Thế vị lớp kép và bài toán dirichlet cho phương trình poisson

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ QUỲNH NGA THẾ VỊ LỚP KÉP VÀ BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI DƯƠNG THỊ QUỲNH NGA THẾ VỊ LỚP KÉP VÀ BÀI TỐN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn , người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán phòng Sau đại học, giảng viên chuyên ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạo chun ngành thạc sỹ tốn học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Dương Thị Quỳnh Nga Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thế vị lớp kép tốn Dirichlet cho phương trình Poisson” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Dương Thị Quỳnh Nga Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Các công thức Green 1.1.1 Công thức Green thứ 1.1.2 Công thức Green thứ hai Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson Tính nghiệm 1.2.1 Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson 1.2.2 Tính nghiệm Biểu diễn tích phân hàm số 11 1.3.1 Nghiệm phương trình Laplace 11 1.3.2 Công thức biểu diễn tích phân hàm số 11 Góc khối Mặt Liapunov 14 1.4.1 Góc khối 14 1.4.2 Mặt Liapunov 15 Phương trình tích phân Fredholm loại hai 17 Thế vị lớp kép toán Dirichlet 2.1 Thế vị khối 20 20 2.2 2.3 2.4 2.1.1 Thế vị khối tính chất 2.1.2 Đưa toán Dirichlet cho phương trình Poisson 20 tốn Dirichlet cho phương trình Laplace 21 Thế vị lớp kép tính chất 22 2.2.1 Khái niệm vị lớp kép 22 2.2.2 Các tính chất vị lớp kép 22 Đưa tốn Dirichlet phương trình tích phân Fredholm biên 24 2.3.1 Bài toán Dirichlet 26 2.3.2 Bài toán Dirichlet 26 Tính giải toán Dirichlet 27 2.4.1 Tính giải toán Dirichlet 28 2.4.2 Tính giải tốn Dirichlet ngồi 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tốn Dirichlet cho hàm điều hòa người ta giải tường minh cho miền đơn giản như: hình cầu nửa mặt phẳng Đối với miền tốn khó đòi hỏi cần đưa công cụ giải đơn giản Mục đích nghiên cứu Trên sở tính chất vị kép, luận văn phương pháp để giải toán Dirichlet cho phương trình Poisson, đưa giải phương trình tích phân Fredholm loại hai biên miền Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày sở khái niệm liên quan vị lớp kép tính chất chúng, phương trình tích phân Fredholm loại hai tính chất nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Do nghiệm tốn Dirichlet ln nhất, luận văn chủ yếu tập trung vào chứng minh tồn nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng kết lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic, Giải tích hàm tuyến tính Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các công thức Green Giả sử Ω ⊂ Rn miền giới nội ∂Ω với biên n Ta kí hiệu u(x), v(x) hàm số có đạo hàm riêng cấp đạo hàm riêng cấp hai Ω, νx = (ν1 , ν2 , , νn ) vectơ pháp tuyến đơn vị ngồi x ∈ ∂Ω 1.1.1 Cơng thức Green thứ Bổ đề 1.1 Giả sử u(x), v(x) ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) n n ∆u(x) = uxj xj = j=1 j=1 ∂ u(x) = ∇2 u(x) ∂xj Khi đó, ta có cơng thức Green thứ u(x)∆v(x)dx = − (∇u(x), ∇v(x))dx + Ω Ω ∂Ω u(x) ∂v(x) ∂νx dSx , (1.1) ∂u ∂u ∂u ∇u(x) = (ux1 , ux2 , ., uxn ) = ( ∂x , , ∂x ), ∂x2 n ∂v(x) ∂νx n = j=1 ∂v ∂xj νj = (∇v, νx ) đạo hàm v theo hướng νx Chứng minh Ta có n u(x)∆v(x)dx = Ω n vxj xj = u(x) j=1 Ω n =− Ω j=1 u(x) j=1 Ω ∂v ∂u ∂xj ∂xj dx ∂ ∂v ∂xj ( ∂xj )dx n + u(x)( j=1 ∂Ω = − (∇u(x), ∇v(x))dx + Ω ∂Ω ∂v(x) ∂xj νj )dSx u(x) ∂v(x) ∂νx dSx Từ ta có cơng thức (1.1) 1.1.2 Cơng thức Green thứ hai Bổ đề 1.2.Giả sử u(x), v(x) ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω) ta có cơng thức Green thứ hai { u(x)∆v(x) − v(x)∆u(x)} dx = Ω ∂Ω ∂u(x) { u(x) ∂v(x) ∂νx −v(x) ∂νx } dSx Chứng minh Theo cơng thức Green thứ ta có u(x)∆v(x)dx = − (∇u(x), ∇v(x))dx + Ω Ω ∂Ω u(x) ∂v(x) ∂νx dSx Đổi vai trò u(x) v(x) ta có v(x)∆u(x)dx = − (∇v(x), ∇u(x))dx + Ω Ω ∂Ω v(x) ∂u(x) ∂νx dSx Trừ vế với vế hai phương trình ta có cơng thức (1.2) (1.2) điều hòa ∆U (x) = 0; x ∈ / Ω (2.2) Phương trình (2.2) gọi phương trình Laplace 2.1.2 Đưa tốn Dirichlet cho phương trình Poisson tốn Dirichlet cho phương trình Laplace Áp dụng: Đưa tốn biên phương trình Poisson tốn biên phương trình Laplace Giả sử cho tốn Dirichlet cho phương trình Poisson (phương trình Laplace không nhất) ∆u = f (x); x ∈ Ω (2.3) u |∂Ω = ϕ(x); x ∈ ∂Ω (2.4) Giả thiết f (x) hàm khả vi liên tục Ω Ta xây dựng nghiệm riêng U (x) phương trình (2.3) Theo Định lí 2.1, ta chọn U (x) hàm U (x) = − E(x − y)f (y)dy Ω Đặt v(x) = −U (x) + u(x) Khi ∆v = v |∂Ω = u |∂Ω − U |∂Ω = ϕ(x) − Uo = ψ(x) 21 Như ta đưa tốn Dirichlet cho phương trình Poisson tốn Dirichlet cho phương trình Laplace 2.2 Thế vị lớp kép tính chất 2.2.1 Khái niệm vị lớp kép Định nghĩa 2.1 Tích phân phụ thuộc tham biến x ∂ E(x − y) ρ(y)dSy ∂νy W(x) = (2.5) S gọi vị lớp kép x, gây nên hàm mật độ ρ(y) xác định S = ∂Ω ∂Ω mặt Liapunov kín 2.2.2 Các tính chất vị lớp kép Định lí 2.3 Giả sử hàm mật độ vị lớp kép (2.5) hàm giới nội khả tích ∂Ω Khi W(x) = S ∂ ∂νy E(x − y) ρ(y)dSy hàm điều hòa với x ∈ / ∂Ω Chứng minh Khi x ∈ / ∂Ω ta có ∂ [∆E(x − y)]ρ(y)dSy = ∂νy ∆W = ∂Ω 22 Hơn đánh giá W (x) x → ∞, ∂ (E(x − y)) = cos (νx , νy ) E(x − y) ∂νy Ta có |W (x)| E(x − y) → Định lí 2.4 Giả sử ∂Ω mặt Liapunov kín hàm mật độ ρ(y) vị lớp kép (2.5) hàm giới nội khả tích ∂Ω Khi vị lớp kép (2.5) có giá trị hồn tồn xác định W(x) x ∈ ∂Ω giá trị hàm liên tục x ∂Ω Chứng minh Do ρ(y) hàm giới nội ∂Ω nên tồn số M cho |ρ(y)| M Từ ∂ E(x − y)ρ(y) ∂νy Với x ∈ ∂Ω ta có Ω ∂ ∂νy E(x M ∂ E(x − y) ∂νy (2.6) − y)ρ(y)dSy tồn Vậy từ (2.6) ta suy tích phân W (x) = Ω ∂ ∂νy E(x − y)ρ(y)dSy tồn x ∈ ∂Ω Định lí 2.5 Giả sử ∂Ω mặt Liapunov kín ρ(y) liên tục ∂Ω Khi đó, vị lớp kép 23 W (x) = ∂Ω ∂ ∂νy E(x − y)ρ(y)dSy thỏa mãn hệ thức sau Wi (xo ) = W (xo ) + ρ(xo ), (2.7) We (xo ) = W (xo ) − ρ(xo ), (2.8) xo ∈ ∂Ω; Wo (x) = ∂Ω ∂E(xo −y) ρ(y)dSy , ∂νy n We (x) = lim W (x), x ∈ R \Ω, x→xo Wi (x) = lim W (x), x ∈ Ω x→xo Định lí 2.6.(Định lí 10, [1]) Đối với mặt Liapunov kín tích phân Gauss có giá trị sau W0 (x) = Ω 2.3     1, x ∈ Ω     ∂E(x−y) dS = , x ∈ ∂Ω y ∂νy       0, x ∈ / Ω Đưa toán Dirichlet phương trình tích phân Fredholm biên Xét mặt Liapunov kín ∂Ω giới hạn miền Ω miền Ω = Rn \Ω, ta nhắc lại toán sau Bài toán Dirichlet 24 Tìm hàm u(x) liên tục miền đóng Ω ∪ ∂Ω cho ∆u(x) = 0, x ∈ Ω (2.9) u|∂Ω = ψ(xo ), xo ∈ ∂Ω (2.10) Bài tốn Dirichlet ngồi Tìm hàm u(x) liên tục miền Ω ∪ ∂Ω cho ∆u(x) = u|∂Ω = ψ(xo ), xo ∈ ∂Ω |u(x)| (2.11) A ; r = |x| → ∞ r Ta kí hiệu tốn Dirichlet ngồi Di , De Đối với tốn ta tìm nghiệm dạng vị lớp kép Ta biết hàm điều hòa Ω Ω thỏa mãn (2.9), (2.10) Vì thế vị phải thỏa mãn điều kiện biên Ta đưa tốn tìm nghiệm u(x) tốn tìm hàm mật độ vị đó, dẫn tới phương trình tích phân Fredholm loại II để tìm hàm mật độ 25 2.3.1 Bài tốn Dirichlet Ta tìm nghiệm dạng vị lớp kép ∂ E(x − y)ρ(y)dSy ∂νy u(x) = (2.12) ∂Ω với hàm mật độ ρ(y) cần tìm Với x ∈ Ω từ (2.10) ta có lim u(x) = ui (xo ) = ψ(xo ) x→xo (2.13) Áp dụng công thức (2.7), x ∈ Ω, ta có ρ(xo ) + ∂Ω ρ(xo ) + ∂ ∂νy E(x − y)ρ(y)dSy = ψ(xo ) K(xo , y)ρ(y)dSy = F (xo ), ∂Ω K(xo , y) = ∂ν∂ y E(xo − y), F (xo ) = 2ψ(xo ) 2.3.2 Bài tốn Dirichlet ngồi Giả sử nghiệm tốn tìm dạng vị lớp kép ∂ E(x − y)ρ(y)dSy ∂νy u(x) = ∂Ω 26 (2.14) điều kiện (2.11) viết lại sau lim u(x) = ue (xo ) = ψ(xo ) x→xo (2.20) Áp dụng công thức (2.8) ta nhận − 21 ρ(xo ) + ∂Ω ∂ ∂νy E(xo − y)ρ(y)dSy = ψ(xo ) K(xo , y)ρ(y)dSy = F ∗ (xo ), ρ(xo ) − (2.16) ∂Ω K(xo , y) = ∂ν∂ y E(xo − y), F ∗ (xo ) = −2ψ(xo ) 2.4 Tính giải toán Dirichlet Theo mục 1.2.2 ta chứng minh tính nghiệm tốn D ngồi Ta chứng minh tính giải tốn D ngồi nhờ vị lớp kép Ta chứng minh tốn Dirichlet ngồi có nghiệm nghiệm Vì ta chứng minh tính giải tốn nhờ cơng cụ vị lớp kép 27 2.4.1 Tính giải toán Dirichlet Bổ đề 2.1 Giả sử ∂Ω mặt Liapunov kín, ρ(y) hàm liên tục ∂Ω Nếu vị lớp kép ∂ E(x − y)ρ(y)dSy ∂νy W (x) = (2.17) ∂Ω thỏa mãn điều kiện Wi (xo ) ≡ với xo , y ∈ ∂Ω ρ ≡ Chứng minh Gọi Ω miền giới hạn ∂Ω Do vị lớp kép (2.17) hàm điều hòa nên nói nghiệm tốn Dirichlet ∆W (x) = 0, ∀x ∈ Ω, ∆Wi (x) = 0, ∀x ∈ ∂Ω Theo định lí tính nghiệm toán Dirichlet nên Wi (x) = 0, ∀x ∈ Ω Do ∂W (xo ) ∂νoi = 0; ∀xo ∈ ∂Ω Vì đạo hàm vị lớp kép hàm liên tục Rn nên ∂W (xo ) ∂νoi = ∂W (xo ) ∂νoe ; ∀xo 28 ∈ ∂Ω Lại tính nghiệm tốn Neumann ngồi nên ta có Wi (x) = 0, ∀x ∈ / Ω Mà ta có Wi (x) − We (x) = ρ(y) = 0, suy ρ(y) ≡ Xét phương trình (2.14) tương ứng với tốn Dirichlet Định lí 2.7 Phương trình (2.14) có nghiệm Chứng minh Ta chứng minh phương trình tương ứng (2.14) ρ(xo ) + K(xo , y)ρ(y)dSy = ∂Ω có nghiệm tầm thường Ta viết (2.14) dạng   1 ρ(xo ) + K(xo , y)ρ(y)dSy  = ρ(xo )+ ∂Ω ∂ E(xo −y)ρ(y)dSy = ∂νy ∂Ω (2.21) Hay (2.18) viết thành Wi (x) = 0, W (x) = vị lớp kép Theo Bổ đề 2.1 ta có νy ≡ 29 Vậy định lí chứng minh Lấy nghiệm thu phương trình (2.14) vào (2.12) ta tìm nghiệm tốn Dirichlet Từ suy Định lí 2.8 Bài tốn Dirichlet (2.3), (2.4) với vế phải f (x) liên tục có nghiệm nghiệm 2.4.2 Tính giải tốn Dirichlet ngồi Định lí 2.9 Phương trình tương ứng (2.16) ρ(xo ) − K(xo , y)ρ(y)dSy = ∂Ω có nghiệm Chứng minh Xét vị lớp kép đặc biệt (tích phân Gauss) Wo (x) = ∂Ω ∂ ∂νy E(x − y)ρ(y)dSy Theo Định lí 2.5 ta có Wo (x) = 21 , xo ∈ ∂Ω Nghĩa ∂Ω ∂ ∂νy E(xo − y)ρ(y)dSy = 30 (2.19) hay 1− K(xo , y)dSy = 0, ∂Ω K(xo , y) = ∂ν∂ y E(xo − y) Vậy (2.19) có nghiệm ρ(y) ≡ Ta cần chứng minh (2.19) có nghiệm độc lập tuyến tính Mà theo Định lí 1.7 phương trình phương trình liên hợp có số nghiệm độc lập tuyến tính nên ta chứng minh phương trình liên hợp (2.19) µ(xo ) − K(y, xo )µ(y)dSy = (2.20) ∂Ω khơng thể có hai nghiệm độc lập tuyến tính Thật vậy, giả sử phương trình (2.20) có hai nghiệm µ1 (xo ) µ2 (xo ) độc lập tuyến tính Khi µ1 (xo ) − ∂ E(xo − y)µ1 (y)dSy = 0, ∂νy (2.21) ∂ E(xo − y)µ2 (y)dSy = ∂νy (2.22) ∂Ω µ2 (xo ) − ∂Ω Xét hai vị lớp đơn E(y, xo )µ1 (y)dSy , V1 (x) = ∂Ω 31 V2 (x) = E(y, xo )µ2 (y)dSy ∂Ω Theo định lí vị lớp đơn: ∂Ω Liapunov kín, µ(y) hàm liên tục ∂Ω với ∂V (xo ) ∂νo ∂V (xo ) ∂νoi = ∂V (xo ) ∂νoe − 12 µ(xo ), ∂V (xo ) ∂νoi = ∂V (xo ) ∂νoe + 21 µ(xo ), giá trị trực tiếp đạo hàm vị lớp đơn điểm x ∂Ω Vậy (2.21), (2.22) viết dạng ∂V1 (x) ∂νoi = 0, ∂V∂ν2 (x) = o i Do V1 (xo ), V2 (xo ) nghiệm toán Neumann Ta có V1 (x) = C1 , V2 (x) = C2 , x ∈ Ω, C1 , C2 số Nếu C1 = C2 V1 (x) − V2 (x) = C1 − C2 = 0, ∀x ∈ Ω Khi [V1 (x) − V2 (x)]i = µ1 (xo ) − µ2 (x0 ) = 0, xo ∈ ∂Ω Nghĩa µ1 (xo ) = µ2 (x0 ) trái với giả thiết Nếu C1 = C2 ta xây dựng lớp vị đơn với hàm mật độ C1 µ1 (y) − C2 µ2 (y) Ta có 32 V (x) = − E(x − y) [C2 µ1 (y) − C2 µ1 (y)]dSy ∂Ω = C2 V1 (x) − C1 V2 (x) ≡ 0, x ∈ Ω Suy Vi (xo ) ≡ 0, xo ∈ ∂Ω C2 µ1 (y) − C1 µ2 (y) ≡ 0, tức µ1 (y) µ2 (y) phụ thuộc tuyến tính với Như (2.19) có nghiệm độc lập tuyến tính 33 Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau +) Một số kiến thức sở cơng thức Green, cơng thức biểu diễn tích phân hàm số, mặt cong Liapunov phương trình tích phân Fredholm loại hai +) Các toán Dirichlet ngồi Tính nghiệm tốn +) Khái niệm vị lớp kép, tính chất vị lớp kép ứng dụng vào việc giải tốn Dirichlet ngồi phương trình Poisson 34 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] A V Bitsadze (1994), Partial Differential Equations, World Scientific, Singapore - New Jersey - Lodon - Hong Kong 35 ... a) Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson Bài tốn Dirichlet cho phương trình Poisson có dạng ∆u = f (x), x ∈ Ω, (1.3) u|∂Ω = ϕ(x), x ∈ ∂Ω (1.4) b) Bài tốn Dirichlet ngồi cho phương trình Poisson. .. 2.1.2 Đưa toán Dirichlet cho phương trình Poisson 20 tốn Dirichlet cho phương trình Laplace 21 Thế vị lớp kép tính chất 22 2.2.1 Khái niệm vị lớp kép 22... Poisson tốn Dirichlet cho phương trình Laplace Áp dụng: Đưa tốn biên phương trình Poisson tốn biên phương trình Laplace Giả sử cho tốn Dirichlet cho phương trình Poisson (phương trình Laplace