TỔNG hợp CÔNG THỨC NGUYÊN hàm cần NHỚ

Nguyên hàm,đạo hàm,nguyên hàm tích phân các dạng là một chương hết sức quan trọng,nó có ở hầu hết các đề thi,đề ôn tập của cả lớp 11 và 12,vì vậy học tốt chương này các em sẽ đạt kết quả tốt,đây là các công thức nguyên hàm,đạo hàm cần nhớ,chúc các em học tập thật tốt

Trang 1

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/ http://www.tailieupro.com/

http://www.tailieupro.com/

Gv : Lương Văn Huy – Nguyễn Thành Long – Trung Tâm Thầy Huy – Thanh Trì – HN

FULL KIẾN THỨC + KỸ NĂNG CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

Đạo hàm của hàm số sơ cấp Đạo hàm của hàm hợp u = u(x)

( ) k ' = 0 (k là hằng số)

a a – 1

( ) ' =

( ) kx ' = k (k là hằng số)

a a – 1

( ) ' = u ' '

1













x = 2

1

x

−

u

'

1 '

−

=













( ) '

x =

x

2

1

u

u u

2

' '

=

sinx cosx c

' ' osx –sinx

=

2

1

cos x

2

1'

sin x

sinu u '.cos u cosu – u ' u

'

=

2

u ' tan u ' u ' tan u 1

cos u

2

u '

sin u

( ) x x

e ' = e ( ) x x

'

a = a lna (a là hằng số)

( ) u u

e ' = u '.e ( ) u u

a ' = u’a ln a (a là hằng số)

| |

l x '

x

1

| | '

x

log x

.ln a

=

| | ' l

u

u '

| | ' lo

a

g u

u.ln

=

Tính chất của đạo hàm

1 (u + v – w)’ = u’ + v’ – w’ 2 (ku)’ = ku’ (k là hằng số)

'

' '

v

uv v u v

u = −











' 1 1

v

v = −











∗ Công thức tính đạo hàm nhanh của hàm hữu tỉ :

Dạng : y =

' ' ' 2

2

c x b x a

c bx ax

+ +

2

) ' ' ' (

) ' ' ( ) ' ' ( 2 ) ' ' (

c x b x a

c b bc x c a ac x

b a ab

+ +

− +

−

Dạng : y =

e dx

c bx ax

+

+ + 2

2

) (

2

e dx

dc be x ae x

ad

+

− + +

Dạng : y =

d cx

b ax

+

+ ⇒ y’ = 2

) (cx d

cb ad

+

−

NGUYÊN HÀM

Bảng nguyên hàm các hàm số đơn giản

u là hàm số theo biến x, tức là u=u x( ) *Trường hợp đặc biệt u=ax b a+ , ≠ 0

*Nguyên hàm của các hàm số đơn giản

1.∫dx= +x C ∫du= +u C

2.∫k dx =k x C + , k là ∫k du =k u C +

Trang 2

1 x

x dx

1 + α ≠ −

α+

α = α +

1

u

α

+

1

ax b

a

α α

α

+ +

+

∫

4. 1dx ln x C

(ax b)dx=a ax b+ +C +

∫

2dx x C

x

= − +

u

dx= − +C

∫

a

+

∫

*Nguyên hàm của hàm số mũ

a

+ = + +

∫

8.∫e−x dx= −e−x+C ∫e−u du = −e−u+C

9.

ln C a

x a x

a dx

a+ < ≠

=

u u

a du

a+

=

m

mx n a

mx n

∫

*Nguyên hàm của hàm số lượng giác

10.∫ cos x dx= sinx+C ∫ cos u du = sinu+C 1

cos( + ) = sin( + + )

a

11.∫ sin x dx= − cosx C+ ∫ sin u du= − cosu+C 1

sin( + ) = − cos( + + )

a

2 cos

2 cos u

du= u C+

2

+

a

ax b

2 sin

x

= − +

2 sin

u

= − +

2

+

a

ax b

Một số ví dụ trong trường hợp đặc biệt

1. cos 1sin

k

kx dx= kx C+

2

1 cos 2 x dx= sin 2x C+ k =

∫

2. sin 1cos

k

kx dx= − kx C+

∫ ∫ sin 2 x dx= −12cos 2x C+

k

2

2x 2x C

∫

1

ax b

a

α α

α

+ +

+

∫

2 1

.(

1 (2 1) (2x 1) dx . x C 2x 1) C

+

= +

+

∫

(ax b)dx=a ax b+ +C +

∫

3

ln 3 1

3x 1dx= x− +C

−

∫

a

+

3x 5du= x+ +C= x+ +C +

∫

7. e ax b dx 1e ax b C

a

m

mx n a

mx n

2

2 1 1

2 1

ln 5

x

∫

Trang 3

9. cos(ax b dx) 1sin(ax b) C

a

∫ ∫ cos(2x+ 1)dx=12sin(2x+ + 1) C

10. sin(ax b dx) 1cos(ax b) C

a

∫ ∫ sin(3x− 1)dx= −13cos(3x− + 1) C

2 cos ( )

a

ax b

+

∫

2

tan(2 1) 2

cos (2 1)

x

+

∫

2 sin ( )

a

+

2 sin (3 1)

+

∫

*Chú ý: Những công thức trên có thể chứng minh bằng cách lấy đạo hàm vế trái hoặc tính

bằng phương pháp đổi biến số đặt u=ax b+ ⇒du= ?.dx⇒dx= ?.du

HÀNG LOẠT DẠNG ĐẶC BIỆT CÁC EM NHỚ ĐƯỢC THÌ TUYỆT VỜI ÔNG MẶT

TRỜI

1.∫ udv = uv − ∫ vdu

2.

1 u

1

α+

α +

e du = + e C

5.

u

ln a

7 ∫ cos udu = sin u + C 8 tan udu ln cos u C∫ = + 9 cot udu∫ = − ln cos u + C

10.

arcsin C a

−

+

13 2du 2 1 ln u a C

−

15.

2

a ln a u a C

du

+

2

C

a u

+

21.

( 2 2) 3 2 2 2

C

+ +

23.

24.

−

25.

−

a u

−

∫

27.

2

29

Trang 4

31.

−

2

C

a u

−

32.

( 2 2 ) 2 2 2 2 2

C

a bu a ln a bu C

+

34.

2

3

+

35.

( du ) 1ln a bu C

+

36.

+

ln a bu C

+ +

38.

u a bu

+

+ +

a bu

+

2

15b

3b

+

3

8a 3b u 4abu a bu C 15b

+

sin udu u sin 2u C

2

cos udu u sin 2u C

2

46. 2

cot udu = − cot u − + u C

sin udu 2 sin u cos u C

3

cos udu 2 cos u sin u C

3

tan udu tan u ln cos u C

2

cot udu cot u ln sin u C

2

Cụ thể với n lẻ thì tách, còn n chẵn thì hạ bậc

n 1

−

n 1

−

( ) (( ))

sin a b u sin a b u

cos a b u cos a b u

u sin udu = − u cos u + n u − cos udu + C

u cos udu = u sin u − n u − sin udu

bx

a.sin ax b.cos ax e

+

bu

b sin au a cos au e

−

+

64. ln au du ( ) 1( ( )) 2

ln au b du u ln au b u C , a 0

a

ln u a du u ln u a 2a.arctan 2u C

a

( 2 2 ) ( 2 2 ) u a

u a

+

−

∫

68.

69. au 1 au

a

Trang 5

2

ue du = u 1 e − + C

2

a a

72.

n au

−

2a

I - PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

A Phương pháp biến đổi số thuận t=v x( )

Tính tích phân ( ) ( ( ) ) ' ( )

I = ∫ f x dx= ∫g v x v x dx

Bước 1: Đặt t=v x( ) ,v x( ) có đạo hàm liên tục và đổi cận

Bước 2: Biểu thị f x dx( ) theo t và dt: f x dx( ) =g t dt( )

Bước 3: Tính ( )

( )

v b

v a

I = ∫ g t dt

Nếu phân tích được như trên ta áp dụng trực tiếp

( ) ( ( ) ) ' ( ) ( ( ) ) ( )

I = ∫ f x dx= ∫g v x v x dx= ∫g v x d v x

B Phương pháp biến đổi số nghịch x=u t( )

Bước 1: Đặt x=u t t( ) , ∈ [ α β ; ] sao cho u t( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ α β ; ] , f u t( ) ( ) được

xác định trên đoạn [ α β ; ] và u( ) α =a u; ( ) β =b

Bước 2: Biểu thị f x dx( ) theo t và dt: f x dx( ) =g t dt( )

Bước 3: Tính I g t dt( )

β α

= ∫

C Phương pháp biến đổi số u x( ) =g x t( ) ,

ln

I f x dx

x

β α

x

ln ln

ln

x x

β α

= ∫   đặt u lnx du 1dx

x

ln ln

ln

x x

I f e e dx

β α

= ∫ đặt u=e x ⇒du =e dx x

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng a e. x+bta có thể giải theo hướng đặt t= a e. x +b

Dạng 4: I f [ cosx] sin x dx

β α

= ∫ đặt u= cosx⇒du= − sindx

b a

I = ∫ f x xdx đặt u = sinx⇒ du = cosxdx

Trang 6

Để tính tích phân dạng .sin 2 .

.

a x b sinx

dx

c d cosx

+ +

∫ ta đổi biến bằng cách đặt t = c+d cosx.

Dạng 6:

2 2

sin

sin 2 cos

b a

x

2 2

sin 2 cos

u

du xdx x



1 tan

cos

ax b

β α

+

1 tan

cos

ax b

+

β α

1 tan

cos

ax b

+

1 cot

sin

ax b

β α

+

1 cot

sin

ax b

+

β α

1 cot

sin

ax b

+

β α

= ∫ + − đặt u = sinx+ cosx⇒du = − ( sinx− cosx dx)

β α

= ∫ − , ( a > 0 )

Hoặc:

1

a x

β α

=

−

Đặt x=asint ⇒dx=acost, với ;

2 2

t  π π 

∈ − 

(Biến đổi để đưa căn bậc hai về dạng 2

A tức là 2 2 2 2

a −a x = a x =a x

Đổi cận:

'

;

2 2

;

2 2

t x

x

t

π π α

α

=

⇒



t  π π  α β  π π  t

Đến đây ta hạ bậc tính bình thường

Hoặc:

sin

a t

TỔNG QUÁT:

I a u x dx

β α

= ∫ − , (a> 0 ) hoặc:

( )

1

a u x

β α

=

−

Tương tự: Đặt u x( ) =asint

Dạng 11 : Môt số dạng khác:

Trang 7

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: 2 2

a −b x hay

1

a −b x ta đặt: sin

a

b

;

2 2

t  π π 

∈ − 

  khi đó dx acostdt

b

= và a2 −b x2 2 =acost hoặc 2 2 2

t = a −b x

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: 2 2

b x−a hay

1

b x−a ta đặt: sin

a x

b t

=

- Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng: x a( −bx) ta đặt: 2

sin

a

b

=

.

I a x dx

β α

= ∫ + , (a> 0 ) hoặc

1

a x

β α

=

+

∫

Đặt x=atant

a x

+

=

−

Ví dụ : Tính tích phân sau:

1 0

3 1

x

−

= +

Giải:

1



=

⇒

Khi đó:

1 3

8

t dt t dt I

−

2 2

3

u t

t

u

π π



=



=

⇒

=

2

+

4

3

π

π π

Chú ý:

Phân tích

1 0

3 1

x

−

= +

∫ , rồi đặt t= 1 +x sẽ tính nhanh hơn

β α

Trang 8

Ví dụ: Tính tích phân sau:

2

.

a a

I = ∫ x −a dx, (a> 0 )

x

x a t dx dt xdx x a dt tdt

x a

−

⇒

tdt dx

t a

= + ⇒

( 2 2 2 )

1

n

f x

a b x

= + với n =1;2;3; …thì ta có thể đặtx atant

b

2 2

t  π π 

∈ − 

I f x x dx

β α

+

1

u =x + ⇒du= n+ x dx

x

2

x

Dạng 18: Tính tích phân: I = ∫ f ax( +b dx) đặt u =ax+b⇒du =adx

KĨ THUẬT TÁCH THÀNH TÍCH

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số nhưng ta tách một cách khôn khéo đế đặt

- Thông thường có một số dạng sau đây:

a ( )n 1 n

I f x x dx

β α

+

1

t= x + ⇒dt = n+ x dx

Ví dụ 1: (ĐH Kiến Trúc – 1997) Tính tích phân sau: 1 ( )

6

0

1 1

168

I = ∫x −x dx=

HD:

2

3

dt

x

−

1

t t

Ví dụ 2: (ĐH TK2 - A2003) Tính tích phân:

1

0 1

I = ∫x −x dx

Cách 1: Đặt 2

1

t= −x

1 1

(1 )

I t t dt  t t 

∫

Cách 2: Đặt t = − 1 x2

Cách 3: Đặt t =x2

Cách 4: Đặt

2

0

π

Cách 4.1. Đặt

1

sint =u⇒ costdt =du⇒I = ∫u (1 −u du)

Trang 9

Cách 4.2.

2

0 sin (1 sin ) (sin )

π

t

−

I = ∫ −x − −x d −x = ∫ −x d −x = − ∫ −x d −x

KĨ THUẬT NHÂN

Ví dụ 1: Tính tích phân sau:

2

3

dx I

=

+

∫

Giải:

Ta có:

=

3

tdt

t = +x ⇒t = + x ⇒ tdt = x dx⇒x dx =



=

⇒

Khi đó:

2

t

Ví dụ 2: Tính tích phân sau:

2

x

x x

=

∫

Giải:

1 1

0

J

x

+ −

Đặt: 2

t= x + ⇒dt= xdx

⇒

Khi đó:

Trang 10

3

KĨ THUẬT CHIA

- Thực chất cũng là phương pháp biến đổi số hay phương pháp phân tích:

- Một số dạng: I f x 1 1 12 dx

β α

Ví dụ: (ĐHTN – 2001) Tính tích phân sau:

1 5

2 2

1

4 1

x

x x

π

+

∫

Giải:

Ta có:

2

1

1 1

1

x x

+

Đặt: t x 1 dt 1 12 dx

Đổi cận:

1

0

1 2

x

t t x

=



=





⇒





 Khi đó:

1 2

0 1

dt I

t

= +

∫

t= u⇒dt = + u du

Đổi cận:

0 0

1

4

u t

=



=

⇒

Khi đó:

1 tan

4 4

0

KĨ THUẬT BIẾN ĐỔI TỬ SỐ CHỨA ĐẠO HÀM Ở MẪU SỐ

Ví dụ : Tính tích phân sau:

8

0 1

x

= +

∫

Giải:

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	652,37 KB