Tài liệu [HOT] TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC QUA CÁC KÌ THI OLYMPIC

Phạm Quốc Sang (chủ biên) Trần Vũ Duy (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh) Đoàn Thành Đạt ( cựu học sinh THPT Chuyên Bình Long, Bình Phước) Trương Gia Bảo ( THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Vĩnh Long) Doãn Quang Tiến ( THPT Phú Mỹ, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu) Trần Quân Phạm Việt Tiến (THPT Chuyên Sơn Tây, TP Hà Nội)

Phạm Quốc Sang (chủ biên) Trần Vũ Duy (THPT Chuyên Lê Hồng Phong – TP Hồ Chí Minh) Đoàn Thành Đạt ( cựu học sinh THPT Chuyên Bình Long, Bình Phước)

Trương Gia Bảo ( THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Vĩnh Long)

Doãn Quang Tiến ( THPT Phú Mỹ, tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu)

Trần Quân Phạm Việt Tiến (THPT Chuyên Sơn Tây, TP Hà Nội)

TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CÁC KÌ THI

HSG QUỐC GIA TRÊN THẾ GIỚI

Chương 1 Tuyển tập các bài toán hình học từ kì thi HSG Quốc Gia Trung Quốc

Câu 1 Hai đường tròn 1và 2 cắt nhau tại A B, Một đường thẳng qua Blần lượt cắt 1và 2

tại C D, Một đường thẳng khác qua Blần lượt cắt 1và 2tại E F, Đường thẳng CFcắt 1và

Ta có ACD ACB AEB AEF

Tương tự có ADC AFF Kết hợp với CDEF, suy ra ACD AEF

Vậy CAD EAF, suy ra CAE DAF

Từ ACD AEFsuy ra ACAEvà ADAF

Tam giác ACEvà tam giác ADF đều cân tại đỉnh Avà có CAE DAFnên hai tam giác này đồng dạng

Vậy ACE AEC ADF AFD

Suy ra ABC AEC ACE ADF ABF, suy ra ABlà phân giác góc CBF

Tam giác BCFcó BA CN FM, , là các đường phân giác, vậy các đường này đồng quy tại Ilà tâm đường tròn nội tiếp

Ta có IC IN IA IB IF IM , suy ra C F M N, , , cùng nằm trên một đường tròn

I

Q P

F

E

D B

A

C

Câu 2 Dlà điểm chính giữa cung BCcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC X là

điểm trên cung AD và E là điểm chính giữa cung AX Slà điểm trên cungAC, các đường thẳng

SDvà BCcắt nhau tại R, SEvà AX cắt nhau tạiT Nếu RT||DE chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABCnằm trênRT

(China National Olympiad 2011, P2)

SD SE Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác SRT Xét phép vị tâm Sbiến

R D,S Tsuy ra (SRT) (SDE), suy ra (SRT)tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABCtại S Do E là điểm chính giữa cung AX suy ra (SRT)tiếp xúc vớiAXtại T

Ta có ASI  XTI TSR ESD, suy raASE ISD Vậy DIR EDA ASE DSI, suy ra 2

DI DR DS Do Dlà điểm chính giữa cung BCsuy ra 2

DB DR DS VậyDI DB, từ đó

ta có Ilà tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Câu 3 Tam giác ABCcó gócA lớn nhất Dlà điểm chính giữa cung ABCvàElà điểm chính giữa cung ACBcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đường trònc1qua A B, và tiếp xúc vớiACtạiA Đường trònc2qua A E, và tiếp xúc vớiADtạiA.c1và c2cắt nhau tạiA P, Chứng minh rằng APlà phân giác gócBAC

(China National Olympiad 2012, P1)

Đường tròn c1 cắt phân giác gócA tại P' Ta chứng minh P'P

Do CAlà tiếp tuyến của c1suy raP BA'  P AC'  P AB' suy raP'nằm trên trung trực của đoạnAB

    VậyDAlà tiếp tuyến tạiAcủa đường tròn ngoại tiếp tam giác AEP'

Do đó c2chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEP'và P'P

Câu 4 Hai đường tròn K K1, 2có bán kính khác nhau cắt nhau tại hai điểm ,A B ,C Dlà hai điểm trên K K1, 2sao cho Alà trung điểm đoạnCD.DBcắt K1 tại EB và CBcắt K2 tại F B l l1, 2lần lượt là trung trực của CD EF,

a) Chứng minh l l1, 2có một điểm chung duy nhất (ký hiệu làP)

b) Chứng minh độ dài các đoạnCA AP PE, , là độ dài các cạnh của một tam giác vuông

(China National Olympiad 2013, P1)

AEcắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AEFtại điểm thứ hai P' DoAElà phân giác gócEAF

suy ra P'là điểm chính giữa cung EF của đường tròn ( AEF) VậyP'nằm trên trung trực của

EF Suy raP'P Từ đây có thể kết luậnPlà điểm duy nhất (CDvàEFkhông thể song song với nhau)

Ta có CAE FADvà CEA CBA FDA suy ra tam giác CAE~ FAD, suy ra hai tam giácAE AF  AC AD CA2 APcắt EFtại X Tam giác AEX ~ APF, suy raAE AF AX AP Vậy CA2 AX AP

(China National Olympiad 2014, P1)

Lời giải

Câu 6 Cho tam giác nhọn ABCcó ( ), ( )O I lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp Tiếp tuyến tại ,B Ccủa ( )O cắt nhau tạiL.( )I tiếp xúc vớiBCtạiD X AOBC, AYlà đường cao của tam giác ABC P Q, OI( )O Chứng minh rằng P Q X Y, , , đồng viên khi và chỉ khi A D L, , thẳng hàng

X

P

F E

(China National Olympiad 2017, P2)

Bổ đề 1 Cho tam giác ABCcó ( )O là đường tròn ngoại tiếp Tiếp tuyến tại ,B Ccủa ( )O cắt nhau tạiL Chứng minhALlà đường đối trung

Bổ đề này bạn đọc tự chứng minh

Bổ đề 2 Cho tam giác ABCcó ( )I là đường tròn nội tiếp ( )I lần lượt tiếp xúc với BC CA AB, ,tại D E F, , D' đối xứng với Dqua EF PAD'BC Gọi Olà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minhO I P, , thẳng hàng

Quay trở lại bài toán, gọiAR AS, lần lượt là đường phân giác trong, phân giác ngoài của tam giác

ABC, gọi M là trung điểm củaRS Ta có(RS BC, ) 1 suy ra 2 2

Z Y

tiếp tuyến của( )O Tam giác vuông AMX cóAYlà đường cao thuộc cạnh huyền suy ra2

(China Team Selection Test 2017, Test 1, P5)

Lời giải

Gọi ( )I là đường tròn nội tiếp tam giác ABC,( )I tiếp xúc vớiBCtạiA' GọiPđối xứng vớiA'qua

D, ta có kết quảAPđi qua Qlà điểm đối xứng vớiA'quaI

GọiTlà tiếp điểm củaDX và( )I Ta cóDT DA'DP, suy raAT TP DoAQlà đường kính của( )I , suy raAT TQ, vậy Q T P, , thẳng hàng

Gọi ( )J là đường tròn nội tiếp tam giác DEF,( )J tiếp xúc vớiEFtạiD' Ta có

''

Câu 8 Cho tam giác ABC Đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác ABC tiếp xúc với đoạn

BCtạiE và đườngAB AC, tại D F, GọiEZ là đường kính của đường tròn đó TrênD F, lấy hai điểmB C1, 1sao cho BB1 BC CC, 1 BC Các đường thẳngZB ZC1, 1cắtBClần lượt tạiX Y, Đường thẳngEZcắtDF tạiH, đường thẳngZKvuông góc vớiDFtạiK NếuH là trực tâm tam giác

XYZ, chứng minh rằngH K X Y, , , cùng nằm trên một đường tròn

(China Team Selection Test 2017, Test 4, P2)

Lời giải

GọiPDFBC, ta có(EP BC, ) 1 DoEP BC, là hình chiếu vuông góc củaHP B C, 1 1lênBC, suy

ra(HP B C, 1 1) 1 Qua phép chiếu xuyên tâmZta có(EP XY, ) 1

D

A

Câu 9 Cho ABCD là tứ giác nội tiếp có giao hai đường chéo là P Đường tròn(APD)cắt cạnhAB

tạiA E, Đường tròn(BPC)cắt cạnhABtạiB F, I J, lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ADE và BCF K IJ AC Chứng minh A I K E, , , đồng viên

(China National Olympiad 2018, P4)

Q là điểm chính giữa cung AD của(ADE)suy raPQlà phân giác trong gócAPD Tương tựPRlà

phân giác trong góc BPC VậyP Q R, , thẳng hàng

Ta cóSEF  QEA QPA RPB RFB SFE, suy ra SESF

           , suy raPEPF VậyE F, đối xứng với nhau

qua SP Suy ra SP là phân giác góc ESF , suy raSQ PQ(1)

Do EIK  EQP EAP EAKsuy raA I K E, , , đồng viên

Câu 10 Đường trònlần lượt tiếp xúc với các cạnhAB AC, của tam giác ABC tại

D E DB EC và DB CE BC.F G, trên đoạn BC sao cho BF BD CG, CE KDGEF,

L trên cung nhỏ DE sao cho tiếp tuyến tại Lcủasong song với BC Chứng minh tâm đường

tròn nội tiếp tam giác ABC nằm trên KL

(China Team Selection Test 2018, P3, Test 1)

Lời giải

Bổ đề: Cho ABC nội tiếp đường tròn( )O Đường tròn( )K đi quaB C, cắtAC AB, tạiE F,

GBECF Chứng minh KG đi qua điểm xuyên tâm đối của Ađối với đường tròn( )O

Bổ đề này bạn đọc tự chứng minh

S

Q

R K

J I

F E

P

O D

C

Quay trở lại bài toán T là điểm xuyên tâm đối củaLđối với đường tròn Tiếp tuyến với tại

T cắt AB AC, lần lượt tạiB C', ', ta cóB C' ' ||BC DoBDBF B D, ' BTsuy raD F T, , thẳng hàng Tương tự cóE G T, , thẳng hàng

Do tính chất đối xứng, ta có IFIDIEIG, suy raIlà tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

BF CD CE BD Hai đường tròn (BDF), (CDE)cắt nhau tại ,P D Chứng minh tồn tại điểm cố

định Q sao cho độ dài PQ là hằng số

(China Team Selection Test 2018, P1, Test 2)

G F

E

D

A

GọiI là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC G là điểm trên BC sao cho CGBD Nhận thấy,

G E đối xứng với nhau qua IC và , G E đối xứng với nhau qua IC suy ra IEIGIF Tam giác

AEFcóI là giao phân giác gócEAFvà trung trực đoạnEF VậyInằm trên (AEF) Theo định

lí Miquel ta có (AEF)đi quaP

BI BDF B Y CI CDE C Z Ta có YFYD FB, DC,YFB YDC suy ra YFB YDC,

suy raYB YC Tương tự có ZB ZC VậyY Z, là giao của trung trực đoạn BC với IB IC, , suy ra,

Y Z cố định

Áp dụng định lý Mannheim ta cóI Y Z P, , , cùng nằm trên một đường tròn VậyPnằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác IYZ cố định Gọi Q là tâm đường tròn này, ta có PQ cố định

không phụ thuộc vào vị trí của D

Định lý Mannheim Cho tam giác ABC có , , D E Flần lượt trên các cạnhBC CA AB, , không trùng với , ,A B C.M là điểm Miquel của tam giác (Mlà giao các đường tròn (AEF), (BFD), (CDE))., ,

P Q Rlần lượt nằm trên các đường tròn (AEF), (BFD), (CDE)và không trùng vớiM Khi đó:

- M P Q R, , , thẳng hàng khi và chỉ khiAP BQ CR, , đối song

- M P Q R, , , đồng viên khi và chỉ khiAP BQ CR, , đồng quy

Chương 2 Tuyển tập các bài toán hình học từ kì thi HSG Quốc Gia Ấn Độ

G M

Q Y

Z

I

P

E F

A

D

Bài 1 Cho tam giác ABCvới   A 90 ,AB AC Từ A kẻ đường cao vuông góc với BCcắtBCtại

D Gọi P Q I, , lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABD ACD ABC, , Chứng minh rằng AIvuông góc với PQ và AIPQ

Suy ra AQBP.Tương tự, ta cũng chứng minh được APCQ

Vì vậy I là trực tâm tam giác AQP Do đó AIPQ

Cũng từ đó A I2R P AQ.cos45 2R PA Q.sin45 P Q

Bài 2 Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp ( )T Lấy M thuộc tia phân giácA Kéo dài các tia AM BM CM , , cắt ( )T theo thứ tự tạiA B C', ', ' Giả sử P là giao điểm củaA C1 1 và AB, Q là giao điểm của A B1 1 và ACvà Chứng minh rằng PQ song song BC

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 1, 2014)

Ta có M là điểm thuộc tia phân giácAnên

    Do đó PMAC'là tứ giác nội tiếp

Từ đó AC M'  APM.Bởi AC M'  AC'C   ABCsuy ra APM ABC hay PM BC

Chứng minh tương tự, ta có MQ BCsuy ra M thuộc PQ hay PQ BC

Bài 3 Cho hai đường tròn( ),( )T1 T2 tiếp xúc ngoài nhau tại R Gọi O O1, 2lần lượt là tâm đường tròn ( ),( )T1 T2 , Đường thẳng l1 tiếp xúc với( )T2 tại P và đi qua O1, đường thẳng l2tiếp xúc với

1

( )T tại Q và đi qua O2 K l 1 l2 Nếu KP KQ chứng minh rằng PQR là tam giác đều

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 1, 2013)

Lời giải

Từ KP KQ suy ra K nằm trên trục đẳng phương hai đường tròn trên Vì vậy KP KQ KR 

hay K là tâm ngoại tiếp PQR.(1)

Mặt khác thì , KQO1, KRO1đều là tam giác vuông , KQKR và QO1RO1Khi đó 2 tam giác này bằng nhau Vậy nên QKO1RKO1, ta có KO PK1, QR Tương tự QKPRKlà trực tâm

tam giác PQR (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQR là tam giác đều

Bài 4 Cho ABC và 1 điểm P sao cho BPC 90  , BAP BCP M N lần lượt là trung điểm ,của AC BC Giả sử , PB 2PM Chứng minh A,P,N thẳng hàng

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 1, 2009)

Lời giải 1

AP MH và AB MN suy ra NMH NGHhay , , ,G N H M cùng thuộc 1 đường tròn

Mà GPHNlà hình chữ nhật nên P cũng thuộc đường tròn ngoại tiếp GPHNtừ đó PMNHdo

MH PN

Từ đó ,ta có AP MH nên AP PN suy ra 3 điểm ,P,N A thẳng hàng

Lời giải 2

Đặt BAP BCP 

.Kẻ CFAB(F AB ) nên tứ giác BFPCnội tiếp (*) suy ra BFA PCB   PAPF

.ta cũng có MF MA MPAFMP CFLấy T thuộc tiaPMsao cho PMMT

Bài 5 Cho tam giác nhọnABC,gọi , ,O G H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp ,trọng tâm ,trực

tâm của tam giác ABC Lấy D BC E CA F AB ,  ,  và OD BC HE CA GF ,  , AB F là trung điểm

AB NếuODC HEA GFB, , có cùng diện tích ,hãy tìm tất cả giá trị C?

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 2, 2013)

Sử dụng định lí menelaus trong AKCvới sự thẳng hàng B,H,E ta có:

Bài 6 Cho P là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC.Đường thằng BP giao với đường thẳng

AC tại E và đường thẳng CP gặp đường thẳng AB tại F Đường thẳng AP và EF giao nhau tại D Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ D đến đường thẳng BC.Chứng minh rằng KD là phân giác EKF

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ, 2003)

      Chiếu xuyên tâm P ta có LD EF,   1mà KD KL nên EKD FKDhay KDlà phân giác EKF

Bài 7 Đườn tròn nội tiếp ABCtiếp xúc các cạnh BC CA AB theo thứ tự tại , ,, , K L M Đường

thẳng qua A song song với LKcắt MKtại Pvà Đường thẳng qua A song song với MKcắt LK

tại Q Chứng minh PQ chia đôi AB AC ,

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ, 2000)

Lời giải

Kéo dài AP AQ, cắt BClần lượt tại ,D E

Từ MK AE ta cóAEK MKB Ta có : BKBMsuy ra tam giác BMKcân tại M suy ra

  

Từ giả thiết MK AE suy ra AEK MAE Điều đó cho thấy MAEK là hình thang cân suy ra

MAKE ,tương tự ta cũng có AL DK

Nhưng AMAL , DK = KE KP AEDP PA (1),tương tự EQ QA (2)

Từ (1) và (2) suy ra PQ BC vì vậy PQsẽ chia đôi AB, AC

Bài 8 Trong tam giác ABC lấy điểm D BC sao cho AC CD AB BD .Giải sử ,B C và trọng tâm

2 tam giác ABDvà ACDcùng nằm trên 1 đường tròn Chứng minh rằng ABAC

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 1, 2014)

Gọi G G1, 2lần lượt là trọng tâm ABD ACD,

Dễ thấy G G1, 2nằm trên đường thẳng song song với BC đi qua trọng tâm ABCmà BG G C1 2 nội tiếp nên ta có BG G C1 2 là hình thang cân BG1CG2

Điều trên chứng tỏ : AB2 BD2 AC2 CD2 AB BD AC CD.

Vì AB BD,  , AC,CDlà hai bộ có cùng quan hệ như nhau

Do đó nếu AB CD ACBDAB AC BC(mẫu thuẫn vì , ,A B C không thẳng hàng )

Vì vậy ta có : ABAC

Bài 9 Cho ABCđường cao AK, ,H O lần lượt là trực tâm ,tâm đường tròn ngoại tiếp ABC.Giả

sử KOH nhọn có Plà tâm ngoại tiếp Lấy Q đối xứng Pqua OH.Chứng minh rằng Q nằm trên đường nối trung điểm của ABvà AC

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 2, 2010)

Suy ra L là trung điểm AK và nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm AB,AC

Dễ thấy rằng đường thẳng đi qua trung điểm AB,AC cũng vuông góc với AK mà QLAK suy

ra Q nằm trên đường nối trung điểm của ABvà AC

Bài 10 Trong tam giác nhọn ABC, lấy điểm D thuộc cạnh BC.Gọi O O1, 2 theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABD ACD Chứng minh rằng đường thẳng nối tâm đường ,tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà trực tâm tam giác O O D1 2 song song với BC

(HSG Quốc Gia, Ấn Độ ngày 2, 2014)

Không mất tính tổng quát giả sử ADC 90 ,O K lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCvà trực tâm tam giác O O D1 2

Chú ý rằng đường tròn ngoại tiếp 2 tam giácABD ACD cùng đi qua ,, A D vì vậy ADO O1 2,

    AO O1 2  DO O1 2  B Mặt khác ta có OO2 AC AOO2  B.Do đó điểm O nằm trên đường tròn ngoại tiếp AO O1 2.(1)

Dễ thấy ADO O1 2 O KA2  90  O O K1 2  O O D2 1  B, Do đó điểm K nằm trên đường tròn

Chương 3 Tuyển tập các bài toán hình học từ kì thi HSG Quốc Gia Hồng Kông

Câu 1 Cho với Gọi là trực tâm của là tâm đường tròn ngoại

tiếp Gọi lần lượt là điểm chính giữa cung của đường tròn khác bờ với Gọi là điểm đối xứng qua Chứng minh rằng nội tiếp đường tròn khi

và chỉ khi thẳng hàng

(HSG quốc gia Hồng Kông 2013)

Lời giải

Dễ nhận thấy thằng hàng và thẳng hàng

Gọi lần lượt là trung điểm ,

Ta sẽ tính ∠ D’HE’ theo ∠ Thật vậy ∠ ∠ ∠

Gọi là giao điểm và , là giao điểm và Ta có đối xứng nhau qua

đối xứng nhau qua Suy ra

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Nhận xét của người giải : Ta có thể ghi nhớ bổ đề sau và coi như nó là bài tập rèn luyện

Cho với là trực tâm tam giác cắt đường tròn ngoại tiếp tại Chứng minh

rằng đối xứng nhau qua

Bài 2 Cho hai đường tròn cắt nhau tại Một đường thẳng đi qua cắt đường tròn thứ nhất

tại , đường trong thứ hai tại Một đường thẳng song song là tiếp tuyến của đường tròn thứ nhất tại Đường thẳng cắt đường tròn thứ tại tại

a, Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường tròn thứ hai tại song song với

b, Chứng minh rằng hai tiếp tuyến trên cắt nhau tại một điểm thuộc

b, Gọi là giao điểm với tiếp tuyến của đường tròn thứ hai tại

Ta có ∠ ∠ ∠ nên là tứ giác nội tiếp (1)

Mặt khác, ta có :

∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

∠ ∠ , từ đây suy ra nội tiếp (2) Kết hợp (1), (2) và thuộc tiếp tiến nên (đpcm)

Bài 3 Cho , điểm thuộc đường thẳng sao cho Đường thẳng

cắt đường tròn nội tiếp tại và ( nằm giữa ) là tiếp tuyến đường tròn nội tiếp

đó tại

a, Chứng minh rằng

b, Chứng minh với là tâm đường nội tiếp và là trung điểm cạnh

(HSGQG Hồng Kông 2008)

Lời giải :

a, Từ dữ kiện đề cho ta có Nên sẽ điểm tiếp xúc đường tròn bàng

tiếp với đỉnh Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp với đỉnh

Ta có thẳng hàng Ta sẽ chứng minh (1) Thật vậy ta gọi và

(với là khoảng cách đến )

Mặt khác ta có nên ta điều (1)

Và nên thẳng hàng từ đó suy ra

b, Từ dữ kiện ban đầu ta có với lại là trung điểm

Nên cũng là trung điểm Mặt khác là trung điểm ( do thẳng hàng và cũng nằm trên đường tròn Vì thế ( là đường trung bình ) (đpcm)

Nhận xét của người giải : Việc liên tưởng đến đường tròn bàng tiếp khi ta biết đến D chính là điểm tiếp xúc giữa cạnh và đường tròn bàng tiếp Và coi nó như bài tập rèn luyện

Bài 4 Cho với , đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh lần lượt

tại là điểm thuộc đường thẳng sao cho Chứng minh rằng là trực tâm của khi

(HSGQG Hồng Kông 2008)

Lời giải :

Ta gọi là trực tâm , ta sẽ chứng minh

Ta có

∠

Mặt khác ta có :

( )

( )

( )

( ) ( )

Từ ta có

Từ (1)

Từ (3) Ta có thể kết luận (đpcm)

Nhận xét người giải : Nếu giải bằng pp đại số cho hình học, điều cần thiết cho các em là kiến thức tốt về hình cũng như khả năng biến đỗi và sự kiên trì, thường thì không mang kết quả tốt mấy Các em có thế chứng minh bài toán này bằng hàng điểm điều hòa với là phân giác

∠

Bài 5 Cho điểm lần lượt nằm trên cạnh sao cho ∠ ∠ Một đường

thẳng qua vuông góc với tại , một đường thẳng qua vuông góc với tại Điểm là chân đường cao của với đỉnh Chứng minh rằng , và đồng quy tại một điểm

Ta cũng có Để chứng minh , ta sẽ chứng minh

Từ (3) ta biến đỗi thành

( )

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Theo ý trên vừa chứng minh, ta có ∠ ∠ Mặt khác ta có ∠ ∠ do tứ

giác nội tiếp Nên nội tiếp Suy ra ∠ ∠ Mặt khác ∠ ∠

Từ đó tứ giác nội tiếp

Vì và giao nhau tại đường thẳng ,

và giao nhau tại đường thẳng ,

và giao nhau tại đường thẳng Vì thế đồng quy tại một điểm (đpcm)

Nhận xét người giải : Bài này các em tự giải quyết bằng biến đỗi góc, anh chỉ giải theo cách khác

để có cái nhìn tốt hơn về định hướng giải quyết bài toán

Bài 6 Cho đường tròn và đường kính .Mội đường thẳng nằm ngoài đường tròn vuông

góc với lần lượt là các điểm nằm trên đường thẳng Gọi là các điểm nằm trên sao cho cắt nhau tại đường tròn, cắt nhau tại đường tròn Chứng minh rẳng đường tròn hai tam giác cắt nhau tại một điểm trên đường tròn khác A, hoặc

ba đường tròn đó đồng quy tại tiếp tuyến của tại

(Hồng Kông TST 2016 vòng 2)

Lời giải :

Trường hợp ba đường tròn đó đồng quy tại tiếp tuyến của tại chỉ là trường hợp đặc biệt khi

Đường tròn hai tam giác cắt nhau tại , ta chỉ cần chứng minh nằm trên Gọi , dễ thấy

Bài 7 Cho có tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là Một đường thẳng đi qua cắt

lần lượt tại Gọi lần lượt là đoạn thẳng sao cho và Gọi là giao điểm thứ hai của Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp nằm trên đoạn thẳng

(Hồng Kông TST 2016 Vòng 3)

Lời giải : Gọi là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với đỉnh

Gọi lần lượt là tâm đường tròn

Tương tự ta có

Theo định lý Menelaus cho với Ta có được

Mặt khác ta có

Tương tự ta có :

Nên ta có điều này :

Theo định lý đảo Menelaus cho với 3 điểm Ta có thẳng hàng

Mặt khác, ta có nằm trên đường trung trực , nên nằm trên đường trung trực Nên (2)

Từ (1), (2) ta có là tâm đường tròn nội tiếp (đpcm)

Nhận xét của người giải : Việc tính được √ xem như bài tập tự rèn luyện vậy

Bài 8 Cho hai đường tròn cắt nhau tại Một điểm qua cắt tại , tại Tiếp tuyến tại cắt nhau tại cắt đi qua tại Chứng minh rằng độ dài bằng đường kính của

(Hồng Kông TST 2017 vòng 4)

Lời giải :

Gọi

Ta dễ dàng chứng minh được nội tiếp và ∠ ∠

Mặt khác, ta có ∠ ∠ ∠ ∠ Suy ra Nên ∠ Tương

Bài 9 Cho tứ giác nội tiếp Kéo dài tới sao cho Điểm M là

trung điểm cạnh Chứng minh rằng

(CHKMO 2018)

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

∠ Mặt khác, ta có

∠