CHINH PHỤC CÁC CÂU VẬN DỤNG CAO VỀ MINMAX SỐ PHỨC

Tài liệu hướng dẫn dạng toán tìm min và max ( giá trị lớn nhất và nhỏ nhất ) của số phức của các câu hỏi vận dụng cao, phù hợp với các bạn mục tiêu trên 8 điểm trong kì thi THPT Quốc Gia.Các phương pháp được sử dụng:phương pháp đại sốphương pháp hình họcphương pháp bất đẳng thức modunphương pháp casio

Trang 1

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404

BÀI TOÁN MAX – MIN SỐ PHỨC

NỘI DUNG LIVE – TRỢ GIÚP KÌ THI 2018

Tài liệu có sử dụng nguồn đề từ các trường trên toàn quốc và của quý thầy cô trong nhóm Vận

Trang 2

Trang 3

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R 0 z z  0 R Tìm

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R z a bi  R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c  z c 2a , a c Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x; y  biểu diễn số phức z là Elip:

2 2

yx

Trang 4

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số

Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học

Xem hướng dẫn trên lớp

Dạng 3: Tả phí lù

Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh

Câu 1: (TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện z3i  z 2 i Tìm số .phức có môđun nhỏ nhất?

Trang 5

Trang 6

Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là elip

2 2

2 2 2 2

3; 0 , 0, 38

Cho số phức z thỏa mãn z c  z c 2 ,a a c ta luôn có   

 Tập hợp điểm biểu diễn z là Elip

2 2

2  2 2 1



y x

Trang 7

Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao của HI với đường tròn

Tính độ dài MH ta lấy kết quả HM 13 1

Cách 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 3i 1 Giá trị lớn nhất của w  z 1 i

Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi z a bi   z a bi 

Câu 4: (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Đặt 2

Ta chứng minh  

2 2

12

Trang 8

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn

11

A Mmax 5; Mmin 1 B Mmax 5; Mmin 2

C Mmax 4; Mmin 1 D Mmax 4; Mmin 2

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P là1

2, xảy ra khi z 2 ; i giá trị lớn nhất của P bằng

Trang 9

y t Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D

Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)

Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của biểu thức P z1 z2  z 1 Tính giá trị của M m

A 13 3

39

13.4

Trang 10

Trang 11

Cách 1: Đặt z x iy x y  Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được ,   x2y2 9

Đặt x3 cos , t y3 sin t Thay vào điều kiện thứ hai, ta có

Trang 12

Trong đó w z 2i (quay về dạng bài toán 1)

Câu 16: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3 Tìm môđun nhỏ nhất của số phức z 1 i

Trang 13

y

x 1

1 O

I M

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức  ,  z x yi x y R  ,  

Gọi E1, 2  là điểm biểu diễn số phức 1 2 i

Gọi F0, 1  là điểm biểu diễn số phức i

Trang 14

Ta có : z2i1  z i MEMF  Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung

Trang 15

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được  2  2 2 2 2 

6 sint4 cost  6 4 sin tcos t

6 sin 4 cos 2 52 6 sin 4 cos 52 2 13 14 2 13

Trang 16

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)

Câu 25: (ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z4  z4 10 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z lần lượt là

1

25 9 

y x

Vậy max z OA OA ' 5 và minz OB OB ' 3 Chọn D

Câu 26: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 4i  z2i Biết rằng số phức z x yi ,

Dấu " " xảy ra x2y2 Vậy P2222 8 Chọn B

Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất của z biết rằng z thỏa mãn điều kiện 2 3 1 1

Trang 17

iz Mệnh đề nào sau đây đúng?

(THPT CHUYÊN HÀ NAM) Lời giải

Vậy môđun của A x2y2 1 Chọn A

Câu 30: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

Trang 18

Câu 31: Với hai số phức z1 và z2 thỏa mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 Tìm giá trị lớn nhất của

Trang 19

Ta có

2 2

24



z

Lời giải Cách 1 Từ giả thiết, ta có 1 2 i z  10  2 i 1 2 i z   2 i 10

Cách 2 Sử dụng máy tính casio ( hướng dẫn chi tiết ở câu 26) để tìm z

Cách 3 Đặt z a bi a b ,   và c z , thay vào đẳng thức đã cho thì

1010

Trang 20

Câu 35: (THPT CHUYÊN LÀO CAI)Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

1

4.13

 2   2 2

 x  y  x  y  x y  y  x y  x yKết hợp với   , ta được T  2x2y2 6 2 x2y  2x y 2 2 2 x y  

Đặt z x yi x y ,  , ta có:

Trang 21

2018 2

Câu 39: Cho các số phức z1  2 i z, 2 2i và số phức z thay đổi thỏa mãn z z 12 z z 2 2 16 Gọi

Mvà m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức M2 m bằng 2

Lời giải

Gọi Mlà điểm biểu diễn của z

Gọi A2; 1, B2;1 Gọi I0;1 là trung điểm AB

Trang 22

Câu 41: Gọi số phức z x yi x y; ,   thỏa điều kiện z22  z22 26 và z2 5i lớn nhất Tính T x y

Trang 23

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C tâm là gốc tọa độ O, bán kính

2  5  nên điểm 9 N2; 5 thuộc đường tròn  C

Gọi M x y là điểm thuộc  ;   C , khi đó    3  2

Câu 43: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 2i 4 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của z 2 i Tính giá trị của tổng SM2 m 2

Trang 24

Ta sẽ chứng minh bài toán tổng quát

Cho tam giác ABC, đặt AB c , ACb, BCa, khi đó ta có

Trang 25

Áp dụng bài toán trên ta có P36 2, chọn B

Ta có thể chứng minh bài toán   trên bằng ngôn ngữ số phức

Gọi tọa độ các điểm A B C M trên mặt phẳng phức là , , ,, , , u v w x khi đó  a v w ,  b w u , 

Trang 26

Gọi điểm biểu diễn của z là M Khi đó M nằm trên đường tròn tâm I0; 1 ,  R1 Gọi tọa độ các điểm A 2 ; 1 ,  B 2; 3  do đó:

; 12

Vì hai số phức z1 và z2 thoả mãn z1z2  8 6i và z1z2 2 nên

P z  z OA OB   Dấu bằng xảy ra khi OA OB 

Câu 47: Giả sử z z1, 2 là hai trong số các số phức z thỏa mãn iz 2 i 1 và z1z2 2. Giá trị lớn nhất của

Trang 27

Lời giải Chọn A

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

Đặt z a ib a b, ,   có biểu diễn hình học là điểm M x y  ; 

Trang 28

37

Gọi z x yi x y ;  ,M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Do z  1 i 2x1 2 y12 4 suy ra M thuộc đường tròn tâm I1; 1 , bán kính R2 Đặt A2;1 , B2; 3 , E0; 2 là trung điểm của AB Khi đó

Trang 29

đổi thỏa mãn zz12 zz22 16. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá

Mn

 bằng

Trang 30

Do đó

2 22

Mn

.3



Câu 52: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 i |z 3 2 |i  5 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z2i Giá trị biểu thức 2 2

M  z i OB , 5min

- GTLN, GTNN ở câu dạng này chỉ có thể đạt được tại 2 đầu A B,

- Một sai lầm thường gặp là đánh giá zmin d O AB ;  nhưng do góc OAB là góc tù nên không

tồn tại điểm M trên đoạn AB sao cho OM  AB

Câu 53: (Chuyên Hạ Long-lần 2-2018-Mã đề 123) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M m lần ,lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i Khi đó modun của số phức  2

Trang 31

Lại có: P z22 z i 2 x22y2x2y12P04x2y 3 P0, đây là phương trình của đường thẳng : 4x2y 3 P0

Thay x y, vừa tìm được vào f x ta được   0, 2P1,6 3  2 0,1P1,7 4 2 5 0

Ta giải được P33 hoặc P13 Đây tương ứng là GTLN và GTNN của P

Bài toán trở thành tìm điểm M : 8x6y25 0 sao cho ME MF đạt giá trị nhỏ nhất

Vì 8x E 8y E25 8  x F8y F250 nên hai điểm E F nằm cùng phía đối với đường thẳng ,  Gọi E là điểm đối xứng với E qua 

Đường thẳngEE đi qua điểm E1; 1  và có VTPT    3; 4 

EE

n u nên có phương trình

3 x1 4 y1 0 3x4y 7 0

Trang 32

Gọi H là giao điểm của EEvà  Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình 3 4 7

Ta có ME + MF = ME + MF E F

Dấu bằng xảy ra Mlà giao điểm của E F và đường thẳng 

Đường thẳng E F đi qua điểm F2; 3  và có VTPT  31;167

Câu 55: Gọi z z1, 2 là 2 nghiệm của phương trình z 1 2i  z 1 2i thỏa mãn z1z2  2 Biết rằng w

là số phức thỏa mãn w 3 2  i 2 Tìm GTNN của biểu thức P wz1  wz 2

Giả sử A B lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , z z1, 2, ta có z1z2  2 AB 2

Giả sử w a bi a b R và  ,   M là điểm biểu diễn cho số

phứcw , ta có w 3 2  i 2 (a3)2(b2)2 4suy ra tập

hợp điểm biểu diễn M cho số phức w là đường tròn tâm I3; 2

bán kính R2

Ta có PMA MB , gọi E là hình chiếu vuông góc của I lên

trục tung, ta thấy P nhỏ nhất khi E là trung điểm AB suy ra

62

Trang 33

Ta có iz 2 i 1 i z i 2 1 1 z i 2 1 1

Điểm biểu diễn z thuộc đường tròn tâm I1; 2, R1

Trang 34

Gọi M, N là điểm biểu diễn z1,z2 nên MN2 là đường kính Dựng hình bình hành OMNP ta

MA MB MJ với J là trung điểm của AB

Vì M chạy trên đường tròn , J cố định nên MJIJR

Vậy đểP Max thìM4; 5 Suy ra 2a b  3

Câu 59: (SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn z2 4 i 2, gọi z1 và z2là số phức có đun lớn nhất và nhỏ nhất Tổng phần ảo của hai số phức z1và z2 bằng

Lời giải

Trang 35

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Chọn D

Gọi z x yi x y, ,   và M x y là điểm biểu diễn số phức z  ; 

Theo giả thiết z2 4 i 2  x yi 2 4 i 2 x2 2 y42 4

B Do OA OB nên điểm A biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm

B biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất

Câu 60: [HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức z a bi (a b,   và b0) thỏa mãn z 1 Tính P2a4b khi 2 z3 z 2 đạt giá trị lớn nhất

A P4 B P2 2 C P2 D P2 2

Lời giải Chọn C

 z z 

z z

22

21;13

Bảng biến thiên:

Trang 36

Suy ra

1;1

1 13max

z z  cos 3x i sin 3x  cosx i sinx2

cos 3 cos 2 sin 3 sin 

21;13

1

Trang 37

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min

Câu 61: Cho z1, z2 là hai số phức thỏa mãn 2z i  2iz , biết z1z2 1 Tính giá trị của biểu thức

Câu 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z1 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T  z i  z 2 i

A maxT  8 2 B maxT 4 C maxT 4 2 D maxT  8

Lời giải Chọn B

Trang 38

37

Trang 39

25 86

Gọi số phức z có dạng z a bi z thỏa mãn z 2 4i  z2i

Trang 40

Trang 41

2

2O

2

MN I

2

2O

2

MN I

Suy ra M m i  40 36  76

Trang 42

Câu 71: Cho số phức z thỏa mãn 3 5

2

32

M n lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T  z  z z 1  z z Tính modun của số  2phức w M ni

Trang 43

K x y A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z z, ,1 2

Ta tìm Max – Min của TOK OA OB 

Ta có A B O thuộc đường tròn ( ), , C và ABO đều T Min2OA2

Gọi K thuộc cung OB Ta có KA OB OA BK AB OK.  .  . KAKB OK

Gọi A1; 3 , B 1; 1 ,  C 0;1C là trung điểm AB

Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi z  2 5i

Câu 74: [ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]

Trang 44

Câu 75: [2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn điều kiện

Trang 45

1 2

A m2 2 2 B m 2 1 C m2 2 D m2

Lời giải Chọn A

Câu 77: [Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn z13i5 2 và

Trang 46

Trang 47

Gv : Lương Văn Huy – Thanh Trì – HN - 0969141404 Cách 2 :

22

Ta có

2 1 1

410

 c

Bảng biến thiên:

Trang 48

Ta có

3 3 3

Trang 49

Lời giải Chọn B

Giả sử M A B lần lượt biểu diễn số phức , , zx yi z z , ,1 2

Từ giả thiết 3z 3i  3ta có: 2 1 2 1

33

1 2

-1 2

M

I

Trang 50

Câu 83: Cho hai số phức z và w thỏa mãn các điều kiện sau:

Trang 51

B

M

5

Trang 52

Ta có MA2MB2(MB MC ) 2 BC dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi , B M C theo thứ tự đó thẳng ,hàng

Phương trình đường thẳng BC x: 2

M là giao của của BC và ( )T M(2; 2 3) a b 4  3

Câu 86: Cho các số phức z z z1, 2, 3 thỏa mãn 2 z1  2 z2  z1z2 6 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Chọn A B M lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , z z z1, 2, ,

Dựa vào điều kiện 2 z1  2 z2  z1z2 6 2  OA OB 6, AB6 2

Suy ra ta có tam giác OAB vuông cân tại O

Phép quay tâm B góc quay 600 ta có:

Dấu " " xảy ra khi O M M A thẳng hàng , , , 

Khi đó tam giác OBA có OB6, BA BA6 2 và  0

Trang 53

37

Định dạng
Số trang	53
Dung lượng	1,15 MB