Thế vị lớp đơn và bài toán neumann cho phương trình poisson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ĐINH THỊ THANH HUYỀN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TOÁN NEUMANN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017... BỘ GIÁO D

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH THỊ THANH HUYỀN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN

VÀ BÀI TOÁN NEUMANN

CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐINH THỊ THANH HUYỀN

THẾ VỊ LỚP ĐƠN

VÀ BÀI TOÁN NEUMANN

CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Hà Nội, 2017

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn , người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ phòng Sau đạihọc, các giảng viên chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2 đã tổ chức và giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạochuyên ngành thạc sỹ toán học

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho emtrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Đinh Thị Thanh Huyền

Lời cam đoan

Em xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn,luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thế vị lớp đơn

và bài toán Neumann cho phương trình Poisson” được hoàn thànhbởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa nhữngthành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Tác giả

Đinh Thị Thanh Huyền

Mục lục

1.1 Các công thức Green 5

1.2 Bài toán Neumann cho phương trình Poisson 6

1.2.1 Bài toán Neumann trong 6

1.2.2 Điều kiện cần cho tính giải được của bài toán Neu-mann Tính duy nhất của nghiệm 7

1.2.3 Bài toán Neumann ngoài 8

1.3 Biểu diễn tích phân của hàm số 10

1.3.1 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace 10

1.3.2 Công thức biểu diễn tích phân của hàm số 11

1.4 Góc khối Mặt Liapunov 13

1.4.1 Góc khối 13

1.4.2 Mặt Liapunov 14

1.5 Phương trình tích phân Fredholm loại II 17

2 Thế vị lớp đơn và bài toán Neumann 20 2.1 Thế vị khối 20

2.1.1 Thế vị khối và các tính chất 20

2.1.2 Đưa bài toán Neumann cho phương trình Poisson

về bài toán Neumann cho phương trình Laplace 21

2.2 Thế vị lớp kép 22

2.2.1 Thế vị lớp kép 23

2.2.2 Các tính chất của thế vị lớp kép 23

2.2.3 Tích phân Gauss 24

2.3 Thế vị lớp đơn 25

2.3.1 Khái niệm thế vị lớp đơn 25

2.3.2 Đạo hàm theo pháp tuyến của thế vị lớp đơn 26

2.4 Đưa bài toán Neumann về phương trình tích phân Fred-holm loại hai trên biên 27

2.4.1 Bài toán Newmann trong Ni 29

2.4.2 Bài toán Neumann ngoài 30

2.5 Điều kiện đủ của tính tương thích 30

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, bài toán Neumann cho hàmđiều hòa người ta chỉ giải được tường minh cho các miền đơn giản như:hình cầu hoặc nửa mặt phẳng Đối với miền bất kỳ thì đây là bài toán rấtkhó và đòi hỏi cần đưa về công cụ giải quyết đơn giản hơn

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở các tính chất của thế vị đơn, luận văn sẽ chỉ ra một phươngpháp để giải bài toán Neumann cho phương trình Poisson, đó là đưa nó vềgiải một phương trình tích phân Fredholm loại hai trên biên của miền

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn sẽ trình bày cơ sở của các khái niệm liên quan như: thế vị lớp đơncùng các tính chất cơ bản của chúng, phương trình tích phân Fredholmloại hai và các tính chất của nghiệm

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Người ta đã biết rằng, điều kiện cần để nghiệm của bài toán Neumann chophương trình Poisson tồn tại, đó là vế phải của phương trình và hàm sốcho trước trên biên phải thỏa mãn điều kiện tương thích nhất định Luậnvăn chủ yếu tập trung vào chứng minh điều kiện tương thích nói trên cũng

sẽ là điều kiện đủ cho sự tồn tại của nghiệm bài toán.

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các kết quả của lý thuyết Phương trình đạo hàm riêngelliptic, của Giải tích hàm tuyến tính

Khi đó ta có công thức Green thứ nhất

Trong công thức Green thứ nhất đổi vai trò của u(x) và v(x) sau đó lấy

(1.1) trừ đi kết quả vừa nhận được, ta có công thức Green thứ hai

1.2.2 Điều kiện cần cho tính giải được của bài toán Neumann.

Tính duy nhất của nghiệm

Mệnh đề 1.1 Điều kiện để bài toán (1.3), (1.4) có nghiệm là

có nghiệm Trong Chương 2 ta sẽ chứng minh (1.8) còn là điều kiện đủ.Định lí 1.1.(Định lí 4.9.1, [1]) Hai nghiệm bất kỳ của bài toán Neumanntrong của phương trình Poisson chỉ có thể sai khác nhau một hằng số cộng

|u(x)| 6 c

Định lí 1.2.(Định lí 4.9.2, [1]) Bài toán Neumann ngoài (1.11), (1.12),

(1.13) nếu có nghiệm thì nghiệm là duy nhất

Chứng minh

Giả sử u1(x), u2(x) là 2 nghiệm bất kì của bài toán (1.11), (1.12), (1.13)

như vậy hiệu v(x) = u1(x) − u2(x) sẽ thỏa mãn

Mặt cầu SR tâm O, bán kính R khá lớn, ΩR là miền giới hạn bởi SR và S

Áp dụng công thức Green thứ nhất(1.1) cho hàmv(x) trong miền ΩR Ta

Trên SR đối với hàm điều hòa v(x) ta có

|v(x)| 6 Rc,

∂v

∂ν x

6

c

R n

Do đó

Do lim

x→∞v(x) = 0 nên v(x) = 0

Vậy định lí được chứng minh



1.3 Biểu diễn tích phân của hàm số

1.3.1 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace

Trong Rn ta tìm nghiệm E(x − y) của phương trình Laplace với biến x,

(x = x1, x2, , xn) và tham biến y sao cho nghiệm này chỉ phụ thuộc vàokhoảng cách giữa 2 điểm x và y Lấy y làm gốc tọa độ ta có

1

|x|n−2, n > 3

− 12π ln |x| , n = 2,

(1.18)

trong đó ωn là diện tích mặt cầu đơn vị trong Rn

(ω2 = 2π, ω3 = 4π, )

Hàm (1.18) được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong Rn.

1.3.2 Công thức biểu diễn tích phân của hàm số

Xét miền Ω giới nội, giới hạn bởi mặt S trơn từng mảnh Xét hàm u bất

kì sao cho bản thân nó và các đạo hàm riêng cấp một của nó liên tục trongmiền kín Ω ∪ S, các đạo hàm riêng cấp 2 của nó liên tục trong miền kín Ω.Trong Ω lấy một điểm x bất kì và xét một hình cầu Bε giới hạn bởi mặtcầu Sε có tâm x bán kính ε

Xét biến điểm y thì u(y), v(y) đối với biến y đều khả vi liên tục trong

Ω\Bε(x) và khả vi liên tục trong miền kín Ω\Bε(x)

v(y) = E(x − y)

Ta có ∆yE(x − y) = 0 nên

[u(y)∆yE(x − y) −E(x − y)∆u(y)]dy = −

Ω

E(x − y)∆u(y)dy.Do

v(y) = E(x − y)

νy là pháp tuyến ngoài của Ω

ấy mà ta quy ước là pháp tuyến dương.

Giả sử P là một điểm trong không gian sao cho tại điểm Q bất kì của mặt

S véc tơ −→r = −→PQ hợp với véc tơ pháp tuyến −ν→

Q tại điểm Q một góc nhỏhơn hoặc bằng π2, tức là cos(−→r, −ν→

Q) > 0 Từ P, xét tất cả các bán kính véc

tơ −→

P Q, Q ∈ S các bán kính véc tơ −→

P Q đó lấp đầy khối nón, đỉnh P, cácđường sinh của mặt bên tựa trên biên của mặt S

Từ P ta xét một mặt cầu đơn vị tâm P, mặt cầu ấy cắt khối nón nói trêntheo mảnh cầu σ1 có diện tích |σ1|

Phần không gian chiếm bởi khối nón nói trên được gọi là góc khối mà từ

Nếu vectơ pháp tuyến dương −→ν hợp với bán kính vectơ −→r = −P Q→một góc

Như vậy dấu của góc khối phụ thuộc vào chiều của pháp tuyến dương Giả

sử S là mặt trơn từng mảnh và trên cos(−→r , −→ν ) mỗi mảnh thay đổi dấu,

ta chia S ra thành nhiều mảnh nhỏ S1, S2, , Sk, sao cho trên mỗi mảnh

Sk đại lượng cos(−→r , −→ν ) không thay đổi dấu.

+) Tại mọi điểm của mặt S đều tồn tại pháp tuyến xác định.

+) Gọi Q và Q’ là 2 điểm bất kì trên mặt S và −→

Ví dụ Nếu mặt S có phương trình z = f (x, y) trong đó f (x, y) là hàm

có đạo hàm cấp hai liên tục thì S là mặt Liapunov

Như vậy mặt cong có độ cong liên tục là mặt cong Liapunov

Định lí 1.4.(Định lí 5.4.1, [1]) Giả sử S là mặt Liapunov kín khi ấy tồntại một hằng số d > 0 sao cho nếu lấy một điểm Q bất kì trên S làm tâmmặt cầu bán kính d thì đường song song với pháp tuyến −→v tại Q chỉ cắt

phần mặt S bên trong hình cầu không quá một điểm

Mặt cầu trên Q ∈ S nói trên được gọi là mặt cầu Liapunov

Xét hệ tọa độ địa phương (ξ, η, ζ) với gốc là Qo, trục Qoζ trùng với pháptuyến −→v

o tại Qo, còn hai trục Qoξ, Qoη nằm trong mặt phẳng tiếp xúc củamặt S tại Qo Theo Định lí 1.3 thì phần mặt S’(Qo) có thể biểu diễn trong

hệ tọa độ Qoξηζ bởi phương trình

Gọi Qoξηζ là điểm chạy trên phần mặt S’(Qo), −→v là pháp tuyến tại Q

và r = QoQ Ta đánh giá theo r các cosin chỉ phương của −→v , f (ζ, η) vàcos(−→r , −→ν ) theo r khi điểm Q

∂

∂νQ

1(rPQ)n−1

S

2 Bài toán Newmann ngoài (Ne)

Tìm hàm u(x) liên tục Ω0 ∪ S sao cho

∆u(x) = 0, x ∈ Ω0, (2.20)

∂u(x)

∂νx

S

= ϕ(x), x ∈ S,e (2.21)

|u| 6 A

Trong đó các đạo hàm ∂u(x)∂ν

x |S được hiểu là đạo hàm đều theo pháp tuyến,hàm f (x) là hàm liên tục trên mặt S còn r là khoảng cách từ x tới gốctọa độ Ta kí hiệu các bài toán Newmann trong và ngoài lần lượt là Ni,

đó ta đưa bài toán tìm nghiệm u(x) về bài toán tìm hàm mật độ trongthế vị đó, như vậy đã đưa đến những phương trình tích phân để xác địnhcác hàm mật độ, cụ thể như sau

2.4.1 Bài toán Newmann trong Ni

Ta tìm nghiệm dưới dạng thế vị lớp đơn

ρ(x) +

S

K(y, x)ρ(y)dSy = 2ϕ(x).e

2.4.2 Bài toán Neumann ngoài

Ta cũng tìm nghiệm dưới dạng thế vị lớp đơn(2.23)và (2.13)khi đó(2.21)

ρ(x) +

Z

S

K(y, x)ρ(x)dSy = 2ϕ(x).e (2.26)

2.5 Điều kiện đủ của tính tương thích

Định lí 2.11 Điều kiện cần và đủ để bài toán Neumann trongNi có nghiệm

là vế phải của (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) phải thỏa mãn hệ thức

Ở chương I ta đã chứng minh hệ thức(2.27) là cần Bây giờ ta chứng minh

hệ thức (2.27) cũng là đủ để bài toán Ni giải được

Kết luận

Luận văn đã trình bày những vấn đề sau

+) Một số kiến thức cơ sở như các công thức Green, công thức biểu diễntích phân của hàm số, mặt cong Liapunov và phương trình tích phânFredholm loại hai

+) Các bài toán Neumann trong và ngoài Điều kiện cần để có nghiệm củabài toán Neumann cho phương trình Poisson tồn tại

+) Khái niệm thế vị lớp đơn, các tính chất của thế vị lớp đơn và ứng dụngvào việc giải các bài toán Neumann trong và ngoài đối với phương trìnhPoisson

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhàxuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội

[2] A V Bitsadze (1994), Partial Differential Equations, World Scientific,Singapore - New Jersey - Lodon - Hong Kong

... toán Neumann cho phương trình Neumann bàitốn Dirichlet cho phương trình Laplace

2.2 Thế vị lớp kép

Để nghiên cứu tính chất vị lớp đơn trước hết ta xét khái niệmthế vị lớp. .. bên ngồi miền Ω, vị (2.1) hàmđiều hịa

Phương trình (2.2) gọi phương trình Laplace

2.1.2 Đưa tốn Neumann cho phương trình Poisson

tốn Neumann cho phương trình Laplace

Áp... Laplace

Áp dụng: Đưa tốn biên phương trình Poisson tốn biêncủa phương trình Laplace

Giả sử cho tốn Neumann cho phương trình Poisson (phương trìnhLaplace không nhất)