Cách giải phương trình bậc 3, bậc 4, phương trình phân thức, phương trình bậc cao, phương pháp ẩn phụ giải phương trình, phương pháp ẩn phụ giải hệ phương trình, ,ương pháp bất đẳng thức trong giải hệ phương trình, phương pháp đánh giá, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số trong giải phương trình, hệ phương trình, phương pháp tổng tích, phương pháp tổng hiệu, phương pháp tham biến, phương trình logarit, phương pháp lượng giác hóa, phương pháp liên hợp và các cách tối ưu liên hợp. phương pháp cadano, phương pháp tìm miền nghiêm, phương trình vô tỉ, các bài toán hay trong thi thpt quốc gia, tài liệu ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh, phương pháp lượng giác hóa, hệ phương trình đối xứng loại 1,hệ phương trình đối xứng loại 2, hệ phương trình dẳng cấp,sáng tạo phương trình, hệ phương trình, phương pháp số phức, các bài toán thực tế, suwr dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác...........
Diễn đàn MATHSCOPE CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH Évariste Galois (1811-1832) Niels Henrik Abel (1802-1829) Gerolamo Cardano (1501-1576) THÁNG 6/201ͷ Diễn đàn MATHSCOPE PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Chủ biên: Nguyễn Anh Huy 26 - - 2012 Mục lục Lời nói đầu Các thành viên tham gia chuyên đề ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ 10 Phương trình bậc ba 10 Phương trình bậc bốn 16 Phương trình dạng phân thức 23 Xây dựng phương trình hữu tỉ 27 Một số phương trình bậc cao 29 PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THAM SỐ 32 Phương pháp sử dụng đạo hàm 32 Phương pháp dùng định lý Lagrange - Rolle 42 Phương pháp dùng điều kiện cần đủ 46 Phương pháp ứng dụng hình học giải tích hình học phẳng 55 Hình học không gian việc khảo sát hệ phương trình ba ẩn 76 Một số phương trình, hệ phương trình có tham số kì thi Olympic 81 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 93 Phương pháp đặt ẩn phụ 93 Một số cách đặt ẩn phụ 93 Đặt ẩn phụ đưa phương trình tích 94 Đặt ẩn phụ đưa phương trình đẳng cấp 101 Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 103 Phương pháp sử dụng hệ số bất định 108 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 109 Phương pháp lượng giác hóa 117 Phương pháp biến đổi đẳng thức 121 Phương pháp dùng lượng liên hợp 124 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 138 Phương pháp dùng bất đẳng thức 146 Một số toán chọn lọc 154 4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT 158 Lý thuyết 158 Phương pháp đặt ẩn phụ 158 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 166 Phương pháp biến đổi đẳng thức 170 Bài tập tổng hợp 173 HỆ PHƯƠNG TRÌNH 177 Các loại hệ 177 Hệ phương trình hoán vị 184 Phương pháp đặt ẩn phụ giải hệ phương trình 206 Phương pháp biến đổi đẳng thức 213 Phương pháp dùng đơn điệu hàm số 222 Phương pháp hệ số bất định 231 Kĩ thuật đặt ẩn phụ tổng - hiệu 240 Phương pháp dùng bất đẳng thức 246 Tổng hợp hệ phương trình Hệ phương trình hữu tỉ Hệ phương trình vô tỉ 258 258 277 SÁNG TẠO PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 297 Xây dựng số phương trình giải cách đưa hệ phương trình 297 Sử dụng công thức lượng giác để sáng tác phương trình đa thức bậc cao 307 Sử dụng hàm lượng giác hyperbolic 310 Sáng tác số phương trình đẳng cấp hai biểu thức 312 Xây dựng phương trình từ đẳng thức 318 Xây dựng phương trình từ hệ đối xứng loại II Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào tính đơn điệu hàm số Xây dựng phương trình vô tỉ dựa vào phương trình lượng giác Sử dụng bậc n số phức để sáng tạo giải hệ phương trình Sử dụng bất đẳng thức lượng giác tam giác Sử dụng hàm ngược để sáng tác số phương trình, hệ phương trình 321 324 328 331 338 345 Sáng tác hệ phương trình 349 Kinh nghiệm giải số hệ phương trình 353 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH 362 Phụ lục 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC NHÀ TOÁN HỌC NỔI TIẾNG 366 Lịch sử phát triển phương trình Có cách giải phương trình bậc hai? Cuộc thách đố chấn động giới toán học Những vinh quang sau qua đời 366 366 368 372 Lời nói đầu Phương trình phân môn quan trọng Đại số có ứng dụng lớn ngành khoa học Sớm biết đến từ thời xa xưa nhu cầu tính toán người ngày phát triển theo thời gian, đến nay, xét riêng Toán học, lĩnh vực phương trình có cải tiến đáng kể, hình thức (phương trình hữu tỉ, phương trình vô tỉ, phương trình mũ - logarit) đối tượng (phương trình hàm, phương trình sai phân, phương trình đạo hàm riêng, ) Còn Việt Nam, phương trình, từ năm lớp 8, dạng toán quen thuộc yêu thích nhiều bạn học sinh Lên đến bậc THPT, với hỗ trợ công cụ giải tích hình học, toán phương trình - hệ phương trình ngày trau chuốt, trở thành nét đẹp Toán học phần thiếu kì thi Học sinh giỏi, thi Đại học Đã có nhiều viết phương trình - hệ phương trình, chưa thể đề cập cách toàn diện phương pháp giải sáng tạo phương trình Nhận thấy nhu cầu có tài liệu đầy đủ hình thức nội dung cho hệ chuyên không chuyên, Diễn đàn MathScope tiến hành biên soạn sách Chuyên đề phương trình - hệ phương trình mà hân hạnh giới thiệu đến thầy cô giáo bạn học sinh Quyển sách gồm chương, với nội dung sau: Chương I: Đại cương phương hữu tỉ cung cấp số cách giải tổng quát phương trình bậc ba bốn, đề cập đến phương trình phân thức cách xây dựng phương trình hữu tỉ Chương II: Phương trình, hệ phương trình có tham số đề cập đến phương pháp giải biện luận toán có tham số ,cũng số toán thường gặp kì thi Học sinh giỏi Chương III: Các phương pháp giải phương trình chủ yếu tổng hợp phương pháp quen thuộc bất đẳng thức, lượng liên hợp, hàm số đơn điệu, với nhiều toán mở rộng nhằm giúp bạn đọc có cách nhìn tổng quan phương trình Chương không đề cập đến Phương trình lượng giác, vấn đề có chuyên đề Lượng giác Diễn đàn Chương IV: Phương trình mũ – logarit đưa số dạng tập ứng dụng hàm số logarit, với nhiều phương pháp biến đổi đa dạng đặt ẩn phụ, dùng đẳng thức, hàm đơn điệu, Chương V: Hệ phương trình phần trọng tâm chuyên đề Nội dung chương bao gồm số phương pháp giải hệ phương trình tổng hợp hệ phương trình hay kì thi học sinh giỏi nước quốc tế Chương VI: Sáng tạo phương trình - hệ phương trình đưa cách xây dựng hay khó từ phương trình đơn giản công cụ số phức, hàm hyperbolic, hàm đơn điệu, Ngoài có hai phần Phụ lục cung cấp thông tin ứng dụng phương trình, hệ phương trình giải toán lịch sử phát triển phương trình Chúng xin ngỏ lời cảm ơn tới thành viên Diễn đàn chung tay xây dựng chuyên đề Đặc biệt xin chân thành cảm ơn thầy Châu Ngọc Hùng, thầy Nguyễn Trường Sơn, anh Hoàng Minh Quân, anh Lê Phúc Lữ, anh Phan Đức Minh hỗ trợ đóng góp ý kiến quý giá cho chuyên đề, bạn Nguyễn Trường Thành giúp ban biên tập kiểm tra viết để có tuyển tập hoàn chỉnh Niềm hi vọng người làm chuyên đề bạn đọc tìm thấy nhiều điều bổ ích tình yêu toán học thông qua sách Chúng xin đón nhận hoan nghênh ý kiến xây dựng bạn đọc để chuyên đề hoàn thiện Mọi góp ý xin vui lòng chuyển đến anhhuy0706@gmail.com Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 11 tháng năm 2012 Thay mặt nhóm biên soạn Nguyễn Anh Huy Các thành viên tham gia chuyên đề Để hoàn thành nội dung trên, nhờ cố gắng nỗ lực thành viên diễn đàn tham gia xây dựng chuyên đề: • Chủ biên: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phụ trách chuyên đề: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếu- TP HCM) • Đại cương phương trình hữu tỉ: Huỳnh Phước Trường (THPT Nguyễn Thượng Hiền – TP HCM), Phạm Tiến Kha (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Phương trình, hệ phương trình có tham số: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Vũ Trọng Hải (12A6 THPT Thái Phiên - Hải Phòng), Đình Võ Bảo Châu (THPT chuyên Lê Quý Đôn - Vũng Tàu), Hoàng Bá Minh ( 12A6 THPT chuyên Trần Đại Nghĩa - TP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai), Ong Thế Phương (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Phương pháp đặt ẩn phụ: thầy Mai Ngọc Thi (THPT Hùng Vương - Bình Phước), thầy Nguyễn Anh Tuấn (THPT Lê Quảng Chí -Hà Tĩnh), Trần Trí Quốc (11TL8 THPT Nguyễn Huệ - Phú Yên), Hồ Đức Khánh (10CT THPT chuyên Quảng Bình), Đoàn Thế Hoà (10A7 THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng lượng liên hợp: Ninh Văn Tú (THPT chuyên Trần Đại Nghĩa TPHCM) , Đinh Võ Bảo Châu (THPT - chuyên Lê Quý Đôn, Vũng Tàu), Đoàn Thế Hòa (THPT Long Khánh - Đồng Nai) • Phương pháp dùng bất đẳng thức: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Phan Minh Nhật, Lê Hoàng Đức (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội), Nguyễn Văn Bình (11A5 THPT Trần Quốc Tuấn - Quảng Ngãi), • Phương pháp dùng đơn điệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM), Hoàng Kim Quân (THPT Hồng Thái – Hà Nội), Đặng Hoàng Phi Long (10A10 THPT Kim Liên – Hà Nội) • Phương trình mũ – logarit: Võ Anh Khoa, Nguyễn Thanh Hoài (Đại học KHTN- TP HCM), Nguyễn Ngọc Duy (11 Toán THPT chuyên Lương Thế Vinh - Đồng Nai) • Các loại hệ bản: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM) • Hệ phương trình hoán vị: thầy Nguyễn Trường Sơn (THPT Yên Mô A – Ninh Bình), Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội) • Phương pháp biến đổi đẳng thức: Nguyễn Đình Hoàng (10A10 THPT Kim Liên - Hà Nội), Trần Văn Lâm (THPT Lê Hồng Phong - Thái Nguyên), Nguyễn Đức Huỳnh (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai - TP HCM) • Phương pháp hệ số bất định: Lê Phúc Lữ (Đại học FPT – TP HCM), Nguyễn Anh Huy, Phan Minh Nhật (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Phương pháp đặt ẩn phụ tổng - hiệu: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM) • Tổng hợp hệ phương trình: Nguyễn Anh Huy (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong TP HCM), Nguyễn Thành Thi (THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp), Trần Minh Đức (T1K21 THPT chuyên Hà Tĩnh – Hà Tĩnh), Võ Hữu Thắng (11 Toán THPT Nguyễn Thị Minh Khai – TP HCM) • Sáng tạo phương trình: thầy Nguyễn Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương – Gia Lai), thầy Nguyễn Tất Thu (THPT Lê Hồng Phong - Đồng Nai), Nguyễn Lê Thuỳ Linh (10CT THPT chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM) • Giải toán cách lập phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM) • Lịch sử phát triển phương trình: Nguyễn An Vĩnh Phúc (TN Phổ thông Năng khiếuTP HCM), Nguyễn Hoàng Nam (THPT Phước Thiền - Đồng Nai) Chương I: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA Một số phương pháp giải phương trình bậc ba Phương pháp phân tích nhân tử: Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = có nghiệm x = r có nhân tử (x − r) phân tích ax3 + bx2 + cx + d = (x − r)[ax2 + (b + ar)x + c + br + ar2 ] Từ ta đưa giải phương trình bậc hai, có nghiệm √ −b − ± b2 − 4ac − 2abr − 3a2 r2 2a Phương pháp Cardano: Xét phương trình bậc ba x3 + ax2 + bx + c = (1) a Bằng cách đặt x = y − , phương trình (1) biến đổi dạng tắc: y + py + q = 0(2) a2 2a3 − 9ab ,q = c + 27 Ta xét p, q = p = hay q = đưa trường hợp đơn giản Đặt y = u + v thay vào (2), ta được: Trong đó: p = b − (u + v)3 + p(u + v) + q = ⇔ u3 + v + (3uv + p)(u + v) + q = (3) Chọn u, v cho 3uv + p = (4) Như vậy, để tìm u v, từ (3) (4) ta có hệ phương trình: u3 + v = −q u3 v = − p 27 Theo định lí Viete, u3 v hai nghiệm phương trình: X + qX − Đặt ∆ = q p3 + 27 10 p3 = 0(5) 27 11 Khi ∆ > 0, (5) có nghiệm: q √ q √ u3 = − + ∆, v = − − ∆ 2 Như vậy, phương trình (2) có nghiệm thực nhất: y= q √ − + ∆+ q √ − − ∆ q Khi đó, phương trình (2) có hai nghiệm thực, nghiệm kép Khi ∆ = 0, (5) có nghiệm kép: u = v = − q y1 = − , y2 = y3 = q Khi ∆ < 0, (5) có nghiệm phức p Gọi u30 nghiệm phức (5), v03 giá trị tương ứng cho u0 v0 = − Khi đó, phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt y1 = u0 + v0 √ y2 = − (u0 + v0 ) + i (u0 − v0 ) √2 (u0 − v0 ) y3 = − (u0 + v0 ) − i 2 Phương pháp lượng giác hoá - hàm hyperbolic: Một phương trình bậc ba, có nghiệm thực, biểu diễn dạng thức liên quan đến số phức Vì ta thường dùng phương pháp lượng giác hoá để tìm cách biểu diễn khác đơn giản hơn, dựa hai hàm số cos arccos Cụ thể, từ phương trình t3 + pt + q = (∗) ta đặt t = u cos α tìm u để đưa (∗) dạng cos3 α − cos α − cos 3α = Muốn vậy, ta chọn u = −p u3 chia vế (∗) cho để 4 cos3 α − cos α − 3q 2p 3q −3 = ⇔ cos 3α = p 2p −3 p Vậy nghiệm thực ti = −p cos arccos 3 3q 2p −3 p − 2iπ với i = 0, 1, Lưu ý phương trình có nghiệm thực p < (điều ngược lại không đúng) nên công thức số phức Khi phương trình có nghiệm thực p = ta biểu diễn nghiệm công thức hàm arcosh arsinh: t= −2|q| q −p cosh arcosh 3 −3|q| 2p −3 p p < 4p3 + 27q > 351 Ta có đẳng thức sau : x2 y − x2 z + z y − x2 y + x2 z − y z = Từ nhân (1) với y + z, nhân (2) với z + x, nhân (3) với x + y ta (y + z) + (z + x) + (x + y) = 3 ⇔ − 5y − 5z + 9z + 9x + x + y = 5x + 2z 5x ⇔4y = 10x − 4z ⇔ y = ⇒y−z = 2 − Từ (4), (1) 5x = − , suy x, vào (2), (3) hệ hai ẩn Công việc trở 3x nên đơn giản (1) xz + y = 7z Bài 70 Giải hệ phương trình yz + x = 8z (2) x + y + z = 12 (3) Giải Từ (1) có y = 7z − zx Thay vào (2) (3) x (1 − z ) = 8z − 7z (4) x (1 − z) = 12 − 8z (5) (7z − zx) z + x = 8z ⇔ x + (7z − zx) + z = 12 Rõ ràng z = không thoả (5), (5) ⇔ x = 12 − 8z Thay vào (4) 1−z z=2 z = −6 (12 − 8z) (1 + z) = 8z − 7z ⇔ z + 4z − 12 = ⇔ Với z = ta x = 4, y = Với z = −6 ta x = Kết luận: hệ có hai nghiệm (4; 6; 2) , 60 66 ; ; −6 ✷ 7 60 66 ,y= 7 Bài 71 (HSG tỉnh Quảng Bình, năm học 2010-2011) Giải hệ √ √ x− x−y−1=1 (1) √ y + x + 2y x − y x = (2) Giải x − y − Điều kiện x √ Phương trình (1) tương đương x−y−1⇔y =2 x−y−1 √ ⇔y = (x − y − 1) ⇔ (y + 2) = 4x ⇔ y + = x x= (4) x−y−1+1⇔x=x−y+2 Phương trình thứ hai hệ tương đương với √ √ y + x + 2y x − y x = ⇔ y + x = xy ⇔ y + √ √ x = ±y x 352 √ y+2=2 x √ √ ⇔ y + x = ±y x √ y+2=2 x Ta thu 2y + (y + 2) = ± (y + 2) y √ √ − 17 17 − Từ tìm nghiệm hệ (x; y) = ; −1 , (4; 2), ; ✷ Bài 72 Giải hệ phương trình sau : 4x2 + y − 4xy = (1) 4x2 + 2y − 4xy = (2) Giải Lấy (1) trừ (2), vế theo vế, ta : y − 2y − 4xy + 4xy + = ⇔ y − ⇔ y2 − − 4xy y − = y − − 4xy = ⇔ y = y = −1 y − + 4xy = • Nếu y = 1, thay vào phương trình (1) ta : 4x2 + − 4x = ⇔ x (x − 1) = ⇔ x = x = • Nếu y = −1, thay vào phương trình (1) ta : 4x2 + + 4x = ⇔ x (x + 1) = ⇔ x = x = −1 • Nếu y − + 4xy = ⇔ x = − y2 (dễ thấy trường hợp y = 0), thay vào phương 4y trình ta được: − y2 4y + y4 − − y2 4y y3 = ⇔ − y2 + 4y − 4y − y = 4y ⇔ − y2 − 4y − y = 4y − y ⇔ − y2 ⇔ − y2 − y − 4y − 4y + y =0 8y + 5y − = Công việc đến trở nên đơn giản Nhận xét: Đây dạng hệ phương trình đa thức khó, rõ ràng phương trình thứ hai, người ta chia hai vế cho khó nhận biết giá trị mà nhân vào trừ vế Việc phát giá trị để nhân vào dùng cách đặt tham số phụ lựa chọn Bài 73 Giải hệ phương trình y x − x4 = 28 √ xy + 2x2 y + x3 = 18 Giải Ta biến đổi tương đương x(y − x3 ) = 28 (1) √ x(y + x) = 18 (2) 353 Suy để (x; y) nghiệm y > x > Từ (2), rút y theo x vào (1) có √ 348 √ −x x x Đặt t = √ − x3 = 28 (3) x (t > 0) (3) thành : √ t9 − (3 − t3 )3 + 28t = (4) √ Xét hàm f (t) = t9 − (3 − t3 )3 + 28t, với t > Ta có f (t) > với t > Chứng tỏ hàm f đồng biến (0; +∞), nên (4) có nghiệm nghiệm Từ hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) nghiêm Dễ thấy y = 2x từ (1), ta có: x4 = √ √ hay x = Suy y = 2 √ √ Thử lại ( 2; 2) thỏa mãn (2) √ √ Tóm lại hệ cho có nghiệm (x; y) = ( 2; 2) ✷ KINH NGHIỆM GIẢI MỘT SỐ BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Khi giải hệ phương trình, dù có dùng cách biến đổi mục đích cuối ta chuyển phương trình biến giải phương trình vừa thu Đó suy nghĩ tự nhiên, việc làm giảm biến quy luật không toán học mà sống thường làm Tóm lại, giải hệ phương trình phải tìm cách làm giảm số ẩn hệ để thuận lợi việc giải Sau số kinh nghiệm mà nhóm biên soạn thu trình học tập giảng dạy, xin chia sẻ bạn đọc Nếu phương trình hệ mà có ẩn xuất dạng bậc nhất, ta rút ẩn theo ẩn lại vào phương trình thứ hai hệ phương trình thu có bậc không nhỏ ý tưởng giải rõ ràng Bài 1: Giải hệ phương trình 2x3 + y(x + 1) = 4x2 5x4 − 4x6 = y Giải Cách 1: Vì phương trình thứ hệ chứa nhiều y nên ta nghĩ đến việc rút y theo x vào phương trình thứ hai hệ 2x2 (2 − x) Ta có y = (do x = −1 không nghiệm hệ) x+1 354 Thay vào phương trình thứ hai hệ ta có : x4 − 4x2 = 4x4 (2 − x)2 ⇔ (x + 1)2 x=0 (5 − 4x2 )(x2 + 2x + 1) = 4(4 − 4x + x2 ) x=0 ⇔ 4x4 + 8x3 + 3x2 − 26x + 11 = ⇔ x=0 (x − 1)(2x − 1)(2x2 + 7x + 11) = x=0⇒y=0 ⇔ x = ⇒ y = 1 x= ⇒y= 2 1 ; ✷ 2 Nhận xét: Cách giải có ưu điểm không cần phải mánh khóe mà cần biến đổi bình thường Tuy nhiên, có nhược điểm giúp giải toán thôi, đường để sáng tác toán cách giải làm rõ Để hiểu rõ nguồn gốc toán cách mà tác giả sáng tác toán trên, ta xem qua cách giải sau: Vậy hệ cho có nghiệm: (x; y) = (0; 0), (1; 1), Cách 2: Ta viết lại hệ sau: 2x3 + y(x + 1) = 4x2 y + 4x6 = 5x4 Nhận thấy x = ⇒ y = 0, hay (x; y) = (0; 0) nghiệm hệ Với x = ta có hệ y 2x + (x + 1) = x ⇔ y + 4x2 = x2 y Đặt a = 2x, b = ta có hệ: x a + b a + = a2 + b = Đây hệ đối xứng loại I Việc giải hệ không khó khăn Nhận xét: Qua lời giải trên, ta thấy đường để chế tác hệ kiểu xuất phát từ hệ biết thuật giải, thay hình thức biến có mặt hệ biến đổi rút gọn ta thu hệ có hình thức hoàn toàn xa lạ với hệ ban đầu x + y + xy = Chẳng hạn: Từ hệ (lưu ý hệ có nghiệm (1; 2)) x2 + y = y Ta thay x y y ta có hệ: 2x y y3 + y2 + = y(y + 2x3 y + 1) = 10x3 2x 2x ⇔ y2 y (1 + 4x6 y ) = 20x6 +y =5 4x 355 Vậy ta có hệ phương trình sau: y(y + 2x3 y + 1) = 10x3 y (1 + 4x6 y ) = 20x6 Bài 2: Giải hệ phương trình x2 − 2xy + x + y = (1) x4 − 4x2 y + 3x2 + y = (2) Giải Nhận thấy phương trình thứ hệ phương trình bậc x nên ta rút x theo y vào phương trình thứ hai để phương trình ẩn x2 + x Từ (1) suy y = ( x = không nghiệm hệ), thay vào (2) ta 2x − x4 − 4x2 x2 + x + 3x2 + 2x − x2 + x 2x − =0⇔ x=0 f (x) = Với f (x) = x2 (2x − 1)2 − 4(x2 + x)(2x − 1) + 3(2x − 1)2 + (x + 1)2 = 4x4 − 12x3 + 10x2 − 6x + Ta có f (x) = ⇔ 2x4 − 6x3 + 5x2 − 3x + = ⇔ (x − 1)(x − 2)(2x2 + 1) = ⇔ x = 1, x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (0; 0), (1; 2), (2; 2) ✷ Nhận xét: Cũng ví dụ 1, cách giải giải toán đường để sáng tác toán Điều thúc tìm lời giải khác cho toán Sự xuất x2 − 2xy x4 − 4x2 y gợi cho ta nghĩ đến đẳng thức Vậy ta thử viết lại hệ sau: (x − y)2 + x + y − y = (x2 − y) + 3x2 − 3y = Việc làm không khả quan, nhìn vào hệ chưa phát mối liên hệ Theo cách làm ví dụ ta biến đổi: Nếu x = ⇒ y = nghiệm hệ Nếu x = 0, ta có hệ y y x + = 2y + x − 2y + + = x x ⇔ 2 y x + y = 6y − x2 − 4y + + = x x2 Suy (2y + 1)2 = 6y − Đến toán trở nên đơn giản Với cách giải trên, ta tạo nhiều hệ phương trình khác Ở ý việc giải hệ cuối quy giải phương trình bậc hai nên chuyện hệ số nhận giá trịnào không quan trọng 2y x + x = 4x + 2y = 4x3 − x2 + 4x qua khai triển ta có hệ Chẳng hạn từ hệ 2y 4x2 y + 4y = −3x2 x+ = x2 − x Ở hai giải theo phương pháp Dấu hiệu nhận thấy việc xuất phương trình phương trình bậc ẩn Bây chuyển qua xét số hệ mà thực rút mà phương trình ẩn phương 356 trình phương trình bậc Bài 3: Giải hệ phương trình x3 − 8x = y + 2y (1) x2 − = 3(y + 1) (2) Giải Cách 1: Từ (2) ta suy ra: x2 = 3(y + 2) (3) , thay vào (1) ta được: x=0 yx x − 8x = y(y + 2) = ⇔ x(3x − xy − 24) = ⇔ 3x2 − 24 y= x • Nếu x = thay vào (3) ta thấy phương trình vô nghiệm 3x2 − 24 • Nếu y = thay vào (3) ta x 3x2 − 24 + ⇔ 13x4 − 213x2 + 864 = x =3 x x = ±3 ⇒ y = ±1 x =9 √ ⇔ 96 ⇔ 96 78 x = x=± ⇒y=∓ 13 13 13 Vậy hệ có cặp nghiệm là: (x; y) = (±3; ±1), ± √ 96 78 ;∓ 14 13 ✷ Nhận xét: Chúng ta nghĩ đến phép phương trình thứ chứa y y; phương trình thứ hai hệ lại chứa y nên ta thay y vào phương trình thứ phương trình thứ hệ trở thành phương trình bậc đổi với ẩn y ta thực rút y Tuy nhiên, có lẽ đường chế tác toán Từ nhận xét trên, ta thấy phương trình thứ hai biến x, y lệch bậc bậc ( x3 x; y y), đồng thời phương trình thứ hai lệch bậc bậc ( x2 , y số) Điều gợi ý ta tạo đồng bậc sau: Cách 2: Hệ cho tương đương x3 − y = 8x + 2y = x − 3y ⇒ 6(x3 − y ) = (8x + 2y)(x2 − 3y ) Đây phương trình đẳng cấp bậc Việc lại để giải hệ không khó khăn Bài 4: Giải hệ phương trình x3 + 3xy = −49 (1) x2 − 8xy + y = 8y − 17x (2) Giải 357 Bài toán có hai cách giải hệ số bất định ẩn phụ tổng - hiệu Sau ta xem qua hai cách giải khác: Cách 1: Ta thấy x = nghiệm hệ nên từ (1) suy y = − x3 + 49 (∗) 3x Thế vào phương trình (2) ta x3 + 49 = 8y − 17 ⇔ 24y(x2 + x) = 2x3 + 51x2 − 49 3x x = −1 ⇔ 24xy(x + 1) = (x + 1)(2x + 49x − 49) ⇔ 2x2 + 49x − 49 y= 24x x2 − 8xy − • Nếu x = −1 vào (*) ⇒ y = ±4 2x2 + 49x − 49 • Nếu y = vào (*), ta có: 24x x3 + 49 − = 3x 2x2 + 49x − 49 24x 2 ⇔ −192x(x3 + 49) = (2x2 + 49x − 49) Biến đổi rút gọn ta được: 4x4 + 4x3 + 45x2 + 94x + 49 = ⇔ (x + 1)2 (4x2 − 4x + 49) = ⇔ x = −1 Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (−1; ±4) ✷ Cách 2: Vì x = không nghiệm hệ nên ta đặt y = tx Khi hệ trở thành: x3 (1 + 3t2 ) = −49 x2 (1 − 8t + t2 ) = x(8t − 17) Ta viết lại hệ dạng −49 −49 −49 x = + 3t2 = 49 + 3(t2 − 16) = 49 + 3a với a = t2 − 16; b = 8t − 17 8t − 17 8t − 17 b x = = = t − 8t + (t − 16) − (8t − 17) a−b −49 b 3 ⇒ + 3ab3 = = ⇔ 49 b + (a − b) 49 + 3a (a − b) ⇔ a 49 b2 − b(a − b) + (a − b)2 + 3b3 = ⇔ a=0 49 b2 − b(a − b) + (a − b)2 + 3b3 = (*) • Với a = ⇔ t2 = 16, thay vào hệ ta có x = −1 ⇒ y = ±4 • Xét (*), khai triển rút gọn, ta có: (∗) ⇔ 49t4 + 360t3 + 547t2 − 360t + 304 = ⇔ (t + 4)2 (49t2 − 32t + 19) = ⇔ t = −4 358 Nhận xét: Hai cách giải đòi hỏi tính toán nhiều, chưa thể nói lên ý tưởng người đề Đối với cách giải hay dùng hệ số bất định (đã đề cập chương Hệ phương trình) Xuất phát từ nghiệm x = −1, ta tạo phương trình chứa nhân tử (x + 1), từ khai triển để hệ Ví dụ hai sau: x3 + 2xy = Bài 4*: Giải hệ phương trình : 2x2 + xy + y = 4x + y x3 + y = (x − y)(xy − 1) Bài 4**: Giải hệ phương trình : Bài 5: Giải hệ phương trình : x3 − x2 + y + = xy(x − y + 1) + x3 y = 19x3 y + xy = −6x2 Giải Vì x = không nghiệm hệ nên hệ tương đương + y = 19 x ⇔ y + y = −6 x2 x a3 + y = 19 2 a y + y a = −6 (với a = ) x Đặt S = a + y, P = ay Khi ta có S(S − 3P ) = 19 SP = −6 ⇔ S=1 P = −6 ⇒ a=3 y = −2 ∨ a = −2 y=3 1 Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = ( ; −2), (− ; 3) ✷ Nhận xét: Ngoài cách giải trên, ta giải theo cách sau: Do x = không nghiệm hệ, ta viết lại hệ dạng 6(1 + xy)(1 − xy + x2 y ) = 6.19x3 19xy(1 + xy) = −19.6x2 Cộng hai phương trình hệ lại ta được: (1 + xy)(6x2 y + 13xy + 25) = Đến đây, toán trở nên đơn giản Nhận xét:Cùng ý tưởng đó, ta có toán sau: y + xy = 6x2 Bài 5*: Giải hệ phương trình + x2 y = 5x2 Bài 6: Giải hệ phương trình (x2 + 1)y + = 2xy (y − 1) xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + Giải 359 Hệ cho tương đương x2 y + 2xy + + y − 2xy = 3x2 y − 2xy − x2 y − 2xy − = x x + 2 + − 2xy = −1 y y ⇔ 2x 3x2 y − − x2 − 2xy − = ( y=0 không nghiệm hệ) y y x + − 2xy = −1 y ⇔ 2 =0 3x y − 2xy − x + y2 Đặt a = x + , b = xy, ta có hệ y2 a2 − 2b = −1 a2 − 3b2 + 2b = a2 = 2b − ⇔ ⇔ b=1 3b2 − 4b + = a = ±1 √ 5−1 x = x = x + = 2√ v y2 y ⇔ ⇔ • Nếu a = b = :⇒ y = + xy = y −y−1=0 x = x + = −1 y2 y • Nếu a = −1; b = :⇒ ⇔ (vô nghiệm) xy = y +y+1=0 √ √ −1 ± ± ; ✷ Vậy nghiệm hệ cho là: (x; y) = 2 6x5 y (x − 1) + = x2 + Bài 7: Giải hệ phương trình 4x − 3x2 y − 9xy 3y − x = x + 3y √ + x = − √2 y = − Giải Từ phương trình thứ hai, ta có 3y x x + 3y = Hệ cho tương đương với: 2 (x − 2x + 4)(x + 2) = 6x y x + = 6x5 y 4x 4x − 3x2 y − 9x2 y ⇔ 2 − 3xy 9y − 6xy + x2 = (3y − x) = x + 3y x + 3y ⇔ x6 + = 6x5 y (x2 − 3xy + 9y )(x + 3y) = 4x ⇔ x6 + = 6x5 y x3 + 27y = 4x Vì x = không nghiệm hệ, nên ta có 6y 1 + = x x 27y 1 + = x3 x2 360 Đặt a = 3y , ta thu hệ > 0, b = x2 x + a3 = 2b + b3 = 2a ⇔ ⇔ + a3 = 2b a=b ⇔ (a − b)(a2 + ab + b2 + 2) = a3 − 2a + = a = b a=b √ ⇔ −1 + (a − 1)(a + a − 1) = a = 1, a = • Với a = b = 1, ta có: √ √ x = x = − =1 x √ v √ ⇔ 2 3y y = y = − =1 3 x √ −1 + ta có: • Với a = b = √ − = x = x √ ⇔ 3y = − y = x √ √ x = − 5+1 5+1 √ √ √ √ v 5+1 5−1 5+1 5−1 y = − 6 √ √ √ √ √ ( − 1) 5+1 Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = ± 2; ± + 1; − , − Bài 8: Giải hệ phương trình ✷ 6x4 − x3 − x y − (y + 12) x2 = −6 5x4 − x2 − y − 11x2 = −5 Giải Nhận thấy, x = không nghiệm hệ nên chia hai vế phương trình cho x2 ta được: 1 1 2 6 x − 6 x + − x − y − y − 12 = − x− y2 − y = x x x x ⇔ 2 1 1 2 x + − x − y − 11 = − x− y2 − = 5 x − x2 x x x Đặt a = x − , ta có hệ x 6a2 − ay − y = 5a2 − a2 y − = Chia hai vế hệ cho a2 = ta có: y y + =6 a a2 y2 + = a2 Đặt u = , ta có hệ a y u + u2 y = u2 + y = ⇔ uy(u + y) = (u + y)2 − 2uy = ⇔ u+y =3 uy = 361 Từ ta tìm được: u=1 y=2 u=2 y=1 √ ± • Với u = ⇒ a = ⇔ x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x = x √ 1 1 ± 17 • Với u = ⇒ a = ⇔ x − = ⇔ 2x2 − x − = ⇔ x = x √ √ ± 17 1± ;2 , ;1 ✷ Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = Bài tập tự luyện Giải hệ phương trình sau: √ √ x+ y+ x− y =2 1) y + √x − y − √x = 2) 3) 4) 5) x2 − xy + y = 3(x − y) x2 + xy + y = 7(x − y)2 √ x+y+ x−y =8 √ y x−y =2 x3 + 3xy = 6xy − 3x − 49 x2 − 8xy + y = 10y − 25x − x4 + 2x3 y + x2 y = 2x + x2 + 2xy = 6x + x2 + y + x3 y + xy + xy = − 6) x4 + y + xy(1 + 2x) = − xy + x + y = x2 − 2y 7) √ x 2y − y x − = 2x − 2y 8) 9) 10) x4 − x3 y + x2 y = x3 y − x2 + xy = −1 x+y (x4 + y )(x7 + y ) = x11 + y 11 2 y + x − 12y + = 12 (x + 17) x2 2x x3 x2 y + = + − 8y 3y y + y + 2x = xy − x2 y 11) 4xy + y + 2x2 + + (2x − y)2 Phụ lục 1: GIẢI TOÁN BẰNG PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài (IMO 1967): Trong thi đấu thể thao, tổng số huy chương m, phát n ngày thi đấu Trong ngày thứ nhất, người ta phát huy chương số huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát huy chương số huy chương lại Những ngày lại tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Tính m, n? Giải Giả sử số huy chương lại bắt đầu ngày thi đấu thứ r mr 6(mk − k) = mk+1 Khi m1 = m, mn = n ∀k < n : Ta biến đổi: m = 1+2 +3 + +n Do (6; 7) = ⇒ n − 6n−1 ⇒ n−1 = 36 − (n + 1) |n − 6| n +n n+1 = 36+ 7n (n − 6) 6n−1 |6n−1 | n−6=0 Dễ thấy có n = thoả Vậy m = 36 ✷ Bài (APMOPS 2004): Một đồng cỏ phát triển theo tốc độ không đổi: 200 cừu ăn hết cỏ 100 ngày 150 cừu ăn hết cỏ 150 ngày Hỏi 100 cừu ăn hết cỏ ngày? Giải Giả sử cừu ăn hết “miếng” cỏ ngày, 100 ngày 200 cừu ăn hết 20000 “miếng” cỏ, tương tự, 150 cừu ăn hết 22500 “miếng” cỏ 150 ngày Đặt x (đơn vị: “miếng” cỏ) lượng cỏ đồng cỏ ban đầu, a tốc độ mọc cỏ (đơn vi: “miếng” cỏ/ngày), t thời gian để 100 cừu ăn hết đồng cỏ (đơn vi: ngày), từ giả thiết, ta có hệ: x + 100a = 20000 (1) x + 150a = 22500 (2) x + at = 100t (3) Từ (1) (2) ta suy x = 15000, a = 50, từ ta dễ dàng suy t = 300 ✷ 362 363 Bài 3: Một người cha chết để lại di chúc phân chia gia tài cho đồng tiền vàng sau : đuợc 100 đồng số lại , người thứ hai 200 đồng 10 1 số lại, người thứ ba 300 đồng số lại, Cứ 10 10 gia tài chia hết số tiền Hỏi người cha có đồng tiền vàng, có người chia đồng tiền vàng? Giải Gọi số tiền cha x (đồng) (x > 0) x − 100 Con 100 + 10 x − 100 x − 300 − 10 Con thứ hai 200+ 10 x − 100 x − 300 − x − 100 10 = 200 + Cho 100 + 10 10 Giải phương trình ta tìm x = 8100 nên có người người 900 đồng ✷ Bài 4: Một nhóm gồm 21 người du lịch đến nước Anh, Pháp,Ý, người nước không nước, biết rằng: Số người nước Ý Anh gấp đôi số người nước Pháp Ý Số người Pháp Ý lại gấp đôi số người Anh Pháp Số người Ý (không Pháp Anh) số người Anh (không Pháp Ý) người số người Pháp Hỏi: a/ Hãy tìm số người nước b/ Hãy tìm số người nước Anh Pháp Giải Gọi A, P, Y tập hợp số người đến nước Anh, Pháp, Ý Gọi x, y, z số người Anh, Pháp, Ý Gọi t số người nước Anh Pháp, số người Pháp Ý 2t, số người nước Ý Anh 4t Theo đề ta có hệ phương trình: x + y + z + 7t = 21 (1) z = x + (2) z = y + 3t (3) Từ (1) ⇒ 7t < 21 ⇒ t < Từ (1); (2); (3) ⇒ 3z + 4t = 22 ⇒ (t − 1) Mà t < ⇒ t = Khi t = thì: x + y + z = 14 z =x+1 z = y + 364 Do (x; y; z) = (5; 3; 6) Vậy có 14 người nước, 15 người nước Anh Pháp ✷ Bài 5: Một người xe đạp điện dọc đường tàu điện nhận thấy rằng: phút có đoàn tàu chạy chiều với phút có đoàn tàu chạy ngược lại Hỏi cách phút ga có đoàn tàu khởi hành? Biết rằng, đoàn tàu khởi hành sau khoảng thời gian chuyển động với vận tốc không đổi, không dừng lại nơi đường người xe đạp điện với vận tốc không đổi Giải Đặt t khoảng thời gian xuất phát tàu điện (tính phút), x, y vận tốc tàu điện xe đạp (đơn vị độ dài/phút, x > y), ta có khoảng cách tàu điện xt Giả sử gặp tàu điện, xe đạp cách tàu sau xt, theo công thức xe ngược chiều, ta có xt = 5(x + y) (1) Tương tự, ta có xt = 7(x − y) (2) 35 Từ (1) (2) ta suy x = 6y, vào (1), ta lại có 6yt = 7(6y − y) ⇒ t = 35 phút ✷ Vậy tàu khởi hành cách Bài 6: Một hồ nước cung cấp vòi nước Biết vòi cung cấp nước cho hồ vòi thứ làm đầy hồ nhanh vòi thứ hai giờ, vòi thứ ba lại làm đầy hồ nhanh vòi thứ Còn vòi thứ thứ hai cung cấp nước cho hồ thời gian chúng làm đầy hồ thời gian vòi thứ ba Hỏi vòi cung cấp nước cho hồ chúng làm đầy hồ bao lâu? Giải Gọi thời gian vòi thứ ba làm đầy hồ t (giờ), t > Thời gian vòi thứ làm đầy hồ t + (giờ) Thời gian vòi thứ hai làm đầy hồ t + (giờ) 1 Trong giờ, vòi thứ thứ hai chảy + hồ nước vòi thứ ba chảy t+4 t+9 hồ nước t Theo đề bài,ta có phương trình: 1 + = t+4 t+9 t Tương đương: t(t + 9) + t(t + 4) = (t + 4)(t + 9) Ta tìm t = Vậy giờ, ba vòi chảy được: 1 1 + + = t+4 t+9 t 365 Vậy ba vòi cung cấp nước sau hồ đầy ✷ Bài 7: Có đội xây dựng làm chung công việc Làm chung ngày đội III điều động làm việc khác, hai đội lại làm thêm 12 ngày hoàn thành công việc Biết suất đội I cao suất đội II, suất đội III trung bình cộng suất đội I II Nếu đội làm một phần ba công việc 37 ngày xong Hỏi đội làm ngày xong công việc trên? Giải Gọi thời gian để đội I, II, III làm riêng xong công việc x, y, z (đơn vị: ngày) Theo đề bài,ta có hệ phương trình: 1 1 + + + 12 + = (1) x y z x y 1 > (2) x y 1 1 = + (3) z x y x + y + z = 37 (4) 2 + + 12 = ⇔ z = 36 z z z 1 Từ (3) ta suy + = , kết hợp với (4) ta có: x y 18 x + y = 75 xy = 1350 Từ (1) (3) ta có: Do x, y nghiệm phương trình: x2 − 75x + 1350 = ⇒ x1 = 30 x2 = 45 Vậy thời gian cần để đội I, II, III hoàn thành công việc 30 ngày, 45 ngày, 36 ngày.✷ Bài 8: Trong kỳ thi học sinh giỏi trường, phòng thi 22 học sinh thừa em, giảm phòng thi số học sinh chia cho phòng Tính số học sinh tham gia kỳ thi biết phòng thi không chứa 40 học sinh Giải Gọi số phòng thi x (x ∈ N, đơn vị: phòng) Theo đề bài, phòng thi 22 học sinh thừa em nên tổng số học sinh 22x + (em) Số phòng sau giảm x − (phòng) Do lúc số học sinh chia cho phòng nên 22x + x − Mà 22x + = 22(x − 1) + 23 ⇒ 23 x − ⇒ x = x = 24 Tại x = 2, số học sinh có 45 em, số học sinh phòng sau giảm phòng 45 em (trái với giả thiết) Tại x = 24, số học sinh có 529 em, điều phù hợp với đề Vậy có tất 529 học sinh ✷ [...]... 19 Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi m ∈ [8; 19] ✷ Nhận xét: Khi gặp hệ phương trình trong đó một phương trình của hệ không chứa tham số thì ta sẽ đi giải quyết phương trình này trước Từ phương trình này ta sẽ tìm được tập nghiệm (đối với hệ một ẩn) hoặc sẽ rút được ẩn này qua ẩn kia Khi đó nghiệm của hệ phụ thuộc vào nghiệm của phương trình thứ hai với kết quả ta tìm được ở trên Bài 6: Tìm m để hệ sau... (x2 − x − 3)7 6 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO Nhà toán học Abel đã chứng minh rằng không có công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc cao (> 4) Đây cũng không phải là dạng toán quen thuộc ở phổ thông Vì thế bài viết này chỉ đề cập đến một số phương trình bậc cao đặc biệt, có thể giải bằng biến đổi sơ cấp Bài 1: Giải phương trình x5 − x4 − x3 − 11x2 + 25x − 14 = 0 Giải Phương trình đã cho tương đương... x+3 x+4 x+6 27 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ Bên cạnh việc xây dựng phương trình từ hệ phương trình, việc xây dựng phương trình từ những đẳng thức đại số có điều kiện là một trong những phương pháp giúp ta tạo ra những dạng phương trình hay và lạ Dưới đây là một số đẳng thức đơn giản 4.1 Từ đẳng thức “(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a) (1) ”: Ví dụ: Giải phương trình: (x − 2)3 + (2x... nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| 2 3 −p bằng phép đặt (∗) (đưa về phương trình trùng phương vô nghiệm theo t) Khi |y| 2 thì 3 |y| đặt = cos α, từ đó tìm α, suy ra 3 nghiệm y −p 2 3 Còn khi p > 0 không khó chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất: Bài 5: Giải phương trình x3 + 6x + 4 = 0 Giải 1 để đưa về phương trình trùng phương Để ý t phép đặt này không cần điều kiện của x,... về phương trình tích [2.] Đặt ẩn phụ hoàn toàn [3.] Đặt ẩn phụ để đưa về hệ phương trình [4.] Đưa về lũy thừa đồng bậc (thường là dạng A2 = B 2 ) [5.] Chia tử và mẫu cho cùng một số [6.] Thêm bớt để tạo thành bình phương đúng Tuy nhiên, có một số dạng phương trình có những phương pháp giải đặc trưng Những phương trình này sẽ được trình bày cụ thể hơn ở những phần khác Bài tập tổng hợp phần phương trình. .. p 1 3q 3 sinh arsinh nếu p > 0 3 3 2p p Mỗi phương pháp trên đều có thể giải quyết phương trình bậc ba tổng quát Nhưng mục đích của chúng ta trong mỗi bài toán luôn là tìm lời giải ngắn nhất, đẹp nhất Hãy cùng xem qua một số ví dụ: t = −2 Bài tập ví dụ Bài 1: Giải phương trình x3 + x2 + x = − 1 3 Giải Phương trình không có nghiệm hữu tỉ nên không thể phân tích nhân tử Trước khi nghĩ tới công thức... 4 3−5 3+ 4 3−5 Phương trình (5.1) có tập nghiệm: S = ; 2 2 Bài tập tự luyện Giải các phương trình sau: 1 x4 − 19x2 − 10x + 8 = 0 2 x4 = 4x + 1 3 x4 = 8x + 7 4 2x4 + 3x2 − 10x + 3 = 0 5 (x2 − 16)2 = 16x + 1 6 3x4 − 2x2 − 16x − 5 = 0 Nhận xét: Phương trình dạng x4 = ax + b được giải theo cách tương tự Phương trình ∆ = 0 là phương trình bậc ba với cách giải đã được trình bày trước Phương trình này có thể... + 3x + 6) + 1 = 0 (vô nghiệm) Vậy phương trình có tập nghiệm S = {2} ✷ Bài 2: Giải phương trình x6 − 7x2 + √ 6 = 0 (∗) Giải Rõ ràng ta không thể đoán nghiệm của phương trình này vì bậc cao và hệ số xấu Một cách tự √ nhiên ta đặt 6 = a Lưu ý rằng ta hi vọng có thể đưa (*) về phương trình bậc hai theo a, do đó ta phân tích 7 = a2 + 1 Công việc còn lại là giải phương trình này: √ Đặt 6 = a, khi đó (∗)... chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| bằng cách đặt 3 √ 7 1 y= (t + ) giống như bài 3, từ đó dẫn tới một phương trình trùng phương vô nghiệm 3 t −p 1 t+ (∗) như sau: Tổng kết lại, ta dùng phép đặt ẩn phụ y = 3 t −p Nếu phương trình có 1 nghiệm thực, chứng minh phương trình vô nghiệm khi |y| < 2 , 3 trường hợp còn lại dùng (∗) để đưa về phương trình trùng phương theo t −p Nếu phương trình có 3 nghiệm... Tuy nhiên công thức này không hề dễ nhớ và chỉ được dùng trong các kì thi Học sinh giỏi Vì thế, có lẽ chúng ta sẽ cố gắng tìm một con đường “hợp thức hóa” các lời giải trên Đó là phương pháp lượng giác hoá Đầu tiên xét phương trình dạng x3 + px + q = 0 với p < 0 và có 1 nghiệm thực: 13 Bài 3: Giải phương trình x3 + 3x2 + 2x − 1 = 0 Giải Đầu tiên đặt x = y − 1 ta đưa về phương trình y 3 − y − 1 = 0 (1)