SH thuy VP cac phuong phap tinh tong phan nguyen 2016 08 18

Khóa tập huấn giáo viên THPT chun tốn năm 2016 Báo cáo chuyên đề Các phương pháp tính tổng phần nguyên Giáo viên: Trường: Vũ Phương Thúy THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội Email: vuphuongthuy.k5sp@gmail.com 8/2016 Tóm tắt Trong số học, phần nguyên nội dung hấp dẫn Nó thường xuyên xuất nhiều thi chọn học sinh giỏi toàn quốc, quốc tế với nội dung khác Trong số đó, tốn tính tổng phần ngun xuất đa dạng phong phú Vì vậy, tơi viết chuyên đề để tổng hợp lại số phương pháp thường gặp tốn tính tổng phần nguyên Trong báo cáo, đề cập đến phương pháp tính tổng phần nguyên sau: Phương pháp áp dụng định lý Hermite tính tổng Sử dụng định lý điểm nguyên phần ngun tốn tính tổng Tính tổng phần nguyên dựa vào tính chia hết Mục lục Một vài kiến thức phần nguyên 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất 3 Các phương pháp tính tổng phần nguyên 2.1 Định lý Hermite 2.2 Sử dụng định lý điểm nguyên phần nguyên tốn tính tổng 2.3 Tính tổng phần nguyên dựa vào tính chia hết 4 12 Chương Một vài kiến thức phần nguyên 1.1 Định nghĩa Cho x số thực Phần nguyên x số nguyên lớn không vượt x Kí hiệu phần nguyên x x Như x số nguyên có tính chất: x ≤ x < x + Ngoài ra, người ta gọi {x} = x − x phần lẻ số thực x Khi đó: ≤ {x} < 1.2 Các tính chất Nếu x > y x ≥ y Như vậy, phần nguyên hàm không giảm x + n = x + n với n số nguyên x + y ≤ x + y ≤ x + y + x + −x = x n = x n x ∈ Z −1 x ∈ /Z với n ∈ Z Cho x số thực dương n số nguyên dương Khi đó, số số nguyên dương bội n không vượt x nx Chương Các phương pháp tính tổng phần nguyên 2.1 Định lý Hermite Định lý 2.1.1 Với n số nguyên dương, x số thực bất kì, ta có: nx = x + x + n−1 + x+ + + x + n n n Chứng minh Xét hàm f (x) = x + x + Ta có f (x + n + x+ n + + x + n−1 n − nx 1 n−1 )= x+ + x+ + + x + + − n(x + ) n n n n n n n−1 = x+ + + x + + x + − nx + n n =f (x) Do đó, với x, tồn ≤ t < n1 cho f (x) = f (t) Mặt khác [0, n1 ) tất số hạng x , x + n1 , x + n−1 , nx n Từ f (x) = 0, ∀x ∈ R x+i j Bài tốn 2.1.1 Tính tổng 0≤i