Toán tử schrödinger tuần hoàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHM H NI NGUYN TH THOAN ă TON T SCHRODINGER TUẦN HỒN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ THOAN ¨ TỐN TỬ SCHRODINGER TUẦN HỒN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TẠ NGỌC TRÍ Hà Nội - 2017 i LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn bảo cho tơi q trình làm luận văn Thơng qua luận văn này, muốn gửi lời cảm ơn đến thầy giáo tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội gia đình, bạn bè thành viên lớp Tốn Giải Tích Khóa 19 động viên, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thoan ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn thực hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí Tơi cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Các thông tin trích dẫn, tài liệu tham khảo luận văn rõ nguồn gốc Luận văn chưa công bố phương tiện thông tin Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thoan iii MỤC LỤC Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Tốn tử tuyến tính 1.1.1 Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn 1.1.2 Phổ tốn tử tuyến tính khơng bị chặn 1.1.3 Tốn tử tuyến tính tự liên hợp 1.1.4 Một số kết phổ toán tử tuyn tớnh b chn 1.1.5 Toỏn t Schrăodinger 13 1.1.6 Đối xứng hóa tốn tử tự liên hợp 18 1.1.7 Chéo hóa tốn tử tự liên hợp 20 1.1.8 Sự phân hoạch phổ 21 Toỏn t Schrăodinger mt chiu 22 1.2.1 Sự tự liên hợp 23 1.2.2 Sự gián đoạn phổ 23 1.2.3 Giá trị riêng âm 24 iv 1.3 Toỏn t Schrăodinger nhiu chiu 25 1.3.1 Sự tự liên hợp 25 1.3.2 Phổ gián đoạn 28 1.3.3 Phổ thiết yếu 29 1.3.4 Sự phân rã hàm riêng 1.3.5 Khoảng cách Agmon 30 29 Các toán t Schră odinger tun hon 32 2.1 Gii thiu chung 32 2.2 Một số định nghĩa tính chất 32 2.3 2.2.1 Tích phân trực tiếp tốn tử khả tích 32 2.2.2 Tốn t Schrăodinger tun hon mt chiu 34 2.2.3 Toỏn t Schrăodinger tun hon nhiu chiều 38 2.2.4 Các kết khác 40 2.2.5 Giảm nhiễu điện tuần hoàn 42 Một số tốn vật lý điển hình ứng dụng dng toỏn t Schrăodinger tun hon 43 2.3.1 Phương trình sóng điện trường tuần hoàn 43 2.3.2 Tìm lượng Fermi Ef 44 2.3.3 Tìm nhiệt dung riêng đẳng tích 46 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Lý chn ti Toỏn t Schrăodinger l mt khỏi niệm toán học quan trọng sử dụng học lượng tử Các vấn đề phổ toán t Schrăodinger cng liờn quan cht ch n cỏc hin tượng tự nhiên Hầu tính chất riêng biệt hạt vi mô tạo nên vật chất điện tử, proton, neutron, mơ tả hc lng t Toỏn t Schrăodinger hay Hamiltonian phng trỡnh Schrăodinger l nhõn t thit yu xõy dng sở nghiên cứu mơ tả tính chất vật chất học lượng tử Trong đề tài này, tơi muốn tìm hiểu số loại tốn tử Schrăodinger c bit: toỏn t Schrăodinger tun hon Bi toỏn Mơ hình khí điện tử trường tuần hồn Vật lý chất rắn dùng để giải thích xây dựng lý thuyết vùng lượng tinh th vt cht s dng toỏn t Schrăodinger tun hon để xử lý Bên cạnh đó, với tượng nhiễu loạn trường tuần hoàn lượng tử khảo sát mơ tính tốn cấu trúc vật chất trường tuần hồn, tốn t Schrăodinger tun hon l cụng c quan trng nghiên cứu Với mục đích tập dược nghiên cứu khoa học thực đề tài tốt nghiệp cao học, tụi mong mun tỡm hiu v cỏc toỏn t Schrăodinger tuần hồn Vì giúp đỡ hướng dẫn tận tình TS Tạ Ngọc Trí tơi chọn ti " Toỏn t Schrăodinger tun hon " lm đề tài cho luận văn tốt nghiệp với hy vọng giúp tơi có thêm hiểu biết vấn đề Mục đích nghiên cứu Tỡm hiu v cỏc toỏn t Schrăodinger tun hon Cỏc định lý, ví dụ ứng dụng vật lý liên quan n cỏc toỏn t Schrăodinger tun hon Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày định nghĩa, mệnh đề, định lý ví dụ cụ thể v cỏc toỏn t Schrăodinger tun hon i tng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các toỏn t Schrăodinger tun hon Phm vi nghiờn cu: Mt số tài liệu, báo có liên quan tới toỏn t Schrăodinger tun hon Phng phỏp nghiờn cu Sử dụng kết tốn mơ hình khí điện tử trường tuần hồn Vật lý chất rắn để tìm hiểu sử dụng lý thuyết cổ điển tốn tử tuần hồn chiều hay nhiều chiều để tiếp cận vấn đề Sử dụng kiến thức lý thuyết phổ, lý thuyết toán tử, toán tử tự liên hợp, toán tử khơng gian Hilbert Đóng góp dự kiến Các tốn t Schrăodinger tun hon v mt s bi toỏn vt lý in hỡnh ng dng cỏc toỏn t Schrăodinger tun hồn Hy vọng luận văn nêu vai trò v ỏp dng ca toỏn t Schrăodinger vt lý Nội dung Luận văn gồm có chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Các toán tử Schrăodinger tun hon v mt s bi toỏn vt lý in hỡnh ng dng cỏc dng toỏn t Schrăodinger tun hoàn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương chúng tơi trình bày sơ lược tổng qt toỏn t Schrăodinger, cỏc toỏn t Schrăodinger hon mt chiu, sở cho vấn đề tìm hiểu chương sau Nội dung chương tham khảo tài liệu: [2], [3], [4], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] 1.1 1.1.1 Tốn tử tuyến tính Phổ tốn tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.1.1 Cho X, Y không gian vectơ định chuẩn trường số K , ánh xạ T : X −→ Y gọi tuyến tính T (αx + βy) = α(T x) + β(T y) với x, y ∈ X α, β ∈ K Ta nói ánh xạ tuyến tính T tốn tử tuyến tính bị chặn tồn số C cho: Tx Y ≤C x X với x ∈ X Số T nhỏ gọi chuẩn T , kí hiệu T Do đó, T = sup x X =1 Tx Y T X,Y 36 U f ∈ C ∞ (0, 2π) với (U f )θ (x) = U f θ (x) (tương tự đạo hàm cấp cao).Hơn nữa: (Uf)θ (2π) = e−iθn f (2π (n + 1)) = e−iθ(n−1) f (2πn) = eiθ (Uf)θ (0) n n iθ Tương tự (Uf) (2π) = e (Uf) (0) Vậy ∀θ, (Uf) ∈ D (Lθ ) Lθ (U f ) = U −f ” θ Nên U f ∈ D (A) A (U f ) = U −f ” Cho Hθ = Lθ + V (x) Xét toán tử L2 (0, 2π) ⊕ dθ [0,2π) Hθ 2π Định lý 2.2.2 U HU −1 = Chứng minh Xem công thức (2.2) đủ để chứng minh: U V U −1 = ⊕ dθ [0,2π) Vθ 2π với Vθ tốn tử (θ khơng phụ thuộc) sợi L2 (0, 2π) xác định (Vθ f ) (x) = V (x) f (x) , x ∈ (0, 2π) Ta có: (U V f )θ (x) = e−inθ V (x + 2πn) f (x + 2πn) n = V (x) n e−inθ f (x + 2πn) = Vθ (U f )θ (x) Chú ý 2.2.2 Toán tử Lθ + I khả nghịch Nghịch đảo Kθ = (Lθ + I)−1 xác định: (Kθ u) (x) = 2π Gθ (x, y) u (y) dy , Gθ (x, y) = 12 e−|x−y| + α (θ) ex−y + β (θ) ey−x , với α (θ) = e2π−iθ − −1 β (θ) = e2π−iθ − −1 , Suy Kθ compact phụ thuộc giải tích θ lân cận [0, 2π] Vì Lθ phụ thuộc giải tích θ nên Hθ Hơn nữa, Hθ có giải thức compact Vậy phổ Hθ gián đoạn bao 37 gồm giá trị riêng λ1 (θ) ≤ λ2 (θ) ≤ Theo định lý 2.2.1 (c), ta thấy σ (H) hợp khoảng [inf λk (θ) , sup λK (θ)] (được gọi dải cấu trúc phổ) Vì H bị chặn σ (H) phần bù hợp khoảng (−∞, a0 ) , (a1 , b1 ) , (a2 , b2 ) , , với bi < ai+1 Khoảng hữu hạn (a1 , b1 ) , i ≥ gọi khoảng phổ Ta chứng minh kết tương tự trường hợp nhiều chiều Tuy nhiên trường hợp chiều ta thu nhiều thơng tin Đầu tiên, ý Hθ H2π−θ phần đơn vị tương đương liên hợp phức Vậy λk (θ) = λk (2π − θ) Tiếp theo, ta chứng minh giá trị riêng λk (θ) , θ ∈ (0, π) không suy biến phụ thuộc giải tích θ ∈ (0, π); λk (θ) liên tục giải tích với θ = θ = π Tuy nhiên, liên tục trùng với λn+1 (θ) λn−1 (θ) (tương ứng λ (π)) giá trị riêng kép (sự suy biến kép xảy ra) Hơn nữa, với k lẻ, λn (θ) đơn điệu giảm (tương ứng: tăng) (0, π) Vậy, λ1 (0) < λ1 (π) ≤ λ2 (π) < λ2 (0) ≤ ≤ λ2n−1 (0) < λ2n−1 (π) ≤ λ2n (π) < λ2n (0) ≤ Các khoảng (dải) [λ2n−1 (0) , λ2n−1 (π)] [λ2n (π) , λ2n (0)] dạng phổ Ta tiếp xúc gối lên Trong trường hợp chiều ta có: a) Nếu khơng có khoảng V = const b) Nếu có khoảng mở V hàm elliptic Weierstrass c) Nếu khoảng lẻ thiếu V chu kỳ π d) Nếu có hữu hạn khoảng V hàm giải tích thực e) Trong trường hợp hàm C ∞ với chu kỳ 2π tập điện V , khoảng mở tập đặc (nờn trự mt) 38 2.2.3 Toỏn t Schră odinger tuần hồn nhiều chiều Xét tốn tử H = −∆ + V (x) Rn V (x) chu kỳ 2π xi , i = 1, , n, V ∈ C (Rn ) (để đơn giản), V (x) ≥ −C Ta xác định biến đổi Floquet (Uf)θ (x) = e−iθ.n f (x + 2πn), n∈Z n với θ ∈ [0, 2π)n , x ∈ (0, 2π)n Toán tử Lθ L2 ((0, 2π)n ) xác định −∆ với điều kiện biên ψ (x1 , , xk−1 , 2π, xk+1 , , xn ) = eiθk ψ (x1 , , xk−1 , 0, xk+1 , , xn ) iθk ψ (x1 , , xk−1 , 2π, xk+1 , , xn ) = e ψ (x1 , , xk−1 , 0, xk+1 , , xn ) Cách khác để xét Lθ không gian L2loc (Rn ) chứa hàm thỏa mãn điều kiện Bloch ψ (x + 2πn) = eiθ.n ψ (x) , n ∈ Z n Biến đổi Floquet phân hoạch H tăng cấu trúc dải phổ Tuy nhiên, Hθ có giá trị riêng bội dải phủ trường hợp chiều Giả sử V , trường hợp n = 2, 3, nói chung H có số hữu hạn khoảng Đây tương phản trường hợp chiều Tuy nhiên, chiều phổ H hoàn toàn liên tục Ta thảo luận trù mật tích phân trạng thái Đầu tiên, xét hàm phổ e (λ, x + 2πn, y + 2πn) = e (λ, x, y) Phép chiếu phổ Eλ phép chiếu tích phân Hàm hạt nhân e (λ, x, y) hàm phổ H Trường hợp e (λ, , ) hàm liên tục Rn × Rn Hơn tuần hồn với đường chéo, nghĩa là: e (λ, x + 2πn, y + 2πn) = e (λ, x, y) Bằng định nghĩa, trù mật tích phân trạng thái N (λ) có nghĩa giá trị e (λ, x, x) N (λ) = measK K e (λ, x, x) dx, 39 với k = [0, 2π]n N (λ) hàm không giảm với λ < inf δ (H) không thay đổi khoảng phổ Hơn nữa, δ (A) trùng với tập điểm tăng N (λ) Ta biểu diễn N (λ) giới hạn hàm dải λk (θ): ∞ N (λ) = (2π)−n meas {θ ∈ K : λk (θ) ≤ λ} k=1 −n = (2π) Nθ (λ) dθ K Với Nθ (λ) hàm suy rộng thông thường với phổ gián đoạn Hθ : Nθ (λ) = # giá trị riêng Hθ λ Nếu V = Nλ = (2π)−n λn/2 θ (λ), với thể tích hình cầu đơn vị Rn θ (λ) hàm Heaviside Ta đưa mô tả khác N (λ) sau: Ωn = {x ∈ Rn : |xj | ≤ πn, j = 1, , n} Xét toán tử Hn xác định Ωn −∆ + V (x) với chu kì 2πn Tốn tử Hn tự liên hợp L2 (Ωn ) có phổ gián đoạn Chú ý Nn (λ) hàm suy rộng thông thường với giá trị riêng Hn Thì Nn (λ) n→∞ measΩn N (λ) = lim (2.3) Hơn nữa, cho Gn (t, x, y) hàm Green toán tử prabol ∂/∂t − H Trên khoảng (0, ∞) × Ωn với điều kiện biên chu kỳ G (t, x, y) nghiệm tốn Cauchy với ∂/∂t − H Ta kiểm tra rằng: G (t, x + 2πk, y + 2πk) = G (t, x, y) , k ∈ Zn Xét biến đổi Laplace N Nn : Thì ˜ (t) = N ∞ −λt dN −∞ e ˜ (t) = N ∞ −λt dNn (t) , −∞ e (λ) , t > 0, t>0 40 ˜n (t) = N ˜ (t) = N measΩn measK Ωn K Gn (t, x, x) dx, G (t, x, x) dx =: Mx (G (t, x, x)) ˜n (t) → N ˜ (t) N 2.2.4 Các kết khác Xét trường hợp điện gần tuần hoàn Một hàm liên tục bị chặn f (x) gọi gần tuần hoàn tập phép tịnh tiến f (., +y)y∈Rn tiền compact khơng gian Cb (Rn ) hàm liên tục bị chặn Giá trị trung bình f xác định: n R R→∞ M (f ) = lim |xj |≤R/2 f (x)dx (Sự tồn giới hạn định lý sâu) Ký hiệu: CAP (Rn ) không gian tất hàm Nếu V ∈ CAP (Rn ) −∆ + V toán tử tự liên hợp L2 (Rn ) Cho H toán tử tự liên hợp tương ứng Xét toán tử khác sinh −∆ + V (x) Trong không gian CAP (Rn ), ta giới thiệu tích (f, g)B = M (f.g) chuẩn tương ứng B ( f B = 0, f ∈ CAP (Rn ), kéo theo f = 0) Không gian CAP (Rn ) không đủ với chuẩn Sự mở rộng B (Rn ) gọi khơng gian hàm gần tuần hồn Besicovitch Nó HB B (Rn ) định lý sâu M Trạng thái Shubin: σ (H) = σ (HB ) Chú ý cấu trúc hai phổ khác Ví dụ −∆ có phổ liên tục L2 (Rn ) điểm phổ B (Rn ): hàm eiξx hàm riêng −∆ B (Rn ) với giá trị riêng |ξ|2 Trong trường hợp gần tuần hoàn, cấu trúc phổ trở thành phức tạp trường hợp tuần hồn Đặc biệt, ta khơng thể giới thiệu hàm dải Ta thảo luận vài kết theo hướng Nhắc lại tập Cantor hoàn hảo 41 (khơng cần thiết có độ đo 0) tập đóng R mà khơng có điểm lập, phần bù trù mật hầu khắp nơi R Hàm giới hạn tuần hoàn giới hạn đồng hàm tuần hoàn (với chu kỳ khác nhau) Định lý 2.2.3 Trong không gian tất hàm giới hạn tuần hoàn (với chuẩn tiêu chuẩn) R tồn tập đặc (trù mật) điện V cho phổ σ (H) = −d2 /dx2 + V (x) tập Cantor hoàn hảo Điều tương tự không gian điện có dạng: ∞ V (x) = n=0 x , an cos 2n |an | < ∞ Định lý tạo Avron Simon Hơn nữa, ta tìm tập trù mật điện giới hạn tuần hoàn cho σ (H) tập Cantor hoàn hảo phổ hoàn toàn liên tục Chulaevskii Molchanov điện tuần hoàn liên tục với điểm Cantor túy phổ Lebesgue độ đo Các hàm riêng tương ứng giảm nhanh lũy thừa |x| |x| → ∞ hàm mũ Trong vài trường hợp phổ điểm với số mũ giảm hàm riêng Hiện tượng gọi địa phương hóa Anderson tiêu biểu với tốn tử ngẫu nhiên Kết thúc thảo luận cách xét trù mật tích phân trạng thái Xét hai hàm phổ e (λ; x, y) Hàm gần tuần hoàn với đường chéo; nghĩa là:e (λ : x + z, y + z) gần tuần hoàn z ∈ Rn , đồng với x, y ∈ Rn Ta đặt: N (λ) = Mx (e (λ; x, x)), với Mx giá trị trung bình hàm gần tuần hồn Ta nói mở rộng công thức (2.3) Cho Ωn dãy miền bị chặn trơn với phóng to theo cách thơng thường, tức Ωn hình cầu bán kính n tâm O Cho Hn toán tử sinh −∆ + V (x) Ωn với vài tự liên hợp (ví dụ Dirichlet Neumann) điều kiện biên Nn (λ) hàm suy rộng giá trị riêng Hn Thì N (λ) = lim measΩ Nn (λ) n n→∞ 42 Biến đổi Laplace N (λ) ta có: ˜ (t) = Mx (G (t, x, x)), với G (t, x, x) nghiệm toán N Cauchy ∂/∂t − H Hàm gần tuần hoàn với đường chéo Chi tiết [9] 2.2.5 Giảm nhiễu điện tuần hồn Xét tốn tử H = −∆ + V (x) với điện có dạng V (x) + V0 (x) + V1 (x), với V0 (x) tuần hồn, V1 (x) giảm vơ hạn (ta khơng rõ giả thiết xác đây) Tốn tử H xét nhiễu toán tử H0 = −∆ + V0 (x) Như ta biết, tốn tử H0 hồn tồn liên tục (với điện liên tục) khoảng Nếu nhiễu V1 (x) giảm đủ nhanh, phép nhân với V1 (x) toán tử ∆ - compact (vì H0 - compact) Điều có ([13] 4)có nghĩa V1 (−∆ + 1)−1 V1 (H0 + α)−1 , với α > đủ lớn toán tử compact Ta biết [13] phổ bản, đường tròn nhiễu compact Vậy σess (H) = σess (H0 ) = σ (H0 ) Tuy nhiên nhiễu V1 (x) đưa giá trị riêng bội hữu hạn phổ khoảng phổ Thông thường, hàm riêng tương ứng giảm nhanh theo hàm mũ Xem [6] Ta câu hỏi sau H có giá trị riêng mà σess (H) = σ (H0 ) không ? Các giá trị riêng gọi giá trị riêng nhúng Nếu V0 (x) ≡ định lí (1.3.8) khơng có giá trị riêng dương Điểm giá trị riêng trường hợp n > Vậy chiều cao ta khẳng định câu hỏi ta sau: Một điểm phổ giá trị riêng Trong trường hợp chung nhiều Trái lại, n = trường hợp rõ ràng, (1 + |x|) V1 (x) ∈ L1 (R) giá trị riêng nhúng xuất (các kết không tầm thường) Hơn nữa, cuối kết số giá trị riêng đưa vào khoảng phổ Ví dụ khoảng xa khơng chứa nhiều hai giá trị riêng 43 2.3 Một số tốn vật lý điển hình ứng dụng dng toỏn t Schră odinger tun hon Phn ny chỳng ta trình bày số vấn đề số tốn vật lý điển hình ứng dụng toỏn t Schrăodinger tun hon Ni dung ca phn ny tham khảo tài liệu [1] 2.3.1 Phương trình sóng điện trường tuần hồn Bên hàm sóng gần biên vùng Brillouin (k = ±π/a) với gần điện tử tự Bây ta tìm hàm sóng nghiệm phương trình sóng trường tuần hồn Ký hiệu U (x) hàm mô tả điện tử chuỗi tuyến tính (mạng chiều chu kỳ a) Thế không đổi dịch chuyển đoạn chu kỳ a: U (x) = U (x + a) Bất hàm không đổi dịch chu kỳ a biểu diễn chuỗi Fourier với véc tơ mạng đảo G UG eiGx U (x) = (2.4) G với UG giảm G tăng, UG ∼ G2 : UG eiGx + e−iGx = U (x) = G>0 UG cosGx G>0 Chỉ lấy G > 0, để tiện lợi ta lấy UG = Phương trình sóng điện tử tinh thể có dạng: Hψ = εψ , H - tốn tử Hamilton, ε gía trị riêng lượng Nghiệm ψ phương trình gọi hàm riêng hay quỹ đạo Ta khai triển phương trình: 44 ˆ 2m p ˆ 2m p + U (x) ψ (x) = UG eiGx ψ (x) = εψ (x) + G Lấy tất G > G < 0, U (x) dạng chuỗi Fourier, toán tử động lượng p có dạng: d d hay p2 = −h2 dx pˆ = −ih dx Thay vào phương trỡnh Schrăodinger ta c: h2 d2 + 2m dx2 UG eiGx ψ (x) = εψ (x) (2.5) G Đây phương trình dạng gần điện tử, hàm sóng ψ (x) mơ tả chuyển động điện tử trường gốc ion trường trung bình tất điện tử lại Hàm sóng ψ (x) để dạng chuỗi Fourier, tổng lấy theo tất giá trị véc tơ sóng cho phép điều kiện biên: C (k) eikx ψ (x) = (2.6) k k giá trị thực, k nhận giá trị 2πn/L Với giá trị k điều kiện biên tuần hồn chuỗi dạng vòng chiều dài L thỏa mãn, n số nguyên Ở ta chưa cho ψ (x) hàm tuần hoàn tịnh tiến với chu kỳ a, sau làm sáng tỏ Không phải tất giá trị véc tơ sóng tập hợp 2πn/L nằm chuỗi Fourier ψ (x) = C (k) eikx nghiệm riêng ψ tùy ý k toán trường tuần hồn 2.3.2 Tìm lượng Fermi Ef Khí điện tử tự Fermi - Kim loại: điện tử hóa trị coi tách khỏi nguyên tử tạo tinh thể khí điện tử, nút mạng gốc ion - Các khí điện tử gọi tự vì: + Quãng đường tự lớn, ∼ 108 −109 45 khoảng cách ngun tử + Khơng có va chạm điện tử Mẫu điện tử tồn nhờ lý sau: + Các điện tử dẫn khơng bị tác động ion, coi Coulomb ion U (x) = + Các điện tử dẫn va chạm với chúng phải tuân theo nguyên lý Pauli - Kết luận: Vậy khí điện tử khơng tương tác, tuân theo nguyên lý Pauli gọi khí điện tử tự Fermi Mức lượng Fermi - Năng lượng Fermi lượng trạng thái cao có điện tử chiếm khơng độ tuyệt đối fF D = 1+e(E−µ)/kB T - E − µ >> kB T : f (E) ≈ exp [(µ − E) /kB T ] Hàm gần với hàm phân bố Boltzmann Bài tốn với điều kiện biên tuần hồn - Hàm sóng phải tuần hồn theo x, y, z với chu kỳ L: ψ (x + L, y, z) = ψ (x, y, z) biến y, z có điều kiện tương tự - Hàm sóng đáp ứng phng trỡnh Schrăodinger i vi ht t v iu kiện biên tuần hồn sóng phẳng → − − chạy: ψk (→ r ) = eik r Các thành phần véc tơ sóng có giá trị dạng 2πn/L n số nguyên âm dương - Điều kiện biên tuần hoàn thỏa mãn khi: exp [ikx (x + L)] = exp (ikx x) − Thay hàm sóng ψk (→ r ) vào phương trình Schrăodinger Ek = h2 2m k = h2 2m kx2 + ky2 + kz2 46 → − Ek giá trị lượng riêng trạng thái với véc tơ sóng k - Độ dài véc tơ sóng liên hệ với bước sóng λ theo hệ thức: 2π/λ Ứng với động lượng p học lượng tử có tốn tử Nếu tác động tốn − − lên hàm sóng, ta có: - Tốn tử động lượng: pˆψk (→ r ) = −i ∇ψk (→ r)= → − − k ψk (→ r ) Như sóng phẳng ψk hàm riêng tốn tử động lượng → − Các giá trị riêng toán tử động lượng pˆ k Vận tốc hạt trạng → − − → − thái với véc tơ sóng k : → v = k /m - Ở trạng thái bản, trạng thái bị chiếm biểu diễn điểm bên hình cầu không gian k - Năng lượng ứng với bề mặt cầu lượng Fermi, véc tơ sóng có độ dài kF có đầu nhọn chạm mặt cầu, mặt cầu gọi mặt cầu Fermi: EF = 2m kF2 - Số trạng thái cho phép bằng: N= V 3π kF - Tổng số trạng thái cho số điện tử: kF = 3π N V 1/3 Hệ N điện tử tự trạng thái bản, trạng thái riêng biệt điện tử bị chiếm (các điểm khơng gian k ) Bán kính kF xác định từ: EF = 2 2m kF EF lượng điện tử với véc tơ sóng có độ dài kF (mũi nhọn mặt Fermi) Bán kính cầu Fermi kF phụ thuộc vào mật độ hạt N/V mà khộng phụ thuộc vào khối lượng m EF = 2m Vận tốc điện tử mặt Fermi vF = 2.3.3 3π N V m 2/3 3π N V 1/3 Tìm nhiệt dung riêng đẳng tích - Theo thuyết cổ điển có N điện tử nhiệt dung điện tử 3N kB /2 - Kết gấp 100 lần giá trị thực nghiệm nhiệt độ phòng - Ngun lí Pauli lý thuyết khí điện từ Fermi cho thấy khơng phải tất điện tử có lượng kB T - Khi nâng từ 0K lên nhiệt độ T , có điện tử trạng thái ứng với lượng khoảng kB T gần mức Fermi bị kích thích - Nếu N tổng số điện tử, nhiệt độ 47 tăng từ đến T độ, số điện tử kích thích nhiệt, có lượng vùng kB T phần phân bố lượng N T /TF - Mỗi điện tử có lượng nhiệt dư cỡ kB T tổng lượng δE kích thích nhiệt điện tử là: ∞ f ∆E = - Số hạt hệ:N = (E)ED (E) dE − εF E.D (E)dE ∞ f ∞ (E)D (E) dE Và EF N = EF f (E)D (E) dE - Lấy đạo hàm δE εF N ta nhiệt dung điện tử: Cele = ∂∆E ∂T = ∞ ∂f ED (E) ∂T dE = ∞ (E ∂f − EF ) ∂T D (E) dE - Ở nhiệt độ thấp (kB T /EF < 0.01) đạo hàm ∂f /∂T lớn E gần EF với hàm D(E) lấy E = EF Cele ≈ D (EF ) ∞ (E ∂f − EF ) ∂T dE - Nhiệt dung tổng cộng kim loại nhiệt độ T