De va DA thi vao lop 10 De so 3

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUN NĂM HỌC 2009–2010 MƠN THI: TỐN (150 PHÚT) Câu 1: (4 điểm) x  y  xy  1 1) Giải hệ phương trình   x y  xy  2 2) Cho phương trình x – 2mx – 16 + 5m2 = (x lâ ẩn số) a Tìm m để phương trình có nghiệm b Gọi x1, x2 lâ nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn vâ giá trị nhỏ biểu thức A = x1(5x1 + 3x2 – 17) + x2(5x2 + 3x1 – 17) Câu 2: (4 điểm) 45  27  45  27 3 2 3  1) Thu gọn biểu thức A = 53 2 53 3 2 3 2) Cho x, y, z lâ ba số dương thỏa điều kiện xyz = Tính giá trị biểu thức: x y 2z   B= xy  x  yz  y  zx  2z  Câu 3: (2 điểm) 1) Cho ba số thực a, b, c Chứng minh: 2 (c  a)  b) (b  c) (a   a2 + b2 + c2  ab + bc + ca + 26 2009 2) Cho a > vâ b < Chứng minh:   a b 2a  b Câu 4: (2 điểm)  ax  by  (a, b nguyên dương a khác b) 1) Cho hệ phương trình  bx  ay  Tìm a, b để hệ có nghiệm (x; y) với x, y lâ số nguyên dương 2) Chứng minh r ng không tồn số nguyên x, y, z thỏa hệ: 2  x  3xy  y  z  31  2  x  xy  8z  100 Câu 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có đường trung tuyến AM đường phân giác AD (M, D thu c BC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt cạnh AB, AC E vâ F Chứng minh BE = CF Câu 6: (3 điểm) Cho ABCD lâ hình thoi có cạnh b ng Giả sử tồn điểm M thu c cạnh BC vâ N thu c cạnh CD cho tam giác CMN có chu vi b ng vâ _ _ B AD  2M AN Tính góc hình thoi ABCD Câu 7: (2 điểm) 2b a Cho a, b lâ số dương thỏa   Chứng minh ab2 ≤ 1a 1 b BÀI GIẢI GỢI Ý Câu 1: x  y  xy  1 x(1  y)   y  ( x  1)(1 y)  1)   2  x y  xy   x y  xy  2 x  1   hay  x y  xy  y  2  x y  xy  x  1 y1 x y  xy  hay   y20 x2  x    y1  x  1   hay  y1y  x  1  x  2 Vậy hệ có nghiệm lâ (–1; 1), (–1; –2), (2; 1) 2 2) Cho phương trình x – 2mx – 16 + 5m = (1) (x lâ ẩn số) a Tìm m để phương trình có nghiệm Ta có: ' = 16 – 4m2 Phương trình (1) có nghiệm  '   16 – 4m2   –2 ≤ m ≤ b Gọi x1, x2 lâ nghiệm phương trình Ta có: x1 + x2 = 2m vâ x1x2 = 5m – 16 Do A = x1(5x1 + 3x2 – 17) + x2(5x2 + 3x1 – 17) y2 = 5( x1  x2 )  6x 2x 17( 1x  2x ) = 5[(x1 + x2) – 2x1x2] + 6x1x2 – 17(x1 + x2) = 5(x1 + x2) – 4x1x2 – 17(x1 + x2) 2 = 20m – 4(5m – 16) – 17.2m = –34m + 64 Vì –2 ≤ m ≤ nên –4 ≤ A ≤ 132 Khi m = A = –4 vâ m = –2 A = 132 Vậy giá trị nhỏ A lâ –4 vâ giá trị lớn A lâ 132 Câu 2: 45  27  45  27     1) Thu gọn biểu thức A = 53 2 53 3 2 3 53 2 53 Ta có: 45  27  45  27 =   Do đó: A =  53 2 53 2  53 2 53 =  53 2 53 3 2 3 3 2 3 2   3 2 3 2 10      = 2 2 2) Cho x, y, z lâ ba số dương thỏa điều kiện xyz = x xy 2xyz   Ta có: B = xy  x  xyz  xy  x xyzx  2xyz  2xy x  = xy   2x  2.2  2xy 2.2 xy  x  2  xy  x x xy x  xy    =  1 xy  x  2  xy  x x   xy xy  x  Câu 3: 1) Cho ba số thực a, b, c Ta có: 2  (a  b)  (b c)  (c  a) a + b + c  ab + bc + ca + 26 2009 (a  b) (b  c)2 2(c  a)    2a2 + 2b2 + 2c2  2ab + 2bc + 2ca + 13 2009 (a  b) (b  c)2 2(c  a)2    2a2 + 2b2 + 2c2 – 2ab – 2bc – 2ca  13 2009 2 (a  b) (b  c) 2(c  a)    (a – b)2 +(b – c)2 + (c – a)2  13 2009 2(b  c) 2 12(a  b) 2007(c  a) 2  13 2) Ta có:        2009  (luôn đúng) 0  b  2a  0 a b 2a  b a b 2a  b ab 2a  b  (b  2a)   (Đúng tử ln âm vâ mẫu âm, a > vâ b < 0)  ab(2a  b) Câu 4:  ax  by  (1) 1) Cho hệ phương trình bx  ay  (2)  Lấy (1) – (2) ta (a – b)(x – y) =  x = y (do a ≠ b) 5 Thay vào (1) ta được: x = y= ab ab Do x lâ số nguyên a, b nguyên dương nên a + b ước nguyên dương  a  a   a  a  Suy a + b =  hay hay  hay   b b b        b  (*)  x  3xy  y  z  31 (1)  2) x  xy  8z  100 (2)   Giả sử r ng tồn số nguyên x, y, z thỏa (*) Nhân hai vế (1) với c ng vâo (2) ta được: 9x2 – 23xy + 24y2 = 348  5(2x2 – 5xy + 5y2) = (x – y)2 + 348 (3) Ta có: * 5(2x2 – 5xy + 5y2) chia hết cho 5; * (x – y) chia cho dư 0, dư dư 4; * 348 chia dư Suy ra: * Vế trái (3) chia hết cho (4) * Vế phải (3) chia cho có dư lâ 3, lâ lâ (5) Từ (4) vâ (5) suy mâu thuẫn Vậy không tồn số nguyên x, y, z thỏa hệ (*) Câu 5: Ta có:  CFM ~ CDA (g–g)  CF  CD (1)  BED ~ BMA (g–g)  CM BE CA BD (2)  BM BA CD AC AD lâ phân giác góc A   BD AB CD BD  AC  AB (3) Do M lâ trung điểm BC nên BM = CM Kết hợp với (1), (2) (3) ta được: CF = BE A E F B Câu 6: Trong nửa mp bờ AD không chứa điểm B, lấy điểm E cho: AE = AM vâ D_AE  B_AM _ _  ADE = ABM  DE = BM, A DE  A BM Mâ ABCD lâ hình thoi   A_DN (1) _ _ _ A DN  A BM  A DE Ta có B_AD  2M_ AN  M_ AN  B_AM  N_AD  D_AE  N_AD  E_AN Xét hai tam giác ANM vâ ANE có: M_ AN  E_AN , AM = AE vâ AN chung  ANM = ANE  NE = NM Mặt khác ta có: = CM + CN + MN = CM + CN + NE mâ = CB + CD = CM + MB + CN + ND = CM + DE + CN + ND  CM + CN + NE = CM + DE + CN + ND  NE = ND + DE  D thu c đoạn NE (2) _ _ Từ (1) vâ (2)  A DE  A DN  90 _ Suy ra: Hình thoi ABCD có A DC  90 nên lâ hình vng Vậy góc hình thoi ABCD b ng 90 Câu 7: Ta có: a D M C E A D N B M 2b 2b 2b a 1b 1b    1  1  1aa= 1a 1 1 1 1 1a 2b 2b b a b Do đó: b b (1 b)b 1     1  2  (b  )2   Vậy ab2 ≤ ab = b  2b 2 C