Vận dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8

Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc I-/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong q trình giảng dạy mơn tốn nói chung, bảy đẳng thức đáng nhớ nói riêng, thấy vừa học xong bảy đẳng thức việc nhớ đẳng thức khơng dễ dàng với học sinh, đặc biệt với học sinh trung bình, yếu, Cụ thể em thường nhớ sai tên đẳng thức, nhầm lẫn dấu hạng tử, nhầm lẫn đẳng thức với nhau, xác định khơng xác đâu biểu thức thứ nhất, đâu biểu thức thứ hai, Hơn nữa, sau em lại cần phải áp dụng cách linh hoạt đẳng thức vào giải dạng tập quan trọng, như: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh biểu thức dương âm, phân tích đa thức thành nhân tử, cao tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, Trước yêu cầu em thường lúng túng vận dụng đẳng thức áp dụng đẳng thức thực hành sai với ngun nhân Bên cạnh có khơng học sinh thiếu tính sáng tạo cách học, cách suy luận, cách tự tìm lại kiến thức qn, cách phân tích, tổng hợp tìm tòi phát để giải tốn Do mức độ kiến thức mà em đạt chưa thể nói thỏa mãn yêu cầu người dạy người học tốn Chính tơi lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp 8” nhằm giúp học sinh khắc phục tình trạng nêu trên, đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập Giúp học sinh rèn luyện tri thức phương pháp để em biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại kiến thức qn, biết cách tìm tòi để phát kiến thức Đồng thời giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ quen Từ tạo điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt kiến thức liên quan sau II-/ THỰC TRẠNG : 1/ Thuận lợi: - Được quan tâm cấp lãnh đạo, Ban giám hiệu nhà trường - Đội ngũ giáo viên nhiệt tình, ham học hỏi nhằm tìm cách nâng cao chất lượng giảng dạy tạo hứng thú cho học sinh mơn 2/ Khó khăn: - Một số giáo viên có quan niệm rằng: Học sinh cần nhớ đẳng thức vận dụng vào tập nên tiết dạy đẳng thức để học sinh làm quen giáo viên dạy nhanh so với trình độ nhận thức học sinh, dạy nội dung dàn trải chưa làm bật trọng tâm dạy, chưa có phương pháp linh hoạt để gây hứng thú học tập học sinh đồng Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc thời chưa kiểm tra việc nắm công thức vận dụng công thức theo hai chiều - Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em - Một số học sinh ham chơi, lười học, ngồi học lớp chưa tập trung có tâm lý chán nản sợ học mơn tốn Khi kiểm tra em lý thuyết hiểu u cầu em làm thêm phần tập vận dụng lúng túng khó khăn để trình bày - Cách học em chưa phù hợp, em thường học để chống đối kiểm tra giáo viên, em cho rằng: Chỉ cần học thuộc lý thuyết làm tập mà em quên rằng: “ Học phải đôi với hành” 3/ Số liệu thống kê: Sau học xong “Những đẳng thức đáng nhớ” cho em làm kiểm tra viết 15 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kỹ vận dụng đẳng thức vào làm tập Kết thu sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 83 33 6,1 10 30,3 16 48,5 15,1 Kết chứng tỏ rằng: em ghi lại nội dung bảy đẳng thức cho em tập cần vận dụng đẳng thức có số học sinh lúng túng, áp dụng khơng đẳng thức, khơng tìm lời giải, chưa chịu khó suy nghĩ, chưa có niềm tin để tự giải tốn Rất nhiều học sinh lớp chưa nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng tốn Trong nhiều kiến thức đại số biết sử dụng đẳng thức để xử lý tốn có nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp em phát triển tư cách tích cực III-/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI: 1/ Cơ sở lý luận: Ta biết "Bảy đẳng thức đáng nhớ" bảy cơng thức, cơng thức có hai vế: vế dạng tích, vế lại dạng tổng đại số : 1/ Bình phương tổng: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 2/ Bình phương hiệu: (A - B)2 = A2 - 2AB + B2 3/ Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A – B) (A + B) Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc 4/ Lập phương tổng: (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 5/ Lập phương hiệu: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 6/ Tổng hai lập phương: A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) 7/ Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Trong đó: A, B số, dạng chữ (đơn thức, đa thức), A, B biểu thức Thực chất việc vận dụng “Bảy đẳng thức đáng nhớ ” thực biến đổi theo hai chiều: + Biến đổi từ tích thành tổng việc áp dụng ln cơng thức mà không cần thực phép nhân nhiều phức tạp Kỹ sử dụng nhiều tốn rút gọn biểu thức, tính nhẩm, tính hợp lý giá trị biểu thức + Biến đổi từ tổng thành tích kỹ sử dụng nhiều tốn tính nhẩm, tìm x, phân tích đa thức thành nhân tử Từ phục vụ cho phép toán phân thức đại số, giải loại phương trình chương sau - Học sinh trung bình - yếu chưa nắm cơng thức “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ”, chưa nhận dạng cơng thức tồn dạng số, dạng chữ, dạng chữ số hỗn hợp, dạng bình phương biểu thức phức tạp - Có học sinh nhận dạng đẳng thức nhiên chưa vận dụng linh hoạt đẳng thức theo hai chiều biết vận dụng linh hoạt đẳng thức thực phép tính, phép biến đổi biểu thức sai sót dấu thực phép nhân, sử dụng quy tắc bỏ ngoặc đằng trước có dấu trừ, quy tắc chuyển vế tốn tìm x, - Trong trình giảng dạy giáo viên chưa thực quan tâm rèn kỹ năng, thuật toán cho học sinh đặc biệt học sinh yếu Giáo viên chưa tình mà em dễ nhầm lẫn qua góp phần củng cố kỹ cho học sinh - Sau cung cấp xong “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ” cho học sinh, giáo viên chưa nhấn mạnh giống khác công thức dễ nhầm lẫn - Qua dạng tập giáo viên chưa nêu bật cách vận dụng “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ” theo hai chiều: vận dụng theo chiều tổng thành tích, vận dụng theo chiều tích thành tổng dẫn tới học sinh vận dụng chưa linh hoạt đẳng thức - Giáo viên chưa thực định hướng, xây dựng cho học sinh phương pháp học tập nhẹ nhàng, hiệu mà lại nâng cao kỹ làm cho học sinh Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc - Giáo viên chưa ứng dụng nhiều công nghệ thông tin, phương tiện dạy học đại công tác giảng dạy nhằm nâng cao hiệu học tập tạo hứng thú học tập qua trò chơi “ Chơi mà học - Học mà chơi ” mà công nghệ thông tin dễ giúp giáo viên thực điều 2/ Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Trước thực trạng vấn đề, trình giảng dạy "Bảy đẳng thức đáng nhớ" đưa số giải pháp sau: 2.1/ Lưu ý dạy lý thuyết: Trước hết phải chứng minh tồn đẳng thức để gây tin tưởng học sinh tính đắn công thức Cụ thể: * Dạy đẳng thức: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 A2 – B2 = (A + B)(A – B) A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) Chẳng hạn: Dạy đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Yêu cầu học sinh thực phép tính: (a + b)(a + b) với a, b hai số Từ rút (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Tổng quát đẳng thức với A, B biểu thức tùy ý Sau cho học sinh phát đẳng thức lời * Dạy đẳng thức: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (A – B)3 = A3 – A2B + 3A B2 – B3 A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Có cách tìm công thức: + Cách 1: Thực nhân đa thức với đa thức + Cách 2: Vận dụng đẳng thức học Chẳng hạn: Dạy đẳng thức (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Vận dụng đẳngthức thứ nhất, yêu cấu học sinh tính [a + (– b)] với a, b số tùy ý Từ rút ra: (a – b)2 = [a + (– b)]2 = a2 – 2ab + b2 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc Tổng quát đẳng thức với A, B biểu thức tùy ý Sau tìm đẳng thức giáo viên khái quát đẳng thức với biểu thức tùy ý, sâu vào cách nhớ đẳng thức cách yêu cầu học sinh phát biểu thành lời theo hai chiều từ tích thành tổng từ tổng thành tích Giáo viên cách nhớ cho học sinh qua việc so sánh đẳng thức cụ thể sau: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (A + B)3 = A3 + A2B + 3A B2 + B3 (A - B)3 = A3 - A2B + 3A B2 - B3 A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2) Cùng dấu cộng A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) - Giống nhau: Vế phải có ba hạng tử giống - Khác nhau: Dấu hạng tử 2AB - Giống nhau: Vế phải có bốn hạng tử giống - Khác nhau: Ở công thức (A - B) dấu “-”đứng trước luỹ thừa bậc lẻ B (quy tắc đan dấu) A2 - AB + B2 gọi bình phương thiếu hiệu A2 + AB + B2 gọi bình phương thiếu tổng Cùng dấu trừ Cho HS tìm mối quan hệ đẳng thức (A – B)2 = (B – A)2 (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 = A2 – 2AB + B2 + 4AB = (A – B)2 + 4AB Vậy: (A + B)2 = (A – B)2 + 4AB (A + B)3 = A3 + A2B + 3AB2 + B3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) Vậy: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A + B) A2 + B2 = (A + B)2 – 2AB A2 + B2 = (A – B)2 + 2AB A3 – B3 = (A – B)3 + 3AB(A – B) Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc Đưa tình tạo điều kiện cho học sinh ghi nhớ công thức phát triển công thức theo chiều tư thuận Bước để học sinh tự làm thơng qua trò chơi, tập trắc nghiệm Giáo viên giúp học sinh hoàn thiện tư theo chiều ngược lại Cho học sinh tự hệ thống lại đồ tư 2.2/ Lưu ý khi giải tập a/ Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng đẳng thức vào giải toán ? Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu, tơi u cầu hai học sinh có học lực trung bình lên bảng với yêu cầu sau: Học sinh 1: a/ Viết cơng thức bình phương tổng hai biểu thức A, B b/ Tính: ( x + 1)2 ; (3x + 2y)2 Học sinh 2: a/ Viết cơng thức bình phương hiệu hai biểu thức A, B b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: … – 4x + = (…– )2 x2 – 10xy + … = ( … – )2 Kết em thực sau: Học sinh 1: a/ (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + (3x + 2y)2 = 3x2 + 12xy + 2y2 Học sinh 2: a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 4x + = ( x – )2 x2 – 10xy + 5y2 = ( x – 5y )2 Với biểu thức A B đẳng thức số gồm biến em dễ dàng vận dụng đẳng thức vào làm tập Còn A B biểu thức phức tạp em lại hay bị mắc phải sai lầm Vậy làm để em hạn chế tối đa sai lầm ? Trước hết lưu ý em phải thực đóng ngoặc biểu thức lũy thừa phân số đơn thức có từ hai thừa số trở lên đa thức Hoặc viết đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 dạng: ( Coi A , coi B Ví dụ: Tính (3x + 2y)2 Giáo viên nói coi + )2 = 3x, coi + 2y + Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc Cho học sinh yếu lên bảng điền vào sơ đồ ( x + y )2 = + x2 = 9xx2 + 12xy + 4y y + y Từ phương pháp sử dụng sơ đồ học sinh nắm đẳng thưc Các đẳng thức khác hướng dẫn tương tự Sau hướng dẫn, yêu cầu học sinh đứng chỗ sửa chỗ làm sai bạn, kết quả: x2 – 10xy + (5y)2 = ( x – 5y )2 hay x2 – 10xy + 25y2 = ( x – 5y )2 Qua tiết học lớp, đa số em vận dụng vào làm tập vận dụng vào đẳng thức b/ Vận dụng đẳng thức vào làm dạng tập: Vận dụng đẳng thức vào giải tập kỹ sử dụng thường xuyên, để học sinh có kỹ vận dụng linh hoạt, sáng tạo đẳng thức vào giải toán tốt, giáo viên cần: - Xây dựng phương pháp giải dạng tốn có vận dụng “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ” - Phân bậc dạng tập từ dễ đến khó phù hợp với trình phát triển tư học sinh, tập trước tiền đề gợi ý cho tập sau - Sửa chữa sai lầm thường gặp học sinh giải toán (giáo viên cho học sinh kiểm tra chéo từ củng cố kiến thức kĩ làm cho học sinh, sai lầm mà học sinh mắc phải ) - Củng cố kỹ biến đổi đẳng thức theo hai chiều hoàn thiện dần kỹ rút gọn biểu thức - Tìm tòi cách giải hay, khai thác tốn dành cho học sinh giỏi Sau xin đưa số ví dụ cụ thể: Dạng 1: Vận dụng trực tiếp đẳng thức Ví dụ 1: Viết biểu thức sau dạng đa thức: 1  a)  x + ÷ b) (5 – 3x)2 2  c) (2x - y)( 4x2 + 2xy + y2) d) (a + b + c)2 Sau đưa đề lên bảng cho em thảo luận trình bày làm tơi thấy phần lớn em làm câu a câu b mà không mắc sai lầm biểu thức luỹ thừa phân số đơn thức có từ hai thừa số trở lên đa thức Tuy nhiên câu c em chưa nhận dạng tích có dạng đẳng thức nên thực phép nhân đa thức với đa thức để tính Giáo viên cần định Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc hướng cho học sinh vận dụng đẳng thức theo chiều tích thành tổng để phá ngoặc thu gọn đơn thức đồng dạng Tương tự câu d ta tính kết sau: (a - b + c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2bc + 2ac (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab + 2bc - 2ac Hơn so sánh kết câu d kết ta thấy chúng: - Giống có : a2 + b2 + c2 - Khác dấu trước hai lần tích hai số Ví dụ : Viết tổng sau dạng tích: a/ 9x2 + 6x + b/ - 25x2 + 20xy – 4y2 c/ - 12x + 6x2 - x3 Giải: a/ -20xy + 25x2 + 4y2 = 25x2 – 20xy + 4y2 = (5x)2 – 5x 2y + (2y)2 = (5x – 2y)2 b/ - 25x2 + 20xy – 4y2 = - (25x2 – 20xy + 4y2) = -(5x – 2y)2 c/ - 12x + 6x2 - x3 = 23 – 22 y + x2 - x3 = (2 - x)3 Ở câu a, b số học sinh chưa nhận đẳng thức “ ẩn ” biểu thức này, khéo léo biến đổi thêm bước xuất đẳng thức Cụ thể: + Các biểu thức chưa dạng đẳng thức phải đổi vị trí hạng tử câu a + Để xuất đẳng thức phải đổi dấu hạng tử cách đưa hạng tử vào ngoặc mà trước ngoặc dấu “-” câu b Tuy nhiên lúc đề rõ việc dựa vào đẳng thức mà câu hỏi khác chẳng hạn: Viết tổng thành tích, tính, tính nhanh, thêm hạng tử vào biểu thức để có đẳng thức, điền biểu thức thích hợp vào vng, mấu chốt cho biểu thức dạng tích tìm cách biến đổi dạng tổng, cho đa thức tìm cách biến đổi dạng tích Dạng 2: Rút gọn biểu thức: Ví dụ : Rút gọn biểu thức sau: Bài tập 30, 31 trang 16 SGK a/ (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 + x3) b/ (2x + y)(4x2 - 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) c/ (2x - 1)2 - (2x + 2)2 d/ (a + b)3 - 3ab(a + b) Sau đưa đề lên bảng cho em thảo luận trình bày làm nhóm tơi thấy phần lớn nhóm làm sau: a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3 = - 27 b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc = 2y3 c/ (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = 4x2 - 4x + - (4x2 + 8x + 4)= 4x2 - 4x + - 4x2 - 8x - = -12x - d/ (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + a2b + 3a b2 + b3 - 3a2b - 3ab2 = a3 + b3 Tạm chấp nhận với lời giải đó, tơi hướng em cách giải khác: a/ (x + 3)(x2 - 3x + 9) - (54 +x3) = x3 + 33 - 54 - x3 = 27 - 54 = - 27 Ở câu a thay câu hỏi “Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x” ( kết câu a sau rút gọn số) b/ (2x + y)(4x2 - 2xy +y2) - (2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 - [(2x)3 - y3] = 8x3 + y3 - 8x3 + y3 = y3 Kết câu b không phụ thuộc vào biến x, thay câu hỏi : “Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào x” HS thường khơng đóng ngoặc kết tích hai đa thức trước tích dấu “-” dẫn đến rút gọn sai như: không viết - [(2x)3 - y3] mà viết - (2x)3 - y3 c/ (2x - 1)2 - (2x + 2)2 = [(2x - 1) + (2x + 2)][ (2x - 1) - (2x + 2)] = (2x - + 2x + 2)(2x - - 2x - 2) = (4x + 1)(-3) = -12x - Ở giáo viên hỏi thêm : - Tính giá trị biểu thức x = ⇒ đưa tốn tính giá trị biểu thức - Nếu cho -12x - = tìm x ? ⇒ đưa tốn tìm x d/ Có thể đưa toán chứng minh đẳng thức : (a + b)3 - 3ab(a + b) = a3 + b3 Thực chất chứng minh đẳng thức tốn rút gọn biết kết quả, qua tập giáo viên cung cấp cho học sinh cách chứng minh đẳng thức Thông thường ta biến đổi vế phức tạp - kết vế lại Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: Trước hết chuẩn bị bảng phụ: Hãy điền biểu thức thích hợp vào vế lại đẳng thức : A2 + 2AB + B2 = …… A2 – 2AB + B2 = …… A2 – B2 = ………… A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = ………… Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 = ……… A3 + B3 = …………………… A3 – B3 = …………………… Cho HS điền biểu thức thích hợp vào vế lại Qua giúp em linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào việc giải toán dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng Ví dụ 4: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ x2 + 4y2 – 4xy x = 18 y = b/ 342 + 662 + 68.66 c/ 47.53 Có thể HS làm hai cách: Cách 1: a/ x2 + 4y2 – 4xy = x2 – 4xy + 4y2 = (x – 2y)2 Thay x = 18 y = giá trị biểu thức là: (18 – 2.4)2 = 102 = 100 b/ 342 + 662 + 68.66 = 342 + 2.34.66 + 662 = (34 + 66)2 = 1002 = 10000 c/ 47.53 = (50 – 3)(50 + 3) = 502 – 32 = 2500 – = 2491 Cách 2: a/ Thay x = 18 y = giá trị biểu thức là: 182 + 4.42 – 4.18.4 = 324 + 64 – 288 = 100 b/ 342 + 662 + 68.66 = 1156 + 4356 + 4488 = 10000 c/ 47.53 = 2491 Tôi nhận điều, là: Hầu em học hình thức, sau có đề em bắt tay vào làm tất mà em làm mà khơng quan sát, tư để tìm lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp Do sau giới thiệu đề tơi đặt câu hỏi: “Các em quan sát kỹ đề thử phát biểu thức cho có đặc biệt ?” để từ em hình thành cho thói quen phải biết quan sát, biết đặt câu hỏi phân tích, tự trả lời tìm cho lời giải thích hợp Kết em nhận đẳng thức biểu thức tự tin bắt tay vào làm Các em nhận không nên làm theo cách 10 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc Đối với học sinh giỏi, giáo viên đưa số tập tính giá trị biểu thức chứa hai biến Ví dụ 5: Cho x - y = Tính giá trị biểu thức: A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37 Hầu hết em lúng túng việc tìm lời giải (chưa nhận trước hết cần biến đổi biểu thức A để xuất lũy thừa x - y hay viết biểu thức A chứa lũy thừa x - y ) Hướng suy nghĩ: vận dụng phương pháp tính giá trị biểu thức khơng làm Vậy nên gợi ý cho học sinh biến đổi biểu thức A để xuất lũy thừa x - y Giải: A = x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy + 37 = x2 + 2x + y2 - 2y - 2xy + 37 = (x2 - 2xy + y2) + (2x - 2y) + 37 = (x - y)2 + 2(x - y) + 37 Thay x - y = ta có : A = 72 + 2.7 + 37 = 100 Ví dụ 6: Làm tính chia: a/ (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Giải a/ (4x2 – 9y2) : (2x – 3y) = (2x – 3y)(2x + 3y) : (2x – 3y) = 2x + 3y b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3) = x-y+3 Học sinh thấykhó khăn em thực phép chia phép chia thơng thường (đặt phép chia) giáo viên cần gợi ý để giúp em phân tích đề bài, tìm lời giải thích hợp Ví dụ (Bài tập 55 trang 25 SGK): Tìm x, biết : a/ x3 - x=0 b/ (2x – 1)2 – (x + 3)2 = Giải: 11 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc a/ x3 - x=0 b/ (2x – 1)2 – (x + 3)2 = (2x – + x + 3)( 2x – – x – 3) = x(x2 - ) = (3x + 2)(x – 4) = 3x + = x – = 1 x(x - )(x + ) = 2 Vậy x = 0; x = Vậy x = - 1 ;x=2 2 ;x=4 Với tốn tìm x sau rút gọn hai vế ta có bậc biến từ bậc hai trở lên tìm cách biến đổi để xuất đẳng thức theo chiều từ tổng thành tích từ vận dụng tích chất lũy thừa để tìm x Dạng 4: Chứng minh giá trị biểu thức dương, âm Ví dụ (Bài tập 82 trang 35 SGK): Chứng minh: a/ A = x2 – 2xy + y2 + > với số thực x y b/ B = x – x2 – < với số thực x Giải: Gợi ý: Tìm cách biến đổi biểu thức A xuất đẳng thức bình phương tổng hiệu a/ Ta có A = x2 – 2xy + y2 + = (x2 – 2xy + y2) + = (x – y)2 + Nhận xét: (x – y)2 ≥ với số thực x y Do A = (x – y)2 + ≥ > với số thực x y Vậy giá trị biểu thức A dương với giá trị biến Giáo viên hỏi thêm: + Biểu thức A có giá trị ? ( x = y) + Với x ≠ y A có giá trị nào? ( A > 1) Từ GV dẫn dắt giá trị nhỏ A x = y Đó tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức Muốn tìm giá trị nhỏ f(x): - Chứng minh A > m với m số - Chỉ dấu “=” xảy 12 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc - Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA ) 2   1 1 b/ Ta có B = x – x – = -(x – x + 1) = -  x - 2.x +  ÷ -  ÷ +1 2 2      1  = -  x - ÷ +  = -  x - ÷   2   2 2 1 1   Nhận xét:  x - ÷ ≥ với x nên -  x - ÷ ≤ với x 2 2   1  Do -  x - ÷ - ≤ - < 2  Vậy giá trị biểu thức B âm với giá trị biến Giáo viên hỏi thêm: ? (x = ) + Với x ≠ B có giá trị nào? (B < - ) GV chốt - giá trị lớn B (khi x ≠ ), từ dẫn dắt đến tốn tìm giá trị lớn + Với giá trị x B có giá trị - Muốn tìm giá trị lớn f(x) biến đổi : - Chứng minh A < t với t số - Chỉ dấu “=” xảy - Kết luận: Giá trị lớn A t ( kí hiệu maxA ) Dạng 5: Chứng minh đẳng thức Ví dụ 9: Chứng minh ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) ⇒ a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac ⇒ a2 + b2 + c2- ab - bc – ac = ⇒ 2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac = ⇒ ( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = ⇒ ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 = ⇒ ( a – b)2 = hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = ⇒ a = b hay b = c hay c = a 13 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc ⇒ a=b=c * Lưu ý: Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 IV-/ KẾT QUẢ: Hầu hết em hiểu, nhớ vận dụng thành thạo hơn, linh hoạt “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ” vào giải tập tính nhanh, tính nhẩm, viết biểu thức dạng đa thức, viết tổng dạng tích, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức Các em khơng tự tin làm nhanh tập kể với cách giải ngắn gọn, xác Sau áp dụng giải pháp trên, thu kết sau: * Chưa áp dụng giải pháp: Lớp Sĩ số Lớp Sĩ số 83 33 Giỏi Khá SL % SL 83 33 6,1 10 * Sau áp dụng giải pháp : Giỏi SL % 15,1 % 30,3 Khá SL 15 % 45,5 Trung bình SL % 16 48,5 Trung bình SL % 12 36,4 Yếu SL % 15,1 Yếu SL % 3,0 V-/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Từ thực tế giảng dạy nhận thấy để học sinh nắm vững “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ”, vận dụng linh hoạt giải toán giáo viên cần làm bật việc vận dụng theo hai chiều : + Biến đổi từ tích thành tổng (để phá ngoặc) toán rút gọn, chứng minh đẳng thức, tìm x làm sở cho phép biến đổi phương trình sau + Biến đổi từ tổng thành tích phương pháp để tính nhẩm, tính nhanh, phương pháp quan trọng để phân tích đa thức thành nhân tử sau này; làm sở cho toán rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức giải phương trình tích chương sau 14 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc - VI-/ KẾT LUẬN Việc dạy học “ Bảy đẳng thức đáng nhớ ” trường THCS làm tốt bước giúp học sinh định hướng kiến thức cần sử dụng, nâng cao kỹ làm cẩn thận, xác góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn 8, đồng thời giúp em ln có tính cẩn thận, làm việc khoa học, xác việc sống thực tiễn Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ q đồng nghiệp để giúp tơi hồn thành đề tài VI-/ TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa toán tập ( Nhà xuất Giáo dục ) Sách giáo viên Toán tập ( Nhà xuất Giáo dục ) Bài tập toán tập ( Nhà xuất Giáo dục ) Nâng cao phát triển toán - Tập ( Vũ Hữu Bình ) Kiến thức nâng cao - Tập ( Nhà xuất Hà Nội Toán nâng cao chuyên đề Đại số (Nhà xuất Giáo dục ) Vĩnh Tân, ngày 05 tháng 11 năm 2011 Người viết Lê Thị Bảo Ngọc 15 ... tiết học lớp, đa số em vận dụng vào làm tập vận dụng vào đẳng thức b/ Vận dụng đẳng thức vào làm dạng tập: Vận dụng đẳng thức vào giải tập kỹ sử dụng thường xuyên, để học sinh có kỹ vận dụng linh... – 2ab + b2 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc Tổng quát đẳng thức với A, B biểu thức tùy ý Sau tìm đẳng thức giáo viên... trả lời tìm cho lời giải thích hợp Kết em nhận đẳng thức biểu thức tự tin bắt tay vào làm Các em nhận không nên làm theo cách 10 Vận dụng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán lớp Lê Thị Bảo Ngọc