SKKN SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.SKKN Chuyên đề Phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8.
I.ĐẶT VẤN ĐỀ Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử " học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong SGK trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách số hạng, phương pháp thêm bớt số hạng, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập Khi học chuyên đề học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1.Cơ sở lý luận Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử’’là ngồi giải tập phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng nào? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác -Phân tích đa thức thành nhân tử tốn nhiều tốn khác Ví dụ: + Bài toán chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức +Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Thực tiễn 2.1.Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 5x3 +15x - Đa thức cho có số hạng đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Giải Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - khơng phân tích Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại khơng đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 + 6x + Giải Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta khơng thể phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: Tách 6x = 4x + 2x Cách 3: Tách =12 - x2 + 6x + x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x2 - + 6x + 12 = x (x+2) + (x+2) = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) = (x+2) (x - + 6) Cách 2: Tách = - = (x+2) (x+4) x2 + 6x + Cách 4: Tách = 24 - 16 = x2 + 6x + - x2 + 6x + = (x+3)2 – = x2 - 16 + 6x + 24 = (x + - 1) (x+ +1) = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x+2) (x+4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x3 - 7x - Giải Ta tách sau: Cách 1: Tách -7x = -x - 6x x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: Tách -7x = -3x -4x x3 - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: Tách - = -27 +21 x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: Tách - = -7 + x3 - 7x -6 = x3 + - 7x - = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: Tách - = -14 + x3 - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x+2)( x2- 2x + 4) - 7(x+2) = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: Tách -7x =-9x +2x x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối khơng thể phân tích Tất nhiên u cầu có tính chất tương đối cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích khơng triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) Giải Đa thức ta dự đốn có nhân tử b + c c - a a + b Ta có cách phân tích sau: Cách 1: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac2 - a2c - a2b - ab2 = bc (b +c) + (ac2 - ab2) - (a2c + a2b) = bc (b +c) + a (c - b) (c + b) - a2 (c+ b) = (b + c) (bc + ac - ab - a2) = (b + c) [(bc - ab ) + (ac - a2) ] = (b + c) [b (c - a) +a (c - a)] = (b + c) (a +b ) (c - a) Cách 2: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c bc2 + ac (c -a) - a2b - ab2 = ac (c - a) + b2 (c - a) + b (c2 - a2) = ac (c -a) + b2 (c - a) + b (c - a) (c + a) = (c - a) (ac + b2 + bc + ab) =(c - a )[(ac + ab) +(b2 + bc) =(c - a )[a( b + c ) + b (b + c )] = (c - a) ( b + c ) (a +b) Cách 3: bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = b2c + bc2 + ac2 - a2c - ab (a + b) = c (b2 - a2) + c2 (a + b) - ab (a + b) = c (b - a) (a + b) + c2 (a + b) - ab (a + b) = (a + b) (cb - ca + c2 - ab) = (a + b) [c (b + c) - a (c + b)] = (a + b) (b + c) (c - a) Cách 4: Nhận xét: c - a = (b + c) - (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a +b) = bc (b + c) + ac (b + c) - ac (a + b) - ab (a + b) = c (b + c) (b + a) - a (a + b) (c + b) = (b + c) (a + b) (c - a) Cách 5: Nhận xét: b + c = (c - a) + (a + b) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (a + b) = bc (c - a) + bc (a + b) + ac (c - a) - ab (a + b) = c (c - a) (b + a) + b (a + b) (c - a ) = (a + b) (c - a) (c + b) Cách 6: Nhận xét: a + b = (b + c) - (c - a) bc (b + c) + ac (c - a) - ab (b + c) + ab (c - a) = b (b + c) (c - a) + a (c - a) (c + b) = (c - a) (b +c ) (b + a) Ví dụ 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a5 + a + Giải Số mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: Thêm bớt a2 a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) Ví dụ 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 4x4 + 81 Giải Thêm bớt 36x2 4x4 + 81 = 4x4 +36x2 +81- 36x2 = (2x2+ 9)2 - (6x)2 = (2x2+ + 6x )( 2x2+ - 6x) 2.2.Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Giải Đặt x = b - c; y = c - a; Ta thấy: x + y + z = z = a - b => z = - x - y (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Giải Thông thường gặp toán học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài dịng Nếu ý đến đặc điểm đề bài: Hai đa thức x + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x + x + y = x + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Cách 1: Đặt y = x2 + x + => y +1 = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3y - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Cách 2: Đặt y = x2 + x Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = (y + 1)(y + 2) - 12 = y2 + 2y + y +2 - 12 = y2 +3 y - 10 = y2 + 5y - 2y - 10 = y(y +5) - (y + ) =(y +5)(y - ) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 Giải x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = ( x2 +4x)(x2 +16x + 60) +128 = x4 +16x3 +60x2 +4x3+ 64x2 +240x +128 = x4 + 20x3 +124x2 +240x +128 =x4+10x3+24x2 +10x3+100x2 +240x +128 =x2 (x2 +10x +24)+ 10x(x2 +10x +24) 128 = (x2 +10x) (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y Ta có: x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = (y -12)(y + 12) +128 = y2 - 144 + 128 = y2 - 16 = (y +4)(y – 4) = (x2 +10x + 16) (x2 + 10x + 8) = (x2 +8x + 2x +16) (x2 + 10x + 8) =[x(x + 8) + 2(x +8)] (x2 + 10x + 8) =(x +8)(x+ 2) (x2 + 10x + 8) Nhận xét: Trong ví dụ trên, nhờ có phương pháp đặt ẩn phụ mà ta đưa đa thức bậc bốn x thành đa thức bậc hai y 10 2.3.Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức a.Cách tìm nghiệm đa thức -Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có) đa thức phải ước hạng tử tự Ví dụ1: Tìm nghiệm ngun đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải Cách1: Các ước là: 1;2;4;-1;-2;- Thử giá trị ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho Cách 2: Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p /q p ước hệ số tự do; q ước dương số hạng có bậc cao Ví dụ 2: Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải Các ước C: 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương là: 1;2 (q) Xét số X ± 1; ± 3;± 1/2; ± 3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho Chú ý: -Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 cú 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - cú + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = 11 -Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn bằng: + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn bằng: + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 a.Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F (x) có nghiệm x =a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x3 + 3x2 - b) 2x3 + 5x2 + 5x + Giải a) Cách1: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x = nên chứa nhân tử x -1 Ta có: x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 Cách2: Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x = - nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x - 12 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x - 2) = (x+2) (x2 - x + 2x - 2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 3.Giải pháp Trên sở nghiên cứu phân tích chương đưa dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng B= Ví dụ : Rút gọn biểu thức x + 3x − x2 + x − Giải B= x + 3x − x2 + x − = x( x + 4) − x − x( x + 4) − ( x + 4) x2 + x − x − = = x( x + 2) − x − x( x + 2) − ( x + 2) x2 + x − x − ( x + 4)( x − 1) ( x + 4) = ( x + 2)( x − 1) = ( x + 2) Ví dụ2: Rút gọn biểu thức: A= x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) x2 y − x2 z + y z − y3 13 Giải Ta có x ( y − z ) + y ( z − x) + z ( x − y ) x2 y − x2 z + y z − y3 A= A= x y − x z + y ( z − x) + z x − z y x2 ( y − z) + y ( z − y) A= ( x y − z y ) + y ( z − x) − ( x z − z x) x2 ( y − z) − y ( y − z) y ( x − z ) − y ( x − z ) − xz ( x − z ) A= ( y − z )( x − y ) y ( x − z )( x + z ) − y ( x − z ) − xz ( x − z ) ( y − z )( x − y ) A= A= A= ( x − z )[( y ( x + z ) − y − xz )] ( y − z )( x − y ) ( x − z )( xy + yz − y − xz ) ( y − z )( x − y )( x + y ) ( x − z )[( xy − xz ) + ( yz − y )] A= ( y − z )( x − y )( x + y ) A= ( x − z )[ x ( y − z ) + y ( z − y ) ( y − z )( x − y )( x + y ) A= ( x − z )( y − z )( x − y )] ( y − z )( x − y )( x + y ) A= ( x − z) ( x + y) Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên x, ta có: [(x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15] M(x+6) 14 Giải Ta có (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 = (x+1)(x+7) (x+3)(x+5)+15 = (x2 + 8x +7) (x2 + 8x +15) + 15 Đặt t = x2 + 8x +11 => (t - 4)(t + 4) +15 = t2 - = (t + 1)(t - 1) Thay t = x2 + 8x +11 , ta có (x2 + 8x + 12) (x2 + 8x +10) (x2 + 8x +10)(x +2)(x + 6) M(x+6) Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên x ta có (4x + 3)2 – 25 M8 Ta phân tích biểu thức (4x + 3)2 - 25 thừa số (4x + 3)2 - 25 = (4x + 3)2 - 52 = (4x + + 5) (4x + - 5) = (4x + 8) (4x - 2) = 4(x + 2) (2x - 1) = (x + 2) (2x - 1) Do x số nguyên nên (x + 2) (2x - 1) số nguyên Do (x + 2) (2x - 1) M8 (đpcm) Cách 2: (4x + 3)2 - 25 = 16x2 + 24x + - 25 = 16x2 + 24x - 16 = (2x2 + 3x - 2) Vì x số nguyên nên 2x2 + 3x - số nguyên Do (2x2 + 3x - 3) M8 (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng: A= n3 + (n + 1)3 + (n + 2) M9 (1) với n ∈ N* 15 Giải Phân tích A thành nhân tử thừa số A chứa thừa số A = n3 + (n3 + 3n2 + 3n +1) + (n3 + 6n2 + 12n +1) = 3n3 + 9n2 + 15n +9 =3(n3 + 3n2 + 5n +3) Đặt B = n3 + 3n2 + 5n +3 =n3 + n2 + 2n2 +2n +3n +3 = n2 (n +1) + 2n(n+1)+ 3(n+1) =(n+1) (n2 + 2n +3) =(n2 + 2n)(n+1) +3(n+1) = n(n+1)(n+2) +3(n+1) Ta thấy n (n+1)(n+2) M3 (Vì tích số tự nhiên liên tiếp); 3(n+1) M3 => B M3 B =3k (k ∈ N) Vậy A = 3B = 3.3k = 9k M9 (đpcm) Ví dụ 4: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n A= + n2 n3 + số nguyên Giải Ta có: n n n 2n + n + + + = 6 Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) 16 Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên Ví dụ 5: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức x16 + x15 + + x2 + x + Giải Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x17 (x16 + x15 + + x2 + x + 1) + x16 +x2 + x + = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x 50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x 16 + x15 + x + Kết phép chia là: x34 + x17 + Ví dụ 6: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Giải Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c Dự đốn đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a + a2b + a2c + b2a + b3 + b2c + c2a + c2b + c3 - a2b - ab2 - abc - a2c - acb - ac2 - acb - b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c) - ab (a + b + c) - ac (a + b + c) - bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B 17 Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình a.Giải phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 Giải Ta có: 3x2 + 10xy + 8y2= 3x2 + 4xy + 6xy + 8y2 = x (3x + 4y) + 2y (3a + 4y) = (3n + 4y) (x + 2y) = 96 Ta có: 96 - 1.96 = 2.48 = 3.32 = 4.24 = 8.12 = 6.16 Mà x, y > => 3x + 4y > 7; x + 2y > Ta có hệ phương trình sau: x + 2y = 3x + 4y = 24 x + 2y = x + 2y = (I) 3x + 4y = 16 (III) x + 2y = 12 (IV) 3x + 4y = 12 3x + 4y = Giải hệ (I) ta x = 16; y = - (Loại) Giải hệ (II) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (III) ta x = 4; y = (Loại) Giải hệ (IV) ta x = - 16;y = 14 (Loại) Vậy nghiệm hệ x = 4; y = Vậy nghiệm phương trình: x= 4; y = Ví dụ 2: Tìm số nguyên x > y > thỏa mãn x3 + y = y3 + 7x Giải 18 (II) => x3 - y3 - 7x + 7y = => (x - y)3 (x2 + xy + y2) - (x - y) = => (x - y) (x2 + xy + y2 - 7) = Vì x > y > => x2 + xy + y2 - = => x2 - 2xy + y2 = - 3xy => (x - y)2 = - 3xy => - 3xy > => 3xy < => xy < x.y ≤ => x = 2; y = b.Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải Ta có: ( 3x - )2 -( x - )2 = => ( 3x - + x - )(3x - - x + 1) = => ( 4x - 6)(2x - 4) = =>4x - = =>x = 3/2 Hoặc 2x - = => x = Vậy nghiệm phương trình cho x =3/2 x = Ví dụ 2: Giải phương trình x3 + 3x2 + 4x + = Giải Ta có x3 + 3x2 + 4x + = => x3 + x2 +2x2 +2x +2x + = => x2(x +1) + 2x(x + 1) +2 (x + 1) = => (x + 1)(x2 + 2x + 2) = (x + 1) = => x = -1 (x2 + 2x + 2) = khơng có giá trị x ∈ Q Vậy nghiệm phương trình cho x = -1 19 Kết nghiên cứu: Sau nghiên cứu giải pháp biện pháp nêu áp dụng vào việc giảng dạy cho học sinh cách “ Phân tích đa thức thành nhân tử” đa số học sinh giỏi biết “phân tích đa thức thành nhân tử” vận dụng tốt vào số tập dạng rút gọn, chia hết tìm GTLN,GTNN Với việc khảo sát chất lượng mức độ tiếp thu học sinh qua tiết học đạt kết sau: Lần Ksát TSHS Giỏi Khá TB Yếu Lần 10 10% 40% 50% 0% Lần 10 30% 50% 20% 0% Lần 10 60% 20% 20% 0% 20 III.Kết luận kiến nghị 1.Kết luận Trên đưa suy nghĩ mà giảng dạy "Phân tích đa thức thành mhân tử dạng ứng dụng " cho bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả.Hầu hết học sinh nắm kiến thức yêu thích học kiến thức này.Xin giới thiệu với bạn đọc, em học sinh, bậc cha mẹ học sinh tham khảo, góp phần nhỏ vào lực giải tốn tri thức tốn học mình.Rất mong bạn đọc tham khảo góp ý cho tơi để nội dung phong phú hoàn thiện Kiến nghị Cần mở rộng phạm vi nghiên cứu thời gian tới, áp dụng đến nhiều đối tượng Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy Trên kinh nghiệm giảng dạy phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” lớp Rất mong góp ý đồng nghiệp Xin trân trọng cảm ơn! Tân Đức, ngày tháng năm 2012 Người thực Đào Mạnh Hùng 21 ... a .Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F (x) có nghiệm x =a chứa nhân tử x - a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x - a Ví dụ3: Phân tích. .. tập vận dụng vận dụng nào? -Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức, đơn thức khác -Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều tốn khác Ví dụ: + Bài tốn... 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Giải Thơng thường gặp tốn học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức