John Couch Adams (Ngày 5 tháng 6 năm 1819 ngày 21 tháng 1 năm 1892) là một nhà toán học và thiên văn học Anh. Adams sinh ra ở Laneast, gần Launceston, Cornwall và qua đời tại Cambridge. Thành tích của ông nổi tiếng nhất là dự đoán sự tồn tại và vị trí của Sao Hải Vương, chỉ sử dụng phương pháp toán học. Các tính toán đã được thực hiện để giải thích sự khác biệt với quỹ đạo của Sao Thiên Vương và định luật của Kepler và Newton. Đồng thời, nhưng không rõ với nhau, cùng các tính toán đã được thực hiện bởi Urbain Le Verrier. Le Verrier sẽ hỗ trợ các nhà thiên văn học quan sát Berlin Johann Gottfried Galle trong việc định vị các hành tinh vào ngày 23 Tháng 9 năm 1846, được tìm thấy trong phạm vi 1 °Của vị trí dự đoán của nó, một điểm trong chòm sao Bảo Bình.
VECTO 2017 BÀI TẬP ÔN TẬP PHẦN VECTO ( Lê Văn Quý-GV THPT Bình Sơn, biên soạn giới thiệu) Bài Cho tam giác ABC có trọng tâm G gọi I trung điểm AG a) CMR: IA IB IC 4OA OB OC 6OI với điểm O b) Xác định M cho 4MA MB MC bé c) CMR: v MA 3MB 2MC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính v trường hợp tam giác ABC vuông B, AB =2a, BC = a Lời giải: a) Gọi E trung điểm BC Ta có IB IC 2IM 2.2IG 4IG A Do 4IA IB IC 4IA 4IG 4(IA IG) (vì I trung điểm AG) I b) Ta có 4MA MB MC 4(MI IA) (MI IB) (MI IC ) G 6MI 4IA IB IC 6MI C B E 4MA MB MC 6IM 6MI Do 4MA MB MC bé MI bé M trùng I c) Ta có: v MB BA 3MB 2(MB BC ) BA 2BC v không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính v A Lấy điểm F cho BF 2BC BF = 2BC = 2a K Do v BA BF 2BK v 2BK 2BK AF AB BF 4a 4a 2a B C Bài Cho tam giác ABC Gọi I, J, K trung điểm BC, CA, AB a) CMR: AI BJ CK b) Xác định điểm N cho NA NB NC F c) Gọi O trung điểm AI CMR: 2OA OB OC 2EA EB EC 4EO d) Xác định M cho 2MA MB MC bé e) Gọi P điểm đoạn BC cho BC = 3BP Tìm x, y biết AP xAC yAB Lời giải: N a) Do I trung điểm BC nên ta có: AI (AB AC ) Do J trung điểm CA nên ta có: BJ (BA BC ) Do K trung điểm AB nên ta có: CK (CA CB) A O K Suy ra, AI BJ CK (AB AC BA BC CA CB) b) Ta có: NA NB NC 3NA (NA AB ) NA AC B P J I C NA AB AC 2AI AN 2IA AN ; IA hướng AN =2IA N xác định hình vẽ GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 c) Ta có: 2OA OB OC 2OA (OB OC ) 2OA 2OI (vì I trung điểm BC) 2(OA OI ) 2.0 (vì O trung điểm AI) Tacos: 2EA EB EC 2(EO OA) EO OB EO OC = 4EO (OA OB OC ) 4EO (do câu a)) d) Theo giả thiết ta có: BC 3BP AC AB 3(AP AB ) 2 AC AB x ; y 3 3 Bài Cho hình bình hành ABCD N trung điểm CD, Q điểm đoạn BA cho AB = 3AQ a) Tính AN theo vecto AB, AC ĐS: AN AB AC AC 2AB 3AP AP b) Gọi G trọng tâm tam giác QNB Tìm x, y biết AG xAB yAC c) Cho điểm I thỏa IA 3IB Xác đinh k cho IB k AB d) Xác định điểm E cho EA 2EB EC AB e) Tìm điểm M thuộc AB cho MA 2MB MC AB nhỏ f) Tìm quỹ tích điểm M cho MA (k 1)MB MC CB Lời giải: B 1 1 a) Ta có: AN AD AC BC AC R P G 2 2 E Q 1 A = (AC AB) AC AB AC 2 b) Vì G trọng tâm tam giác QNB 1 nên ta có : 3AG AQ AN AB AB AB AC AB AB AC 5 AG AB AC x ; y 18 18 1 c) Từ IA 3IB IB BA 3IB BA 2IB IB BA AB k 2 d) Ta có EA 2EB EC AB 2EP 2EB AB (với P trung điểm AC) 2( EP EB) AB 4ER AB ER AB (với R trung điểm PB) ER; AB hướng ER= AB điểm E xác định hình vẽ e) Ta có: MA 2MB MC AB ME EA 2(ME EB) ME EC AB C N D 4ME EA 2EB EC AB 4ME (theo câu d) MA 2MB MC AB 4ME 4ME Do MA 2MB MC AB nhỏ 4ME nhỏ M hình chiếu E AB f) Ta có: MA (k 1)MB MC CB MA k MB MB MC CB MA k MB CB CB MA k MB MA k MB M,A, B thẳng hàng Do M chạy đường thẳng AB GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 Bài Cho lục giác ABCDEF CMR: MA MC ME MB MD MF Lời giải: Gọi O tâm lục giác ABCDEF C B Ta có: MA MC ME MB BA MD DC MF FE A = (MB MD MF ) (BA DC FE ) D = (MB MD MF ) (OF EO FE ) F E = MB MD MF Bài Cho tam giác ABC Gọi M, N, P điểm cạnh AB, BC, CA thỏa mãn MB = 2MA, NC = 2NB, AP = 2PC a) CMR: AM BN CP b) CMR hai tam giác ABC NPM trọng tâm Lời giải: A a) Theo giả thiết ta có: 1 1 M AM BN CP AB BC CA (AB BC CA) 3 3 P b) Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC NMP Ta có GN GM GP 3GG ' B GB BN GA AM GC CP 3GG ' C N BN AM CP 3GG ' ( GB GA GC ) Theo câu a) AM BN CP 3GG ' G G ' (Đpcm) Bài Cho hình bình hành ABCD Xác định điểm M cho a) MA MB 2MC AB b) MC MD MA AB AD AC Lời giải: a) MA MB 2MC AB ME MC AB ( Với E trung điểm AB) C B F E 2( ME MC ) AB 4MF AB (Với E trung điểm EC) M A 1 FM BA suy FM ; BA hướng FM AB 4 C B Do M xác định hình vẽ b) MC MD MA AB AD AC MC AD AB AD AC D A MC AB AC CB CM CB C trung điểm BM Do M xác định hình vẽ Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H trực tâm tam giác ABC a) CMR: HA HB HC HO OA OB OC OH b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC CMR: OH 3OG điểm O, G, H thẳng hàng ( Đường thẳng qua điểm O, G, H gọi đường thẳng Euler mang tên nhà toán học người thụy Sỹ) D M c) Tìm quỹ tích điểm M thỏa MA MB MC MH | 2MH | Lời giải: a) Vẽ đường kính AD Ta có BH // CD (vì vng góc với AC) Và CH // BD (vì vng góc với AB) GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 BDCH hình bình hành A HB HC HD (Quy tắc hình bình hành) Do HA HB HC HA HD 2HO (Do O trung điểm AD) O G * Ta có: OA OB OC OH HA OH HB OH HC H 3OH (HA HB HC ) 3OH 2HO OH b) Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có B C M D OA OB OC 3OG OH 3OG (do câu a)) điểm O, G, H thẳng hàng c) Ta có MA MB MC MH MH HA MH HB MH HC MH = 2MH (HA HB HC ) 2MH 2HO 2MO Do MA MB MC MH | 2MH | 2MO 2MH MO MH Vì O, H cố định , nên quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn thẳng OH Bài Cho tam giác ABC, D trung điểm AC Gọi I điểm thỏa IA IB 3IC a) CMR: I trọng tâm tam giác BCD Lời giải: a) Ta có: IA IB 3IC b) Biểu diển AI qua vecto AB, AC A (IA IC ) 2IB 2IC 2ID 2IB 2IC ID IB IC I trọng tâm tam giác BCD b) Từ IA IB 3IC ta có: D I B C M IA 2(IA AB ) 3(IA AC ) 6IA 2AB 3AC 1 AB AC Bài Cho tứ giác ABCD Gọi I, J trung điểm BC AD Gọi G trung điểm IJ E điểm cho GC GD GE CMR: GA GB GC GD G trọng tâm ABE C Lời giải: I B Vì I trung điểm BC nên GB GC 2GI G Vì J trung điểm AD nên GA GD 2GJ E A GA GB GC GD 2(GI GJ ) (do G trung điểm IJ ) 2AB 3AC 6AI AI Vì GA GB GC GD GC GD GE Nên GA GB GE G trọng tâm ABE J D Bài 10 Cho tam giác ABC vuông B với BC = 2a, AB = a Tính độ dài vecto 3BA BC Lời giải: Lấy điểm E cho BE 3BA BE = 2AB = 3a C Do 3BA BC BE BC CE 3BA BC CE CE BE BC 9a 4a a 13 B A E Bài 11 Cho tam giác ABC Và I trung điểm AC Và đường thẳng d GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 a) Xác định điểm M cho AB IM IC b) Xác định điểm O cho OA 2OB 3OC c) Tìm M (d) cho MA 2MB 3MC nhỏ d) Tìm quỹ tích điểm Q thoả mãn: QA CB CA Lời giải: a) AB IM IC AB IC IM AB MC hay CM BA M đỉnh hình bình hành ABCM b) Ta có: OA 2OB 3OC OA OC 2OB 2OC 2OI 2OB 2OC OI OB OC O trọng tâm tam giác IBC c) Ta có: MA 2MB 3MC MO OA 2(MO OB) 3(MO OC ) 6MO (do câu b) MA 2MB 3MC 6MO 6MO Do MA 2MB 3MC nhỏ MO nhỏ Do M (d) nên M hình chiếu vng góc O (d) Bài 12 Cho tam giác ABC a) Xác định điểm M thỏa: 2MA MB MC b) Cho hai điểm P, Q thỏa mãn PQ 2PA PB PC CMR : P, Q, M thẳng hàng Lời giải: a) Ta có 2MA MB MC 2MA CB AM CB AM CB hướng AM CB M xác định hình vẽ M b) Ta có: PQ 2PA PB PC B PQ 2( PM MA) PM MB ( PM MC ) PQ 2PM 2MA MB MC C A PQ 2PM (do câu a) điểm P, Q, M thẳng hàng Bài 13 Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC, D E hai điểm cho BD DE EC a) CMR: AB AC AD AE b) Tính AS AB AD AC AE theo AI c) CMR A, I, S thẳng hàng A Lời giải: a) Theo giả thiết I trung điểm DE Do ta có: AD AE =2AI (1) Hơn I trung điểm BC nên ta có: AB AC 2AI (2) B D Từ (1), (2) AB AC AD AE b) Ta có AS AB AD AC AE =( AB AC) ( AD AE ) AI AI AI I E C c) Theo câu b) ta có: AS 4AI A, I, S thẳng hàng Bài 14 Cho tam giác ABC D,I điểm xác định 3DB 2DC ; IA 3IB IC a) Phân tích AD theo AB, AC b) CMR : A, I, D thẳng hàng Lời giải: GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 a) Từ 3DB 2DC ta có 3(AB AD) 2(AC AD) 3AB 3AD 2AC 2AD AD 3AB 2AC AD 3AB 2AC b) Từ IA 3IB IC ta có: IA 3(IA AB) 2(IA AC ) 2IA 3AB 2AC 2IA AD AD 2IA A, I, D thẳng hàng Bài15 Cho ABC, điểm M, N thỏa 3MA MB , CN BC CM: MN qua trọng tâm ABC Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABC Ta chứng minh ba điểm M, N, G thẳng hàng Từ 3MA MB ta có: 3(NA NM ) 4(NB NM ) NA NB (1) 7 Gọi I trung điểm BC, ta có: GA 2GI A 7NM 3NA 4NB NM NA NG 2(NI NG ) M G B I C N 3NG NA 2NI 3NG NA NB NG NA NB (2) 3 Từ (1) (2) ta có: 7NM 9NG ba điểm M, N, G thẳng hàng ĐPCM Bài 16 Cho hình bình hành ABCD, tâm O Gọi E điểm cạnh AB cho EA = 2EB I trung điểm OE a) CMR: IB ID 2IE b) Biểu diễn BI theo hai vectơ BA BC c) Xác định điểm H cho: HA 2HB 2HD d) Tìm tập hợp điểm M thoả mãn : MA 2MB 2MD MA MB MC Lời giải: A a) Vì O trung điểm BD ta có: BI ID 2IO Do IB ID 2IE 2IO 2IE E 2(IO IE ) (Vì I trung điểm EO) D I B O H C 1 11 11 BE BO BA (BA BC ) 2 23 22 1 = BA BA BC BA BC 4 12 b) Vì I trung điểm EO ta có: BI c) Ta có HA 2HB 2HD HA 2(HB HD) HA 2.2HO HO OA 4HO 3HO OA HO OA HO;OA phương OH OA điểm H xác định hình vẽ d) Theo câu c) ta có: MA 2MB 2MD MH HA 2(MH HB) 2(MH HD) 3MH Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: MA MB MC 3MG Do đó: MA 2MB 2MD MA MB MC 3MH 3MG MG MH Mà G, H cố định nên quỹ tích điểm M đường trung trực đoạn GH GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 Bài 17* Cho tam giác ABC Gọi AN, BM, CK đường phân giác tam giác ABC a) CMR: a IA b IB c IC (I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) b) CMR: a(b c) AN b(c a) BM c(a b)CK c) CMR AN BM CK tam giác ABC Lời giải: a) theo tính chất đường phân giác ta có: NB AB c c c NB NC NB NC (vì NB; NC ngược hướng) A NC AC b b b bNB cNC (*) c K IA AB CA AB CA c b I Lại có IN BN CN BN CN a c b c b B IA IN IA IN aIA (c b)IN N a a Vậy aIA bIB cIC (b c)IN b(IN NB) c(IN NC ) = bNB cIN M b a C b) Từ (*) ta có: bNB cNC b(AB AN ) c(AC AN ) (b c)AN bAB cAC a(b c)AN abAB acAC (1) Tương tự b(c a)BM bcBC baBA (2) Và c(a b)CK acCA bcCB Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: (3) a(b c)AN b(c a)BM c(a b)CK abAB acAC bcBC baBA acCA bcCB c) Vì AN BM CK AN BM CK Do a(b c)(BM CK ) b(c a)BM c(a b)CK a(b c)(BM CK ) b(c a)BM c(a b)CK b(c a ) a(b c) BM c(a b) a(b c)CK c(b a)BM a(c b)CK c(b a ) a b c Do BM ;CK không phương nên a(c b) Bài 18* Cho tam giác ABC tâm O M điểm tam giác ABC Gọi D, E, F hình chiếu M BC, CA, AB CMR: MD ME MF MO Lời giải: A Qua M kẻ đường thẳng song song với BC, CA, AB cắt BC A1; A2; cắt CA B1; B2; cắt AB C1; C2 (xem hình vẽ) C1 Vì tham giác ABC nên tam giác MA1A2; MB1B2; MC1C2 B2 F 1 Ta có: MD (MA1 MA2 ) ; ME (MB1 MB2 ) ; MF (MC1 MC ) C E M 2 2 B1 B Do MD ME MF (MA1 MA2 MB1 MB2 MC MC ) C A1 D A2 (MA1 MC ) (MA2 MB1 ) (MB2 MC1 ) 2 (MB MC MA) (theo quy tắc hình bình hành) 3MO MO (theo tính chất trọng tâm tam giác) 2 GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 Bài 19 Gọi I điểm xác định 5IA 7IB IC G trọng tâm tam giác ABC a) CMR: GI 2AB b) Gọi O = AI BG Tính OA OI c) Xác định điểm M thuộc đường thẳng d cho trước cho 5MA 3MB nhỏ Lời giải: a) Ta có: 5IA 7IB IC 5(GA GI ) 7GB GI ) (GC GI ) A 3GI 5GA 7GB GC G 3GI 6GA 6GB (GA GB GC ) 6GA 6GB (do GA GB GC ) O B 3GI 6(GB GA) 6AB Hay GI 2AB C b) GI 2AB GI // AB GI = 2AB Ta có hai tam giác OAB OIG đồng dạng nên ta có: OA AB OI GI I c) Gọi D điểm thỏa mãn 5DA 3DB D điểm xác định cố định Ta có 5MA 3MB 5(MD DA) 3(MD DB ) 2MD 5DA 3DB 2MD 2MD Do 5MA 3MB nhỏ 2MD nhỏ D cố định M d nên 2MD nhỏ M hình chiếu vng góc D đường thẳng d Bài20 a) Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AC AD b) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N trung điểm AD BC CMR: MN (AB CD) c) Cho tam giác ABC có trọng tâm G điểm M, N thỏa mãn: 3MA 4MB ; 2CN BC CMR : MN qua G Lời giải: 1 a) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: AB AC AD AC AC AC AC a 2 b) Dễ dàng chứng minh đẳng thức: AB CD 2MN 1 1 MN AB CD MN AB CD AB CD Hay MN (AB CD) 2 2 A c) Từ 3MA 4MB 3(MB BA) 4MB 7MB 3AB MB AB E M G Và 2CN BC 2(CB BN ) BC 2BN 3BC BN BC B 3 Ta lại có: MN MB BN AB BC Vì G trọng tâm tam giác ABC nên 3 21 MG MB BG AB BE AB (BA BC ) 7 32 2 3 AB BC ( AB BC ) MN Vậy MG MN điểm M, N, G thẳng hàng 21 9 GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page C .. .VECTO 2017 c) Ta có: 2OA OB OC 2OA (OB OC ) 2OA 2OI (vì I trung điểm BC) 2(OA OI... 3 3 Bài Cho hình bình hành ABCD N trung điểm CD, Q điểm đoạn BA cho AB = 3AQ a) Tính AN theo vecto AB, AC ĐS: AN AB AC AC 2AB 3AP AP b) Gọi G trọng tâm tam giác QNB Tìm x, y... MB M,A, B thẳng hàng Do M chạy đường thẳng AB GV: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi Page VECTO 2017 Bài Cho lục giác ABCDEF CMR: MA MC ME MB MD MF Lời giải: Gọi O tâm lục giác