tài liệu học toán cao cấp lớp 11

route selection× model selection× nhóm công cụ selection× Từ khóa efficient core selectionselection plancore selection advanced selection queries mv lv architecture selection guide materials selectionselection process

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si Các tập   a    b  Chứng minh rằng: 1    1    21 a, b  b a   HD     a  a   b  b  a, b  0, 1      , 1       b   b   a   a     a  b  VT    2  b   a        a        a  b 2 1      2   b  a b    c  Chứng minh rằng:             31 a, b, c  b c a    HD Với a, b, c>0 ta có:   a   a      b    b                             b  b   a b c a b c  1   c    c    VT   3 b    3 c    3 a   3  3 b   3 c   3 a                       c   c      a    a       a,b,c  Cho  abc  1 Chứng minh rằng: a  b2  c3  Với a, b, c>0 abc=1 ta có: 11 HD 1 11 a  b2  c3   6a  3b2  2c3  11 Ta có VT  a  a  a  a  a  a  b  b  b  c  c  116 a 6b 6c  11 (đpcm) a, b, c  Cho  abc  Chứng minh rằng: (2 + a)(2 + b)(1 + c)  32 HD Với a, b, c > abc=1 ta có: VT=(2 + a)(2 + b)(1 + c) =  2b  2a  ab  4c  2bc  2ac  abc - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si b  c  a   a  a  b  c   b  c  a  a a  b  c c  a  b 4  b b  c  a   c  a  b b b  c  a  a  b  c4  c c  a  b  2a  b  c   c c  a b Cộng vế lại với kết hợp a  b  c  ab  bc  ca Ta có ĐPCM a, b, c  Cho  a  b  c  Chứng minh rằng: a3 b3 c3   1  2a  b   2a  c   2b  c   2b  a   2c  a   2c  b  HD a, b, c  Với  ta có đề trở thành: a  b  c  a3 b3 c3 CM:    abc  2a  b  2a  c   2b  c  2b  a   2c  a  2c  b  Thật vậy, ta có:  a  b   2a  c  a a3     2a  b  2a  c   27   27   2b  c   2b  a  b b3     2b  c  2b  a   27   27   2c  a   2c  b  c c3     2c  a  2c  b   27   27  Cộng vế ta ĐPCM a, b, c  Cho  ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a3  b3  c3  b  2c c  2a a  2b HD a, b, c  3 Với  Đề trở thành, chứng minh rằng: a  b  c  ab  bc  ca b  2c c  2a a  2b ab  bc  ca  Ta có: ab  2ac 2a a4   ab  2ac bc  2ab 2b b4   bc  2ab ca  2cb 2c c4   ca  2cb Cộng vế với vế ta - Trang | 12- Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si - si (Phần 04) thuộc khóa học Bồi Để sử dụng hiệu quả, bạn CỘNG THÊM HẰNG SỐ a,b,c  Cho  a  b  c  3abc Chứng minh rằng: 1   3 a b c HD a, b, c  1  11111 ab a b 1  11111 bc b c 1  11111 ca c a 1      b c a 1     b c a 1        21   15   ab bc ca     3  Cho a, b, c  thỏa mãn a  b  c  Chứng minh a  b  c  HD a, b, c  a  a  a    5a b  b  b    5b c  c  c    5c      a  b  c   a  b  c  15  a5  b5  c5  3 Cho a, b, c  thỏa mãn a 3b  b c  c a  Chứng minh rằng: a  b  c  61 HD a, b, c  a7  a7  a7  b7  b7  b7   3  3 ab - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Bất đẳng thức Cô - si 2c  2c  z  3c z  S  x  y  z  3a x  yb  3c z 4 a  x a  x     3b  Dấu “=” xảy khi:   y  b  3 y    3  2c  z 2c  z Ta chọn tham số cho:   x  y  c 4   x  x  x   x  ,y  14 14  81  c 16   x  y 16  ,z  14 16  1  S       a  2b  3c  14 81 14 16    16   1   S         14  81 14 16     16   1  MinS          14  81 14 16    Dấu “=” xảy bạn tự làm Cho a, b, c, m, n  thỏa mãn ab  bc  ca  Tìm Min S  ma2  nb2  c2 theo tham số m, n HD Xét tham số x, y, z >0 thoả mãn: m  x, n  y,1  z    S  ma  nb  c  xa  yb   m  x  a  zc   n  y  b  1  z  c xa  yb  xyab  m  x  a  zc   m  x  zac  n  y  b2  1  z  c   n  y 1  z bc  S  xyab   m  x  zac   n  y 1  z bc Dấu “=” xảy khi:  xa  xa 2   b2 b    y  y  xa  yb 2   m  x a   m  x  a 2       c2 m x a zc c      z z    2 2  n  y  b  1  z  c   n  y  xz  y 1  z  m  x   m x a   xa  1  z   n  y   y z   Ta chọn x, y, z cho xy   m  x  z   n  y 1  z   k - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Phương pháp đạo hàm x    y    y     t   t  f  t  với t  y 2 Do x  3;2  x3 27;8  27   y3   6  y3  29 (1) Mặt khác y  3; 2 nên y3  27;8 (2) Từ (1) (2)  t  y3  6;8 Xét f  t  D   6;8 Ta có: f '  t    t  f '  t   23  3 t  t Lập bảng biến thiên ta có Min S  Minf  t   f    f    đạt  x; y    0;  hoán vị D Max S  Max f  t   f  6    36 đạt  x; y     3;2  hoán vị a, b  Bài Tìm GTNN S  3a  3b  ab  a  b2 ,  b 1 a 1 ab ab  a  b  Giải   Từ ab  a  b     a  b   ab  a  b  a  b  Ta có S 3a  a  1  3b  b  1  ab   a  b   2ab  b  1  a  1 ab 3  a  b 2  2ab   a  b   ab   a  b   2ab ab  a  b  ab 2   a  b    a  b    a  b   6   a  b   a  b ab     a  b    a  b   12  2  t  t  12   g  t  , t  a  b    ab t Xét hàm số g  t   t  t  12  2, t  g '  t   2t   122  0, t  t t  Max g  t   g     Vậy Max S   a  b  t 2 2 Bài Cho x  y  Tìm Max, Min A  x  y  y  x Giả Tìm MaxA: Sử dụng bất đẳng thức BunhiaCơpski ta có A  x  y  1  y   1  x   2 x y    x  y    Với x  y  Max A   2 Tìm MinA: Xét trường hợp sau - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Phương pháp đạo hàm Bài 10 (Đề TSĐH khối D, 2007): x   y    x y Tìm m để hệ phương trình có nghiệm   x  13  y  13  15m  10 x y  Giải  Đặt u  x  ; v  y  ta có x  13  x  x y x x     3x  x   u  3u x x u  x   x   x  ; v  y   y  x x x y y  u  v  u  v   3  u  v   u  v   15m  10 uv   m Khi hệ trở thành   u, v nghiệm phương trình bậc hai f  t   t  5t   m Hệ có nghiệm  f  t   m có nghiệm t1 , t thỏa mãn t1  2; t  Lập Bảng biến thiên hàm số f  t  với t  t  – f  t  f t  +  + /2 – – + + 2   /4 Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm   m   m  22 Bài 11 (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình x  x  sin y  cos y    với y  Giải Đặt u  sin y  cos y   2,  , BPT  g  u    x  u   x  1  0, u   2,   Min u  2,  g u   Do đồ thị y  g  u  đoạn thẳng với u   2,  nên Min u  2,   x  1 g     x  2x     g u     2  x  2x      x   g    Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 12 - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương 4 a b a3  b3 Xét f(t) =   1 t4 1 t3  ba  1  a  b 1 1  t  3 1  t   1 t4 1 t3  t f  f a với t   b 3 + + 2 1  t  t 1  t   1  t  t 1  t  f(t) =   Phương pháp đạo hàm 1  t  t 1  t  2 3 1  t   t  1 1  t  f(t) =  t =  Bảng biến thiên f(t) Từ BBT    f(t) < t >   a4  b4 a3  b3 a  b3 a  b Dấu xảy  a = b >  2 Giáo viên : Lê Đức Việt Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 15 - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến  10  2596  f t   f    81  3 Vậy Min P  2596 x  1, y  81 *Nhận xét: Dồn biến khéo léo để phát t  x y  y x Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b c    2 (b  c) (c  a) (a  b) 4(a  b  c) Chứng minh Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c  Bài toán cần chứng minh qui dạng sau a b c    2 (3  a) (3  b) (3  c) Dễ dàng dự đoán bất đẳng thức phụ sau a 2a  (a  1)2 (9  2a)   0 (3  a)2 4(3  a) Điều hiển nhiên a [0,3) Sử dụng bất đẳng thức cho b, c cộng lại, ta có đpcm Giáo viên : Lê Đức Việt Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến BÀI 25 PHƯƠNG PHÁP DỒN BIẾN (PHẦN 2) ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ĐỨC VIỆT Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 25 Phương pháp dồn biến (Phần 2) thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài Cho x  1, y  2, z  3 thỏa mãn: xyz  3xy  yz  xz  x  y  2z  5 Tìm max S  x  x   y  y   z  z  10 x y z6 GIẢI a  x  a, b, c   * Đặt b  y    abc   c  z  a   b2   c  * Ta có S  abc * Xét hàm f  t   t   2t  f ' t   t t 1  2 ln t , t  t   2 2t 2t t 1 f '  t    2t   2t  1 2t   t     4t   2t  12 2t  2t  4t  5t  4t       t  t       2 19    t  1  2t  1  t            16     t 1  t   BBT: t f ' t  + f t   -  f  t   f 1  0, t  * Từ ta có: f  a   f  b   f  c   nên suy Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Đặt t  a  b, P PP dồn biến 0t 2      t t  t   f  t  2  f ' t    t2   t2 2  t2 t  t   f ' t     t   t   15  loai  t   BBT: t f ' t  + f t  - 62 a  b   Max P  t    c  [Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities – Old and New Method] Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  , Chứng minh 1 1 16    3a  3b  3c  3d   2 Chứng minh Ta cần xác định hệ số để bất đẳng thức sau 3a    m(2a  1) Dễ dàng tìm bất đẳng thức phụ sau 3a   52  48a 3(2a  1)2 (12a  1)  0 49 49(3a  1) Tương tự với biến lại Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến  2(a  b)  c (a  b  c)  2(a  b)2  3(a  b2 )  4ab  a  b2  3(a  b2 )  a(3b  a)  3(a  b ) Như vâ ̣y bài toán đã đươ ̣c chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c a  b, c  hốn vị Hằ ng sớ k tớ t nhấ t cầ n tìm là Giáo viên : Lê Đức Việt Nguồn Hocmai.vn – Ngôi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | - ... BÀI TẬP TỰ LUYỆN Giáo viên: LÊ ĐỨC VIỆT Các tập tài liệu biên soạn kèm theo giảng Bài 25 Phương pháp dồn biến (Phần 2) thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần... đẳng thức – Thầy Trần Phương website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước giảng sau làm đầy đủ tập tài liệu Bài Cho x  1, y  2, z  3 thỏa mãn: xyz  3xy  yz  xz  x  y ... Giáo viên : Lê Đức Việt Nguồn Hocmai.vn – Ngơi trường chung học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 : Hocmai.vn - Trang | 15 - Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn