Bất đẳng thức ôn thi học sinh giỏi cấp quận, thành phố

Các bài bất đẳng thức hay và khó trong đề thi đại học, học sinh giỏi cấp quận huyện, cấp tỉnh, quốc gia, bất đẳng thức cosi, bất đẳng thức amgm, bất đẳng thức cauchy, phương pháp dồn biến, phương pháp sos, phương pháp hàm số, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp ép biến, phương pháp biến đổi tương đương, bất đẳng thức hoán vị, khử mẫu số, bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thúc lượng giác, phương pháp ẩn phụ, phương pháp dùng hằng số biến thiên, phương pháp ép tích, phương pháp bình phương, cói ngược dấu, trung bình cộng trung bình nhân, tài liệu bất đẳng thức, olympic, các bài bất đẳng thức ôn thi thptqg, ôn thi học sinh giỏi, chuyên đề bất đẳng thức, học sinh giỏi 12, hcj sinh giỏi 11

Trang 1

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô - si

Trang 2

- Trang | 2 -

6 6 3 3 3 6

Trang 3

- Trang | 3 -

11 Cho a > b > c > 0 ; a  3; ab  6 ; abc  6 Chứng minh rằng: a  b c 6

(Các bạn chứng minh tương tự như bài 10)

    tương văn tự như vậy cho a33,b33, ,b33 c33,c33

c a c a b ta được 6 BĐT phụ cộng vế với vế ta được

Trang 4

Trang 5

- Trang | 5 -

Hướng dẫn giải một số bài tập (Các điều kiện về dấu “=” xảy ra các bản tự xét)

II KĨ THUẬT TÁCH CÁC PHẦN TỬ NGHỊCH ĐẢO

Trang 6

Trang 7

- Trang | 7 -

KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG

1 Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a2 bcb2 cac2 ab, a b c, ,  0

HD Cách 1

3 3 3 3

4 3

a b c

a b c a

a bc a abc

b a c b

b ac b abc

b a c c

Trang 8

Cộng các vế lại với nhau ta được đpcm

5 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: bc2 ca2 ab2 abc a2 27 b2 27 c2 27 2 2 21

Trang 9

=>Cộng các vế lại với nhau ta được ĐPCM

6 Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

9 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

 5  5  5

13 a b   bc  ca  16 ab a b4a2 4b2 4abc2

 bc b c4b2 4c2 4bca2ca c a4c2 4a2 4cab2

b b c

c a c a c

Trang 10

Tương tự cho các hoán vị và cộng vế với vế ta được ĐPCM

5 [Greece MO 2007] Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Trang 11

a b a c

b c b a b b

b c b a

c a c b c c

2 4

Trang 12

2

3 3 3

1 4

Trang 13

Trang 14

7 1

3 3

Trang 15

- Trang | 2 -

 

7 66

7 1

3 3

3 6

1 3

Trang 16

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Bất đẳng thức Cô - si

Trang 22

- Trang | 1 -

BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG HỆ SỐ

1 Cho 2x2  4y2  5z2  88 Tìm Max của

2

S xy yz

HD

Dự đoán điểm rơi x= 4, y=3, z=2 Các bạn làm tương tự như trong bài giảng:

Đưa thêm tham số a b c, ,

Trang 23

Ta sẽ chọn các tham số sao cho:

3 3

Trang 24

1 1

Trang 25

Trang 26

Trang 27

2 2

x S y S x y  x z y z   x y 2xy 0

Sử dụng mệnh đề 4 suy ra đpcm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

Bài 2 a, b, c > 0 thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:

 2 2 2 2 2 23

a b c a b c      a b c a b c

PHƯƠNG PHÁP SOS

Trang 28

Trang 29

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

 Cách 2 Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Trang 30

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Phương pháp đạo hàm

Cách 2 Đặt x sinu y sin 6u 4cos 6u

sin 6u cos 6u 3cos 6u sin 2u cos 2u 3 4

x y x

Trang 31

- Trang | 2 -

2

2 2

x x

2 4 2

xy A

Trang 32

Trang 33

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Phương pháp đạo hàm

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -

• Trường hợp 1: Nếuxy 0, xét 2 khả năng sau:

+) Nếu x 0,y 0 thì A>0 MinA 0

Bài 7 Cho x y z, ,  0,1 thoả mãn điều kiện: x  y z 32

Tìm Max, Min của biểu thức: S cosx2 y2 z2

Trang 34

Vì hàm số y cos  nghịch biến trên  0,2 nên bài toán trở thành

1 Tìm MaxS hay tìm Minx2 y2 z2

x  y z    x y z  x y z 

Với x  y z 12 thì MaxS = cos34

2 Tìm MinS hay tìm Maxx2 y2 z2

Cách 1: Phương pháp tam thức bậc hai:

Không mất tính tổng quát giả sử  , ,  1;1

2

zMax x y z   z   Biến đổi và đánh giá đưa về tam thức bậc hai biến z

2

z x y thì MinS = cos5

4

Cách 2: Phương pháp hình học

Xét hệ tọa Đề các vuông góc Oxyz Tập hợp các điểm M x y z , ,  thoả mãn điều kiện x y z, ,  0,1

nằm trong hình lập phương ABCDABCO cạnh 1 với A(0, 1, 1); B(1, 1, 1); C(1, 0, 1); D(0, 0, 1);

A(0, 1, 0); B(1, 1, 0); C(1, 0, 0) Mặt khác do x  y z 32 nên M x y z , ,  nằm trên mặt phẳng (P):

3 2

1 K

3/ 2 J M

O 

Trang 35

Bài 8 Cho a,b,c0 thỏa mãn điều kiện a b c 3

mâu thuẫn với giả thiết

 Phân tích và tìm tòi lời giải: Do S là một biểu thức đối xứng với a, b, c nên dự đoán Min S đạt tại

1 2

a b c  

 Sơ đồ điểm rơi:

1 2

a b c   

2 2 2

1 4

Trang 36

Trang 37

I ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1 Giải phương trình: 4x  2 4 4  x 2

 Phương trình f x  4x  2 4 4  x 2 có nghiệm duy nhất x  3

Bài 2 Giải phương trình: 3x  5x  6x 2

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Phương trình f x  3x  5x  6x  2 0 có không quá 2 nghiệm

Mà f 0  f  1 0  nên phương trình (1) có đúng 2 nghiệm x 0, x 1

Trang 38



 Khi đó (1)   2  2

2 sinx cosx m 1 cos  x



3 4

Trang 39

2 2

Trang 40

Bài 8 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m 0, phương trình x2  2x  8 m x  2luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

Vậy  m 0, phương trình x2  2x  8 m x  2có hai nghiệm phân biệt

Bài 9 (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

Trang 41

 u v, là nghiệm của phương trình bậc hai f t t2    5 8t m

Hệ có nghiệm  f t m có 2 nghiệm t t1 2, thỏa mãn t1  2; t2  2

Lập Bảng biến thiên của hàm số f t  với t  2

Trang 42

II ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài 1 Chứng minh rằng: 1 xlnx 1 x2 1 x2 ,  x

Giải BĐT  f x   1 xlnx 1 x2 1 x2  0  x

1 ( )

Trang 43

6 0

5

y y

n n

Do 3  n lẻ nên (x) cùng dấu với (2x)

Nhìn bảng biến thiên suy ra:

Trang 44

 

4 4

2

1

Trang 45

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đăng thức Bernouli

Bài 1 Cho x, y > 0,  ≥ 2 Chứng minh rằng: xy 21 x y 

Giáo viên: LÊ ĐỨC VIỆT

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 20 Bất đẳng thức Bernouli thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 46

Bài 3 Cho a, b, c, d > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Trang 47

Trang 48

Trang 49

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương Bất đăng thức Jensen

 Nếu Min{a1, a2, …, an} = 0 thì a1a2 an = 0 suy ra (đpcm)

 Xét trường hợp còn lại: Min{a1, a2, …, an} > 0

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 21 Bất đẳng thức Jensen thuộc khóa học Bồi

dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 50

Trang 51

Bài 5 Chứng minh rằng: b c c a a b 2a  b  c  3 , a,b,c 0 1   

Trang 52

1 Cho a, b, c, d là các số thực không âm và a + b + c + d = 1 Chứng minh rằng: 6 a3 a2 1

8

Chứng minh BĐT đề bài 6a3 a2 1

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 22 Phương pháp tiếp tuyến thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 53

3 Cho 2 số thực dương x, y sao cho x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

xP

Trang 54

Trang 55

x Vì rằng đẳng thức xảy ra khi 1

3

x    y z nên chúng ta xét đồ thị của hàm số f x ( ) và tiếp tuyến của nó tại điểm 1

Trang 56

3

x    y z

Nhận xét Cái hay của kĩ thuật này ở chỗ:

- Thứ nhất, ta có thể đánh giá một biểu thức thông qua biểu thức bậc nhất

- Thứ hai, ta có thể chọn vị trí của tiếp tuyến sao cho bất đẳng thức xảy ra dấu bằng

Giáo viên : Lê Đức Việt

Nguồn : Hocmai.vn

Trang 57

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP hệ số bất định

Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy ra   a b c

Bài 1 Cho , , ,a b c d 0 thỏa mãn a b c d   4 Chứng minh rằng:

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 23 Phương pháp hệ số bất định thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 58

Bài 3 Cho a b c, , là các số thực không âm Chứng minh rằng:

Không mất tính tổng quát chuẩn hóa a b c  3

Ta có bất đẳng thức (1) tương đương với      

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Bài 5 Cho a b c, , 0 Chứng minh rằng:

Trang 59

Dự đoán bất đẳng thức cơ sở là

 2

2 143

 2

2 143

Từ (2a), (2b), (2c) suy ra (2) đúng  (Đpcm) Đẳng thức xảy ra   a b c

Trang 60

Khoá học BDHSG Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương PP dồn biến

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -

Bài 1 [Walther Janous) Giả sử: a, b, c > 0 CMR: 1 1 1 1 1 1 9  1

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 24 Phương pháp dồn biến (Phần 1) thuộc khóa học Bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề Bất đẳng thức – Thầy Trần Phương tại website Hocmai.vn Để sử dụng hiệu quả, bạn cần học trước bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này

Trang 61

2

77

Trang 62

2 2

Trang 63

Trang 64

Điều này hiển nhiên đúng do a[0,3)

Sử dụng bất đẳng thức này cho b c, rồi cộng lại, ta có đpcm

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	2,77 MB