De thi va goi y loi giai de thi vao lop 10 chuyentoan Tran phu Hai Phong

Mỗi đỉnh của hình vuông đơn vị này được tô bằng một trong hai màu xanh đỏ.[r]

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI PHỊNG

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂNG KHIẾU TRẦN PHÚ NĂM HỌC 2012- 2013 Mơn thi: TỐN (chun)Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 25 tháng năm 2012 Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm)

1) Cho

15

11

3

2

2

3

2

3

1

3

x

x

x

A

x

x

x

x

-

-

+

=

-

-+

-

-

+

Rút gọn tìm giá trị lớn A

2) Cho phương trình x2 +ax+ =b có hai nghiệm nguyên dương biết a,b hai số dương thỏa mãn 5a + b = 22.Tìm hai nghiệm

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình:4 16 4

x - x+ = - x + x +

2) Giải hệ phương trình:

2

1

4

4

x x

y

y y xy

ì - + =

ï í

ï + - =

ỵ

Câu III (1,0 điểm)Cho ba số dương a,b,c Chứng minh rằng: a 4b 9c

b+c +c+a + a+b >

Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB < AC) có trực tâm H, nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AA’.Gọi AD đường phân giác góc

BAC

·

(DỴBC).M,I trung điểm BC AH

1) Lấy K đối xứng với H qua AD.Chứng minh K thuộc đường thẳng AA’

2) Gọi P giao điểm AD với HM.Đường thẳng HK cắt AB AC Q R.Chứng minh Q R hình chiếu vng góc P lên AB,AC Câu V (3,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên phương trình x4 +y4 +z4 =2012

2) Cho hình vng 12x12, chia thành lưới hình vng đơn vị Mỗi đỉnh hình vuông đơn vị tô hai màu xanh đỏ Có tất 111 đỉnh màu đỏ Hai số đỉnh màu đỏ nằm đỉnh hình vng lớn, 22 đỉnh màu đỏ khác nằm cạnh cạnh hình vng lớn (khơng trùng với đỉnh hình vng lớn ) hình vng đơn vị tơ màu theo quy luật sau: cạnh có hai đầu mút màu đỏ tô màu đỏ, cạnh có hai đầu mút màu xanh tơ màu xanh, cạnh có đầu mút màu đỏ đầu mút màu xanh tơ màu vàng Giả sứ có tất 66 cạnh vàng Hỏi có cạnh màu xanh

-Hết -

Họ tên thí sinh……… Số báo danh……… ………… Chữ kí giám thị 1: ……….……… Chữ kí giám thị 2: ……… Từ :Nguyễn Hồng Vân – THPT Trần Hưng Đạo – Hải Phòng-

http://trakhuc66.violet.vn/

2

L

ời giải số câu

Câu I

1)

15

11

3

2

2

3

2

3

1

3

x

x

x

A

x

x

x

x

-

-

+

=

-

-+

-

-

+

15 11 (3 2)( 3) (2 3)( 1)

( 1)( 3)

x x x x x

A x x - - - + - + -Û = - +

17

5

3

A

x

Û = - +

+

, A l

ớn

Û =x 0

A lớn

2 3

2) G

ọi x

1

, x

2

hai nghi

ệm nguyên dương phương tr

ình (x

1

< x

2

)

Ta có a = –x

1

– x

2

b = x

1

x

2

nên

5(–x

1

– x

2

) + x

1

x

2

= 22

Û

x

1

(x

2

– 5) – 5(x

2

– 5) = 47

Û

(x

1

– 5)(x

2

– 5) = 47 (*)

Vỡ

x1ẻZ+ ị x1 1

nờn v

i giả sử

x1<x2

Ta có: –4

≤ x

1

– < x

2

– nên

(*)

Û

2 x

x 47

- = ì í - = ỵ

Û

x x 52 = ì í = ỵ

Khi đó: a =

– 58 b = 312 tho

ả 5a + b = 22 Vậy hai nghiệm cần t

ìm x

1

= 6; x

2

= 52

Câu II:

1)

2

4 16

3

x - x+ = - x + x +

2 2

2(4 1) (4 1) (4 1)(4 1)

3

x x x x x x x x

Û - + - + + = - - + + +

Dễ thấy 4x2 -2x+ =1 3x2 +(x-1)2 > "0, x& 4x2 +2x+ =1 3x2 +(x+1)2 > "0, x nên đặt

2

4

2

1,

4

2

1

,

0,

0

a

=

x

-

x

+

b

=

x

+

x

+ =

b a

>

b

>

Ta có phương trình2 2

3

a -b = - ab

2

6

a

3

ab

3

b

0

Û

+

-

=

2

6( )a 3( )a

b b

Û + - =

2

3

4 1

2

4

3 ,( ) a x x b x x x a TM b é = -ê - + ê Û Û = Û = + + ê = êë

3

2

1

4 (1)

4 (2)

x x

y

y y xy

ì - + =

ï í

ï + - =

ỵ

Nếu y = (2) vơ lí nên y¹0

(2)

1

1

x

4

2

y

y

Û + - =

Đặt

1

b

y

=

ta có hệ

2

4 (1')

4 (2')

x x b

b b x

ì - + =

ï í

- + = ïỵ

Lấy ( 1’) – ( 2’) ta có (x-b) (2x+2b-1) = *) Nếu x = b ta có hai nghiệm

(

1

, 2)

2

- -

( ;2)

1

2

*) Nếu 2x + 2b = hệ vơ nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm

(

1

, 2)

2

- -

( ;2)

1

2

Câu V

1)

Giả sử số nguyên số chẵn có dạng 2k (2 )k =16k4 º0(mod8)

Nếu Số nguyên số nguyên lẻ có dạng 2k +

4

(2k +1) =(4t+1) =16h+ º1 1(mod8) nên với k ,t,h số nguyên 4

, , 0,1, 2,3(mod8)

x y zẻ ịZ x + y +z

Nhng 2012 º4 ( mod 8)

Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun

2) Có 111 đỉnh màu đỏ,trong có 22 đỉnh nằm cạnh hình vng,, 87 đỉnh nằm lọt hình vng lớn.Từ ta thấycó hai điểm màu xanh hai góc hỉnh vuông lớn, 22 điểm màu xanh cạnh hình vng lớn khơng nằm đỉnh hình vng lớn cịn lại có 34 điểm màu xanh nằm lọt hình vng.Với 312 cạnh hình, ta cho đình cạnh sau: mút có i điểm màu xanh cho i điểm.Gọi tổng số điểm S, ta có S = ( số cạnh màu xanh) + số cạnh vàng.Ta lại đếm số S theo cách khác:Mỗi điểm xanh góc mút hai đoạn, điểm lại mút đoạn.Vậy S = x + 22 x 3+ 34 x = 206, suy số cạnh xanh : ( 206 – 66):2 = 70 cạnh màu xanh

Câu III: Chứng minh rằng:

4

4

a b c

b+c +c+a + a+b >

1

(a b c)( ) 18

b c a c a b

Û + + + + >

+ + +

Thật vậy:

2

1 4( ) 9( )

[( ) ( ) )]( ) ( ) 36

( ) ( )

b c a c a b

b c a c a b

b c a c a b b c a c a b

+ + +

+ + + + + + + > + + =

+ + + + + +

1

(a b c)( ) 18

b c a c a b

Û + + + + >

4

Bài hình: 1) Tam giác ABA’ có:

ABC· ·+ A BC' =90 ,0 ABC· ·+BAN Þ · ·A BC' =BAN

P

R

Q

K

M

I

H

D

o

A

A'

B

C

L

ại có

· ·

'

'

A AC

=

A BC

( ch

ắn

cung

¼

A C

'

) nên

BAN

· ·

=

A AC

'

C

ũng có

BAD

· ·

=

CAD

Þ

· · · ·

BAD

-

BAN

=

CAD

-

CAN

Þ