Pierre de Fermat (phiên âm: Pie Đờ Phécma, 17 tháng 8 năm 1601 tại Pháp – 12 tháng 1 năm 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại. Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án. Chỉ trừ gia đình và bạn bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán. Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670. Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày. Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phục trước sức đóng góp dồi dào của ông. Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định lý cuối cùng của Fermat).
TÀI LIỆU CHUYÊN SÂU VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH & PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Phần ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa bất phương trình ẩn Cho hai hàm số y f x y g x có tập xác định D f D g Đặt D đề chứa biến có dạng f x g x , f x g x , f x g x , f x Df Dg Mệnh g x gọi bất phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định bất phương trình x0 D gọi nghiệm bất phương trình f x g x f x0 g x0 mệnh đề Giải bất phương trình tìm tất nghiệm(hay tìm tập nghiệm) bất phương trình Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D bất phương trình mà cần nêu điều kiện để x D Điều kiện gọi điều kiện xác định bất phương trình, gọi tắt điều kiện bất phương trình Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương bất phương trình a) Định nghĩa: Hai bất phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu: Nếu f1 x g1 x tương đương với f2 x g2 x ta viết f1 x Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy g1 x f2 x g2 x • Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Định lý hệ quả: Định lý 1: Cho bất phương trình f x g x có tập xác định D ; y h x hàm số xác định D Khi D , Bất phương trình cho tương đương với bất phương trình sau 1) f x h x g x h x 2) f x h x g x h x h x với x D 3) f x h x g x h x h x với x D Hệ quả: Cho bất phương trình f x g x có tập xác định D Khi 1) f x g x f3 x g3 x 2) f x g x f2 x g x với f x 0, g x 0, x D Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý • Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định • Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực phép biến đổi tương đương nên cần lưyu ý tới điều kiện để thực phép biến đổi tương đương B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định bất phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f x , g x xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức • • f x xác định f x xác định f x f x 0 Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 1 • xác định f x f x Các ví dụ điển hình Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x 4x A x b) x 2x x x A x B \ D C x D x 2x C x B x x 2 Lời giải: a) Điều kiện xác định bất phương trình x2 9 x2 x b) Điều kiện xác định bất phương trình 2x x2 x 2x x x x 2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x x x2 b) c) d) x x 4x 3x x x 27 4x x 5x 4x Lời giải: a) Điều kiện xác định bất phương trình x x 3 x x Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy x Page Thử vào bất phương trình thấy x thỏa mãn Vậy tập nghiệp bất phương trình S b) Điều kiện xác định bất phương trình x2 4x Thay x x 2 x 2 vào thấy thỏa mãn bất phương trình Vậy tập nghiệp bất phương trình S c) Điều kiện xác định bất phương trình x x Với điều kiện bất phương trình tương đương với x x x 2 x x Đối chiếu với điều kiện ta thấy bất phương trình vơ nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình S x d) Điều kiện xác định bất phương trình Dễ thấy x Nếu x 4x 4x 0 (*) thỏa mãn điều kiện (*) 4x 4x (*) 0 x x 4 x Vậy điều kiện xác định bất phương trình x Thay x x vào bất phương trình thấy thỏa mãn x Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1; Bài tập luyện tập Bài 4.55: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x x x 6x Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page A x b) B x C B x C x D \ x x A x 2 D x 2 Lời giải: Bài 4.55: a) x b) x Bài 4.56: Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 2x 2x A x x2 x b) 2x B x x x A d) x A x 2 C x 2 D x A Vô nghiệm c) 1 x x x x 1, x D \ B C \ B x C x D x D x 1, x B x 1, x C \ 1; 2 Lời giải: Bài 4.56: a) x b) Vô nghiệm c) Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy x d) x 1, x Page DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG Phương pháp giải Để giải bất phương trình ta thực phép biến đổi để đưa bất phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) hai vế bất phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương bất phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vế bất phương trình với biểu thức dương(hoặc âm) không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu bất phương trình chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình cho • Bình phương hai vế bất phương trình (hai vế ln dương) ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho • Lập phương hai vế bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình 3x a) 3x (*) : 1 x x b) 3x x 3x x 3x Lời giải: Ta có 3x a) 3x 1 x 1 x x (1) không tương đương 3x x nghiệm bất phương trình (*) khơng nghiệm bất phương trình (1) b) 3x Do 3x x 3x x 3x x 3x 3x x 3x 1 x tương đương 3x Ví dụ 2: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau vô nghiệm Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page a) x2 2x x x b) x x Lời giải: a) Ta có x2 2x b) ĐKXĐ: x x2 Áp dụng BĐT côsi ta có 2x bất phương trình vơ nghiệm x x x x x x x x Suy bất phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau nghiệm với x a) x x2 b) 2x x x 1 x Lời giải: a) BPT Do x2 x x 0, x 2x x với x nên x x x với x Vậy bất phương trình nghiệm với x b) BPT x x (đúng với x ) Vậy bất phương trình nghiệm với x Ví dụ 4: Bạn Nam giải bất phương trình x Bất phương trình tương đương với x x2 2x x2 2x 4x x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x sau x [0; ) Theo em ban Nam giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Lời giải: Bạn Nam mắc sai lầm phép biến đổi bình phương hai vế Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page Lời giải là: Với x ta có x Với x : Bất phương trình tương đương với x x 2x 1 x suy nghiệm bất phương trình x 0, x 2x x 4x x x x 1 x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S Bài tập luyện tập Bài 4.57: Trong bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình 3x 3x 0: x 3x 1 x (I) x (II) x A.(I) B.(II) C.(I), (II) D Khơng có phương trình Lời giải: Bài 4.57: Ta có 3x I) Ta có 3x Do 3x II) 3x x Do 3x x 1 1 x x x 3 x x x 1 x 3x x x tương đương 3x x 3x 1 x x x x tương đương 3x x Bài 4.58: Không giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau vô nghiệm Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page a) x b) x x x2 x Lời giải: Bài 4.58: a) ĐKXĐ: x x x x không tồn giá trị x Suy bất phương trình vơ nghiệm b) Ta có x 0, x x 1 x Suy bất phương trình vơ nghiệm Bài 4.59: Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau nghiệm với x x2 a) x b) x2 x2 2x Lời giải: Bài 4.59: a) Ta có x Suy x x2 0, x2 2x 2x x2 2x x2 0 x Đẳng thức xảy Suy x x x 1 x2 (vô nghiệm) 0 với x Vậy bất phương trình nghiệm với x b) Áp dụng BĐT cơsi ta có x2 x2 x2 1 x2 x2 1 x2 Suy bất phương trình nghiệm với x Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page Bài 4.60: Bạn Bình giải bất phương trình x 2x sau Bất phương trình tương đương với 2x 2x 2x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S x [ ; ) Theo em ban Bình giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Lời giải: Bài 4.60: Bạn Bình mắc sai lầm phép biến đổi Lời giải là: x 2x x 2x 1 x x 2x x 2x 1 x Vậy bất phương trình có tập nghiệm S ; §3 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bất phương trình bậc hai ẩn a) Bất phương trình bậc hai ẩn miền nghiệm Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng: ax by c 0, ax by c 0, ax by c 0, ax by c a, b, c số thực cho, a b không đồng thời 0; x y ẩn số Mỗi cặp số (x0; y0) cho ax0 + by0 < c gọi nghiệm bất phương trình ax Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy by c 0, Page Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức Kiến thức cần nhớ Tìm vectơ VTPT (1;0) nên VTCP phương đường (0;1) Trục Oy có dạng x=m thẳng song song với trục Oy Lời giải chi x m →VTPT (1;0) →VTCP (0;1) Đường thẳng song song với trục Oy có dạng tiết Câu 16 [NB] Phương trình sau khơng phương trình tổng quát đường thẳng A x y Đáp án: Chọn B Câu 17 [TH] Phương trình A (3;-2) B x 5 y 2 C x y x y2 có vecto pháp tuyến B (3;2) D x C (4;-3) D (-2;3) Đáp án: Chọn C Mục tiêu Sơ đồ Tìm vecto pháp tuyến đường x y2 Công thức VTPT Kiến thức cần nhớ Phương trình tắc có n (b; -a) dạng = Lời giải chi tiết Phương trình x y2 có VTCP u (3; 4) →VTPT n 4, 3 Câu 18 [NB] Chọn phương án điền vào chỗ trống Vectơ n ≠ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng giá n … với A Song B Vng góc C Trùng song D Trùng song song Đáp án: Chọn B Câu 19 [NB] Vectơ sau vectơ pháp tuyến đường thẳng x y A (3;2) B (-3;-2) C (6;4) D (-2;3) Đáp án: Chọn D Câu 20 [NB] Phương trình sau phương trình tham số đường thẳng x 3t A y t B x 4 y 5 C x y2 D 3x y Đáp án: Chọn A Câu 21 [TH] Vectơ pháp tuyến đường thằng qua điếm A(2; 5) B(3; 1) Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 27 A (4;1) B (1;-4) C (-1;4) D (-4;1) Đáp án: Chọn A Mục tiêu Sơ đồ thẳng qua A,B VTPT Kiến thức cần nhớ VTCP u (a; b) nên VTPT n (b; -a) n 4;1 Đường thẳng qua điểm A, B có VTCP AB Lời giải chi tiết u AB 1; 4 Tìm VTPT đường đường Công thức VTCP u AB 1; 4 →VTPT n 4;1 ❖ Bài tập đề xuất: Vectơ pháp tuyến đường thằng qua điếm M(-3; 5) N(2; -1) A (5;-6) B (6;-5) C (5;6) D (6;5) Đáp án: Chọn D Câu 22 [TH] Cho đường thẳng ∆ : A x+y17=0 x 5t Viết phương trình tổng quát ∆ y 14 B y-14=0 C y+14=0 D x-3=0 Đáp án: Chọn B Mục tiêu Cơng thức Viết phương trình tổng +VTCP quát ∆ u 5;0 nên VTPT n 0;1 Sơ đồ đường + Phương trình tổng quát ∆ thoả mãn Đường thẳng cho có VTCP Lời giải chi tiết Kiến thức cần nhớ Vtcp (a,b)=>VTPT(-b,a) Tổng quát có dạng a( - )+b(y - )=0 u 5;0 →VTPT n 0;1 Chọn M(3; 14) thuộc ∆, ta có phương trình ∆ là: x 3 1 y 14 y 14 hay y 14 ❖ Bài tập đề xuất: Cho đường thẳng (d): x4 y 5 Viết phương trình tổng quát (d) Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 28 A x y 23 B x y 23 C x y D x y Đáp án: Chọn A Câu 23 [TH] Tìm vectơ phương đường trung trực đoạn thẳng nối điểm phân biệt A(a;0) B(0;b) A (b;-a) B (-b;a) C (b;a) D (a;b) Đáp án: Chọn C Mục tiêu Sơ đồ Công thức u AB (a; b) Tìm vecto phương đường Kiến thức cần nhớ đường trung trực Trung trực AB vng góc với AB trung điểm VTCP trung AB trực u (b; a) Đường trung trực AB vng góc với AB Nên VTCP đường trung trực vng góc Lời giải chi với VTCP AB tiết VTCP AB u AB (a; b) →VTCP trung trực u (b; a) ❖ Bài tập đề xuất: Tìm vectơ phương đường trung trực đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt A(3; 2) B (-1;4) A (1;2) B (-4;2) C (4;2) D (1;-2) Đáp án: Chọn A Câu 24 [VD] Phương trình tham số đường thẳng ∆: x 5t y 7t x y là: x 5t y 7t A x 7t y 5t B x 7t y 5t C D Đáp án: Chọn B Mục tiêu Phương trình tham số Sơ đồ Cơng thức u 5;7 ,M(5,0) ∆ ∆ Phương trình đường Lời giải chi Phương trình ∆ có VTCP Kiến thức cần nhớ Cho M( , ) , (a,b) Phương trình tham số có x x0 at y y0 bt tham số ∆ dạng : với a b ≠0 2 u 5;7 Chọn M(5; 0) thuộc ∆, ta có phương trình tham số cần tìm tiết Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 29 x 5t y 7t : Câu 25 [NB] Viết phương trình tổng quát đường thẳng Ox A y=0 C x=0 B x-y+1=0 D x+y=0 Đáp án: Chọn A Câu 26 [NB] Đường thẳng qua M x0 ; y0 song song với Ox A y y0 C y y0 Đáp án: Chọn A Câu 27 [NB] Đường thẳng qua B x y0 D y x0 M x0 ; y0 vng góc với Ox A y y0 C y y0 B x x0 D x x0 Đáp án: Chọn B Câu 28 [NB] Phương trình tổng quát cuả đường thẳng qua hai điểm A 2;1 , B –1; –3 A 4x – 3y – C 4x 3y – B 3x – y – D –3x y Đáp án: Chọn A Câu 29 [NB] Lập phương trình tham số đường thẳng qua M(2; 1) có vecto phương x 3t A : y 7t x 2 3t C : y 1 7t u 3;7 x 3t B : y 7t x 3t D : y 7t Đáp án: Chọn A Câu 30 [NB] Phương trình đường thẳng qua A(1; 3) có vecto pháp tuyến (3; -2) là: A 3x y C 3x y B 3x y D 3x y Đáp án: Chọn C Lời giải chi tiết: Phương trình có dạng x 1 y 3 3x y Câu 31 [TH] Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(-5; -8) có hệ số góc k = -3 Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 30 A 3x y C 3x y 23 B x y D x y 23 Đáp án: Chọn C Mục tiêu M( , ).Phương trình có đường thẳng d qua đường dạng M có hệ số góc k Lời giải chi tiết Kiến thức cần nhớ y 3 x 5 – Tìm phương trình Sơ đồ Cơng thức y=k( - + Phương trình đường thẳng qua điểm M (-5; -8) có hệ số góc k = -3 là: y 3 x 5 – hay 3x y 23 A 2; 2 biết số góc 1 B y x D y x ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A y 2 x C y x Đáp án: Chọn D Câu 32 [TH] Viết phương trình đường thẳng qua A x y C x y A 1; vng góc với đường thẳng x y B x y D x y Đáp án: Chọn C Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức ( x y ) nên Phương trình đường Phương trình thẳng qua Avà vng 1 x 1 2( y 2) góc với đường thẳng Kiến thức cần nhớ : = =(1,2) cho trước Ta có đường thẳng x y có n(2; 1) Lời giải chi tiết Đường thẳng cần tìm vng góc với đường thẳng x y →VTPT n(1; 2) Phương trình cần tìm 1 x 1 2( y 2) x y ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình đường thẳng qua điểm A 2;1 song song với đường thẳng 3x y Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 31 A x y C 3x y B x y D 3x y Đáp án: Chọn C Câu 33 [TH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua A 2;1 song song với đường thẳng có phương trình x y A x 3t t y 2t x 2t C t y 3t x 3t B t y 2t x 2t D t y 3t Đáp án: Chọn D Mục tiêu Sơ đồ đường Cơng thức Phương trình tham số Phương trình đường thẳng qua x 2t t y 3t A song song với x y Ta có đường thẳng x y có VTPT Kiến hức cần nhớ // ( x y ) nên : = =(2,3) n 6; 4 Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng x y nên có Lời giải n 6; 4 → VTCP u (2;3) chi tiết Phương trình cần tìm x 2t t y 3t ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tắc đường thẳng qua điểm A(3 ; 0) song song với đường thẳng có phương trình 2x 3y + = x 3 y x3 y C 3 A x 3 y x y 3 D B Đáp án: Chọn A Câu 34 [TH] Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(1; 1) tạo với chiều dương trục Ox góc 45o A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn A Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 32 Mục tiêu Phương trình đường Sơ đồ thẳng tổng quát qua đường A tạo với Ox góc 45o Cơng thức Kiến thức cần nhớ k tan 45o =1 Góc tạo với chiều dương Phương trình tổng qt trục Ox góc 45 có dạng : k tan 45o k( - o -y+ =0 o Lời giải Ta có đường thẳng tạo với chiều dương trục Ox góc 45 chi tiết Phương trình tổng quát đường thẳng: x y hsg k tan 45 =1 o ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(2; 1) tạo với chiều o dương trục Ox góc 45 A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn C Câu 35 [TH] Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(3;1) tạo với chiều dương trục Oy góc 45o A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn D Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức Kiến thức cần nhớ Phương trình đường Góc hợp với trục Ox thẳng tổng quát qua (45+90)=135 A tạo với Oy góc k tan135 = -1 Góc tạo với Oy góc tạo với Ox góc ( o o 45 Phương trình tổng qt có dạng k( - -y+ =0 o Ta có đường thẳng tạo với chiều dương trục Oy góc 45 Lời giải chi tiết o chiều dương trục Ox góc 135 đường thẳng tạo với hsg k tan135 = -1 o Phương trình tổng quát đường thẳng: x y ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(1;1) tạo với chiều o dương trục Oy góc 45 Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 33 A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn A Câu 36 [VD] Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(1; 2) tạo với chiều dương trục Ox góc tan A x y C x y có B x y D x y Đáp án: Chọn C Mục tiêu Công thức Kiến thức cần nhớ Phương trình đường k tan = +Phương trình đường Sơ đồ thẳng tổng quát qua thẳng biết hệ số góc k đường Phương trình tổng qt A tạo với Ox góc có dạng : +Góc tạo với trục Ox k( - k tan o 45 -y+ =0 hsg k tan = Lời giải Ta có đường thẳng tạo với chiều dương trục Ox góc chi tiết Phương trình tổng qt đường thẳng: x y ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua điểm A(2; 1) tạo với chiều dương trục Ox góc có tan A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn B Câu 37 [VD] Cho điểm A(1 ; 7) , B(-3;5) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng AB A x y C x y B 3x y D x y 11 Đáp án: Chon A Mục tiêu Sơ đồ đường Cơng thức Phương trình tổng Trung điể m quát đường trung I( , Kiến thức cần nhớ Đường trung trực AB ) trực AB qua trung điểm vuong góc với AB u AB (a; b) VTCP trung trực u (b; a) Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 34 Lời giải Ta có I (1;6) trung điểm AB Ta có VTPT AB n AB (4; 2) || (2;1) chi tiết Phương trình tổng quát đường thẳng: x y ❖ Bài tập đề xuất: Cho điểm M(2 ; 3) , N(-2;1) Viết phương trình tổng quát đường trung trực đoạn thẳng MN A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn A Câu 38 [V D] Cho ABC có A(2 ; 1), B(4 ; 5), C(3 ; 2) Viết phương trình tổng quát đường cao AH A 3x y 11 C 3x y 13 B x y 13 D x y 11 Đáp án: Chọn D Mục tiêu Sơ đồ đường Cơng thức Phương trình tổng VTPT AH quát đường cao n BC (7; 3) (7;3) AH Ta có Lời giải chi tiết Kiến thức cần nhớ Đường cao AH BC AH BC nên ta có VTPT AH n BC (7; 3) (7;3) Mặt khác AH qua A Phương trình tổng quát đường thẳng: x y 11 ❖ Bài tập đề xuất: Cho ABC có A(1; 1), B(3 ; 1), C(2 ; 2) Viết phương trình tổng quát đường cao AH B x y D x y A x y C x y Đáp án: Chọn B Câu 39 [VD] Hệ số góc đường thẳng qua O(0,0) A(2,-3) : A B 2 C 3 D Đáp án: Chọn C Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 35 Mục tiêu Sơ đồ đường Cơng thức Phương trình tổng qt có dạng : Tìm hệ số góc k đường thẳng a( - qua A,O Kiến thức cần nhớ Phương trình đường thẳng +b(y - )=0 Hệ số góc k k= ( b 0) Đường thẳng qua OA nên có VTPT là: n (3; 2) Lời giải chi tiết Phương trình tổng quát đường thẳng: 3x y hsg k 3 ❖ Bài tập đề xuất: Hệ số góc đường thẳng qua hai điểm A(3;2) B(2;4) là: A B C -2 D -1 Đáp án: Chọn C Câu 40 [VD] Hệ số góc đường thẳng qua B(2;1) song song với (d) : x – y + = là: A B -2 C -1 D Đáp án: Chọn A Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức Kiến thức cần nhớ Tìm hệ số góc k Đường thẳng song song với (d) có Phương trình đường đường thẳng dạng x-y+m=0 thẳng song song với d qua B song k= thỏa mãn x-y+m=0 ( b 0) song với d Lời giải Đường thẳng song song với (d) : x – y + = nên pt đường thẳng có dạng : x-y+m=0 Nên hệ số chi tiết góc k=1 ❖ Bài tập đề xuất: Hệ số góc đường thẳng qua B(1;-2) song song với (d) : 3x – y + = là: A B C -3 D Đáp án: Chọn A Câu 41 [VDC] Viết phương trình đường thẳng qua A(2,0) cho đường thẳng với d 1:x+3y-4=0 d2: x-2y+1=0 đồng quy điểm I A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn A Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 36 Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức Giao điểm I thỏa mãn Viết phương trình đường thẳng qua thẳng hệ Hệ số góc k quy d1 d2 Đt qua A,I Gọi I giao điểm hai đường thẳng chi tiết Phương trình đường A điểm đồng Lời giải Kiến thức cần nhớ I (1;1) Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm AI ta có: đường thẳng có VTPT là: n (1; 1) phương trình tổng quát đường thẳng : x y ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình đường thẳng qua O(0,0) cho đường thẳng với d 1:2x+y-4=0 d2: x-y+1=0 đồng quy điểm A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn A Câu 42 [VDC] Cho điểm A(0 ; 2), B(1 ; 0), C(0 ; 4), D(2 ; 0) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD 3 B ; 2 D Khơng có giao điểm A (1;-4) C (-2;2) Đáp án: Chọn D Mục tiêu Sơ đồ đường Công thức Kiến thức cần nhớ Tìm tọa độ giao +Pt AB qua A,B Phương trình đường điểm AB +Pt CD qua C,D thẳng +Tọa độ giao điểm thỏa mãn Hai đường thẳng giao CD Đường thẳng AB qua A B nên có pt tổng quát là: x y Lời giải Đường thẳng CD qua C D nên có pt tổng quát là: chi tiết 2x y Ta có AB CD nên khơng có giao điểm ❖ Bài tập đề xuất: Cho điểm A(1; 2), B(-2; 4), C(2;1), D(4; -2) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB CD Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 37 B Khơng có giao điểm D (2;-1) A (0;0) C (1;-1) Đáp án: Chọn A Câu 43 [NB] Đường thẳng qua M 1; 1 song song với Ox B x D y A y C y Đáp án: Chọn A Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua nên có phương trình là: Câu 44 [NB] Đường thẳng qua M 1; 1 song song với Ox nên có có VTPT (0; 1) x 1 1 y 1 → y M 1; song song với Oy B x D x A y C y Đáp án: Chọn B Lời giải chi tiết: Đường thẳng qua phương trình là: M 1; vng góc với Ox nên có có VTPT n (1;0) Nên có 1 x 1 y →x Câu 45 [NB] Phương trình tổng quát cuả đường thẳng qua hai điểm A 1;1 , B –1; –3 A x – y C x y – 0 B 2x D 2x y y Đáp án: Chọn B Lời giải chi tiết: Ta có VTCP u 2; →VTPT n AB Suy phương trình cần tìm là: x 1 y 2; →2x – y – Câu 46 [NB] Phương trình đường thẳng qua A(1;- 3) có vecto pháp tuyến (2; 1) là: A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn C Lời giải chi tiết: Phương trình có dạng x 1 1 y 3 x y Câu 47 [NB] Lập phương trình tham số đường thẳng qua M(3;4) có vecto phương Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy u 3; 1 Page 38 x 3t A : y 4t x 3 3t C : y 4 t x 3t B : y 4t x 3t D : y 4t Đáp án: Chọn A Lời giải chi tiết: Ta có qua M(3;4) có VTCP u 3; 1 Suy phương trình tham số cần tìm x 3t : y 4t Câu 48 [NB] Viết phương trình đường thẳng qua điểm M(1; 2) có hệ số góc k = A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn C Lời giải chi tiết: Phương trình đường thẳng qua điểm M (1; 2) có hệ số góc k = là: y 2(x 1) Câu 49 hay x y [TH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua A 1; 2 song song với đường thẳng có phương trình 3x y A x 2 4t t y 3t x 3t C t y 4t x 4t B t y 3t x 4t D t y 2 3t Đáp án: Chọn D Mục tiêu Phương trình Sơ đồ đường tham số Công thức // ( 3x y ) nên = =(4,3).Phương trình Kiến thức cần nhớ Phương trình đường : thẳng song song với đường thẳng qua 3x y có A song song dạng 3x-4y+m=0 với 3x y Lời giải chi tiết Ta có đường thẳng 3x y có VTPT n 3; 4 Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng x y nên có Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy n 3; 4 → Page 39 VTCP u (4;3) Phương trình cần tìm x 4t t y 2 3t ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(1; 0) song song với đường thẳng có phương trình 2x y + = x 2t A t y 1 t x t C t y 2t x 1 t B t y 2t x 2t D t y t Đáp án: Chọn B Câu 50 [TH] Cho đường thẳng : x 5t Viết phương trình tổng quát đường thẳng qua gốc tọa độ O (0;0) y 14 vng góc với đường thẳng A x 1 B y D x C y Đáp án: Chọn D Mục tiêu Đường thẳng qua Sơ đồ đường O vng góc với Cơng thức d nên = Kiến thức cần nhớ Hai đt vng góc với (1,0) Phương trình tổng qt =0 đường thẳng vng góc với có dạng x=m Ta có đường thẳng vng góc với : Lời giải chi tiết x 5t y 14 nên có VTPT n 5;0 (1;0) Mặt khác đường thẳng qua gốc tọa độ O Phương trình cần tìm x ❖ Bài tập đề xuất: Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(2;1) vng góc với đường thẳng có phương trình x y + = A x y C x y B x y D x y Đáp án: Chọn B Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy Page 40 Câu 51 [TH] Viết phương trình tham số đường thẳng qua điểm A(2;1) giao điểm B đường thẳng x y với trục Oy A x t y t x 2t B y t x C y 1 t x t D y 1 Đáp án: Chọn D Mục tiêu Phương trình Cơng thức Giao điểm A thỏa mãn hệ Kiến thức cần nhớ Phương trình tham số tham số qua A Sơ đồ đường có dạng giao điểm x y với x x0 at y y0 bt với a b ≠0 Pt tham số qua A,B 2 trục Oy Tọa độ giao điểm đường thẳng Tìm giao điểm B x y với trục Oy nên B 0;1 Lời giải Phương trình đường thẳng qua hai điểm AB nên có VTCP u (2;0) (1;0) chi tiết x t y 1 Thầy: Nguyễn Quý Huy_Fb: facebook.com/N.Quy.Huy PTTS là: Page 41 ... thích bất phương trình sau nghiệm với x x2 a) x b) x2 x2 2x Lời giải: Bài 4.59: a) Ta có x Suy x x2 0, x2 2x 2x x2 2x x2 0 x Đẳng thức xảy Suy x x x 1 x2 (vô nghiệm) 0 với x Vậy bất phương trình... x 4x A x b) x 2x x x A x B D C x D x 2x C x B x x 2 Lời giải: a) Điều kiện xác định bất phương trình x2 9 x2 x b) Điều kiện xác định bất phương trình 2x x2 x 2x x x x 2 Ví dụ 2: Tìm điều kiện... lời 40000x Theo giả thiết toán xưởng có 20 0kg nguyên liệu 120 làm việc suy 2x x y 100 , 30x 15y 120 0 hay 2x Bài tốn trở thành: Tìm x , y thoả mãn hệ y 80 20 0 hay x y 100 x y 80 x y 4y 30000 y