Phương trình oxyz PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG cơ bản 182 BTTN ( lý thuyết + bài tập vận dụng có lời giải) image marked

HTTP://DETHITHPT.COM TỔNG BIÊN SOẠN VÀ TỔNG HỢP 182 BTTN PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG CƠ BẢN TÀI LIỆU ƠN TẬP VÀ GIẢNG DẠY CHO HỌC SINH THƯỜNG HTTP://DETHITHPT.COM PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Bài tốn VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Phương pháp: Để xét vò trí tương đối hai đường thaúng x - x1 y - y1 z - z1 x - x y - y2 z - z2 vaø d : d1 : = = = = a1 b1 c1 a2 b2 c2 Ta làm sau: ìï x1 + a1t = x + a t ' ïï Xét hệ phương trình : ïí y1 + b1t = y + b t ' (*) ïï ïïỵ z1 + c1t = z + c2 t ' · Nếu (*) có nghiệm (t ; t '0 ) hai đường thẳng d1 d cắt A (x1 + a1t ; y1 + b1t ;z1 + c1t ) · Nếu (*) có vô số nghiệm hai đường thẳng d1 d trùng · Nếu (*) vô nghiệm, ta xét phương hai véc tơ ur uur u1 = (a1 ; b1 ;c1 ) vaø u = (a ; b ;c ) ur uur +) Nếu u1 = ku Þ d1 / /d ur uur +) Nếu u1 ¹ k.u d1 d chéo Ví dụ Trong không gian hệ toạ độ Oxyz , x- y z+ = = mặt phẳng (P) : x - 2y + z = Gọi C giao - điểm D với (P) , M điểm thuộc D Tính khoảng cách từ M đến (P) , biết Cho đường thẳng D : MC = Cho điểm A(2;1;0), B(1;2;2), C(1;1;0) mặt phẳng (P) : x + y + z - 20 = Xác đònh tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P) Lời giải ìï x = + 2t ïï ,t Ỵ R Cách 1: Phương trình tham số D : í y = t ïï ïïỵ z = - - t Thay x, y, z vào phương trình (P) ta : 1+ 2t - 2t - t - = Û t = - Þ C(- 1; - 1; - 1) Điểm M Ỵ D Û M(1 + 2t; t; - - t) Þ MC = Û (2t + 2) + (t + 1) + (t + 1) = é êt = Þ M(1;0; - 2) Þ d (M;(P)) = ê Û ê ê êt = - Þ M(- 3; - 2;0) Þ d (M;(P) ) = êë r Cách 2: Đường thẳng  có u = (2;1; - 1) VTCP r Mặt phẳng (P) có n = (1; - 2;1) VTPT HTTP://DETHITHPT.COM r r · Gọi H hình chiếu M lên (P) , suy cos HMC = cos u, n nên ta có ( ) · d(M, (P)) = MH = MC.cos HMC = ìï x = - t ïï uuur Ta có AB = (- 1;1; 2), phương trình AB : í y = + t ïï ïïỵ z = 2t uuur Vì D thuộc đường thẳng AB Þ D (2 - t;1 + t; 2t ) Þ CD = (1- t; t; 2t ) r Veùc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P ): n = (1;1;1) r uuur Vì C không thuộc mặt phẳng (P ) neân CD / / (P) Û n.CD = Û 1.(1- t )+ 1.t + 1.2t = Û t = - ổ5 Vaọy D ỗỗ ; ; çè 2 1÷ ÷ ÷ ø Ví dụ Trong không gian hệ toạ ñoä Oxyz , x y- z = = Xác đònh tọa độ điểm M trục hoành cho 2 khoảng cách từ M đến D OM ìï x = + t ïï x- y- z = = Xác đònh toạ độ điểm M Cho hai đường thẳng D : í y = t D : ïï 2 ïïỵ z = t thuộc D cho khoảng cách từ M đến D 1 Cho đường thẳng D : Lời giải Vỡ M ẻ Ox ị M(m;0;0) r ẹửụứng thaỳng D qua N(0;1;0) có u = (2;1;2) VTCP nên uuur r éNM, u ù ê ú 5m + 4m + d(M, D ) = ë r û = u 5m2 + 4m + = t Û m2 - m - = Û m = - 1, m = Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu toán: M1 (- 1;0;0), M (2;0;0) r Đường thẳng D qua A (2;1;0) coù u = (2;1; 2) VTCP uuur uuur r = (t - 2; - 2;3 - t ) Vỡ M ẻ D ị M (3 + t; t; t )Þ AM (t + 1; t - 1; t )Þ éêAM.u ù ú ë û uuur r éAM.u ù ê ú 2 Neân d (M, D ) = Û ë r û = Û (t - 2) + (- 2) + (3 - t ) = u Neân d(M, D ) = OM Û ét = Þ M(4;1;1) Û 2t - 10t + = Û ê êët = Þ M(7; 4; 4) HTTP://DETHITHPT.COM Ví dụ Trong không gian hệ toạ độ Oxyz : x- y+ z = = mặt phaúng (P) : x + y + z - = Gọi I - - giao điểm D (P) Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MI vuông góc với D Cho đường thẳng D : MI = 14 Đề thi ĐH Khối B – 2011 x + y- z + = = Cho đường thẳng D : hai điểm A(- 2;1;1), B(- 3; - 1; 2) Tìm tọa độ - điểm M thuộc đường thẳng D cho tam giác MAB có diện tích Đề thi ĐH Khối B – 2011 Lời giải Ta có D cắt (P) I(1;1;1) uur ẹieồm M(x; y;3 - x - y) ẻ (P) ị MI = (1- x;1- y; x + y - 2) r Đường thẳng D có a = (1; - 2; - 1) VTCP uur r ìï MI.a = ìï y = 2x - ïìï x = - ìïïí x = Û íï Û Ta có : ïí í ïï MI = 16.14 ïïỵ (1- x)2 + (1- y) + (- + x + y) = 16.14 ïïỵ y = - ïïỵ y = ỵ Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu toán: M(- 3; - 7;13) M(5;9; - 11) Vỡ M ẻ D ị M(- + t;1 + 3t; - - 2t) uuur uuur uuur uuur Ta coù AB = (- 1; - 2;1), AM = (t;3t; - - 2t) Þ éêAB, AMù = (t + 12; - t - 6; - t) ú ë û uuur uuur =3 Do SD MAB = Û éêAB, AM ù ú û 2ë Û (t + 12) + (- t - 6) + t = Û t + 12t = Û t = 0, t = - 12 Vaäy có hai điểm thỏa yêu cầu toán: M(- 2;1; - 5) M(- 14; - 35;19) Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) có phương trình : x- y- z + x+ y z+ = = = = , d2 : Xaùc 1 - đònh tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d1 cho khoảng cách từ M đến đường x - 2y + 2z - = hai đường thẳng d1 : thẳng d khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) Lời giải Giả sử M (a; b;c) điểm cần tìm a + b c + ìïï a = b - = = Þ í Vì M ẻ D ị ùùợ c = 6b - 1 Khoảng cách từ M đến mp (P) laø: d = d(M;(P)) = a - 2b + 2c - 12 + (- 2) + 22 = 11b - 20 Gọi (Q) mp qua M vuông góc với D , ta coù: Suy (Q) : 2(x - a) + 1(y - b) - 2(z - c) = Û 2x + y - 2z + 9b - 16 = Gọi H giao điểm (Q) D , suy tọa độ H nghiệm hệ : HTTP://DETHITHPT.COM ìï 2x + y - 2z + 9b - 16 = ïï Þ H(- 2b + 3; - b + 4; 2b - 3) í x - y- z + ïï = = ïỵ - 2 Do MH = (3b - 4)2 + (2b - 4)2 + (4b - 6)2 = 29b2 - 88b + 68 (11b - 20) Yêu cầu toán trở thành: MH = d Û 29b - 88b + 68 = 2 Û 261b - 792b + 612 = 121b - 440b + 400 53 Û 140b - 352b + 212 = Û 35b - 88b + 53 = 0b = 1, b = 35 æ18 53 Vậy có điểm thoả mãn là: M(0;1; - 3) vaứ M ỗỗ ; ; ữ ữ ữ ỗố35 35 35 ø 2 Ví dụ 5.Xét vò trí tương đối đường thẳng D , D Tính góc hai đường thẳng D1 : x- y+ z- x + y+ z- = = = = vaø D : , tìm giao điểm chúng (nếu có) 3 Lời giải ur Đường thẳng D qua điểm M1 (1; - 1; 5) có u1 (2; 3; 1) VTCP uur Đường thẳng D qua điểm M2 (- 1; - 1; 1) có u (4; 3; 5) VTCP uuuuur r r Cách 1: Ta có M1M (- 2; 0; - 4) vaø [u1 , u1 ]= (12; - 6; - 6), neân r r uuuuur [u1 , u1 ].M1M = - 24 + + 24 = Vậy hai đường thẳng cắt điểm M ur uur Cách 2: Ta có u1 (2; 3; 1), u (4; 3; 5) không phương nên hai đường thẳng cắt nhau, chéo Chuyển hai phương trình dạng tham số xét hệ phương trình ìï + 2u = - + 4v ìï u - 2v = - ïï ïï + 3u = + 3v Û í í u - v = Û u = v = - ïï ïï ïïỵ + u = + 5v ïïỵ u - 5v = - Vậy hai đường thẳng cắt điểm M(3; 2; 6) Góc hai đường thẳng ur uur u1.u ur uur 8+ 9+ 11 cos(D , D ) = cos(u1 , u ) = ur uur = = 14 50 u1 u ổ 11 ữ ị (D , D ) = arccos ỗỗ ằ 33, 740 ữ ữ ỗố5 ø Ví dụ 6.Tìm tọa độ H hình chiếu vuông góc A(2; 1; 4) lên: Mặt phaúng (P) : 2x − y − z + = Đường thẳng  : x −1 y − z −1 = = 1 Lời giải Lập phương trình đường thẳng d qua A d ⊥ (P) Khi điểm H giao điểm d (P) HTTP://DETHITHPT.COM Vì n (P) (2; − 1; − 1) nên đường thẳng d qua A(2; 1; 4) d ⊥ (P) có phương trình x = + 2t  y = − t (t  R) Điểm H  d neân H(2 + 2t;1 − t;4 − t ) z = − t  Mà điểm H  (P) neân 2(2 + 2t ) − (1 − t ) − (4 − t ) + =  t = −1 Vậy tọa độ H(0;2; 5) Có hai cách giải Cách 1: Lập phương trình mặt phẳng (  ) qua A (  ) ⊥ , tọa độ điểm H giao (  )  Vì u  (1; 1; 2) nên mặt phẳng (  ) qua A (  ) ⊥  có phương trình x + y + 2z − 11 = x = x + y + 2z − 11 =   Tọa độ điểm H nghiệm hệ  x − y − z −  y = 3, hay H(2;3;3)  = =  z = Cách 2: Vì H   nên H phụ thuộc ẩn Sử dụng điều kiện AH ⊥  ta tìm tọa độ H Vì H   nên H(1 + t; + t; + 2t )  AH(t − 1; t + 1; 2t − 3) Vì AH ⊥  neân AH.u  =  t − + t + + 2(2t − 3) =  t = Vậy tọa độ H(2;3;3) Ví dụ Xét vò trí tương đối đường thẳng d mp (a ) Tìm tọa độ giao điểm chúng có : ìï x = 12 + 4t ïï d : í y = + 3t ,t ẻ Ă ùù ùùợ z = + t x + 10 y - z - = = d : - - (a ) : 3x + 4y - z - = (a ) : y + 4z + 17 = Lời giải uur uur Ta kí hiệu u d VTCP đường thẳng D , n a VTPT mp (a ) Cách : Thay phương trình d vào phương trình () ta coù : 3(12 + 4t) + 4(9 + 3t) - 1- t - = Û 23t + 69 = Û t = - Vaäy d cắt (a ) A(0; 0; - 2) uur uur uur uur Cách : Ta có : u d = (4;3;1), na = (3; 4; - 1) Þ u d n a = 35 ¹ Vậy d (a ) cắt Cách : Xét hệ phương trình ìï 2x + 3y + 6z + = ìï y = - 4z - 17 ïï ïï Û í 2x - 6z - 49 = í x+ y+ z+ 5= ïï ïï ïïỵ y + 4z + 17 = ïïỵ x - 3y - 12 = Ta thấy hệ vô nghiệm suy d / /(a ) uur uur uur uur Cách : Ta có : u d = (- 3; 4; - 1), n a = (0;1; 4) Þ u d n a = Mặt khác điểm M(- 10; 4;1) Ỵ d mà M Ï (a ) Þ d / /(a ) HTTP://DETHITHPT.COM Ví dụ Tính khoảng cách từ A(2;3; - 1) đến đường thẳng D : x- y- z = = Lời giải r Đường thẳng D qua B(3; 2;0) có u = (1;3;2) VTCP Cách 1: Gọi H hình chiếu A lên D , suy H (3 + t;2 + 3t;2t ) uuur Þ AH = (t + 1;3t - 1; 2t + 1) uuur r Vì AH ^ D Þ AH.u = Û 1(t + 1) + 3(3t - 1) + 2(2t + 1) = Û t = uuur Do AH = (1; - 1;1) Þ d (A, D ) = AH = uuur uuur r Cách 2: Ta có AB = (1; - 1;1)Þ éêAB, u ù = (- 5; - 1;4) ú ë û uuur r éAB, u ù 2 êë ú û = (- 5) + (- 1) + = Do d (A, D ) = r 12 + 32 + 22 u Ví dụ Tìm m để hai đường thẳng sau cắt tìm tọa độ giao điểm chuùng : d1 : x- y+ z- = = m- d2 : x- y- z- = = - Lời giải Cách : ìï x = + 2t ìï x = + 4t ' ïï ïï Ta có ptts đường thẳng d1 : í y = - + 4t d : í y = - t ' ïï ïï ïïỵ z = + (m - 1)t ïïỵ z = + 2t ' ìï + 2t = + 4t ' ïï Ta có d1 d cắt Û hệ í - + 4t = - t ' có nghiệm ïï ïïỵ + (m - 1)t = + 2t ' Từ hai phương trình đầu hệ ta tìm t = t ' = thay vào phương trình thứ ba ta coù : + (m - 1).1 = + Þ m = Khi tọa độ giao điểm hai đường thẳng : A (8;2;4) Cách : ur Đường thẳng d1 có VTCP u1 = (2; 4; m - 1) qua M1 (6; - 2;3) uur Đường thẳng d có VTCP u = (4; - 1; 2) qua M2 (4;0; 2) ur uur uuuuur = (m + 7;4m 8; 18), M Do : éêu1 , u ù 1M = (- 2;2; - 1) ú ë û uuuuur ìï éuur , uuur ù.M M =0 ïï êë ú û Û - 2(m + 7) + 2(4m - 8) + 18 = Ta có d1 d cắt Û ur uur ùù ộu , u ựạ 0r ùùợ êë ú û Û m = vaø tọa độ giao điểm : A (8;2;4) Ví dụ 10.Cho đường thẳng D : x- y+ z+ = = điểm A(2; - 5; - 6) - HTTP://DETHITHPT.COM Tìm tọa độ hình chiếu A lê đường thẳng D Tìm tọa độ điểm M nằm D cho AM = 35 Lời giải r Ta coù u = (2;1; - 3) VTCP đường thẳng D Cách Gọi H hình chiếu A lên đường thaúng D , suy uuur H (1+ 2t; - + t; - 1- 3t ) Þ AH = (2t - 1; t + 3; - 3t + 5) uuur r Vì AH ^ D Þ AH.u = Û 2(2t - 1) + (t + 3) - 3(- 3t + 5) = Û 14t - 14 = Û t = Vaäy H (3; - 1; - 4) Cách Gọi (P) mặt phẳng qua A vuông góc với D Suy phương trình (P) : 2x + y - 3z - 17 = Khi H = D Ç (P) nên tọa độ H ìï 2x + y - 3z - 17 = ï nghiệm hệ: ïí x - y + z + , giải hệ ta tìm H (3; - 1; - 4) ïï = = ïỵ - uuur Vỡ M ẻ D ị M (1 + 2t; - + t; - 1- 3t ) Þ AM = (2t - 1; t + 3; - 3t + 5) Neân AM = 35 Û (2t - 1) + (t + 3) + (3t - 5) = 35 Û t - 2t = Û t = 0, t = · t = Þ M(1; - 2; - 1) · t = Þ M(5;0; - 7) · = 1200 ,a > Điểm I Ví dụ 11 Cho tam giác AIB có A(- a 3; 0; 0), B(a 3; 0; 0) AIB thuộc trục tung có tung độ âm Trên đường thẳng qua I song song với trục Oz lấy điểm C, D cho tam giác ABC vuông, tam giác ABD C, D có cao độ dương Tìm tọa độ điểm I, C, D Lời giải Tìm tọa độ điểm I Vì I thuộc trục tung có tung độ âm neân I(0; t; 0), t < uur uur Ta coù IA(- a 3; - t; 0), IB(a 3; - t; 0) neân uur uur uur uur IA.IB · = cos(IA; IB) = uur uur cos AIB IA IB Û cos1200 = - 3a + t (- a 3) + (- t ) + 02 (a 3) + (- t ) + 02 ét = a Û 3a + t = 2(3a - t ) Û t = a Û ê Þ I(0; - a; 0) êët = - a Vậy điểm I(0; - a; 0) Đường thẳng qua I song song với trục Oz có phương trình ìï x = ïï D : í y = - a (t Ỵ ¡ ) ïï ïïỵ z = t Tìm tọa độ điểm C HTTP://DETHITHPT.COM uuur uur Vì C Ỵ D nên C(0; - a; t), t > Ta coù CA(- a 3; a; - t), CB(a 3; a; - t) Rõ ràng CA = CB nên tam giác ABC phải vuông C ét = 2a uuur uur Hay CA.CB = Û - 3a + a + t = Û t = 2a Û êê êët = - 2a Mà t > nên C(0; - a; 2a) Tìm tọa độ điểm D Vì D Ỵ D nên D(0; - a; t), t > uuur uuur Ta coù DA(- a 3; a; - t), DB(a 3; a; - t) Rõ ràng DA = DB nên tam giác ABC ét = 2a uuur uuur DA = AB Û 3a + a + t = 12a Û t = 8a Û êê êët = - 2a Mà t > nên D(0; - a; 2a) Vậy điểm cần tìm laø I(0; - a; 0), C(0; - a; 2a), D(0; - a; 2a) Ví dụ 12 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : ìï x = - 1- 2t ïï x y z , t Ỵ ¡ Xét vò trí tương đối d1 Cho hai đường thẳng: d1 : = = ; d : í y = t ïï 1 ïïỵ z = + t d Tìm tọa độ điểm M Ỵ d1 , N Ỵ d cho MN song song với mp (P): x - y + z = độ dài MN = 2; x- y- z- x+ y+ z = = = = Chứng minh raèng d1 ; d2 : d cắt I Tìm tọa độ điểm A, B thuộc d1 ,d cho tam giaùc Cho hai đường thẳng: d1 : AIB cân I có diện tích 41 42 Lời giải ur Đường thẳng d1 qua O(0;0;0) có u1 = (1;1; 2) VTCP, Đường thẳng d qua A (- 1;0;1) coù VTCP u2 = (- 2;1;1) uuur ur uur ur uur uuur éu ;u ùOA = ¹ = 1; 5;3 Þ Suy OA = (- 1;0;1), éêu1 , u ù ( ) ú êë ú ë û û Do d1 ,d cheựo Ta coự M ẻ d1 ị M (t; t;2t ), N ẻ d ị N (- 1- 2s;s;1+ s) uuur uur ìï MN / / (P ) ïì MN.n = ïì t = - s p Þ íï Û íï Theo đề ta có ïí ïï MN = ïï MN = ïï (t - s)2 + 4t + (1- 3t )2 = ỵ ỵï ỵï ỉ4 ỉ1 ữ ỗ Giaỷi heọ vaứ kieồm tra ủieu kieọn song song ta ủửụùc M ỗỗ ; ; ữ ữ ữ ữ, N ốỗỗ ; - ; ứ ữ ỗố 7 ứ thoỷa maừn HTTP://DETHITHPT.COM ìï x - y - z - ì ïï x = ïï = = ï ï 2 Û í y= Xét hệ phương trình : í ïï x + y + z ïï = = ïï ïỵï z = ïỵ Vây d1 cắt d giao điểm I (1;1;2) ur d1 qua điểm M1 (3;3;3) có u1 = (2; 2;1) VTCP ; uur d ñi qua M (- 5; - 2;0) có u = (6;3; 2) VTCP Gọi j góc hai đường thẳng d1 d Ta có : ur uur u1.u 20 41 cos j = ur uur = Þ sin j = 1- cos j = 21 21 u1 u Giả sử IA = IB = a > diện tích tam giác IAB laø 41 41 S = IA.IB.sin j = a = Þ a = 42 42 uur A ẻ d1 ị A(3 + 2t;3 + 2t;3 + t) Þ IA = (2t + 2; 2t + 2; t + 1) é êt = æ5 ỉ1 ê Þ IA = Û 9(t + 1) = Û ị A1 ỗỗ ; ; ữ , A çç ; ; ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç è3 3 ứ ốỗ3 3 ứ ờt = ờở uur B ẻ d ị B(- + 6t; - + 3t; 2t) Þ IB = (6t - 6;3t - 3; 2t - 2) é êt = ỉ13 10 16 ỉ1 12 ö ê 2 Þ IB = Û 49(t - 1) = ị B1 ỗỗ ; ; ữ , B2 ỗỗ ; ; ữ ữ ữ ữ ữ ỗ ố7 7 ứ ốỗ7 7 ø ê êt = êë Vậy có cặp điểm A, B cần tìm là: ỉ5 ỉ13 10 16 ỉ1 æ5 ö æ13 10 16 ö æ1 12 ữ ỗỗ ; ; ữ ỗỗ ; ; ữ ỗỗ ; ; ữ ỗỗ ; ; ữ ỗ A ỗỗ ; ; ữ A ; ; B B hoặc A ; B ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ữ ữ ốỗ 7 ứ ữ ốỗ7 7 ứ ữ ữ ữ ốỗỗ ; ; ứ ữ hoaởc ỗố3 3 ứ ỗố3 3 ứ ỗố3 3 ứ ổ1 ổ1 12 ửữ ỗ A ỗỗ ; ; ữ ữ ữ; B ốỗỗ7 ; ; ứữ ữ çè3 3 ø Ví dụ 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho mặt phẳng (a ) : 3x + 2y - z + = hai điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I trung điểm đoạn thẳng AB Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB mặt phẳng (a ) Xác đònh tọa độ điểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng (a ), đồng thời K cách gốc tọa độ O mặt phẳng (a ) Lời giải ìï x = - t ïï uuur (t Ỵ ¡ ) AB(- 4; 4; 0) nên đường thẳng AB có phương trình í y = t ïï ïïỵ z = Gọi M = AB Ç (a ) M(4 - t; t; 0) thỏa mãn 3(4 - t) + 2t - + = Û t = 16 Þ M(- 12; 16; 0) HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = - mt ïï Câu 114: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho đường thẳng d : í y = + t , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = - + 3t Mặt phẳng (P) có phương trình x +y +3 z -3 = Mặt phẳng ( P) song song d A m = 10 B m = -10 C m = -1 D m =1 ìï x = - t ïï Câu 115: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho đường thẳng d : í y = + mt , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = - + 2t Mặt phẳng (P) có phương trình x +y -2 z -3 = Mặt phẳng ( P) song song d A m = -5 B m = C m = -1 D m =1 ìï x = - + t ïï Câu 116: Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Oxyz, cho đường thẳng d : í y = - 2t , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = Mặt phẳng (P) có phương trình 2x +y +3 z +1 = Mệnh đề sau A d ^ (P) B d cắt (P) C d Ì (P) D d / /(P) : Bài 117 Lập phương trình đường thẳng Qua hai điểm A(1;2;-3) B(2;-1;-2) A x- y- z + = = - B x + y+ z- = = - C x- y+ z- = = - D x- y- z + = = Bài 118.Lập phương trình đường thẳng Qua M(-1;2;-1) song song đường thẳng ( d ): x +1 y − z + = = −2 A x + y- z + = = - - B x- y+ z- = = - C x- y+ z+ = = - - D x + y- z + = = Bài 119.Lập phương trình đường thẳng Qua N(0;2;-2) vng góc mặt phẳng (P): 2x -y +2z + = A x y- z + = = - B x y+ z- = = - 49 HTTP://DETHITHPT.COM C x- y+ z- = = - D x y- z + = = 2 Câu 120.Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M(2;-1;1) vng góc với hai đường thẳng x- y+ z- d1 : = = , - 1 - ïìï x = + t ï d : í y = - - 2t ïï z= ïïỵ A x- y+ z- = = - - B x- y+ z- = = - C x + y- z + = = - - D x- y+ z- = = Câu 121 Tọa độ giao điểm đường thẳng (d ): A M(7; - 1; - 2) - - ; ) B M( ; 3 x- y+ z = mặt phẳng (P): x+2y+z-1=0 là: - C M(- 7;1; 2) Câu 122:Trong khơng gian vị trí tương đối đường thẳng (d): D M( - ; ; ) 3 x +1 y − z + = = mặt phẳng −2 (P): x − y + z + = là: A Cắt khơng vng góc B d thuộc (P) C Song song D Vng góc x = − t x = + t '   Câu 123 Trong không gian cho đường thẳng d :  y = + 2t đường thẳng d ' :  y = + 2t ' Vị z = − t z = − t '   trí tương đối hai đường thẳng d d’ là: A Song song B Cắt Câu 124.Trong không gian cho đường thẳng d1 : C Trùng D Chéo x −1 y z − đường thẳng = =  x = 2t  d :  y = + 4t Vị trí tương đối hai đường thẳng d1 d2 là:  z = + 6t  A Song song B Cắt C Trùng D Chéo 50 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 125 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng (D) : x - x o y - yo z - zo đường thẳng (D) = = a1 a2 a3 có: A véc tơ phương B véc tơ phương C véc tơ phương D Vô số véc tơ phương Câu 126 Trong không gian Oxyz đường thẳng (D) qua M(x ; y0 ; z ) có véc tơ phương r a = (a1;a ;a ) có phương trình tắc x + x y + y0 z + z = = a1 a2 a3 A x - x y - y0 z - z = = a1 a2 a3 B C x - x y - y0 z - z = = (a1 , a , a ¹ 0) a1 a2 a3 D Cả câu sai Câu 127.Trong khơng gian Oxyz.Góc đường thẳng (D) : x - x y - y0 z - z = = (a1;a ;a ¹ 0) a1 a2 a3 mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0(A + B2 + C2 ¹ 0) Tính cơng thức sau A sin a = C tan a = Aa1 + Ba + Ca A + B2 + C2 a12 + a 2 + a 32 Aa1 + Ba + Ca A + B2 + C2 a12 + a 2 + a 32 B c os a = D cot a = Aa1 + Ba + Ca A + B2 + C2 a12 + a 2 + a 32 Aa1 + Ba + Ca A + B2 + C2 a12 + a 2 + a 32 Câu 128 Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1; 4; 7) vng góc với mặt phẳng x + 2y - 2z - = ìï x = + t ïï A í y = + 2t ïï ïïỵ z = - 2t ìï x = - + t ïï B í y = + t ïï ïïỵ z = - + t ìï x = + 4t ïï C í y = - + 3t ïï ïïỵ z = + t ìï x = + 3t ïï D í y = - + 4t ïï ïïỵ z = - + 3t 51 HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = + 2t ïï Câu 129 Cho đường thẳng (d) có phương trình í y = - t Hỏi phương trình tham số sau ïï ïïỵ z = + t phương trình tham số (d) ìï x = + t ïï A í y = - t ïï ïïỵ z = + t ìï x = + 2t ïï B í y = + 4t ïï ïïỵ z = + 5t ìï x = + 2t ïï C í y = - t ïï ïïỵ z = + t ìï x = + 4t ïï D í y = 1- 2t ïï ïïỵ z = + 2t Câu 130.Phương trình tham số đường thẳng (d) qua hai điểm A(1; 2; -3) B(3;-1;1) ìï x = + t ïï A í y = - + 2t ïï ïïỵ z = - 1- 3t ìï x = + 3t ïï B í y = - - t ïï ïïỵ z = - + t ìï x = - + 2t ïï C í y = - - 3t ïï ïïỵ z = + 4t ìï x = + 2t ïï D í y = - 3t ïï ïïỵ z = - + 4t Câu 131 Khi vectơ phương đường thẳng (d) vng góc với vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a ) A (d) song song (a ) B (d) nằm (a ) C (d) song song nằm (a ) D Các kết A, B, C sai ìï x = + 2t ïï Câu 132 Cho đường thẳng (d) í y = - 3t (d) có phương trình tắc ïï ïïỵ z = - + 5t A x+ y z- = = - B x- y z+ = = - C x- y z+ = = 1 D x + y z- = = 1 Câu 133 Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng có phương trình tham số 52 HTTP://DETHITHPT.COM Khi tọa độ vectơ phương đường thẳng A (–3; –5; 1) B (2; 4; 4) C (3; 5; 1) Câu 134 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Điểm M sau thuộc đường thẳng A M(1;–2;3) D (3; 4; 4) có phương trình tham số ìï x = + t ïï í y = - 2t , ïï ïïỵ z = + t B M(1;2;3) C M(1;2;–3) Câu 135.Trong không gian Oxyz,hai đường thẳng A.1 B D M(2;1;3) có vi trí tương đối C D Câu 136.Trong không gian Oxyz,đường thẳng mặt phẳng có vi trí tương đối A B C Câu 137 Trong không gian (Oxyz) cho đường thẳng đường thẳng D có phương trình tham số , Khi phương trinh tắc A B C D Câu 138 Phương trìnhtham số đường thẳng d quađiểm A (x ; y0 ; z0 ) có vecto phương r u = (a;b;c) ìï x = x + bt ïï A ïí y = y0 + ct ïï ïïỵ z = z + at ìï x = x + ct ïï B ïí y = y0 + bt ïï ïïỵ z = z + at ìï x = x + at ïï C ïí y = y0 + bt ïï ïïỵ z = z + ct ìï x = x + bt ïï D ïí y = y0 - ct ïï ïïỵ z = z + at 53 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 139 Phương trìnhchính tắc đường thẳng d quađiểm A (x ; y0 ; z0 ) có vecto phương r u = (a;b;c) A x + x y + y0 z + z = = a b b B x - x y - y0 z - z = = a b c C x - x y - y0 z - z = = a - b c D x - x y - y0 z - z = = - a b c Câu 140 Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) có vec tơ phương r a = (1;3;2) ìï x = + t ïï A í y = + 3t ïï ïïỵ z = + 2t ìï x = 1- t ïï B í y = - - 3t ïï ïïỵ z = - 2t ìï x = - + t ïï C í y = - + 3t ïï ïïỵ z = - + 2t ìï x = - 1- t ïï D í y = - - 3t ïï ïïỵ z = - - 2t Câu 141 Phương trình tắc đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) có vec tơ phương r a = (1;3;2) A x+ y+ z+ = = B x- y- z- = = C x+ y+ z+ = = - D x + y- z + = = Câu 142 Phương trình tham số đường thẳng d qua hai điểm M(1;2;3) N(0;-1;1) ìï x = 1- t ïï A í y = - 3t ïï ïïỵ z = + 2t ìï x = 1- t ïï B í y = - 3t ïï ïïỵ z = - 2t ìï x = - + t ïï C í y = - + 3t ïï ïïỵ z = - + 2t ìï x = - 1- t ïï D í y = - - 3t ïï ïïỵ z = - - 2t 54 HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = - t ïï Câu 143: Đường thẳng í y = + 2t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = - 5t r A Có vectơ phương u = (2;1;0) r B Có vectơ phương u = (2;1; - 5) r C.Có vectơ phương u = (- 1;2; - 5) r D Có vectơ phương u = (- 1;2;0) r Câu 144 : Vectơ u = (2; - 1;3) vectơ phương đường thẳng sau ìï x = - + 2t ïï B í y = - t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = + 3t ìï x = - 2t ïï A í y = + t (t ẻ R) ùù ùùợ z = 3t C x- y z+ = = - D x y+ z- = = - Câu 145: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d có phương trình: x + y+ z- = = Điểm sau thuộc đường thẳng d 1 A A(- 3; - 1;3) B A(3;1; - 3) C A(2;1;1) D A(- 2; - 1; - 1) Câu 146 : Trong phương trình sau,phương trình phương trình tham số đường thẳng ∆ r qua điểm Mo (x o ; yo ; z o ) , nhận u = (a;b;c) làm vectơ phương x - x o y - yo z - z o = = A a b c ìï x = a + x o t ïï B ïí y = b + yo t (t ẻ R) ùù ùùợ z = c + z o t ìï x = x o + at ïï C ïí y = yo + bt (t ẻ R) ùù ùùợ z = z o + ct D x- a y- b z- c = = xo yo zo ìï x = + t ïï Câu 147 : Đường thẳng sau song song với đường thẳng í y = - + t (t ẻ R) ùù ùùợ z = + t 55 HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = + 2t ïï B y = 1- t (t ẻ R) ùù ùùợ z = + 3t ìï x = 2t ïï A y = t (t ẻ R) ùù ùùợ z = - 3t C x- y+ z- = = - 1 D x- y- z- = = 1 Câu 148: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d qua hai điểm M(2;0;5) N(1;1;3) Vectơ phương đường thẳng d là: r A u = (- 1;1;- 2) r B u = (2;0;5) r C u = (1;1;3) r D u = (3;1;8) r Câu 149 : Đường thẳng ∆ qua A(3;–1 ;0), nhận u = (2;1;2) làm vectơ phương có phương trình tham số ìï x = + 3t ïï A í y = 1- t , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = C x- y+ z = = 2 ìï x = + 2t ïï B í y = - + t , t ẻ Ă ùù ùùợ z = 2t D x- y- z- = = - Câu 150: Trong không gian Oxyz cho M(1;–2;1), N(0;1;3) Phương trình đường thẳng qua hai điểm M,N có dạng: A x + y- z + = = - B x y- z- = = - C x + y- z- = = - D x y- z- = = - Câu 151: Trong không gian Oxyz cho M(2;–3;1) mặt phẳng (α): x+ 3y – z + = Đường thẳng d qua điểm M, vng góc với mặt phẳng (α)có phương trình là: ìï x = + 3t ïï A í y = - + t , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = 1- t ìï x = + t ïï B í y = - - t , t ẻ Ă ùù ùùợ z = + 3t ìï x = + t ïï C í y = - + 3t , t Ỵ ¡ ïï ïïỵ z = 1- t ìï x = - t ïï D í y = - + 3t , t ẻ Ă ùù ùùợ z = + t 56 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 152: Trong không gian Oxyz, trục x’Ox có phương trình là: ìï x = ïï A í y = t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = t ìï x = t ïï B y = (t ẻ R) ùù ùùợ z = t ìï x = t ïï C í y = (t ẻ R) ùù ùùợ z = ìï x = ïï D í y = t (t ẻ R) ùù ùùợ z = t Cõu 153: Trong khơng gian Oxyz cho A(1,2,3), phương trình đường thẳng OA A.1(x-1) + 2(y-1) + 3(z-1) = B 1(x-0) + 2(y-0) + 3(z-0) = ìï x = t ïï C í y = 2t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = 3t ìï x = + t ïï D í y = + t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = + t Câu 154 : Phương trình đường thẳng qua điểm M (1 ; ; 1) song song với đường thẳng ìï x = + t ïï í y = - + t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = + t ìï x = - + t ïï A í y = - + t (t ẻ R) ùù ùùợ z = - + t C x- y- z- = = - ìï x = + 2t ïï B í y = 1- t (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = + 3t D x- y- z- = = 1 Câu 155 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp (P) : x – 2y + z – =0 (Q) : 2x + y – z + = Phương trình đường d giao tuyến (P) (Q) có dạng: ìï x = + t ïï A í y = 3t (t ẻ R) ùù ùùợ z = 1- 5t C x y+ z = = ìï x = ïï B í y = - t (t ẻ R) ùù ùùợ z = D x y z- = = 57 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 156: Trong không gian Oxyz, tọa độ giao điểm hai đường thẳng d1 : x + y- z- x y- z + = = d2 : = = là: - 1 A (3;2;1) B (3;1;2) C (2;1;3) D (2;3;1) ìï x = + 2t ïï Câu 157 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: í y = - 3t (t ẻ R ) Phng ùù ùùợ z = - + 5t trình sau phương trình tắc d ? A x- y z+ = = - B C x - = y = z + x+ y z- = = - D x + = y = z - Câu 158 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: x- y- z + = = Phương - trình sau phương trình tham số d ? ìï x = + t ïï A í y = + 2t (t Ỵ R ) ïï ïïỵ z = + 3t ìï x = + t ïï B í y = - 2t (t ẻ R ) ùù ùùợ z = - + 3t ìï x = ïï C í y = - t (t Ỵ R ) ïï ïïỵ z = - + 3t ìï x = ïï D í y = + t (t ẻ R ) ùù ùùợ z = 1- t ìï x = + t ïï Câu 159 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : í y = - t mặt phẳng ( a ) : ïï ïïỵ z = + 2t x + 3y + z + = Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng: A d / / (a ) B d cắt (a ) C d Ì (a ) D d ^ (a ) 58 HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = - + 2t ïï Câu 160 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d: í y = - + 3t (t Ỵ R ) ïï ïïỵ z = + 4t ìï x = + t ' ïï đường thẳng d’: í y = - 1- 4t '(t ' Ỵ R ) Giao điểm hai đường thẳng d d’ ïï ïïỵ z = 20 + t ' A (3;7;18) B (- 3; - 2;6) C (5; - 1;20) D (3; - 2;1) ìï x = 1+ 2t ïï Câu 161 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d í y = t (t Ỵ R ) ïï ïïỵ z = - t d': x- y z+ = = Góc tạo hai đường thẳng d d’ có số đo A 300 C 600 B 450 Câu 162: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : D 90o x + y+ z- = = mặt phẳng (P) có 1 phương trình: x+ 2y – z + = Tọa độ giao điểm d (P) A (–1;0;4) B (4;–1;0) C (–1;4;0) Câu 163: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : D (4;0;–1) x- y+ z+ = = mặt phẳng (P) có m 2m - phương trình: x+ 3y – 2z – = Với giá trị m đường thẳng d vng góc với mp(P) A m = –1 B m = C m = D m = –3 Câu 164 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): x + 3y - 2z - = đường thẳng d: x- y+ z+ = = Với giá trị m d song song với (P) m 2m - A –1 B Câu 165 : Trong kg với hệ tọa độ Oxyz, cho đt ∆: C D -2 x- y z- = = điểm M(1;0;– 2) - Xác định điểm N ∆ cho MN vuông góc với đường thẳng ∆ 59 HTTP://DETHITHPT.COM A N ( ; ; ) 3 B N (7; 2; 4) C N (- ; ;- ) 3 D N(7; - 2; 4) Câu 166 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (1;2; - 6) đường thẳng d: ìï x = + 2t ïï í y = 1- t (t Ỵ R ) Hình chiếu M lên đường thẳng d có tọa độ : ïï ïïỵ z = - + t A (0; 2; - 4) B (- 2;0; 4) C (- 4;0; 2) D (2;0; 4) Câu 167 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng : d1 : x- y- z + x + y+ z- = = = = d : Vị trí d1 d : A Trùng B Song song C Cắt D Chéo Câu 168 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(3;4;5) Điểm N đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (Oyz) có tọa độ : A (3;4; - 5) B (3; - 4; - 5) C (- 3;4;5) D (- 3; - 4; - 5) ìï x = + t ïï Câu 169 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, góc đường thẳng d : ïí y = - + t (t Ỵ R ) ïï ïï z = + 2t ỵ mặt phẳng (P): x - y + A 450 2z - = : B 600 C 900 D 300 Câu 170 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M (0;0;1) đường thẳng d: ìï x = + t ïï (t Ỵ R ) Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d cho MN = í y= t ïï ïïỵ z = A (1; - 1;1) B (1; - 1; - 1) C (2;0;1) D (2;0; - 1) Câu 171: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x + y2 + z = 14 mặt phẳng (P) có phương trình: x + 2y + 3z - 14 = Tọa độ tiếp điểm mặt cầu (S) mặt phẳng (P) là: 60 HTTP://DETHITHPT.COM A (- 1;2;3) B (1; - 2;3) C (1; 2; - 3) Câu 172: Hình chiếu vng góc đưởng thẳng d : D (1; 2;3) x- y+ z- = = mặt phẳng (Oxy) có 1 phương trình : ìï x = + 2t ïï A í y = - + t ïï ïïỵ z = ìï x = - + 5t ïï B í y = - 3t ïï ïïỵ z = ìï x = - 1- 2t ïï C í y = - + t ïï ïïỵ z = ìï x = + t ïï D í y = 1- t ïï ïïỵ z = ìï x = + t ìï x = ïï ïï (d ') :í y = - 2t ' Câu 173:Cho hai đường thẳng chéo (d) :í y = ïï ïï ïïỵ z = - + t ïïỵ z = + 3t ' Khoảng cách đường thẳng d d’ : A 192 B C 17 D 21 Câu 174: Đường thẳng qua điểm A(2 ;-5 ; 6), cắt tru ̣c hoành song song với mặt phẳng x + 5y 6z = có vtcp : A.(1 ; ; -6) B (1 ;0 ; 0) C.( -61 ; ; -6) D.(0 ; 18 ; 15) Câu 175: Phương trình đường thẳng qua điểm A(2 ;-5 ; 6), cắt Ox song song với mặt phẳng x + 5y - 6z = : ìï x = - 61t ïï A í y = - + 5t (t ẻ R) ùù ùùợ z = - 6t ìï x = + t ïï B í y = - (t Ỵ R) ïï ïïỵ z = x- y- z- = = C - ìï x = ïï D í y = - + 18t (t ẻ R) ùù ùùợ z = + 15t Câu 176 :Đường thẳng d : x y- z + = = vng góc với đường thẳng sau : - 61 HTTP://DETHITHPT.COM ìï x = + 2t ïï A í y = - t ïï ïïỵ z = ìï x = - 1- 2t ïï B í y = + 3t , t ẻ Ă ùù ùùợ z = - t ìï x = + t ïï C í y = - 3t ïï ïïỵ z = + 2t ìï x = - + t ïï D í y = + 2t , t ẻ Ă ùù ùùợ z = 4t ùỡù x = + mt ï Câu 177 : Tìm m để hai đường thẳng sau cắt nhaud : í y = t d’ : ïï ïïỵ z = - + 2t A B C -1 D Câu 178 : Bán kính mặt cầu tâm I (1;3;5) tiếp xúc với đường thẳng d : A 14 C B 14 ìï x = 1- t ' ïï ï y = + 2t ' í ïï ïï z = - t ' ỵ x y+ z- = = là: - - D Câu 179: Trong khơng gian Oxyz cho hai đường thẳng d1và d2 có phương trình ìï x = + at ìï x = 1- t ' ïï ï d1 í y = t (t Ỵ R) d2 ïí y = + 2t ' d1và d2 cắt a : ïï ïï ïïỵ z = - + 2t ïïỵ z = - t ' A B C.3 D -1 ìï x = + t ïï Câu 180 : Cho điểm A(1 ; ; 0) đường thẳng D : í y = + 2t , t Ỵ ¡ tọa độ hình chiếu điểm A ïï ïïỵ z - t đường thẳng D : A (2 ; ; -1) ổ3 1ử C ỗỗ ; 0; - ữ ữ ỗố ø 2÷ B (2 ; ; 0) Câu 181 : Cho mặt phẳng (a ) : 3x - 2y - z + = đường thẳng∆ : ổ1 1ử D ỗỗ ; 0; - ữ ữ çè ø 2÷ x- y- z- = = Khi khoảng cách ∆ (α) A 14 B 14 C 14 D 14 62 HTTP://DETHITHPT.COM Câu 182 : Khoảng cách từ điểm M (2;0;1) đến đường thẳng d : A 12 B x- y z- = = là: C D 12 ĐÁP ÁN 2A 5A 6A 7A 8A 9A 10A 11A 12 13 14A 15A 16A 17A 18A 19A 20A 21A 22A 23A 24A 25A 26A 27A 28A 29A 30A 31A 32A 33A 34A 35A 36A 37D 38A 39B 40C 41A 42C 43C 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54A 55A 56D 57B 58D 59B 60B 61A 62A 63 64A 65A 66A 67A 68A 69A 70A 71A 72A 73A 74A 75A 76A 77A 78A 79aA 79bA 80A 81A 82A 83A 84A 85D 86A 87A 88A 89A 90A 91A 92A 93C 94A 95D 96B 97D 98D 99A 100A 101A 102A 103A 104A 105A 106 107A 108D 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120A 121 122A 123 124 125D 126C 127A 128A 129D 130D 131C 132B 133A 134B 135C 136D 137D 138C 139B 140A 141B 142B 143C 144B 145A 146C 147D 148A 149B 150B 151C 152C 153C 154D 155C 156D 157A 158B 159A 160A 161C 162A 163A 164B 165A 166A 167B 168A 169D 170A 171D 172A 173C 174C 175A 176D 177A 178A 179B 180C 181B 182C 63 ... = - - t Thay x, y, z vào phương trình (P) ta : 1+ 2t - 2t - t - = Û t = - Þ C (- 1; - 1; - 1) Điểm M Ỵ D Û M(1 + 2t; t; - - t) Þ MC = Û (2 t + 2) + (t + 1) + (t + 1) = é êt = Þ M(1;0; - 2) Þ d (M;(P))... x - y + z + , giải hệ ta tìm H (3 ; - 1; - 4) ïï = = ïỵ - uuur Vì M Î D Þ M (1 + 2t; - + t; - 1- 3t ) Þ AM = (2 t - 1; t + 3; - 3t + 5) Neân AM = 35 Û (2 t - 1) + (t + 3) + (3 t - 5) = 35 Û t - 2t... 3x + 2y - z + = có phương trình ìï x = + 3t ïï KI : í y = + 2t (t Ỵ R), nên K(2 + 3t; + 2t; - t) ïï ïïỵ z = - t 3(2 + 3t )+ (2 + 2t )+ t + Ta coù: d(K, (a )) = = 14 t + 32 + 22 + 12 Mà OK = d(K,