CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA I. CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI 1. Căn bậc hai số học Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x a 2 . Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0 . Với số dương a, số a làcăn bậc hai sốCHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA I. CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI 1. Căn bậc hai số học Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x a 2 . Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0 . Với số dương a, số a làcăn bậc hai sốCHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA I. CĂN BẬC HAI CĂN THỨC BẬC HAI 1. Căn bậc hai số học Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x a 2 . Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là a . Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết 0 0 . Với số dương a, số a làcăn bậc hai số
Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số CHƯƠNG I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA I CĂN BẬC HAI - CĂN THỨC BẬC HAI Căn bậc hai số học Căn bậc hai số không âm a số x cho x a Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: Số dương kí hiệu a , số âm kí hiệu a Số có bậc hai số 0, ta viết Với số dương a, số a làcăn bậc hai số học a Số bậc hai số học Với hai số không âm a, b, ta có: a < b a b Căn thức bậc hai Với A biểu thức đại số, ta gọi A thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) A lấy giá trị khơng âm A A2 A A neáu A A DẠNG 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ A CĨ NGHĨA Phương pháp: A có nghĩa A có nghĩa A > A có nghĩa g(x)≠ có nghĩa g(x)≠ Chú ý: Nếu yêu cầu tìm TXĐ sau tìm điều kiện x, em biểu diễn dạng tập hợp Nếu |f(x)| ≥ a f(x)≥ a f(x) ≤ -a ( với a>0) Nếu |f(x)| ≤ a -a ≤ f(x) ≤ a ( với a>0) Với giá trị x thức sau có nghĩa: Bài a) 3x b) 2x e) 9x f) 6x Bài c) 3 x d) 3x Với giá trị x thức sau có nghĩa: a) x x2 x2 b) d) 2x e) x x 2 x2 2x Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 c) f) x x2 x 2 2 x 1 Page Với giá trị x thức sau có nghĩa: Bài a) x2 b) 4x2 e) x5 f) 2 x c) a) x2 b) x 16 e) x ( x 2) f) x 5x c) x d) x2 2x Với giá trị x thức sau có nghĩa: Bài e) x2 2x Với giá trị x thức sau có nghĩa: Bài x 1 a) x x d) x 1 b) x d) x x 1 f) 12 x x c) x x 1 DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Phương pháp: Các em dùng đẳng thức hằngđẳng thức, biến đổi biểu thức đưa dạng áp dụng công thức: A A2 A A Bài Thực phép tính sau: a) 0,8 (0,125)2 d) 2 Bài 2 3 b) (2)6 e) 1 2 c) f) 0,1 2 0,1 Thực phép tính sau: a) 3 2 c) 2 1 2 e) Bài neáu A neáu A 2 3 2 2 b) 2 2 d) 3 f) 2 1 2 1 5 2 Thực phép tính sau: a) 52 52 b) 10 10 c) 42 42 d) 24 e) 17 12 f) 22 12 2 Trung Tâm Trí Đức Bài Chuyên đề Đại Số Thực phép tính sau: 29 12 a) b) 13 30 13 13 d) c) 2 5 e) 13 13 DẠNG 3: SO SÁNH CĂN BẬC Phương pháp: So sánh với số Bình phương hai vế Đưa vào (đưa ) dấu Dựa vào tính chất: a>b≥0 - BÀI TẬP: So sánh: Bài 1: ; 11 ; ; ; Bài 2: a) 147 d) 15 59 g) b) -3 - c) 21, , 15 , - 123 e) 2 - f) 41 h) - 10 - i) - và l) ,4 , - 132 , , j) - k) m) - - 23 n) - o) 28 2, 14, 147, 36 q) 25 - 16 r) 111 - p) - 27, 3, 16 , 21 15 DẠNG4: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp: Các em dùng đẳng thức đẳng thức, biến đổi biểu thức đưa dạng áp dụng công thức: A neáu A A2 A neáu A A Chú ý: Xét trường hợp A ≥ 0, A < để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Bài Rút gọn biểu thức sau: a) x x x ( x 3) c) Bài x2 2x ( x 1) x 1 b) x x x (2 x 0) d) x x2 4x ( x 2) x 2 * Rút gọn biểu thức sau: Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page a) A= 4a 4a2 2a b)B= x y x xy y2 c)C= x x 8x 16 d)D= x e) E= Bài x4 4x2 x 10 x 25 x 5 f)F= ( x 4)2 x 2 x4 x x 16 Cho biểu thức A x2 x x x a) Với giá trị x A có nghĩa? b) Tính A x Bài Cho số dương x , y , z thoả điều kiện: xy yz zx Tính: Ax (1 y )(1 z2 ) y x2 (1 z2 )(1 x ) y2 z (1 x )(1 y ) z2 DẠNG5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp: A A2 B2 A B ; A B B B A B A (hay B 0) A B A B AB A A hay A B A B A B B A B A B hay A B A B A B hay A B A A B 0 B Chú ý: Bài |A|=B ; |A|=A A ≥ 0; |a|=-A A≤ Giải phương trình sau: a) ( x 3)2 x b) x 20 x 25 x c) 12 x 36 x d) x x 1 e) x x x f) Bài 1 x2 x x 16 Giải phương trình sau: a) 2x x b) x2 x x c) 2x2 4x d) 2x x e) x2 x x f) x x 3x Bài Giải phương trình sau: a) x2 x x b) x x d) x2 x2 e) x2 x c) x2 4x x f) x x Trung Tâm Trí Đức Bài Giải phương trình sau: a) x2 2x x2 d) x2 x Bài Chuyên đề Đại Số x c) x 2x2 x e) x 8x 16 x f) x x 11 b) x x x 12 x x Bài 4x2 4x x Giải phương trình sau: a) x x c) b) x x x 12 x d) Giải phương trình sau: a) x x b) x 8x 16 x c) x x d) x2 x2 4x II LIÊN HỆ GIỮA PHÉP KHAI PHƯƠNG VÀ PHÉP NHÂN, PHÉP CHIA Phương pháp: Khai phương tích: A.B Nhân bậc hai: A B ( A 0, B 0) A B Khai phương thương: A B A Chia hai bậc hai: B A B A.B ( A 0, B 0) ( A 0, B 0) A ( A 0, B 0) B DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau: a) 12 27 75 48 c) 2 e) Bài 3 3 d) 1 1 f) b) 32 e) 13 160 53 90 Bài 11 11 Thực phép tính sau: 2 2 a) c) b) 3( 27 48 75) 21 12 d) 15 10 15 f) 62 12 18 128 Thực phép tính sau: Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page a) 125 80 605 c) 25 12 e) 3 3 Bài b) 15 216 33 12 192 d) f) 2 1 1 Thực phép tính sau: a) 10 10 1 d) 3 10 Bài b) 12 27 18 48 30 162 e) 2 2 2 2 2 c) f) 2 2 5 4 Thực phép tính sau: a) A 12 12 b) B 10 10 c) C DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài a) d) Rút gọn biểu thức: 15 35 14 16 2 3 Bài a) c) Bài a) b) e) 10 15 12 x xy y xy c) f) 15 10 10 a a b b b a ab Rút gọn biểu thức sau: x xy y x y y x 1 x y ( x 1)4 y 1 y 1 b) x x 1 x x 1 ( x 0) ( x 1, y 1, y 0) Rút gọn tính: a 1 b 1 : b 1 a 1 với a 7,25; b 3,25 c) 10 a2 4a 10 với a b) 15a 8a 15 16 với a d) a2 a2 a2 a2 với a DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: Trung Tâm Trí Đức 2x 2 x 1 a) d) Chuyên đề Đại Số 9x 7x 2x b) 7x x 1 2 x 20 e) c) 4x2 2x x 5 x 45 DẠNG4: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài a) So sánh số: b) 7 2005 2007 c) 2006 Cho số không âm a, b, c Chứng minh: Bài a) ab ab b) c) a b ab a b d) a b c ab bc ca Bài e) a b ab a b 2 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) A x x b) B x x c) C x x III BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Với A ≥ B ≥ A2B A B + Với A < B ≥ Với A ≥ B ≥ A B A B Với A.B ≥ B Với A ≥ A B + Với A < B ≥ A B A B A AB B B C AB Với A ≥ 0, B ≥ A B A2 B A B + Với B > A B A B B C( A B) A B2 C A B C( A B ) AB DẠNG 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH Bài Thực phép tính sau: a) 125 45 20 80 c) 27 48 75 16 Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cơ Vượng – 0984 986 366 b) d) 99 18 11 11 22 49 25 18 Page e) 1 Bài a) c) e) f) 3 3 Thực phép tính sau: 5 62 2 4 3 2 3 2 5 12 b) 2 2 6 d) : 5 5 1 f) 13 48 6 DẠNG 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC Phương pháp: Đơn giản biểu thức thay số Bài Rút gọn tính giá trị biểu thức: x 11 a) A c) C e) E x 2 3 , x 23 12 a a2 a 12a 27 , a 3 b) B d) D 2(1 a ) 2(1 a ) h h 1 a2 a3 , a , h3 h h 1 2x x2 , x 2( 1) f) F 1 a : 1 , a 2 1 a a2 x2 x DẠNG3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải phương trình sau: a) c) x x 25 x 25 b) x 1 x 1 x 24 17 2 64 x 18 x 25x 50 d) x x x 12 x e) ( x 1)( x 4) x x DẠNG4: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC Bài Cho biểu thức: Sn ( 1)n ( 1)n (với n nguyên dương) a) Tính S2 ; S3 b) Chứng minh rằng: Với m, n nguyên dương m n , ta có: Sm n Sm Sn Sm n c) Tính S Trung Tâm Trí Đức Bài Cho biểu thức: a) Chứng minh rằng: Bài Chuyên đề Đại Số S2 n Sn2 Cho biểu thức: a) Chứng minh rằng: Sn ( )n ( 2)n (với n nguyên dương) b) Tính S2 , S4 Sn (2 3)n (2 3)n S3 n 3Sn Sn3 (với n nguyên dương) b) Tính S3 , S9 IV RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI Để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, ta cần biết vận dụng thích hợp phép biến đổi đơn giản như: đưa thừa số dấu căn, đưa thừa số vào dấu căn, khử mẫu trục thức mẫu để làm xuất thức bậc hai có biểu thức dấu Trong tất toán rút gọn, chưa cho điều kiện x em phải tìm điều kiện trước thực rút gọn Chú ý: Sau rút gọn biểu thức A, ta thường có câu hỏi kèm sau: Tính giá trị A x= x0: Thông thường em phải biến đổi x0 thay vào A Tìm x để A=a; A>a; A Khi phương trình có nghiệm phân biệt Công thức nghiệm thu gọn Đối với phương trình bậc hai ax bx c ( a 0) b 2b , b2 ac : Nếu > phương trình có nghiệm phân biệt x1 Nếu = phương trình có nghiệm kép x1 x2 b b ; x2 a a b a Nếu < phương trình vơ nghiệm Hệ thức Viet Định lí Viet: Nếu x1, x2 nghiệm phương trình ax bx c ( a 0) thì: b c x1 x2 ; x1x2 a a Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình: X SX P Dấu nghiệm số phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai: (Điều kiện để có hai số là: S 4P ) ax bx c ( a 0) (1) có hai nghiệm trái dấu P0 (1) có hai nghiệm dấu P (1) (1) có hai nghiệm dương phân biệt P S (1) có hai nghiệm âm phân biệt P S Chú ý: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x1 x2 m n; x1x2 mn phương trình có nghiệm x1 m, x2 n c Nếu a b c phương trình có nghiệm x1 1, x2 a Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 37 c Nếu a b c phương trình có nghiệm x1 1, x2 a Bài a) Giải phương trình sau: ( x 1)2 4( x x 1) d) x x Bài a) e) x x 16 c) x 3(2 x 3)2 f) x 12 x Giải phương trình sau: 3x 5x d) 3x x Bài b) 9( x 2)2 4( x 1)2 b) 5x 3x 15 e) 5x 10 x 0 49 c) x x f) x 10 x Giải phương trình sau: a) 10 x 17 x 3 2(2 x 1) – 15 b) x x 3 x ( x 1) c) x x ( x 1)( x 1) d) x x x ( x 1) x e) x x 3 x ( x 1) – 11 f) x x ( x 1) x ( x 3) g) x x 3(2 x 3) x ( x 2) – h) x x 3(2 x 7) 2 x ( x 2) i) x x x (2 x 3) x ( x 2) k) 3(2 x 3) x ( x 2) Bài Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) có nghiệm phân biệt iii) có nghiệm kép a) x mx m ( m 2) b) x 10 x m d) 3x x 2m e) ( m 2) x 2( m 1) x m Bài c) 5x 12 x m Giải hệ phương trình sau: 2 x y a) y x 4x Bài iv) vơ nghiệm Cho phương trình: 3x 4y b) xy 3( x y) 2 x 3y c) xy x y x2 2(3m 2) x m 3m 5 a) Giải phương trình với m 2 b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm –1 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Bài Cho phương trình: x2 2( m 2) x m 3m 5 a) Giải phương trình với m b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm –4 c) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm kép Bài Cho phương trình: x 2( m 3) x m 3 0 a) Giải phương trình với m 1 m b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt Bài Xác định m để cặp phương trình sau có nghiệm chung: 38 Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số a) x mx x x m b) x ( m 4) x m x ( m 2) x m Bài 10 Không giải phương trình, nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x 10 x 16 b) x 15x 50 c) x x d) x x 10 e) x 3x f) x x 20 g) x 5x h) x2 5x i) x 5x Bài 11 Lập phương trình bậc hai có nghiệm cặp số sau: a) 10 d) b) 10 –8 e) 2 c) f) 10 72 10 Với phương trình sau, tìm m để phương trình có nghiệm Bài 12 x0 Tìm nghiệm lại: b) 15 x mx 0; x0 a) x x m 0; x0 1 c) x 2(3m 1) x m 2 m 5 0; x 1 d) x 2( m 1) x m2 5m 0; x Bài 13 Cho phương trình: ( m 1) x mx m a) Giải phương trình với m 2 b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 Bài 14 Cho phương trình: 2x2 x m a) Giải phương trình với m 3 b) Với giá trị m phương trình có nghiệm –4 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỗ mãn điều kiện x1 2 x2 Bài 15 Cho phương trình: x2 2(m 1) x m a) Giải phương trình với m 4 b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoã mãn điều kiện x1 Giả sử x1, x2 nghiệm phương trình sau tính giá trị biểu Bài 16 thức: A x12 x 22 ; B x13 x23 ; C x2 x2 1 ; D x1 x2 x22 x12 Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 39 a) x mx Bài 17 b) x x m Cho phương trình: c) x ( m 3) x m x2 2( m 4) x m 8 a) Tìm m để biểu thức A x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ b) Tìm m để biểu thức B x1 x2 x1x2 đạt giá trị lớn c) Tìm m để biểu thức C x12 x2 x1 x2 đạt giá trị lớn Bài 18 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x1, x2 thoả hệ thức cho: a) mx 2( m 2) x m ; x12 x22 b) x 2( m 2) x m m ; 1 x1 x2 x1 x2 c) x 2( m 1) x m 3m ; Bài 19 Cho phương trình: x12 x22 x 2( m 1) x m 3 m a) Tìm m để phương trình có nghiệm –2 Tìm nghiệm lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 x22 8 c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x12 x22 Bài 20 Cho phương trình: x (2 a 1) x 4a a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm x1, x2 khơng phụ thuộc vào a c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A x12 x22 Bài 21 Cho phương trình: mx 2(m 1) x m a) Xác định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x2 b) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 22 Cho phương trình: mx ( m 3) x 2m a) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm x1, x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc m Bài 23 Với phương trình sau, tìm m để phương trình: i) Có hai nghiệm trái dấu ii) Có hai nghiệm dương phân biệt iii) Có nghiệm dương a) x 2(m 1) x m b) x 2( m 1) x m 3m c) x (2 m 1) x m d) ( m 4) x 2( m 2) x m Bài 24 Cho phương trình: x (2 m 1) x m 40 Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn x1 x2 11 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt c) phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m III PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phương trình trùng phương Phương trình trùng phương phương trình có Dạng ax bx c ( a ) Cách giải: Đặt t x (t 0) , đưa phương trình bậc hai at2 bt c Phương trình bậc bốn dạng: ( x a )( x b )( x c )( x d ) m với a b c d Cách giải: Đặt t x ( a b ) x , đưa phương trình bậc hai (t ab )(t cd ) m Phương trình bậc bốn dạng: ( x a )4 ( x b )4 c Cách giải: Đặt t x ab , đưa phương trình trùng phương theo t Chú ý: ( x y )4 x x y x y xy y Phương trình bậc bốn dạng: Cách giải: – Nhận xét x nghiệm phương trình 1 – Với x , chia vế phương trình cho x2 ta được: a x b x c x x Đặt t x , đưa phương trình bậc hai theo t x Phương trình chứa ẩn mẫu thức Cách giải: Thực bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện xác định phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu thức Bước 3: Giải phương trình vừa nhận Bước 4: Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thoả mãn điều kiện xác định, giá trị thoả mãn điều kiện xác định nghiệm phương trình cho Phương trình tích Phương trình tích phương trình có dạng A.B Cách giải: A A.B B Phương trình chứa thức Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 41 g( x ) f ( x ) g( x ) f ( x ) g( x ) t f ( x ), t af ( x ) b f ( x ) c at bt c Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Cách giải: Có thể dùng phương pháp sau để bỏ giá trị tuyệt đối: Dùng định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối Đặt ẩn phụ Phương trình dạng A2 B2 A A2 B2 B Cách giải: 10 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt: - Nhẩm nghiệm x0 đưa phương trình dạng: (x-x0)(ax2+bx+c)=0 Để phương trình có nghiệm phân biệt : f(x) = ax2+bx+c=0 phải có hai nghiệm phân biệt khác x0 Suy ra: => m 11 Tìm m để phương trình ax4+bx2+c=0 (1) có nghiệm: - Đặt t=x2 (t ≥ 0) Suy at2+bt+c=0 (2) Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) phải có hai nghiệm dương phân biệt Suy ra: => m Bài Giải phương trình sau: a) x 8x 12 d) x x 0 16 b) 12 x 5x 30 c) 8x x2 e) x x2 – f) x – 13x 36 g) x 5x Bài Giải phương trình sau: a) x ( x 1)( x 2)( x 3) 24 c) ( x 1)4 ( x 3)4 1 e) x 16 x 26 x x Bài b) ( x 1)( x 4)( x x 6) 24 d) ( x 2)2 ( x x ) 1 f) x x x x Giải phương trình sau: a) ( x – x )2 – 2( x – x ) – c) ( x – x )2 – 8( x – x ) 12 b) ( x x 2)2 x 16 x 11 d) (2 x 1)4 – 8(2 x 1)2 – 42 Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số 2x 1 2x 1 f) 4 3 x2 x2 e) ( x x 4) – 4( x 2) – 77 Bài a) Giải phương trình sau: 2x 3x x 1 x2 d) 1 x 3 b) 4x x 1 x 2 x 2 c) 2x 5 x x x 5x e) x x 3 6 x x 1 f) 2x 1 x 3 3 x 2x 1 x 27 Bài Giải phương trình sau: a) (4 x 25)(2 x x 9) b) (2 x 3)2 4( x 1)2 c) x (3 x 1)2 x d) x 3x x e) x3 5x2 7x Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: Bài a) x (2 m 1) x 3( m 4) x m 12 Bài b) x (2 m 3) x (m m 2) x m Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: a) x (2 m 1) x m Bài f) x x 11x b) ( x 1)( x 3)( x 5) m Giải phương trình sau: a) x 14 x b) x x x c) x x x x d) x x x 3x Bài a) Giải phương trình sau: x 5 x 7 d) x x x 3x Bài 10 b) e) x 2 x 6 x x x 14 f) c) 3x x 2x 6x x Giải hệ phương trình sau: (Đưa Dạng A2 B2 ) 2 a) x y z 27 xy yz zx 27 x y z b) 2 x y z 12 IV GIẢI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Bước 1: Lập phương trình a) Chọn ẩn số nêu điều kiện thích hợp ẩn số b) Biểu thị kiện chưa biết qua ẩn số c) Lập phương trình biểu thị tương quan ẩn số kiện biết Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Đối chiếu nghiệm phương trình (nếu có) với điều kiện ẩn số để trả lời Dạng 1: Toán quan hệ số Bài Tìm hai số biết hai lần số thứ ba lần số thứ hai hiệu bình phương chúng 119 Bài Tìm số tự nhiên có hai chữ số, tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 43 số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài Tìm số có hai chữ số, biết số gấp lần chữ số hàng đơn vị số cần tìm chia cho tổng chữ số thương số dư Bài Nếu tử số phân số tăng gấp đơi mẫu số thêm giá trị phân số Nếu tử số thêm mẫu số tăng gấp giá trị phân số Tìm phân số 24 Bài Nếu thêm vào tử mẫu phân số giá trị phân số giảm Nếu bớt vào tử mẫu phân số tăng Tìm phân số Dạng 2: Tốn chuyển động Bài Một canơ xi dòng 45 km, ngược dòng 18 km Biết thời gian xi dòng lâu thời gian ngược dòng vận tốc xuôi lớn vận tốc ngược km/h Tính vận tốc canơ lúc ngược dòng Bài Một ôtô từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc đầu Bài Một người xe máy từ A đến B cách 120 km với vận tốc dự định trước Sau quãng đường AB, người tăng vận tốc thêm 10 km/h qng đường lại Tìm vận tốc dự định thời gian xe lăn bánh đường, biết người đến B sớm dự định 24 phút Bài Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sơng B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B Biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng canô lúc xuôi lúc ngược Bài Một canô xuôi khúc sông dài 90 km ngược 36 km Biết thời gian xi dòng sơng nhiều thời gian ngược dòng vận tốc xi dòng vận tốc ngược dòng km/h Hỏi vận tốc canơ lúc xi lúc ngược dòng Dạng 3: Tốn làm chung công việc Bài Hai đội đào mương Nếu đội làm mương thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung cơng việc hồn thành Tính xem đội làm xong mương bao lâu? Bài Hai người thợ làm chung cơng việc 12 phút xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm cơng việc xong? Bài Nếu mở hai vòi nước chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi mở 44 Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số riêng vòi vòi chảy đầy bể? Bài Nếu vòi A chảy vòi B chảy trong vòi B chảy 30 phút hồ Nếu vòi A chảy hồ Hỏi chảy mỗI vòi chảy đầy hồ (giả thiết hồ ban đầu khơng có nước0 Bài Hai vòi nước chảy vào bể sau đầy bể Nếu vòi chảy cho đầy bể vòi II cần nhiều thời gian vòi I Tính thời gian vòi chảy đầy bể? Dạng 4: Tốn có nội dung hình học Bài Một đa giác lồi có tất 170 đường chéo Hỏi đa giác có cạnh? Bài Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m Người ta làm lối xung quanh vườn (thuộc đất vườn) rộng m Tính kích thước vườn, biết đất lại vườn để trồng trọt 4256 m2 Bài Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m2 Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu Bài Cho tam giác vng Nếu tăng cạnh góc vng lên cm cm diện tích tam giác tăng 50 cm2 Nếu giảm hai cạnh cm diện tích giảm 32 cm2 Tính hai cạnh góc vng Dạng 5: Các Dạng khác Bài Trong phòng có 80 người họp, xếp ngồi dãy ghế Nếu bớt hai dãy ghế dãy ghế lại phải xếp thêm hai người đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dãy ghế dãy ghế xếp người ngồi? Bài Một phòng học có số dãy ghế tổng cộng 40 chỗ ngồi Do phải xếp 55 chỗ nên người ta kê thêm dãy ghế dãy ghế thêm chỗ Hỏi lúc đầu phòng có dãy ghế? Bài Trong tháng giêng hai tổ sản xuất 720 chi tiết máy Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất 819 chi tiết máy Tính xem tháng giêng tổ sản xuất chi tiết máy? Bài Năm ngoái tổng số dân hai tỉnh A B triệu người Dân số tỉnh A năm tăng 1,2%, tỉnh B tăng 1,1% Tổng số dân hai tỉnh năm 4.045.000 người Tính số dân tỉnh năm ngối năm nay? V HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (*) Dạng 1: Hệ bậc hai giải phương pháp cộng đại số Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 45 Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Bài Giải hệ phương trình sau: a) x y x 2y b) x xy 24 2 x 3y c) ( x y ) 49 3 x y 84 3x 4y d) x xy y x y e) xy 3( x y) 2 x y 2 x 3y f) xy x y g) y x x 2 x y 2 x y i) 2 x xy y Bài 2 x y h) 2 3 x y y Giải hệ phương trình sau: 2( x y )2 3( x y ) b) 5( x y ) 3( x y ) x y 2 x y 12 a) x 2y d) 2 y x e) x y x y 3x 2y 36 g) ( x 2)( y 3) 18 x( x 8) 3y(y 1) 6 h) 2 x( x 8) 5y( y 1) 14 Bài x y 1 c) x xy 2 x 3y f) 2 x y 40 Giải hệ phương trình sau: 2 xy x x 4 a) x xy y x x y xy 11 b) xy y x x y2 xy c) 2 2 x y xy y xy x y d) xy 3x y xy x y e) x y x y f) xy x y x y x y Dạng 2: Hệ đối xứng loại f ( x , y) (I) (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) g( x, y) (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) không thay đổi) Đặt S = x + y, P = xy Hệ có Dạng: Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P Giải hệ (II) ta tìm S P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X SX P 46 Trung Tâm Trí Đức Bài Chuyên đề Đại Số Giải hệ phương trình sau: x xy y 11 a) 2 x y xy 2( x y ) 3 x y b) 2 x xy y 13 xy x y c) 2 x y x y x y 13 d) y x x y 3 e) x x y y 17 x y xy x x y y 481 f) 2 x xy y 37 Bài Giải hệ phương trình sau: x y xy 11 a) 2 x y 3( x y ) 28 x y x y b) 2 x y xy c) x xy y x xy y xy x y 19 d) 2 x y xy 84 x xy y 1 e) 2 3 x xy 3y 13 ( x 1)( y 1) f) x( x 1) y(y 1) xy 17 Bài Giải hệ phương trình sau: a) ( x 1)( y 1) 10 ( x y )( xy 1) x xy y b) 2 x y ( x y )2 ( x y ) d) 2 5( x y ) xy 2 c) x xy y2 19( x y ) x xy y 7( x y ) x y y x 30 e) x x y y 35 Dạng 3: Hệ đối xứng loại f ( x, y ) (1) (I) f ( y , x ) (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: Hệ có Dạng: (I) f ( x , y ) f ( y, x ) f ( x, y) (3) (1) Biến đổi (3) phương trình tích: (3) x y ( x y ).g( x , y ) g( x, y) Như vậy, f ( x, y ) x y (I) f ( x, y ) g( x , y ) Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 47 48 Trung Tâm Trí Đức Bài Chuyên đề Đại Số Giải hệ phương trình sau: a) x x y y 3y x d) Bài x 3y y x b) x2 y x y y x y x c) x 2y y xy x e) x xy y2 x xy y f) x2 y x y y x y x Giải hệ phương trình sau: a) x3 y y x b) x3 x 8y y 3y x d) x3 x y y y x e) x3 x 3y y y x Bài a) c) x3 x y y y x Giải hệ phương trình sau: y x 3y x b) x y 3x y 2 x y x 2 y x y y2 3y x c) x 3x y2 2 x y y d) 2 y x x BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài Cho phương trình: x 2m 1x m a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt x1, x2 với m c) Chứng minh biểu thức M = x1 1 x2 x2 1 x1 không phụ thuộc vào m Bài Tìm m để phương trình: a) x x 2( m 1) có hai nghiệm dương phân biệt b) x x m có hai nghiệm âm phân biệt c) ( m 1) x 2( m 1) x m có hai nghiệm trái dấu Bài Cho phương trình: x a 1x a a a) Chứng minh với a, phương trình có nghiệm trái dấu b) Gọi hai nghiệm phương trình x1, x2 Tìm giá trị a để x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cô Vượng – 0984 986 366 Page 49 Bài Cho phương trình: x2 4x m a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 x22 10 Bài Cho phương trình: x 2( m 1) x m 10 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm x1, x2 , tìm hệ thức liên hệ x1, x2 mà khơng phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị m để biểu thức A = 10 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm chung: Bài 2 x (3m 2) x 12 a) x (9m 2) x 36 Bài x mx b) x x m Cho parabol (P): y 2 x (3m 1) x c) 6 x (7m 1) x 19 x2 đường thẳng (d): y x m a) Vẽ parabol (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng (d) cắt (P) điểm có tung độ –4 Bài Cho parabol (P): y x2 điểm M (1; –2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m b) Chứng minh (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi c) Gọi x A ; xB hoành độ A B Xác định m để x A2 xB x A xB2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị Bài Giải phương trình sau: a) x x3 x x d) 1 x( x 2) ( x 1)2 12 g) x x 11 x Bài 10 a) x 16 10 x x2 x b) x ( x 1)( x 2) c) e) x x 13 x f) x x x x 12 h) Giải phương trình sau: x2 10 b) 3 2 x 3x x x x 3x x( x 9) Bài 11 Hai ô tô khởi hành lúc từ hai tỉnh A B cách 160 km, ngược chiều gặp sau Tìm vận tốc ô tô biết ô tô từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h hai lần vận tốc ôtô từ B Bài 12 Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h Khi từ B A người 50 Trung Tâm Trí Đức Chuyên đề Đại Số đường khác dài km, với vận tốc 12km/h, nên thời gian thời gian 20 phút Tính quãng đường AB? Bài 13 Hai ca nô khởi hành từ hai bến A, B cách 85 km, ngược chiều gặp sau 40 phút Tính vận tốc riêng ca nô biết vận tốc ca nơ xi dòng lớn vận tốc ca nơ ngược dòng km/h (có vận tốc dòng nước) vận tốc dòng nước km/h Bài 14 Có hai thùng đựng dầu Thùng thứ có 120 lít, thùng thứ hai có 90 lít Sau lấy thùng thứ nhát lượng dầu gấp ba lượng dầu lấy thùng thứ hai, lượng dầu lại thùng thứ hai gấp đơi lượng dầu lại thùng thứ Hỏi lấy lít dầu thùng? Bài 15 Hai trường A, B có 250 HS lớp dự thi vào lớp 10, kết có 210 HS trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ trường A đạt 80%, trường B đạt 90% Hỏi trường có HS lớp dự thi vào lớp 10 Bài 16 Hai vòi nước chảy vào bể khơng có nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ cần thời gian vòi thứ hai Tính thời gian để vòi chảy riêng đầy bể Bài 17 Hai tổ làm chung cơng việc hồn thành sau 15 Nếu tổ làm giờ, tổ hai làm 30% cơng việc Hỏi làm riêng tổ hồn thành Tổ chức nhóm gia sư tai Hà Nội Liên hệ: Cơ Vượng – 0984 986 366 Page 51 ... giảm 99 đơn vị Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho 11, biết chia số cho 11 thương tổng chữ số số bị chia Bài Tìm hai số biết tổng hai số 17 đơn vị Nếu số thứ tăng thêm đơn vị, số thứ... chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho số tăng thêm 27 đơn vị Bài Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho tổng chữ số 17, chữ số hàng chục 4, đổi chỗ chữ số hàng trăm hàng đơn vị cho số. .. Tìm tập xác định hàm số a 1 d) Tìm x cho f ( x ) f ( x ) c) Tìm x nguyên để f ( x ) số nguyên Cho hàm số f ( x ) Bài x 1 x 1 x 1 x 1 a) Tìm tập xác định D hàm số Bài Tìm tập