng làm xuất hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất nghiệm đa thức Ta nhắc lại khái niệm nghiệm đa thức: Số a gọi nghiệm đa thức f(x) f(a)=0 Như đa thức f(x) có nghiệm x-a chứa thừa số x-a Giả sử đa thức: a0xn+a1xn-1+ +an với a0,a1, ,an-1,an  Z có nghiệm x= a (a  Z) => a0xn+a1xn-1+ +an =(x-a)(b0xn+b1xn-1+ +bn –1) b0,b1, ,bn-1,bn  Z Số hạng có bậc thấp tích vế phải bằng-abn-1 Số hạng có bậc thấp vế phải an -abn-1= an tức a ước an Vậy đa thức có nghiệm ngun nghiệm ước hạng tử tự an Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử x3-x2-4 Lần lượt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=23-22-4=0 đa thức có nghiệm x= chứa thừa số (x-2) Cách 1: x3-x2-4 =x3-2x2+x2-2x+2x-4 = (x3-2x2)+(x2-2x)+(2x-4) =x2(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x2+x+2) Cách 2: x3-x2-4 =x3-8-x2+4 = (x3-8)-(x2-4) =(x-2)(x2+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x2+2x+4-x-2) =(x-2)(x2+x+2) Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên đa thức nên nhớ định lý sau: *ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức, đa thức chứa nhân tử x-1 Ví dụ : x3-5x2+8x-4 x-1 x - -x3-x2 x2-4x+4 - 4x2+8x-4 - 4x2+4x 4x-4 4x-4 Vậy x3-5x2+8x-4x-1 = (x-1)(x2-4x+4) = (x-1)(x-2)2 * ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ -1 nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tử x+1 a -2 f(1) 18  -18 a a  f(1) 44 44  -44 a a Ta có: -3 -9 18 18 -6 18 18 -9 18 10 18 18 17 -18 18 19 -11 18 18 18 18 18 18 18 ; ; ; ; ; ; � Z 3  6   9  18 18 Nên: -3; 6; 9; 18 không nghiệm f(x) 44 �Z � nghiệm f(x) 2 Nếu phương trình có nghiệm ngun -2 Nhẩm ta thấy x = nghiệm f(x) 4x3-13x2+9x-18 = 4x3-12x2-x2+3x+6x-18 = (4x3-12x2)-(x2-3x)+(6x-18) = 4x2(x-3)-x(x-3)+6(x-3) = (x-3)(4x2-x+6) CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a, x  x  d, x  13 x  36 b, 3x  x  e, x  x  18 c, x  x  f, x  x  24 g , 3x  16 x  h, 8x  30 x  i, 2x  x  12 k, 6x  x  20 Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1/ x  x  x  2/ x3  x  3 / x3  x  8x  4/ x  x  5/ x  x  x  16 6/ 4x  13 x  x  18 / x3  x  8x  8/  x3  x  x  9/ 6x  x  486 x  81 10/ x  x  11/ x3  x  12/ x  x  3x  13 / x3  x  17 x  10 14/ x  x  x  15/ x  x  16/ 2x  12 x  17 x  17 / x3  x  18/ x  x  x  19 / x  x  26 x  24 20/ 2x  x  x  21/ 3x3  14 x  x  22/ x  x3  x  x  (Đa thức cho có nghiệm nguyên nghiệm hữu tỉ) PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT SỐ HẠNG LÀM XUẤT HIỆN HIỆU HAI BÌNH PHƯƠNG HOẶC XUẤT HIỆN NHÂN TỬ CHUNG Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 4x4+81 4x4+81 = 4x4+36x2+81-36x2 = (4x4+36x2+81)-(6x)2 = (2x2+9)2-(6x)2 = (2x2+9-6x)(2x2+9+6x) Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: x7+x2+1 x7+x2+1 = x7-x+x2+x+1 = (x7-x)+(x2+x+1) = x(x6-1)+(x2+x+1) = x(x3-1)(x3+1)+(x2+x+1) = x(x-1)(x3+1)(x2+x+1)+(x2+x+1) = (x2+x+1)[x(x-1)(x3+1)+1] = (x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Chú ý: Các đa thức dạng: x3m+1+xm +1 chứa thừa số (x2+x+1) CÁC BÀI TOÁN Bài 1: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử: 1/ (1  x )  x(1  x ) 2/  x    36 / x4  4/ x  64 / 64x  6/ 81x  7/ 4x  81 8/ 64x  y / x4  y 10/ x  x  Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1/ x  x  2/ x  x5  3/ x5  x  4/ x  x  / x8  x  6/ x5  x  7/ x5  x  8/ x10  x5  PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN ( ĐẶT NHÂN TỬ PHỤ)  Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x(x+4)(x+6)(x+10)+128 x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x)(x2+10x+24)+128 Đặt x2+10x+12 = y Đa thức có dạng (y-12)(y+12)+128= y2-16 = (y+4)(y-4) x(x+4)(x+6)(x+10)+128 = (x2+10x+16)(x2+10x+8) = (x+2)(x+8)(x2+10x+8) Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử: A= x4+6x3+7x2-6x+1 A= x4-6x3-2x2+9x2-6x+1 = x4+(6x3-2x2)+(9x2-6x+1) A= x4+2x2(3x-1)+(3x-1)2 = (x2+3x-1)2 CÁC BÀI TỐN Bài 1: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử 1/ x( x  4)( x  6)( x  10)  128 2/ (x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  24 / ( x  x  8)  3x( x  x  8)  x 4/ ( x  x)  x  x  12 / x  xy  y  x  y  15 6/ (x  a)( x  2a)( x  3a )( x  4a )  a / x  11x  8/ ( x  x)2  3( x  x)  / x  xy  y  3x  y  10 10/ ( x  x)  x  18x  20 11/ x  xy  y  x  y  35 12/ (x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  16 Bài 2: Phân tích đâ thức sau thành nhân tử 1/ x  x  x  x  /( x  y  z )( x  y  z )  ( xy  yz  zx ) PHẦN BA KẾT LUẬN Kết Sau thời gian thực dạy học Phân tích đa thức thành nhân tử theo định hướng giải pháp trình bày trên, kết hợp với q trình ơn luyện, rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, tiến hành kiểm tra kết quả, đánh giá hiệu áp dụng đề tài thu số liệu sau: Khảo sát chất lượng học sinh ( áp dụng sáng kiến): - Nội dung khảo sát: Kiểm tra khả giải dạng tốn nâng cao phân tích đa thức thành nhân tử - Đối tượng khảo sát: Học sinh lớp năm học 2014 – 2015 - Thời điểm khảo sát: 1) Ngày 3/3/2015 2) Ngày 7/4/2015 3) Ngày 12/5/2015 - Đề khảo sát 1: (Thời gian làm 30phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, 12x2-18xy2-30y5; 3, a3 -3a +3b – b3; 5, 4x2 -25 +(2x + 7)(5 – 2x); 7, x2 – 7xy + 10y2; 2, 5x2-5xy – 10x + 10y; 4, a4 +6a2b + 9b2 -1; 6, x2+2x-15; 8, a4 + 9, 3x – 6y 10, 8x3 – 27 - Đề khảo sát 2: (Thời gian làm 45phút) Câu 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, x (2x  3y)  6y2 + 4xy 2, 8x3 + 4x2  y3  y2 3, a3  a2b  ab2 + b3 4, ab2c3 + 64ab2 5, 27x3y  a3b3y 6, 2x2  3x + 7, y4 + 64 8, x5 + x3 + x2 + 9, x2 – xy + y2 – 25 z2 10, x2 – 4x + Câu 2: Thu gọn phân thức sau: a) ( x  y (2 x  3) y  xy b) x  xy  y 2 x  xy  y c) x  3x  x2  x  - Đề khảo sát 3: (Thời gian làm 20phút) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1, 8x2 + 8x + 2, x4 – 8x 3, x3 - 3x2 - 4x + 12 4, x2 – y2 – 7x + 7y 5, x3 + x2 + 6, x2  5x + - Kết khảo sát: Lớp năm học 2014 - 2015 Sĩ số: 28 G Kh TB Y Kém XL học tập KQ khảo sát mơn tốn HK1 SL 15 12 % 3,6 53,6 42,8 SL 15 11 % 53,6 39,4 KQ khảo sát SL 10 % 32 35,7 32,3 KQ khảo sát SL 12 13 % 42,3 46,4 11,3 Kết khảo sát nêu cho thấy phương pháp làm việc biện pháp dạy học phân tích đa thức thành nhân tử tơi đề bước đầu đem lại hiệu tích cực, đặc biệt vấn đề giúp học sinh hiểu rõ, nhớ lâu kiến thức kĩ tiếp thu để giải dạng tập có liên quan Bài học kinh nghiệm Dạy học giải tốn thơng qua phương pháp nghệ thuật để giúp em nắm bài, hiểu có hứng thú, kỹ làm bài, tập khó luyện tập , chuyên đề Dạy học phương pháp tìm lời giải tốn có ý nghĩa quan trọng đòi hỏi người giáo viên phải say mê tìm tòi, học hỏi, nghiên cứu phương pháp cách vận dụng để dạy cho học sinh Tuy nhiên tất đối tượng học sinh phải truyền tải nội dung Mà cần xác định đối tượng để cung cấp kiến thức phù hợp với trình độ quỹ thời gian học Cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức từ đến phức tạp để tạo tiền đề cho học sinh có tư sáng tạo việc giải tốn nâng cao Bản thân tơi nghiên cứu đề tài này, áp dụng dạy cho học sinh khối thu kết khả quan Kiến nghị, đề xuất Tơi mong muốn có nhiều ý kiến đóng góp giúp đỡ thầy cô giáo bạn đọc đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! ngày 02 tháng 01 năm 2015 NGƯỜI VIẾT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHỤ LỤC GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM (Dạy bồi dưỡng học sinh khá, giỏi) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG VÀI PHƯƠNG PHÁP KHÁC Mục tiêu: - Học sinh biết cách phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử phương pháp thêm bớt hạng tử - Vận dụng linh hoạt vào giải tập Chuẩn bị giáo viên học sinh - Học sinh đọc kỹ phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Đọc kỹ nhà - Giáo viên: Soạn bài, đọc tài liệu tham khảo, phấn màu Hoạt động thày trò a) Kiểm tra cũ + Học sinh 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 2 (x +y ) - 2x2y2 = [(x2+y2)- 4x2y2] 2 = [(x2+y2) - (2xy)2] = 1/2[(x2+y2-2xy) [(x2+y2+2xy)] = (x-y)2(x+y)2 GV: Em dùng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử GV: Uốn nắn cách trình bày học sinh + Học sinh 2: Tìm x biết: (2x-3)2-(x+5)2 = � (2x-3+x+5)[2x-3-(x+5)]=0 � (3x+2)(2x-3-x-5)=0 � (3x+2)(x-8)=0 � � 3x+2=0 � x=�� � � � � x-8=0 � x =8 � � GV: Dùng phương pháp để phân tích vế trái thành nhân tử? � A =0 A.B = � � � B=0 � * Đặt vấn đề vào mới: GV: Phân tích x2+5x+6 thành nhân tử: Dùng phương pháp học để phân tích đa thức thành nhân tử? HS: Không thể dùng phương pháp học để phân tích GV: Đó nội dung học hôm nay! a Dạy nội dung HOẠT ĐỘNG GV HOẠT ĐỘNG HS GV: Giới thiệu nội dung học Tách hạng tử thành nhiều GV:HS: Ta dùng phương hạng tử pháp học để phân tích đa thức b Phân tích x2+5x+6 thành nhân tử? thành nhân tử C1: x2+5x+6=x2+2x+3x+6 ? Em tìm cách phân tích =(x2+2x)+(3x+6) HS: Suy nghĩ cách trả lời =x(x+2)+3(x+2) GV:Nói ghi lên bảng =(x+2)(x+3) GV:Ta tách 5x=2x+3x áp dụng phương pháp học để phân tích đa thức thành nhân tử GV:Học sinh lên bảng làm bài? GV:Em dùng phương pháp để phân tích? GV:Còn cách nhóm khác? GV:Em có cách khác để tách 5x? HS:Khơng GV:Nhận xét 6=2.3 5x=2x+3x GV:Tương tự ví dụ lớp suy nghĩ? HS: -6=-3.2 x=2x+3x GV:Gọi học sinh lên bảng làm bài? GV:Có cách nhóm khác GV:Một đa thức khơng chứa thừa số chung, khơng có dạng đẳng thức đáng nhớ nào, khơng thể nhóm số hạng, Ta biến đổi đa thức thành đa thức thành đa thức có nhiều số hạng GV:Muốn phân tích đa thức thành nhân tử ta tách hạng tử nào? HS:Suy nghĩ trả lời? -8x=-6x-2x C2: (x2+3x)+(2x+6) =x(x+3)+(2(x+3) =(x+3)(x+2) c Phân tích x2-x-6 thành nhân tử x2-x-6=x2-3x+2x-6 =(x2-3x)+(2x-6) =x(x- 3)+2(x-3) =(x-3)(x+2) c.Phân tích đa thức thành nhân tử 3x2-8x-4 C1 3x2-8x-4=3x2-6x-2x+4 =(3x2-6x)-(2x+4) GV:Có thể tách hạng tử khác không? =3x(x-2)-2(x-2) 2 2 HS: 3x =4x -x C2 3x -8x-4=4x2-8x+4-x2 =(4x2-8x+4)-x2 =(2x-2)2-x2 =(2x-2+x)(2x-2-x) GV:Có số phân tích đa thức =(3x-2)(x-2) thành nhân tử dùng Thêm bớt hạng tử phương pháp học để phân tích a Phân tích đa thức thành nhân tử x4+4 phương pháp thứ hai GV:Nếu dùng phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử khơng thể làm toán GV: Em làm được? HS:Suy nghĩ trả lời? GV:Hãy thêm bớt hạng tử x4+4=(x2)2+22 để phân tích Lưu ý có tổng = (x2)2+4x2+22-4x2 bình phương =(x+2)2-(2x)2 =(x2+2+2x)(x2+2-2x) GV:Có thể dùng phương pháp thêm bớt hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử khơng? HS:Suy nghĩ GV:Gọi học sinh lên bảng Cả lớp làm GV:Qua ví dụ học sinh rút nhận xét? GV: (chốt) Qua ví dụ ta nhận thấy thênm, bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương (VD a.) làm xuất thừa số chung ( VD b.) GV:Dùng phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử? Gọi học sinh lên bảng làm b Phân tích thành nhân tử: x7+x2+1= x7-x+x2+x+1 =(x7-x)+(x2+x+1) =x(x6-1)+( x2+x+1) =x(x3+1)(x3-1)+ (x2+x+1) =x(x3+1)(x-1)(x2+x+1)+( x2+x+1) =( x2+x+1)(x5-x4+x2-x+1) Luyện tập lớp Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x2-7xy+10y2 =x2-2xy-5xy+102 =(x2-2xy)-(5xy-10y2) =x(x-2y)-5y(x-2y) GV:Dùng phương pháp để phân tích =(x-2y)(x-5y) đa thức thành nhân tử? b x4+64 =(x2)2+16x2+82-16x2 =(x2+8)2-(4-x)2 =(x2+8-4x)(x2+8+4x) c Củng cố kiến thức : - GV:Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng giúp giải tập quy đồng mẫu thức phân thức chương II, tìm x Vì em phải nhận xét đầu rèn kỹ thành thạo phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng phương pháp phù hợp với đề d Hướng dẫn nhà - Xem kĩ lại tập lớp - Bài tập nhà: 1,2,3 trang 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Đại Số Sách giáo khoa Đại Số Một số vấn đề phát triển Đại Số Toán bồi dưỡng học sinh lớp Đa thức-Phân thức đại số-Phương trình NXB Giáo Dục NXB Giáo Dục Vũ Hữu Bình Vũ Hữu Bình Bộ GD-ĐT ... tử: - Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phân. .. Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp Phân tích đa thức thành nhân tử cách tách hạng tử thành nhiều hạng tử - Phân tích đa thức thành nhân tử cách thêm bớt hạng tử MỘT... a đa thức f(x) có giá trị ta nói a nghiệm đa thức f(x) - Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) nghĩa biến đổi thành tích đơn thức đa thức  Các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân