Đang tải... (xem toàn văn)
Jean Alexandre Eugène Dieudonné (tiếng Pháp: djødɔne; sinh ngày 1 tháng 7 năm 1906 – 29 tháng 11 năm 1992) là một nhà Toán người Pháp, nổi tiếng về nghiên cứu trong Đại số trừu tượng, hình học đại số và phân tích chức năng, cho sự liên quan chặt chẽ với nhóm Nicolas Bourbaki và Éléments de géométrie algébrique của Alexander Grothendieck, và là một nhà sử học về toán học. Đặc biệt trong các lĩnh vực phân tích chức năng và topo đại số
Tuyển tập Hình Học từ kì thi Olympic 2017 Ngày tháng năm 2017 Bài Toán (Đề thi vòng chung kết MYTS Khối 9) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn γ Điểm D nằm cung BC không chứa A γ Gọi E, F hai điểm cạnh AB, AC cho BD = BE CD = CF Gọi G trung điểm EF Chứng minh rằng: BG ⊥ CG Lời giải Ta dễ thấy: ∠EJF = 360◦ − ∠BDC − ∠BEJ − ∠JF C = 360◦ − ∠BDC − ∠BAC − ∠EJF ⇒ ∠EJF = 90◦ ⇒ JG = EG = GF Suy E đối xứng với J qua BG; F đối xứng với J qua CG Từ suy ∠BGC = 90◦ Bài Toán (IRAN TST 2017 - Phần 1) Cho tam giác ABC với Ia tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi ω đường tròn qua A, Ia cắt phần kéo dài cạnh AB, AC (kéo dài từ B, C) X, Y tương ứng Gọi S, T điểm đoạn Ia B, Ia C tương ứng cho ∠AXIa = ∠BT Ia ∠AY Ia = ∠CSIa Các đường thẳng BT, CS cắt K Các đường thẳng KIa , T S cắt Z Chứng minh X, Y, Z thẳng hàng Lời giải BXS ∼ BIa C ∼ T Y C ⇒ ∠BXS ∼ ∠BIa C ∼ ∠T Y C = 90◦ − ∠A 1 ◦ ⇒ ∠BXS + ∠A = ∠T Y C + ∠A = 90 ⇒ XS ⊥ AIa , Y T ⊥ AIa ⇒ XS Y T (1) 2 Lấy điểm E cạnh BC cho BE = BX ⇒ CE = CY ∠KSIa + ∠KT Ia = ∠AY Ia + ∠AXIa = 180◦ ⇒ SKT Ia nội tiếp ∠CEIa = ∠CY Ia = ∠CSIa ⇒ CESIa nội tiếp ⇒ BES = ∠BIa C = ∠BKS ⇒ BEKS nội tiếp ⇒ E điểm Miquel tứ giác SKT Ia ⇒ ∠SEZ = ∠T EZ SZ SE SX = = (2) ⇒ TZ TE TY Từ (1) (2) ⇒ XSZ ∼ Y T Z ⇒ ∠SZX = ∠Y ZT ⇒ X, Y, Z thẳng hàng Dễ thấy Bài Toán (Olympic chuyên KHTN 2017 - Ngày 2) Cho tam giác ABC nhọn, khơng cân, nội tiếp đường tròn (O) I tâm nội tiếp tam giác ABC AI cắt BC D cắt (O) K khác A P điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC nằm tam giác ABC P K cắt BC L AL cắt (O) F khác A Giả sử KF cắt BC T Q đối xứng P qua K AQ cắt (O) R khác A a) Chứng minh P T song song với KR b) Gọi giao điểm AP (O) E khác A Chứng minh hai tam giác KEP KET có diện tích Lời giải a, Gọi U giao điểm KR với BC Ta có KT.KF = KB nên ∠KT B = ∠KBF = ∠KAF Suy ADF T nội tiếp Khi ta có LD.LT = LF.LA = LB.LC = LP.LQ nên tứ giác T P DQ nội tiếp Lại có KR.KU = KC nên tứ giác ADRU nội tiếp Và KQ2 = KC = KD.KA nên ta có ∠DU R = ∠DAR = ∠KQD = ∠P T D Từ suy KR T P b,Gọi M giap điểm P K với (O).Ta có KL.KM = KB = KP = KQ2 nên (M L, P Q) = −1 = A(M L, P Q) = A(M F, ER) = (M F, ER) = K(M F, ER) =⇒ KE chia đôi T P Bài Toán (USA JMO 2017) Cho O H tâm đường tròn ngoại tiếp trực tâm tam giác nhọn ABC Các điểm M D nằm cạnh BC cho BM = CM ∠BAD = ∠CAD Tia M O cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC N Chứng minh ∠ADO = ∠HAN Lời giải Dễ thấy AD OM cắt điểm J nằm đường tròn (O) Bổ đề quen thuộc: J đối xứng với N qua BC ⇒ DN = DJ ⇒ ∠JAO = ∠DJN = ∠DN J ⇒ JDN ∼ JOA ⇒ JD.JA = JN.JO ⇒ Tứ giác DAON nội tiếp ⇒ ∠DAN = ∠DON ⇒ ∠DAN + ∠HAD = ∠DON + ∠HAD ⇒ ∠HAN = ∠ADO Bài Toán (APMO 2017) Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi D giao điểm đường phân giác góc BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi Z giao điểm đường trung trực AC với đường phân giác ngồi góc BAC Chứng minh trung điểm AB nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADZ Lời giải Gọi M trung điểm BC, N trung điểm AC, P hình chiếu D lên AB, Q hình chiếu D lên AC Ta có AP = AQ BP = CQ nên AB + 2BP = AC suy M P = AC suy M P = AN AZ DA AZ DA AZ PM Dễ thấy ZAN ∼ ADP nên = suy = ⇔ = suy ZAD ∼ AN DP MP DP AD PD M P D suy ∠P M D = ∠AZD, từ đường tròn ngoại tiếp AZD qua trung điểm AB Bài Toán (Hong Kong TST 2017) Cho tam giác ABC với phân giác AD Đường thẳng qua B vng góc AD cắt (ABD) E Chứng minh EA qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC Lời giải Cho B, D, E, A đồng viên nên (AD, AE) = (BD, BE) = (BD, AD)+(AD, BE) = (BC, AD)+ (AH, BC) = (AH, AD) = (AD, AO) (mod 180◦ ) Suy (AE, AO) = (mod 180◦ ) nên A, O, E thẳng hàng Bài Toán (CHKMO 2017) Cho tam giác ABC nhọn D thuộc đoạn BC I tâm nội tiếp ABC (ABD) cắt BI P (ACD) cắt CI Q Giả sử hai tam giác P ID QID có diện tích Chứng minh P I.QD = QI.P D Lời giải Từ [P ID] = [QID] P D qua trung điểm M P Q Mặt khác dễ thấy P A = P D, QA = QD nên A, D đối xứng qua P Q Từ J đối xứng I qua P Q AJ qua M Vậy gọi K đối xứng I qua trung trực P Q J, K đối xứng qua M nói cách khác AI đường đối trung tam giác AP Q Từ tứ giác AP IQ điều hòa nên QI.AP = P I.AQ hay QI.DP = P I.DQ ... J qua CG Từ suy ∠BGC = 90◦ Bài Toán (IRAN TST 2017 - Phần 1) Cho tam giác ABC với Ia tâm đường tròn bàng tiếp góc A Gọi ω đường tròn qua A, Ia cắt phần kéo dài cạnh AB, AC (kéo dài từ B, C) X,... Ia ⇒ ∠SEZ = ∠T EZ SZ SE SX = = (2) ⇒ TZ TE TY Từ (1) (2) ⇒ XSZ ∼ Y T Z ⇒ ∠SZX = ∠Y ZT ⇒ X, Y, Z thẳng hàng Dễ thấy Bài Toán (Olympic chuyên KHTN 2017 - Ngày 2) Cho tam giác ABC nhọn, không cân,... suy = ⇔ = suy ZAD ∼ AN DP MP DP AD PD M P D suy ∠P M D = ∠AZD, từ đường tròn ngoại tiếp AZD qua trung điểm AB Bài Toán (Hong Kong TST 2017) Cho tam giác ABC với phân giác AD Đường thẳng qua B vng