KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN NĂM HỌC 2009–2010 MƠN THI: TỐN (150 PHÚT) Câu 1: (4 điểm) x y xy 1 1) Giải hệ phương trình x y xy 2 2) Cho phương trình x – 2mx – 16 + 5m2 = (x lâ ẩn số) a Tìm m để phương trình có nghiệm b Gọi x1, x2 lâ nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn vâ giá trị nhỏ biểu thức A = x1(5x1 + 3x2 – 17) + x2(5x2 + 3x1 – 17) Câu 2: (4 điểm) 45 27 45 27 3 2 3 1) Thu gọn biểu thức A = 53 2 53 3 2 3 2) Cho x, y, z lâ ba số dương thỏa điều kiện xyz = Tính giá trị biểu thức: x y 2z B= xy x yz y zx 2z Câu 3: (2 điểm) 1) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh: 2 (c a) b) (b c) (a a2 + b2 + c2 ab + bc + ca + 26 2009 2) Cho a > vâ b < Chứng minh: a b 2a b Câu 4: (2 điểm) ax by (a, b nguyên dương a khác b) 1) Cho hệ phương trình bx ay Tìm a, b để hệ có nghiệm (x; y) với x, y lâ số nguyên dương 2) Chứng minh r ng không tồn số nguyên x, y, z thỏa hệ: 2 x 3xy y z 31 2 x xy 8z 100 Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường trung tuyến AM đường phân giác AD (M, D thu c BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt cạnh AB, AC E vâ F Chứng minh BE = CF Câu 6: (3 điểm) Cho ABCD lâ hình thoi có cạnh b ng Giả sử tồn điểm M thu c cạnh BC vâ N thu c cạnh CD cho tam giác CMN có chu vi b ng vâ _ _ B AD 2M AN Tính góc hình thoi ABCD Câu 7: (2 điểm) 2b a Cho a, b lâ số dương thỏa Chứng minh ab2 ≤ 1a 1 b BÀI GIẢI GỢI Ý Câu 1: x y xy 1 x(1 y) y ( x 1)(1 y) 1) 2 x y xy x y xy 2 x 1 hay x y xy y 2 x y xy x 1 y1 x y xy hay y20 x2 x y1 x 1 hay y1y x 1 x 2 Vậy hệ có nghiệm lâ (–1; 1), (–1; –2), (2; 1) 2 2) Cho phương trình x – 2mx – 16 + 5m = (1) (x lâ ẩn số) a Tìm m để phương trình có nghiệm Ta có: ' = 16 – 4m2 Phương trình (1) có nghiệm ' 16 – 4m2 –2 ≤ m ≤ b Gọi x1, x2 lâ nghiệm phương trình Ta có: x1 + x2 = 2m vâ x1x2 = 5m – 16 Do A = x1(5x1 + 3x2 – 17) + x2(5x2 + 3x1 – 17) y2 = 5( x1 x2 ) 6x 2x 17( 1x 2x ) = 5[(x1 + x2) – 2x1x2] + 6x1x2 – 17(x1 + x2) = 5(x1 + x2) – 4x1x2 – 17(x1 + x2) 2 = 20m – 4(5m – 16) – 17.2m = –34m + 64 Vì –2 ≤ m ≤ nên –4 ≤ A ≤ 132 Khi m = A = –4 vâ m = –2 A = 132 Vậy giá trị nhỏ A lâ –4 vâ giá trị lớn A lâ 132 Câu 2: 45 27 45 27 1) Thu gọn biểu thức A = 53 2 53 3 2 3 53 2 53 Ta có: 45 27 45 27 = Do đó: A = 53 2 53 2 53 2 53 = 53 2 53 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 2 10 = 2 2 2) Cho x, y, z lâ ba số dương thỏa điều kiện xyz = x xy 2xyz Ta có: B = xy x xyz xy x xyzx 2xyz 2xy x = xy 2x 2.2 2xy 2.2 xy x 2 xy x x xy x xy = 1 xy x 2 xy x x xy xy x Câu 3: 1) Cho ba số thực a, b, c Ta có: 2 (a b) (b c) (c a) a + b + c ab + bc + ca + 26 2009 (a b) (b c)2 2(c a) 2a2 + 2b2 + 2c2 2ab + 2bc + 2ca + 13 2009 (a b) (b c)2 2(c a)2 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca 13 2009 2 (a b) (b c) 2(c a) (a – b)2 +(b – c)2 + (c – a)2 13 2009 2(b c) 2 12(a b) 2007(c a) 2 13 2) Ta có: 2009 (luôn đúng) 0 b 2a 0 a b 2a b a b 2a b ab 2a b (b 2a) (Đúng tử ln âm vâ mẫu âm, a > vâ b < 0) ab(2a b) Câu 4: ax by (1) 1) Cho hệ phương trình bx ay (2) Lấy (1) – (2) ta (a – b)(x – y) = x = y (do a ≠ b) 5 Thay vào (1) ta được: x = y= ab ab Do x lâ số nguyên a, b nguyên dương nên a + b ước nguyên dương a a a a Suy a + b = hay hay hay b b b b (*) x 3xy y z 31 (1) 2) x xy 8z 100 (2) Giả sử r ng tồn số nguyên x, y, z thỏa (*) Nhân hai vế (1) với c ng vâo (2) ta được: 9x2 – 23xy + 24y2 = 348 5(2x2 – 5xy + 5y2) = (x – y)2 + 348 (3) Ta có: * 5(2x2 – 5xy + 5y2) chia hết cho 5; * (x – y) chia cho dư 0, dư dư 4; * 348 chia dư Suy ra: * Vế trái (3) chia hết cho (4) * Vế phải (3) chia cho có dư lâ 3, lâ lâ (5) Từ (4) vâ (5) suy mâu thuẫn Vậy không tồn số nguyên x, y, z thỏa hệ (*) Câu 5: Ta có: CFM ~ CDA (g–g) CF CD (1) BED ~ BMA (g–g) CM BE CA BD (2) BM BA CD AC AD lâ phân giác góc A BD AB CD BD AC AB (3) Do M lâ trung điểm BC nên BM = CM Kết hợp với (1), (2) (3) ta được: CF = BE A E F B Câu 6: Trong nửa mp bờ AD không chứa điểm B, lấy điểm E cho: AE = AM vâ D_AE B_AM _ _ ADE = ABM DE = BM, A DE A BM Mâ ABCD lâ hình thoi A_DN (1) _ _ _ A DN A BM A DE Ta có B_AD 2M_ AN M_ AN B_AM N_AD D_AE N_AD E_AN Xét hai tam giác ANM vâ ANE có: M_ AN E_AN , AM = AE vâ AN chung ANM = ANE NE = NM Mặt khác ta có: = CM + CN + MN = CM + CN + NE mâ = CB + CD = CM + MB + CN + ND = CM + DE + CN + ND CM + CN + NE = CM + DE + CN + ND NE = ND + DE D thu c đoạn NE (2) _ _ Từ (1) vâ (2) A DE A DN 90 _ Suy ra: Hình thoi ABCD có A DC 90 nên lâ hình vng Vậy góc hình thoi ABCD b ng 90 Câu 7: Ta có: a D M C E A D N B M 2b 2b 2b a 1b 1b 1 1 1aa= 1a 1 1 1 1 1a 2b 2b b a b Do đó: b b (1 b)b 1 1 2 (b )2 Vậy ab2 ≤ ab = b 2b 2 C