Hướng dẫn tìm hiểu về Đồ thị phẳng và một số ứng dụng của đồ thị phẳng. Tài liệu trình bài một cách chi tiết từ các khái niệm đến các vấn đề lớn được quan tâm như tìm câu trả lời cho bài toán nổi tiếng: Bài toán 7 cây cầu ở thành phố Konisgberg. Khám phá sự thú vị của bài toán 4 màu. Trả lời cho cho hỏi: Vì sao chỉ có 5 khối đa diện plato. Và các khái niệm liên quan.
MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU Hơn trăm năm, phát triển lý thuyết đồ thị truyền cảm hứng định hướng chủ yếu Giả thuyết Bốn Màu Sự kết luận giả thuyết K.Appel W.Haken năm 1976, năm mà sách Lý thuyết đồ thị Ứng dụng xuất hiện, đánh dấu bước ngoặt lịch sử Từ mơn học trải qua thời kì phát triển bùng nổ vai trò quan trọng kết cấu thiết yếu tạo móng cho tốn học ứng dụng đại Từ kết ban đầu sâu sắc lý thuyết đồ thị, khóa luận này, chúng tơi trình bày hai vấn đề lý thuyết đồ thị: Đồ thị phẳng số ứng dụng Cụ thể, khóa luận bao gồm hai chương Chương I trình bày khái niệm lý thuyết đồ thị đồ thị phẳng; công thức Euler cho đồ thị phẳng Đặc biệt, đưa số dấu hiệu đặc trưng cho đồ thị phẳng Chương II trình bày hai áp dụng đồ thị phẳng phân loại đa diện Plato (Platonic Solid); tìm hiểu phép chứng minh cho tốn tơ màu đồ thị với màu trình bày tốn “Tơ màu đồ thị với màu.” Khóa luận hồn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu Em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy Em xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Quy Nhơn; quý thầy, cô trang bị kiến thức cho em thời gian học tập trường Trong suốt trình làm khóa luận này, dẫn chu đáo, nhiệt tình song khóa luận nhiều hạn chế sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến, giúp đỡ từ quý thầy cô giáo Em xin chân thành cảm ơn Quy nhơn, ngày 28 tháng năm 2018 Sinh viên Trần Thị Bích Hạnh CHƯƠNG I 1.1 ĐỒ THỊ PHẲNG BÀI TỐN HÌNH THÀNH LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ “Bài toán cầu thành phố Konigsberg (nay thuộc nước Nga).” Ở thành phố Konigsberg có cầu Chúng nối hai bờ sông bờ sông với hai cù lao, nối hai cù lao Từ xưa, cư dân thành phố đặt câu hỏi ta lần qua tất cầu mà cầu phải lặp lại hay khơng Đến năm 1735 nhà toán học người Thụy Sĩ tên Leonhard Euler (1707-1783) chứng minh thực được, nghĩa ta lần qua tất cầu mà khơng có cầu phải lặp lại Mơ hình cầu Konigsberg mơ tả qua hình vẽ sau Hình 1.1: Mơ hình tốn Để chứng minh kết quả, Euler phát biểu toán thuật ngữ lý thuyết đồ thị Ông loại bỏ tất chi tiết ngoại trừ vùng đất, bờ sông cầu, sau thay vùng đất điểm gọi đỉnh, thay cầu đoạn nối gọi cạnh Cấu trúc toán học thu được gọi đồ thị Ta sơ đồ sau Hình 1.2: Sơ đồ đồ thị (G) mơ tả tốn Cụ thể, mơ hình cầu Konigsberg Euler vẽ lại đồ thị phẳng Trong đồ thị này, có đỉnh vùng đất (bao gồm vùng đất bên hai bờ sông cù lao), đỉnh nối với cạnh hai vùng đất có cầu bắt qua, ta có tất cạnh Hình 1.2 Đến toán phát biểu lại sau: Tìm đường đồ thị G qua tất cạnh mà cạnh qua lần 1.2 ĐỒ THỊ 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Một đồ thị G cặp thứ tự (V(G), E(G)) gồm tập đỉnh V(G) tập cạnh ψ E(G) mà phân biệt với V(G), với hàm liên thuộc G liên kết với cạnh G thành cặp không thứ tự (không thiết phân biệt) đỉnh G ψ Giả sử e cạnh, u v đỉnh cho G (e) = {u, v} e xem nối u v, đỉnh u v gọi đầu mút e Ta kí hiệu số cạnh số đỉnh G m n Hai tham số gọi cỡ cấp G Nếu u = v cạnh e gọi khuyên, u v nối với từ hai cạnh nối trở lên gọi cạnh bội Một đồ thị không chứa khuyên cạnh bội gọi đồ thị đơn Trong đồ thị G = (V(G); E(G)) không a khuyên, hai đầu mút (u v) cạnh e cho thuộc cạnh ngược lại Nếu u v nối với cạnh e u v gọi kề Các đỉnh kề với u gọi hàng xóm u Tập hợp đỉnh hàng xóm với đỉnh u đồ thị G kí hiệu NG(u) Ví dụ G = (V(G), E(G)) V(G) = {u, v, w, x, y} E(G) = {a, b, c, d, e, f, g, h} ψ G định nghĩa ψ ψ ψ (a) = uv, (b) = uu, G ψ (e) = vx, G (c) = vw, G ψ ψ (f) = wx, G ψ ψ G (d) = wx G (g) = ux, G (h) = xy G Ví dụ H = (V(H), E(H)) V(H) = {v0, v1, v2, v3, v4, v5} E(H) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10} ψ H định nghĩa ψ ψ ψ (e1) = v1v2, (e2) = v2v3, H ψ (e6) = v0v1, (e7) = v0v2, H (e4) = v4v5, H ψ ψ H (e3) = v3v4, H ψ ψ (e8) = v0v3, (e9) = v0v4, H Hình 1.3: Sơ đồ đồ thị G H Ví dụ H ψ ψ H (e5) = v5v1 H (e10) = v0v5 H Đồ thị đầy đủ n đỉnh, kí hiệu Kn, đồ thị đỉnh nối với tất đỉnh lại cạnh Rõ ràng số cạnh đồ thị đầy đủ Kn n( n − 1) Hình 1.4: a) K1 b) K2 c) K3 d) K4 e) K5 Một đồ thị hữu hạn tập đỉnh tập cạnh hữu hạn Bất kì đồ thị với đỉnh gọi tầm thường, đồ thị khác khơng tầm thường Trong khóa luận này, ta nghiên cứu đồ thị hữu hạn Mặt khác khơng có nhầm lẫn, để đơn giản kí hiệu đồ thị G bất kì, ta viết V E thay cho V(G) E(G) Hơn nữa, trường hợp G đồ thị đơn ta bỏ qua việc gắn nhãn cho cạnh Lưu ý: Những đồ thị đồ thị vô hướng Ngồi có đồ thị có hướng Đồ thị có hướng đồ thị mà cạnh gán hướng từ đầu đến đầu Nếu G đồ thị đơn có hướng cạnh e có hướng từ u đến v kí hiệu e = [u; v], u gọi đuôi v gọi đầu e Hình 1.5: Đồ thị có hướng Từ sau, khơng nói thêm, cho đồ thị G = (V, E), ta ngầm hiểu G đồ thị vô hướng 1.2.2 Một số đồ thị đặc biệt • Đồ thị rỗng đồ thị khơng có hai đỉnh kề (nghĩa tập cạnh rỗng) • • Đồ thị khơng đồ thị không đỉnh (dẫn đến tập cạnh rỗng) Đồ thị lưỡng phân đồ thị mà tập đỉnh phân hoạch thành hai tập V V2 cho cạnh đồ thị có đầu mút nằm V đầu mút lại nằm V2 Cách phân chia (V1, V2) gọi phân hoạch đồ thị G, V V2 gọi phần đồ thị Kí hiệu đồ thị G[V1, V2] • Đồ thị lưỡng phân đầy đủ đồ thị lưỡng phân đơn G[V 1, V2] thỏa mãn đỉnh V1 nối với đỉnh V Với |V1| = x |V2| = y, ta kí hiệu đồ thị K x,y Theo kí hiệu này, đồ thị b) c) Hình 1.6 đồ thị lưỡng phân đầy đủ K 3,3 đồ thị • lưỡng phân đầy đủ K1,5 Đồ thị đồ thị lưỡng phân đầy đủ G[V1, V2] với |V1| = |V2| = Hình 1.6: a) Đồ thị đầy đủ • b) Đồ thị lưỡng phân đầy đủ c) Đồ thị Đường (walk) đồ thị dãy W := v0e1vk…vk-1ekvk gồm hạng tử đỉnh cạnh xếp cách luân phiên (không thiêt phân biệt thứ tự), cho v i-1 vi đầu mút ei, ≤ i ≤ l Số nguyên k (chính số cạnh) độ dài W Độ dài đường đơn, đường dẫn chu trình định nghĩa tương tự • Đường đơn (trail) đồ thị đường mà không cạnh lặp lại • Đường dẫn (path) đồ thị đơn mà đỉnh xếp theo dãy tuyến tính cho hai đỉnh kề chúng liên tiếp dãy Cho đồ thị G = (V, E) x, y ∈ V(G), độ dài ngắn đường dẫn nối đỉnh x đỉnh y khoảng cách x y Kí hiệu dG(x, y) Nếu khơng có đường dẫn nối x y ta đặt dG(x, y) := ∞ • Chu trình (cycle) (từ đỉnh trở lên) đồ thị đơn mà đỉnh xếp theo dãy xích cho hai đỉnh kề chúng liên tục dãy Hai trường hợp đặc biệt, chu trình có đỉnh khun, chu trình có hai đỉnh cạnh bội Độ dài đường dẫn hay chu trình số cạnh Một đường chu trình có độ dài k gọi k-đường dẫn k-chu trình Đường dẫn hay chu trình chẵn hay lẻ tùy thuộc vào tính chẵn lẻ k Đồ thị 3-chu trình gọi tam giác, 4-chu trình gọi tứ giác, 5-chu trình gọi ngũ giác, 6-chu trình lục giác, … Hình 1.7: a) Đường dẫn có độ dài • b) Chu trình có độ dài Đồ thị liên thông đồ thị đơn G = (V, E) mà phân hoạch tập đỉnh V = (V 1, V2) tồn cạnh thuộc đồ thị G thỏa mãn đầu mút nằm V đầu mút khác nằm V2 trường hợp lại khơng liên thơng Hình 1.8: a) Đồ thị liên thơng 1.2.3 b) Đồ thị không liên thông Ma trận liên thuộc Ma trận kề Cho đồ thị G = (V; E) Ma trận liên thuộc G ma trận M G := (mve) cấp n × m, mve số lần đỉnh v cạnh e liên thuộc nhau, m n số cạnh số đỉnh đồ thị G Mỗi khuyên đếm hai lần Ma trận kề G ma trận AG := (auv) cấp n × n, auv số cạnh nối đỉnh u v Mỗi khuyên đếm hai cạnh nối hai đỉnh giống Hình 1.9: Ma trận liên thuộc Ma trận kề đồ thị G 1.2.4 Bậc đỉnh Cho đồ thị G = (V, E) Bậc đỉnh v đồ thị G số cạnh G liên thuộc với đỉnh v Kí hiệu dG(v) Kí hiệu δ ∆ số bậc nhỏ số bậc lớn đồ thị G Mỗi khuyên đỉnh đếm hai cạnh liên thuộc với đỉnh Chẳng hạn xét đồ thị G Hình 1.9, bậc đỉnh v kí hiệu d G(v) = Tương tự, bậc đỉnh u kí hiệu dG(u) = Ta có δ = dG(y) = ∆ = dG(x) = 5.Trường hợp G đồ thị đơn, bậc đỉnh v xem số đỉnh hàng xóm với đỉnh v hay dG(v) = |NG(v)| Định lí 1.1 Với đồ thị G bất kì, ta có ∑ d ( v ) = 2m v∈V Chứng minh Xét ma trận liên thuộc M G Tổng phần tử hàng tương ∑ d (v ) ứng với đỉnh v bậc đỉnh v (hay d G(v)) Do v∈V tổng tất phần tử M Để ý rằng, cột M có tổng 2, dó tổng phần tử ∑ d (v ) = 2m M 2m Do v∈V Hệ 1.1 Trong đồ thị số đỉnh có bậc lẻ ln số chẵn Chứng minh Cho đồ thị G = (V, E) Giả sử V V2 tương ứng tập đỉnh bậc chẵn tập đỉnh bậc lẻ Từ Định lí 1.1 ta suy ∑ d (v ) ∑ deg(v ) ∑ deg(v ) 2m = ∑ deg(v ) Vì v∈V v∈V = v∈V + v∈V chẵn với vϵV1 2m số chẵn nên ∑ deg(v ) ∑ deg(v ) v∈V số v∈V chẵn Hơn tất số hạng lẻ nên số số hạng phải số chẵn Một đồ thị G k-đều degG(v) = k với v ∈ V(G) 2-đều 3-đều Hình 1.10 1.2.5 Chu trình Euler Nhắc lại đường mòn đồ thị liên thông đường mà không cạnh lặp lại Một đường mòn qua tất cạnh đồ thị gọi đường mòn Euler Một đường mòn Euler với điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường mòn Euler đóng hay gọi chu trình Euler Nhận xét rằng, đồ thị liên thơng, chu trình Euler chứa đường mòn Euler Năm 1736 Euler người tồn đường mòn Trong báo sớm lý thuyết đồ thị, ông lần qua tất cầu mà khơng có cầu phải lặp lại (xem Hình 1.2) Như thấy, để chứng minh điều xảy ra, ta cần đồ thị Hình 1.2 khơng có đường mòn Euler Định lí 1.2 Một đồ thị liên thơng G chu trình Euler đỉnh G có bậc chẵn 10 Hình 1.26: a) K5-đồng phơi b) K3,3-đồng phơi Một đồ thị thu nhỏ (minor) đồ thị G đồ thị có từ G việc thực chuỗi hoạt động xóa đỉnh, xóa cạnh co cạnh (xem Hình 1.27) Hình 1.27: Co đồ thị Peterson thành K5 Nếu F đồ thị thu gọn G ta viết F p G Cho F-thu nhỏ G, đồ thị đẳng cấu với F xem đồ thị thu nhỏ G Ta đặc biệt lưu ý trường hợp co cạnh Hình 1.28 Khi ta tiến hành co cạnh uv hai đỉnh u v nhập chung thành đỉnh, ta gọi đỉnh x Mặt khác, hai cạnh wv wu nhập chung thành cạnh wx (mà cạnh bội wv wu) Hình 1.28 Một điều quan trọng rằng, đồ thị chứa F-phép chia cạnh đồ thị có F-thu nhỏ Và điều ngược lại với điều kiện F đồ thị có bậc đỉnh cao Do hai định lí sau tương đương 26 Định lí 1.10 ĐỊNH LÍ KURATOWSKI Một đồ thị phẳng khơng chứa K 5-phép chia cạnh K3,3-phép chia cạnh Định lí 1.11 ĐỊNH LÍ WAGNER Một đồ thị phẳng khơng có K5-thu nhỏ K3,3-thu nhỏ Định lí Kuratowski Định lí Wagner hai định lí quan trọng để nhận biết đồ thị phẳng Phép chứng minh định lí tìm thấy tài liệu [1] Đặc biệt, phép chứng minh Định lí Wagner chuyển thành thuật tốn để kiểm tra đồ thị có phẳng hay không 1.3.2.4 Mặt Một đồ thị nhúng phẳng G chia phần lại mặt phẳng thành số tập mở liên thông cung Những tập gọi mặt G (xem Hình 1.29) Hình 1.29: Đồ thị nhúng phẳng với mặt Hình 1.29 biểu diễn đồ thị nhúng phẳng với mặt f 1, f2, f3, f4 f5 Mỗi đồ thị nhúng phẳng có mặt khơng bị chặn gọi mặt ngồi (trong Hình 1.29 mặt ngồi f 1) Ta kí hiệu F(G) f(G) tập mặt số mặt đồ thị G Biên mặt f ranh giới tập mở f theo nghĩa tôpô thông thường Một mặt cho liên thuộc với cạnh đỉnh theo biên Hai mặt gọi kề biên chúng có chung cạnh Trong Hình 1.29, mặt f1 thuộc đỉnh v1, v2, v3, v4, v5 cạnh e1, e2, e3, e4, e5; f1 kề với f3, f4 f5 Ta kí hiệu biên mặt f ∂(f) 27 Bậc mặt f nhúng phẳng G số cạnh theo biên f, cạnh cắt đếm hai lần Bậc f kí hiệu deg G(f) deg(f) d(f) (xem Hình 1.29) Chẳng hạn ∂(f2) = {e9}; d(f2) = 1; ∂(f5) = {e5, e6, e7, e8}; d(f5) = Lưu ý e8 cạnh cắt nên đếm hai lần Định lí 1.12 Nếu G đồ thị nhúng phẳng ∑ deg( f ) = 2m f ∈F Chứng minh Ta biết bậc mặt f đồ thị nhúng phẳng G số cạnh theo biên f Hơn cạnh e lấy ln có hai mặt kề nhận cạnh làm biên Do e đếm hai lần Cứ cạnh góp mặt lần việc đếm số bậc mặt lại góp mặt lần việc đếm số bậc mặt khác, ta điều phải chứng minh 1.3.3 Định lí Euler hệ 1.3.3.1 Định lí Euler Định lí 1.13 ĐỊNH LÍ EULER Với đồ thị nhúng phẳng G liên thông, ta ln có n − m+f = 2, m, n, f số cạnh, số đỉnh số mặt G Chứng minh Ta chứng minh quy nạp dựa số mặt f(G) G Thật vậy, f(G) = (nghĩa G có mặt mặt ngồi) G đồ thị phi chu trình Do G (lưu ý G liên thơng) Theo Định lí 1.5, ta có m = n − hay n − m = Khi đó, G thỏa mãn n − m + f = Bây giờ, ta giả sử định lí với đồ thị nhúng phẳng liên thơng có số mặt nhỏ f, f ≥ Đặt G đồ thị nhúng phẳng liên thông với f mặt, chọn e cạnh không cắt G Khi G \ e đồ thị nhúng phẳng liên thông với f − mặt, m − cạnh n đỉnh Theo giả thiết quy nạp ta có n − (m − 1) + (f − 1) = Từ ta suy n − m + f = 1.3.3.2 Các Hệ Hệ 1.4 Cho G đồ thị phẳng đơn có đỉnh Khi m ≤ 3n − 28 Chứng minh Cho G đồ thị phẳng đơn liên thông với n ≥ Xét nhúng phẳng G Vì G đơn liên thơng với đỉnh nên d(f) ≥ cho mặt f ∈ F( ° G ) Theo Định lí Euler Định lí 1.12, ta có 2m = ∑ d( f ) ≥ f (G± ) = 3(m − n + 2) f ∈F (1.1) m ≤ 3n − Điều tương đương với (1.2) Hệ 1.5 Nếu G đồ thị lưỡng phân phẳng với n đỉnh (n ≥ 3) m cạnh m ≤ 2n – Chứng minh Xét đồ thị nhúng phẳng G Ta thêm cạnh vào G để đồ thị nhúng phẳng cực đại G′ G′ đảm bảo n′ (n ≥ 3) số cạnh G kết vừa có ta suy Vì G′ G′ đồ thị nhúng phẳng lưỡng phân Khi đó, số đỉnh m′ (m ' ≥ m ) 2m ′ ≥ f r≤ hay Do m′ ∑d( f ) ≥ f Theo Định lí 1.12 đồ thị nhúng phẳng nên theo Định lí Euler, ta có = n − m′ + f ≤ n − m′ + m′ ≤ n−2 ⇒ m ′ ≤ 2n − m′ ⇒ Mà m ≤ m′ nên m ≤ 2n − Hệ 1.6 Mọi đồ thị phẳng đơn có đỉnh có bậc tối đa Chứng minh Điều tầm thường với n < Với n ≥ 3, theo Định lí 1.1 Hệ 1.4 Ta có 29 δ n ≤ ∑ d (v ) = 2m ≤ 6n − 12 v∈V Từ suy δ ≤ (với δ bậc thấp đỉnh) Hệ 1.7 K5 không phẳng Chứng minh Nếu K5 phẳng thỏa mãn Hệ 1.4, nghĩa 10 = m ≤ 3n – = (vô lý) Do K5 không phẳng Hệ 1.8 K3,3 đồ thị không phẳng Chứng minh Giả sử K3,3 đồ thị phẳng đặt G nhúng phẳng K3,3 Để ý chu trình K3,3 ln có độ dài khơng nhỏ Do mặt G có bậc Theo Định lí 1.12, ta có f (G ) ≤ ∑ d ( f ) = 2m = 18 f ∈F Tương đương f(G) ≤ Theo Định lí Euler ta có = n− m + f ≤ 6−9+ =1 (vơ lý) Dó K3,3 khơng phẳng CHƯƠNG II 2.1 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒ THỊ PHẲNG SỰ PHÂN LOẠI KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU 2.1.1 Định nghĩa khối đa diện khối đa diện Hình đa diện hình tạo số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Mỗi cạnh đa giác cạnh chung 30 hai đa giác Các hình đa diện thường gặp: hình chóp, hình lăng trụ, hình chóp cụt, hình hộp chữ nhật, hình lập phương, … Khối đa diện phần khơng gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Một số loại khối đa diện thường gặp: khối chóp tam giác, khối chóp tứ giác, khối chóp cụt, khối hộp, khối lăng trụ tam giác, … Khối đa diện H gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm H ln thuộc H Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất: Mỗi mặt đa giác k cạnh Mỗi đỉnh đỉnh chung d mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {d, k} 2.1.2 Định nghĩa đồ thị khối đa diện Một đồ thị khối đa diện khung khối đa diện biểu diễn không gian chiều cho cạnh đỉnh cạnh đỉnh khối đa diện thỏa mãn giống quan hệ liên thuộc (Xem Hình 2.1) b) a) Hình 2.1: a) Khối hình chóp tứ diện b) Đồ thị khối chóp tứ diện 2.1.3 Quan hệ phép chiếu tính nhúng phẳng đồ thị Cho khối đa diện đồ thị khối đa diện tương ứng Các cạnh đồ thị giao khơng giao đầu mút chúng Vậy dấu hiệu cho ta biết cạnh đồ thị khối đa diện giao đầu mút chúng Hay nói cách khác, điều kiện để khối đa diện biểu diễn thành đồ thị nhúng phẳng Vấn đề liên quan đến khái niệm Phép chiếu Định lí 2.1 Một đồ thị G nhúng mặt phẳng nhúng hình cầu 31 Chứng minh Để chứng minh điều này, trước hết ta xét mặt cầu S nằm mặt phẳng P S tiếp xúc với P điểm t, điểm z nằm S đối diện hoàn toàn với điểm t Xét ánh xạ π : S \ {z} → P định nghĩa π(s) = p điểm z, s, p nằm đường thẳng, ánh xạ ta gọi phép chiếu từ z (xem Hình 2.2) Hình 2.2: Phép chiếu ° G Giả sử G có cầu ( ° G không chứa z), ảnh ° G nhúng trên hình phép chiếu từ z nhúng G mặt phẳng Chiều ngược lại chứng minh tương tự (mọi điểm p P chiếu lên S s việc nối p với z giao với S s) Hình 2.3 Ví dụ phép chiếu Chú ý: Các khối đa diện hoàn toàn nhúng hình cầu Theo Định lí 2.1, chúng nhúng mặt phẳng (xem Hình 2.4) Như để trả lời cho vấn đề đưa trên, điều kiện để đồ thị khối đa diện nhúng mặt phẳng khối đa diện hồn tồn nhúng hình cầu 32 Hình 2.4: Nhúng khối đa diện hình cầu 2.1.4 Phân loại khối đa diện Ta có kết sau cho đồ thị phẳng liên thơng G • Cơng thức Euler: n − m + f = 2; m, n, f số cạnh, số đỉnh số mặt G; ∑ d (v ) = m v∈V (G ) • Định lí bậc đỉnh: đỉnh v; ∑ , v ∈ V(G) đỉnh đồ thị G, d(v) bậc deg( f ) = 2m f ∈F (G ) • Định lí bậc mặt: , F(G) tập mặt đồ thị G, d(f) bậc mặt f 33 Giả sử G đồ thị phẳng tương ứng với khối đa diện (d, k); với d k số bậc đỉnh số cạnh liên thuộc với mặt Áp dụng kết trên, ta dễ dàng suy kết sau • 2m = vd; • 2m=kf Hệ 2.1 Có khối đa diện Chứng minh Áp dụng công thức Euler cho đồ thị phẳng tương ứng với khối đa diện điều Ta có 2m 2m −m+ =2 d k (*) 1 ⇒ 2m ( − + ) = d k 1 ⇒( − + )>0 d k Vì k ≥ (số cạnh mặt) nên 1 − + >0 d Suy d < Nhận xét cặp (d, k) nghiệm phương trình (*) cặp (k, d) nghiệm phương trình (*) Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta thấy nghiệm phương trình (*) (d, k) = {(5, 3); (4, 3); (3, 3); (3, 4); (3, 5)} Do đó, ta nói có khối đa diện 34 BẢNG CHI TIẾT VỀ KHỐI ĐA DIỆN Hình vẽ khối đa diện Nhúng phẳng khối đa diện (d, k) Tên gọi (3, 3) Khối tứ diện (4, 6, 4) (3, 4) Lập phương (8, 12, 6) (4, 3) Bát diện (6, 12, 8) (3, 5) Thập nhị diện (20, 30 ,12) (5, 3) Nhị thập diện (12, 30, 20) 35 (n, m, f) 2.2 BÀI TỐN TƠ MÀU ĐỒ THỊ 2.2.1 Phép tơ màu đỉnh Phép tô màu cạnh Cho G = (V, E) đồ thị đơn Một phép tô màu đỉnh G với k màu [[k]] = {1, 2, …, k} hàm φ : VG → [[k]] φ ( u) ≠ φ ( v ) cho u đỉnh kề với v Ta gọi màu để có phép tơ màu G sắc số Nhận xét λ ( G) φ −1 ( j ) lớp màu j Số G λ ( G) ≤ n • Nếu G có n đỉnh • G khơng có cạnh • • ; λ ( C n ) = λ ( C n +1 ) = , λ ( G) =1 ; λ ( Kn ) = n ; λ ( H ) ≤ λ (G ) Nếu H đồ thị G Giả sử G = (V, E) đồ thị khơng có khun Một tập hợp cạnh độc lập G tập hợp cạnh mà tách rời cặp Xét phân hoạch tập cạnh E = A | |A2 | | | |Ak cho Ai tập cạnh độc lập Phân định màu αi cho tập hợp cạnh độc lập Ai cho αi ≠ αj với i ≠ j Điều ngầm hiểu hai cạnh có đỉnh chung chúng khác màu N* Cho k ∈ , đặt τ : E(G) → {α 1,…, αk} hàm từ tập hợp cạnh E vào tập hợp k màu {α1,…, αk} τ gọi phép tô màu cạnh với k màu G τ phép tô e i : e j ⇒ τ ( e i ) ≠ τ (e j ) màu cạnh ei : e j Nhắc lại 36 nghĩa ei ej chung đỉnh Với phép tô màu cạnh k màu G, ta có với i ∈ [[k]], Ai = {e ∈ E | τ (e ) = α i } 2.2.2 Vấn đề màu Quy tắc: Tô màu đồ địa lí cho hai đất nước có chung biên giới có hai màu khác Câu hỏi: Số lượng màu tối thiểu cho việc gì? Ước chừng cần màu đủ cho việc tơ màu đồ địa lí vậy, cho hai nước có chung biên giới màu khác Trong lý thuyết đồ thị, ta có đồ thị phẳng thỏa mãn • • Một đỉnh liên kết với nước; Một cạnh nối hai đỉnh đỉnh giả định hai nước có chung biên giới λ ( G) ≤ Giả định: Sắc số đồ thị phẳng G Vào năm 1970, Apple, Haken Koch đưa chứng minh giả định nhờ vào hỗ trợ máy tính, chưa có phép chứng minh túy lý thuyết Tuy nhiên, ta lại có phép chứng minh tốt, ngắn gọn rõ ràng đưa ra, λ ( G) ≤ 2.2.3 Bài tốn tơ màu đồ thị màu Mệnh đề 2.1 Bất kì đồ thị phẳng G tơ với màu Chứng minh Ta chứng minh quy nạp dựa số đỉnh n G Nếu n ≤ mệnh đề tầm thường Giả sử đồ thị với n − đỉnh mệnh đề cho Đặt G đồ thị với n đỉnh (n ≥ 7) Theo Hệ 1.6 có đỉnh G mà bậc không 5, ta giả sử tồn đỉnh v0 G có bậc nhỏ Xét đồ thị G − v0, theo giả thiết quy nạp, G − v0 tơ màu Vì đỉnh v có tối đa hàng xóm nên ta cần màu 37 phân biệt cho hàng xóm v0 G − v0 Tuy nhiên lại màu thứ phù hợp để tơ màu cho đỉnh v0 G Định lí 2.2 Bất kì đồ thị phẳng tơ với màu Chứng minh Ta chứng quy nạp dựa số đỉnh G Nếu n ≤ định lí ln Giả sử đồ thị với n − đỉnh tô với màu Đặt G đồ thị với n đỉnh (n ≥ 6) v0 đỉnh có bậc nhỏ Theo Hệ 1.6, ta có d(v 0) ≤ Xét đồ thị phẳng G − v0 nhúng phẳng Theo giả thiết quy nạp, G − v0 tô với màu Đặt φ : V(G) → {1, 2, 3, 4, 5} phép tô màu đỉnh với màu Ta xét trường hợp sau + Nếu d(v0) ≤ có tối đa màu xuất hàng xóm v Màu lại màu tô cho đỉnh v0 Như ta phép tô màu đỉnh + Với d(v0) = Nếu hàng xóm v0 cần tối đa màu định lí thỏa mãn Nếu hàng xóm v0 phân định màu G – v0 làm để có phép tô màu để tô đỉnh v0 với màu cho G Đặt đỉnh hàng xóm v theo ngược chiều kim đồng hồ v1, v2, v3, v4, v5 φ (v1 ) = 1, φ (v2 ) = 2, φ (v3 ) = 3, φ (v4 ) = 4, φ (v5 ) = Trong trường hợp v1 v3 không nối với nhau, ta đặt P13 = (v1, x1, x2, …, xd) với xd ≠ v3 Hoán đổi màu sắc dường dẫn, ta đường dẫn luân phiên với màu (3-1-3-1-…), nghĩa đường dẫn v với màu số Do hai đỉnh v1 v3 tơ màu số 3, điều dẫn đến hàng xóm v lúc tô với màu 2, 3, Vì tự sử dụng màu số cho đỉnh v phép tô với màu cho đỉnh G (xem Hình 2.5a) 38 b) a) Hình 2.5 Trong trường hợp P13 nối v1 v3, nhập v0 với G – v0 để có lại G Ta mở rộng P 13 tới chu trình C cách thêm cạnh v 0v1 v0v3 Ta có v2 ∈ int(C) v4 ∈ ext(C), v5 ∈ ext(C) ngược lại Khơng tính tổng qt, ta giả sử v ∈ int(C) v4 ∈ ext(C) (xem Hình 2.5b) Theo Định lí đương cong Jordan, chu trình C chia đỉnh v2 khỏi đỉnh v4 (xem Hình 2.6), P2 nằm hoàn toàn mặt C, nghĩa P 24 v2 lại không kết thúc v4 Hoán đổi màu đường dẫn này, ta đường dẫn P 24 v2 với màu số Cuối ta có hàng xóm v tơ với màu 1, 4, Như màu số có sẵn để tơ đỉnh v0 hay ta phép tơ với màu Hình 2.6: P24 P13 khơng thể cắt KẾT LUẬN Trong khóa luận “Đồ thị phẳng ứng dụng” thực cơng việc sau 39 Trình bày số khái niệm lí thuyết đồ thị phẳng định nghĩa đồ thị, số đồ thị đặc biệt, đồ thị đẳng cấu, đồ thị con, đồ thị phẳng; định nghĩa khối đa diện, khối đa diện đều, đồ thị khối đa diện đều; khái niệm bậc đỉnh, bậc mặt, chu trình Euler, cây, phép chiếu số khái niệm khác Trình bày Định lí Kuratowski Định lí Wagner nhận dạng đồ thị phẳng Trình bày Định lí Euler số hệ Từ suy đồ thị K K3,3 không đồ thị phẳng Trình bày áp dụng đồ thị phẳng việc phân loại khối đa diện Trình bày áp dụng đồ thị phẳng việc chứng minh tính tơ màu đồ thị phẳng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J A Bondy, U S R Murty Graph Theory Springer, 2008 [2] R Wilson Four colours suffice – How the map problem was solved Penguin Books 2002 40 ... đại Từ kết ban đầu sâu sắc lý thuyết đồ thị, khóa luận này, chúng tơi trình bày hai vấn đề lý thuyết đồ thị: Đồ thị phẳng số ứng dụng Cụ thể, khóa luận bao gồm hai chương Chương I trình bày khái... trang bị kiến thức cho em thời gian học tập trường Trong suốt q trình làm khóa luận này, dẫn chu đáo, nhiệt tình song khóa luận nhiều hạn chế sai sót Rất mong nhận đóng góp ý kiến, giúp đỡ từ q... tìm hiểu phép chứng minh cho tốn tơ màu đồ thị với màu trình bày tốn “Tơ màu đồ thị với màu.” Khóa luận hồn thành hướng dẫn tận tình bảo thầy giáo TS Ngô Lâm Xuân Châu Em xin bày tỏ lòng kính