Nguyên hàm,đạo hàm,nguyên hàm tích phân các dạng là một chương hết sức quan trọng,nó có ở hầu hết các đề thi,đề ôn tập của cả lớp 11 và 12,vì vậy học tốt chương này các em sẽ đạt kết quả tốt,đây là các công thức nguyên hàm,đạo hàm cần nhớ,chúc các em học tập thật tốt
Truy cập website www.tailieupro.com để nhận thêm nhiều tài liệu Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ( ) ( ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN CÁC CƠNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUN HÀM – TÍCH PHÂN Đạo hàm hàm số sơ cấp ( k ) ' = (k số) Đạo hàm hàm hợp u = u(x) ( kx ) ' = k (k số) ( x a ) ' = a.x a – (u a ) ' = a.u a – 1.u ' ' ' u' 1 =− u u ' u' u = u ( sinu ) ' = u '.cos u 1 =− x x ' x =− x ( sinx ) ' = cosx ( cosu ) ' ( cosx ) ' = –sinx = tan x + cos x 1' ( cot x ) ' = − = − ( cot x + 1) sin x ( ex ) ' = ex ( tan x ) ' = = – u ' sin u u' = u ' ( tan u + 1) cos u u' ( cot u ) ' = − = −u ' ( cot u + 1) sin u ( eu ) ' = u '.eu ( tan u ) ' = http://www.tailieupro.com/ ( ) ( ) http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ a x ' = a x lna (a số) a u ' = u’a u lna (a số) x ( log a | x |) ' = x.ln a u' u u' ( log a | u |) ' = u.ln a ( ln | x |) ' = (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ ( ln | u |) ' = Tính chất đạo hàm (ku)’ = ku’ (k số) u u ' v − uv' = ; =− 2 v v v v ' (u.v)’ = u’v + uv’ ' http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ∫ ∗ Cơng thức tính đạo hàm nhanh hàm hữu tỉ : ax + bx + c (ab'−a' b) x + 2(ac'− a' c) x + (bc'−b' c) Dạng : y = ⇒ y’ = a ' x + b' x + c ' ( a ' x + b' x + c ' ) ax + bx + c ad x + 2ae.x + (be − dc) ⇒ y’ = dx + e (dx + e) ax + b ad − cb ⇒ y’ = Dạng : y = cx + d (cx + d ) Dạng : y = NGUYÊN HÀM Bảng nguyên hàm hàm số đơn giản u hàm số theo biến x, tức u = u ( x) *Nguyên hàm hàm số đơn giản dx = x + C du = u + C ∫ k dx = k x + C , k *Trường hợp đặc biệt u = ax + b, a ≠ ∫ k.du = k.u + C số Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) Tương tự: Đặt u ( x ) = a sin t Dạng 11 : Môt số dạng khác: Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) I = β α a + x2 α Đặt x = a tan t a b sin t dx a+x a−x Dạng 13: I = 3− x dx 1+ x http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ∫ http://www.tailieupro.com/ Ví dụ : Tính tích phân sau: I = ∫ Giải: 3− x −x + −8tdt ⇒ t2 = ⇒x= − ⇒ dx = 1+ x x +1 t +1 (t + 1) Đặt t = x = t = Đổi cận: ⇒ t = x = −8t dt t dt = 2 2 ( t + 1) ( t + 1) Khi đó: I = π π Đặt t = tan u , u ∈ − ; ⇒ dt = (tan u + 1)du 2 π u= t = Đổi cận: ⇒ t = u = π http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ π ⇒ I =8 tan u tan u + du π π (tan u + 1) =8 π π = ( 4u − 2sin 2u ) π3 = π π π 3 tan udu = sin udu = (1 − cos 2u )du tan u + π π 4 − 3+2 Chú ý: Phân tích I = β Dạng 14: I = α 3− x 1+ x dx , đặt t = + x tính nhanh ( x − a )( b − x )dx Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời ) a x2 − a2 = t ⇒ Đặt ⇒ dx = tdt t + a2 x x2 − a2 dx = dt ⇒ xdx = x − a dt = tdt a t dt ⇒ I= t + a2 a = t + a − a dt a = t + a2 t + a dx = − Dạng 15 : Nếu hàm số dấu tích phân có dạng f ( x ) = thể đặt x = a a +b x 2 n a dt t + a2 với n =1;2;3; …thì ta có a π π tan t với t ∈ − ; b 2 β Dạng 16: Tính tích phân: I = α f x n +1 x n dx đặt u = x n +1 ⇒ du = ( n + 1) x n dx Dạng 17: Tính tích phân : I = ∫ f ( x) x dx đặt u = x ⇒ du = x dx http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ ( ) http://www.tailieupro.com/ ) ∫ ( Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ( ax + b )dx đặt u = ax + b ⇒ du = adx KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH - Thực chất phương pháp biến đổi số ta tách cách khôn khéo đế đặt - Thơng thường có số dạng sau đây: β a I = α f x n +1 x n dx đặt t = x n +1 ⇒ dt = ( n + 1) x n dx Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: I = x − x dx = 168 HD: − dt 3x 1 6 t7 t8 I = ∫ t (1 − t )dt = ∫ ( t − t )dt = − = 30 30 168 http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ ∫ http://www.tailieupro.com/ Đặt: t = − x ⇒ dt = −3 x dx ⇒ dx = Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân: I = x − x dx Cách 1: Đặt t = − x 1 1 I = t (1 − t )dt = t − t = 15 3 2 Cách 2: Đặt t = − x Cách 3: Đặt t = x π Cách 4: Đặt x = cos t ⇒ I = sin t cos3 tdt Cách 4.1 Đặt sin t = u ⇒ cos tdt = du ⇒ I = ∫ u (1 − u )du Cảm ơn quí giáo viên cho đời tài liệu tuyệt vời