Lý thuyết điều khiển tự độngchương 6 in (5)

MƠ TẢ TỐN HỌC CÁC PHẦN TỬ VÀ HỆ THỐNG ĐKTĐ CHAPTER GV: Trần Thị Minh Dung OUTLINE OF THIS CHAPTER Ø  2.1 Hàm truyền đạt Ø  2.2 Hàm truyền đạt hệ thống nhiều tín hiệu vào (MIMO) Ø  2.3 Đại số sơ đồ khối Ø  2.4 Phương trình trạng thái Ø  2.5 Mơ hình hóa số đối tượng điều khiển GV: Trần Thị Minh Dung KHÁI NIỆM CHUNG GV: Trần Thị Minh Dung •  Mơ hình tốn học xác định thực nghiệm, cách đo đầu hệ thống đáp ứng đầu vào biết •  Để thuận lợi việc phân tích, giải tốn điều khiển, người ta mơ tả toán học phần tử hệ thống hàm truyền đạt (transfer function), phương trình trạng thái (state space), •  Ta có sơ đồ khối hệ thống sau mơ tả bới phương trình vi phân: y(t) r(t) Hệ thống tuyến tính bất biến liên tục GV: Trần Thị Minh Dung d n y(t) d n−1 y(t) dy(t) a0 + a1 + + an−1 + an y(t) = n n−1 dt dt dt d m r(t) d m−1r(t) dr(t) b0 + b1 + + bm−1 + bm r(t) m m−1 dt dt dt •  n: bậc hệ thống, hệ thống hợp thức n ≥ m Phương trình phương trình vi phân, biết trước kích thước x(t) ta ln tìm nghiệm y(t) đáp ứng hệ thống Ví dụ 1: F1 F2 a b GV: Trần Thị Minh Dung •  Ta có hệ thức liên hệ lực đòn bẩy: F1 b a = ⇒ F2 = F1 F2 a b •  Nếu ta xem F2 tín hiệu ra, F1 tín hiệu vào, ví dụ mơ tả phương trình vi phân khâu khuếch đại với hệ số khuyếch đại k = a/b y(t) = k.r(t) Ví dụ 2: Hệ thống điện uC r(t) C iC iL iR R1 uL L uR R2 y(t) Cho mạch điện Biết trước giá trị C, L, R1, R2 Hãy xác định mơ hình mạch điện dạng phương trình vi phân mơ tả quan hệ tín hiệu vào điện áp r(t) tín hiệu y(t) điện áp R2 GV: Trần Thị Minh Dung •  Các định luật linh kiện, ta có: du C ( t ) iC (t) = C dt di L ( t ) u L (t) = L dt u R ( t ) = R.i R ( t ) GV: Trần Thị Minh Dung Ví dụ 3: Hệ thống mức chất lỏng Với: -  A: diện tích đáy -  h: chiều cao bình chứa -  Qi, Qo: lưu lượng đầu vào -  ρ: nồng độ (mật độ chất lỏng) -  V: thể tích bình chứa (m3) -  R: lực cản dòng chảy ( s/m2) Qi V h Qo R GV: Trần Thị Minh Dung NHẮC LẠI KIẾN THỨC •  Phương trình cân khối lượng: d(ρV) = ρQi − ρQo dt •  Giả sử mật độ chất lỏng số, ta có phương trình cân khối lượng viết lại sau: d (Ah ) = Qi − Qo dt dh A = Qi − Qo dt h Q0 = R GV: Trần Thị Minh Dung PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA VÍ DỤ NÀY LÀ: dh A + h = Qi dt R •  Phương trình vi phân bậc lớn khó giải Phân tích hệ thống dựa vào mơ hình tốn phương trinh vi phân gặp nhiều khó khăn Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân thực trường hợp tổng qt •  Vì cần dạng mơ tả tốn học khác giúp phân tích thiết kế hệ thống tự động dễ dàng •  Hàm truyền •  Phương trình trạng thái GV: Trần Thị Minh Dung 10 PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA SƠ ĐỒ KHỐI Đối với hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực phép biến đổi tương đương sơ đồ khối để làm xuất dạng ghép nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp vòng) tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ Hai sơ đồ khối gọi tương đương hai sơ đồ khối có quan hệ tín hiệu vào GV: Trần Thị Minh Dung 38 A W +- A AW-B B/W B A W +- W +- (A-B)W A W BW W W A AW W AW A W W AW A A GV: Trần Thị Minh Dung W B (A-B)W +- B A 1/W AW-B B AW AW AW AW 1/W A 39 A ++ +- A B ++ D C +C D D A D B + +- B A C + + +- B C - KHƠNG ĐƯỢC CHUYỂN VỊ TRÍ ĐIỂM RẼ NHÁNH VÀ BỘ TỔNG - KHƠNG ĐƯỢC CHUYỂN VỊ TRÍ BỘ TỔNG KHI GIỮA BỘ TỔNG CÓ ĐIỂM RẼ GV: Trần Thị Minh Dung 40 H2(s) VÍ DỤ X(s) +- ++ W1(s) + - W2(s) W3(s) Y(s) H1(s) Kết quả: W1 (s) W2 (s) W3 (s) W(s) = − W1 (s) W2 (s)H1 (s) + W2 (s) W3 (s)H (s) + W1 (s) W2 (s) W3 (s) GV: Trần Thị Minh Dung 41 MỘT SỐ NHẬN XÉT •  Phương pháp biến đổi sơ đồ khối phương pháp đơn giản •  Khuyết điểm phương pháp biến đổi sơ đồ khối khơng mang tính hệ thống, sơ đồ cụ thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác người giải tốn •  Khi tình hàm truyền tương đương ta phải thực nhiều phép tính phân thức đại số, hệ thống phức tạp phép tính hay bị nhầm lẫn •  Vậy phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối thích hợp để tìm hàm truyền tương đương hệ thống đơn giản •  Đối với hệ thống phức tạp ta có phương pháp hiệu hơn, phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu GV: Trần Thị Minh Dung 42 PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI Ø  Phương trình trạng thái tổng quát Ø  Xây dựng phương trình trạng thái từ hàm truyền đạt Ø  Chuyển đổi từ phương trình trạng thái sang hàm truyền GV: Trần Thị Minh Dung 43 ĐỊNH NGHĨA • Trạng thái • Vector trạng thái GV: Trần Thị Minh Dung 44 Trạng thái HT tập hợp nhỏ biến (gọi biến trạng thái) mà giá trị biến thời điểm t0 biết tín hiệu vào thời điểm t > t0, ta hoàn toàn xác định đáp ứng HT thời điểm t ≥ t0 HT bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái chọn biến vật lý biến vật lý Vector trạng thái biểu diễn sau: T x = !" x1 (t) x2 (t) x3 (t) ! xn (t) #$ Bằng cách sử dụng biến trạng thái, ta chuyển PTVP bậc n mơ tả HT thành hệ gồm n PTVP bậc (hệ PTTT) x! (t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) PTTT PT đầu Trong đó: x - biến trạng thái; y - tín hiệu đầu ra; u-tín hiệu vào GV: Trần Thị Minh Dung 45 A – Ma trận hệ thống x(t) = [ x1 (t) x2 (t)! xn (t)] T y(t) = [ y1 (t) y2 (t)! ym (t)] u(t) = [u1 (t) u2 (t)! ur (t)] T B = !" b1 b2 ! bn #$ T T " a $ 11 $ a21 A =$ $ ! $# an−1 a12 ! a22 ! ! " ! an−2 a1n % ' a2 n ' ' ! ' ann '& Ma trận điều khiển T C = !" c1 c2 ! cn #$ D = !" d1 Ma trận đầu T d2 ! dn #$ Ma trận đầu nhiễu GV: Trần Thị Minh Dung 46 D R(s) B ++ x! (t) 1/s x(t) C + + Y(s) A Chú ý: Tuỳ theo cách đặt biến trạng thái mà hệ thống mơ tả nhiều PTTT khác •  Nếu A ma trận thường, ta gọi (*) PTTT dạng thường •  Nếu A ma trận chéo, ta gọi (*) PTTT dạng tắc Đối với HTĐK đại, người ta cần hệ PT phản ánh mối quan hệ tín hiệu vào-ra mà có quan hệ ràng buộc trạng thái bên đối tượng PT gọi PTTT GV: Trần Thị Minh Dung 47 v Khơng gian có n biến trạng thái gọi không gian trạng thái Trong không gian trạng thái, PT thứ PTTT, PT thứ hai PT quan sát v Có thể thấy ưu điểm bật PTTT so với hàm truyền dùng cho hệ có nhiều loại tín hiệu vàora (MIMO) mà thay đổi cấu trúc không cần phải có giả thiết hệ có tất trạng thái đầu = v Giúp khảo sát trực tiếp trạng thái HT x(t), ta hiểu kĩ, sâu chất động học HT v Giả sử Một hệ MIMO có n tích phân có r tín hiệu vào r1(t), r2(t), …, rr(t) m tín hiệu y1(t), y2(t), …, ym(t) Xác định n tín hiệu biến trạng thái x1(t), x2(t),…,xn(t) Vậy hệ mơ tả sau: GV: Trần Thị Minh Dung 48 x!1 (t) = f1 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) x!2 (t) = f2 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) " x!n (t) = fn (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) Các đầu y1(t), y2(t), …, ym(t) cho bởi: y1 (t) = g1 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) y2 (t) = g2 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) ! ym (t) = gm (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) Nếu xác định GV: Trần Thị Minh Dung 49 T x(t) = [ x1 (t) x2 (t)! xn (t)] ; y(t) = [ y1 (t) y2 (t)! ym (t)] u(t) = [u1 (t) u2 (t)! ur (t)] T T ! f1 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) $ # & f2 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t)& # f (x, u, t) = #! & # & " fn (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t)% !g1 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) $ # & g2 (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t) & # g(x, u, t) = #! & # & "gm (x1, x2 ,…xn ;u1, u2 ,…ur ;t)% GV: Trần Thị Minh Dung 50 Các PT rút gọn sau: ! x! (t) = f (x, u, t) " # y(t) = g(x, u, t) PT x! (t) = f (x, u, t) PT trạng thái PT y(t)=g(x,u,t) PT đầu GV: Trần Thị Minh Dung 51 CHUẨN BỊ CHO CHƯƠNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG DKTD GV: Trần Thị Minh Dung 52 ... BIẾN ĐỔI LAPLACE •  Phép biến đổi laplace đùng hiệu việc giải toán lý thuyết mạch điện, điện tử, học đặc biệt lý thuyết điều khiển tự động •  Cho f(t) hàm xác định với t ≥ 0, biến đổi Laplace f(t)... thực nghiệm, cách đo đầu hệ thống đáp ứng đầu vào biết •  Để thuận lợi việc phân tích, giải tốn điều khiển, người ta mơ tả tốn học phần tử hệ thống hàm truyền đạt (transfer function), phương trình... (MIMO) Ø  2.3 Đại số sơ đồ khối Ø  2.4 Phương trình trạng thái Ø  2.5 Mơ hình hóa số đối tượng điều khiển GV: Trần Thị Minh Dung KHÁI NIỆM CHUNG GV: Trần Thị Minh Dung •  Mơ hình tốn học xác định