Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 27 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
27
Dung lượng
642,16 KB
Nội dung
Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp I Phần mở đầu Lý chọn đề tài Tốn học mơn học có ứng dụng hầu hết tất ngành khoa học tự nhiên lĩnh vực khác đời sống xã hội Vì tốn học có vị trí đặc biệt việc phát triển nâng cao dân trí Tốn học khơng cung cấp cho học sinh (người học ) kiến thức bản, kĩ tính tốn cần thiết mà cịn điều kiện chủ yếu rèn luyện kĩ tư logic, phương pháp luận khoa học Trong việc dạy học tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập tốn địi hỏi người giáo viên phải chọn lọc hệ thống, sử dụng phương pháp dạy học góp phần hình thành phát triển tư học sinh Đồng thời thông qua việc học toán học sinh bồi dưỡng rèn luyện phẩm chất đạo đức, thao tác tư để giải tập toán Kiến thức dãy số nói trọng tâm nội dung dạy học Toán bậc THCS đặc biệt học sinh khối lớp 6, thực tế có nhiều dạng tốn nâng cao khai thác từ toán dãy số Các đề thi giao lưu học sinh giỏi lớp 6,7 thường xuyên xuất tốn liên quan đến dãy số có quy luật xem tốn khó học sinh lớp 7, gây khơng khó khăn cho học sinh Bản thân Tôi giáo viên giảng dạy mơn Tốn tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn 6, Tơi thấy học sinh gặp toán dãy số thường lúng túng chưa biết cách giải, chưa tìm quy luật giải chưa chặt chẽ mà cịn mắc nhiều sai lầm Do đó, thân Tơi cần phải trang bị cho kiến thức dạy cho học sinh giỏi tự tin giải tốn dãy số Chính lí Tôi mạnh dạn chọn làm đề tài : “Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp 6” Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh số kiến thức số dãy số có quy luật chương trình kiến thức lớp nhằm nâng cao lực học mơn tốn, giúp em tiếp thu cách chủ động sáng tạo công cụ giải tập có liên quan đến dãy số có quy luật - Gây hứng thú cho học sinh làm tập SGK , sách tham khảo giúp học sinh giải số tập đặc biệt dạng tập có liên quan đến dãy số có quy luật - Giải đáp thắc mắc, sữa chữa sai lầm hay gặp giải toán dãy số có quy luật - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống số phương pháp áp dụng thành thạo phương pháp để giải số tập dãy số có quy luật Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp - Thông qua việc giải tốn tính tổng dãy số có quy luật giúp học sinh thấy rõ mục đích việc học toán học tốt tập dãy số Đồng thời góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Thời gian, địa điểm - Thời gian: Từ tháng 09 năm 2018 đến hết năm học 2018 - 2019 - Địa điểm: Trường THCS Hải Tiến Đóng góp mặt thực tiễn Bản thân Tôi thấy việc dạy học sinh lớp giải tốn dãy số có quy luật gặp nhiều khó khăn Đặc biệt dãy số phạm vi ôn luyện học sinh giỏi, việc hệ thống phương pháp giải tốn tính tổng dãy số thực khó khăn giáo viên ơn luyện chưa có nhiều kinh nghiệm Với niềm đam mê tốn học với tìm tịi thân q trình giảng dạy,bản thân tơi nhiều sưu tầm hệ thống hóa vài kinh nghiệm q trình giảng dạy tốn tính tổng dãy số Đặc biệt áp dụng với em học sinh, tơi thấy em có say mê giải nên em ham học, say mê tìm tịi em có hệ thống phương pháp giải bắt gặp em thường đưa cách giải cách tương đối phù hợp Nhưng khn khổ sách giáo khoa đưa số lần tốn tính tổng thơng qua luyện tập Nên việc giúp em tiếp cận với dạng dãy số có phần khó khăn thời gian giảng dạy lớp Khi thực sáng kiến kinh nghiệm Tôi hy vọng chuyên đề mang lại cho đồng nghiệp vài điều bổ ích giúp bạn cảm nhận thêm vẻ đẹp Toán học qua dãy số Mặc dù cố gắng, chuyên đề không tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q báu từ thầy em học sinh để chuyên đề ngày hoàn thiện hơn! II Phần nội dung: Chương 1: Tổng quan 1.1 Cơ sở lý luận Một phương pháp giải Tốn đưa khó dễ Việc giải tốn tính tổng dãy số có quy luật tốn lớp khơng nằm ngồi ý tưởng - Trong đề tài, đưa số dãy số có quy luật bản phù hợp với trình độ học sinh lớp 6, cấp THCS - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải tốn tính tổng dãy số có quy luật chương trình tốn lớp - Rút số ý làm từngphương pháp - Chọn lọc số tập hay gặp phù hợp cho phương pháp giải , cách biến đổi - Tôi hi vọng đề tài giúp ích cho học sinh trường THCS đặc biệt học sinh lớp việc học giải tốn tính tổng dãy số có quy luật Qua em có phương pháp giải đúng, tránh tình trạng định hướng giải tốn Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp sai lúng túng việc trình bày lời giải, giúp học sinh làm việc tích cực đạt kết cao kiểm tra 1.2 Cơ sở thực tiễn Thực tế để nâng cao chất lượng mơn Tốn có phần tính tổng dãy số, đặc biệt chất lượng học sinh giỏi môn này, hết người thầy đóng vai trị quan trọng, phải thực chun tâm tìm tịi, nghiên cứu, phân loại dạng , mày mị tìm phương pháp giải nhanh nhất, hợp lí nhất… Đồng thời phải tích cực hóa hoạt động học sinh nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, tính độc lập sáng tạo, qua nâng cao lực phát giải vấn đề cách nhanh chóng Qua q trình dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi mơn Tốn 6, qua dự đồng nghiệp tơi thấy, học sinh cịn lúng túng giải tốn tính tổng dãy số thiếu phương pháp giải, chưa có khó khăn việc hướng dẫn học sinh giải tốn tính tổng dãy số cách sáng tạo Trong mơn Tốn THCS , tốn liên quan đến tính tổng dãy số nói đến ỏi thơng qua tiết học luyện tập nhiên buổi học có chút nâng cao lớp chất lượng cao học buổi chiều tốn tỉnh tổng dãy số ngày học sinh quan tâm Do đó, tơi xin đưa số giải pháp thân việc giúp học sinh tiếp cận, luyện thi học sinh giỏi giải Toán phạm vi kiến thức dãy số cho học sinh lớp cấp THCS Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu 2.1 Thực trạng Chúng ta biết mơn học Tốn học mơn học khó học sinh THCS, để học sinh tiếp cận, vận dụng kiến thức vào giải tập Tốn người thầy khơng phải hướng dẫn học sinh làm tập theo kiểu dạy nhồi nhét, thụ động Dạy học trị học đâu qn đó, làm tập biết tập đó, giải hết đến khác, tốn nhiều công sức mà không đọng lại đầu học sinh điều đáng kể Ngay học sinh giỏi vậy, đầu tư vào giải hết tốn khó đến tốn khó khác mà chưa phát huy tính tư sáng tạo, chưa có phương pháp làm Trong từ đơn vị kiến thức Tốn học lại có hệ thống tập đa dạng phong phú, kiểu, dạng mà lời giải khơng theo khuôn mẫu Do mà học sinh lúng túng đứng trước đề Tốn có tốn liên quan đến tính tổng dãy số, mà số lượng chất lượng môn Toán tường THCS Hải Tiến thấp, chưa đáp ứng lòng mong mỏi giáo viên , điều thể rõ nét thơng qua kết kì thi học sinh giỏi Tốn cấp Thành phố, cấp trường hàng năm Phịng giáo dục tổ chức 2.2 Các giải pháp - Trong đề tài này, phạm vi ngắn, đưa số kiến thức dãy số có quy luật cách giải Đồng thời, sở từ tốn bản, tơi đưa thêm tập khai thác phù hợp với trình độ nhận thức học sinh lớp Trường THCS Hải Tiến Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp - Chuyên đề '' Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp 6'' viết theo chương trình SGK hành nhằm dạy học sinh đại trà lớp ôn thi học sinh giỏi A Tính tổng phương pháp sử dụng cơng thức tính SGK Cơ sở lý thuyết : + Để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối – số đầu ): ( khoảng cách ) + + Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu – số cuối ) ( số số hạng ) :2 Bài tốn 1: Tính tổng n số tự nhiên liên tiếp 1: + + + + + n Hướng dẫn giải: Đây toán đơn giản u cầu HS trung bình nhận dạng: dãy số viết theo quy luật nào? tốn với u cầu gì? số đầu bao nhiêu, số cuối số nào? ta áp dụng theo công thức nào? Giải: Sử dụng cơng thức tính tổng số tự nhiên liên tiếp : + + + + n = (1 n) n Ví dụ: Tính tổng S sau cách hợp lý S = + + + …+ 2017+ 2018 Giải S = + + + …+ 2017+ 2018 = (1 2018).2018 = 037 171 Bài tốn 2: Tính tổng a) A = + + + + + (2n + 1) b) B = + + + + 2n Tương tự cho HS nhận dạng, áp dụng công thức nào? Hướng dẫn giải a)Số số hạng: (2n + 1) - 1 : + = 2n : + = n + (số hạng) Tổng: A = 1 (2n 1.( n 1) (n 1) (n 1) = = (n + 1)2 2 b) Số số hạng: (2n - 2) : + = 2.(n - 1) : + = n (số hạng) Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp B= (2n 2) n = n (n + 1) *) Đặt vấn đề 1: Đối với GV hay HSG ta chứng minh toán tổng quát theo phương pháp quy nạp; HS lớp đại trà cần biết vận dụng công thức tổng quát cho toán loại Chứng minh: Tổng quát: An= + + +…+ (n – 1) + n = n.(n+1) : (n n) - Khi n = ta có: : a = ( + 1) : = - Giả sử toán với n = k > 1, nghĩa là: Ak = + + + …+ (k – 1) + k + (k + 1) - Ta xét: Ak + = + + + …+ (k – 1) + k + (k + 1) = Ak + (k + 1) = k ( k+ 1) : + (k + 1) k (k 1) = (k + 1) 1 (k 1) 2 Nên Ak + = (k + 1) (k 1) Tức toán với n = k + Vậy: Với số tự nhiên n khác 0, ta có: An= + + + …+ (n – 1) + n = n.(n + 1) : *) Đặt vấn đề 2: từ tốn : Tính tổng S= + + + + + n Tính tổng dãy số tự nhiên liên tiếp khơng cịn khó khăn học sinh, ta đặt vấn đề khai thác, phát triển sang tập tương tự cách tính tổng số nguyên cách cách tiện lợi Tơi xin đề cập đến tốn khai thác từ toán sau: Bài tốn 3: Tìm số hạng thứ n dãy số tự nhiên cách * Kiến thức cần ý: +) Số số hạng tính cách: Số số hạng = ( số hạng cuối– số hạng đầu) :khoảng cách + +) Tìm số hạng thứ n dãy số Số hạng thứ n = (số số hạng-1) khoảng cách + số hạng đầu Lưu ý: Số hạng thứ n cần tìm ta hiểu số hạng cuối cơng thức tìm số số hạng Ví dụ : Tính tổng: S = + + 11 + +97+ 99 a) Tính tổng S b) Tìm số hạng thứ 33 tổng Giải a) Số số hạng tính cách: ( 99 – ): + = 47 -Ta tính tổng S sau: Cách : Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp S = + + 11 + + 97 + 99 ( có 47 số hạng) S = + ( + 11 + + 97 + 99) Ta có: S = + (9+99) + (11+97) + … + (53+55) S = + 108 + 108 + …+ 108 ( có 23 số hạng 108) S = + 108.23 = 2491 Cách : Áp dụng Tổng S tính cách: Tổng S = ( số hạng cuối+ số hạng đầu ).Số số hạng : Nên : Tổng S có giá trị : S = (99 + 7) 47 : = 2491 b) Xét tổng S = + + 11 + +97+ 99 - Áp dụng cơng thức tìm số hạng dãy số Số cuối = (số số hạng - 1) khoảng cách + số đầu (số cuối số hạng cần tìm tổng dãy số tự nhiên cách đều) - Số hạng thứ 33 tổng : ( 33 – ).2 + = 71 *) Một số lưu ý giải toán loại này: - Hs phải biết phân biệt rõ ràng số hạng đầu, số hạng cuối tổng - Biết cơng thức tính số số hạng dãy số cách đều, từ suy cơng thức tìm số hạng thứ n tổng số tự nhiên cách cho; - Hs hiểu số số hạng trường hợp số hạng thứ n cần tìm ( số số hạng 33) - Hs dễ bị nhầm số hạng thứ 33 dãy thành số hạng có giá trị 33 tổng Bài tốn 4: Tính tổng dãy số lẻ liên tiếp có đan dấu “+” “ - ” Tính tổng A = -1 + – + – +…+ 2015 ( Các cách giải tương tự toán 1) *Tổng quát: An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n N*) ( hình thành tương tự tốn 1) Chứng minh Tổng quát: An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n (n N*) - Khi n = ta có; An = -1 = (-1)1 - Giả sử toán với n = k ? 1, nghĩa là: Ak = -1 + – + – + …+ (-1)k (2k – 1) = (-1k)k.k Ta xét: Ak + = -1 + – + – +….+ (-1)k(2k – 1) + (-1)k + (2k + 1) = Ak + (-1)k +1 (2k + 1) Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp = (-1)k k + (-1)k (-1).(2k + 1) = (-1)k.(k - 2k – 1) = 9-10k(-k – 1) = (-1)k(-1) (k + 1) Hay Ak + = (-1)k + 1(k + 1) Tức toán với n = k + Kết luận: Với số tự nhiên n khác 0, ta có: An = -1 + – + – + …+ (-1)n(2n – 1) = (-1)n n *)Bài tập đề nghị: Bài tập 1: Tính tổng A = 19 +20 +21 + + 2018 B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 C = + 10 + 15 + 20 + …… + 995 D = + + + … + 268 + 271 E= – + – +…+ 2010 – 2012 + 2014 - 2016 F = – - + + 10 - 12 – 14 + 16 +….+ 98 – 100 – 102 + 104 Bài tập 2: Bạn Bình đánh số trang chẵn sách dãy số chẵn số 2, biết sách bạn Bình có 284 trang chẵn đánh số chữ số giây Hỏi: a) Bạn Bình cần phút để đánh hết số trang sách b) Trang chẵn thứ 25 đánh số ? Bài tập 3: Bạn An đánh số trang lẻ sách dãy số lẻ số 1, biết sách bạn An có 283 trang lẻ đánh số chữ số giây Hỏi a) Bạn An cần phút để đánh hết số trang sách b) Trang lẻ thứ 52 đánh số ? B Tính tổng phương pháp khử liên tiếp ( hay tách hạng tử ) Bài tốn 1: a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101 c) Hãy viết công thức tổng quát cho tổng trên? Giải a) Tính tổng A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 Lời giải 1: Hs dễ dàng thực phép giải thông thường A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10 = + + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 + 72 +90 = 330 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Nhưng cách giải áp dụng cho câu b) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác Lời giải 2: 3A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + 4.5.(6 - 3) + + 8.9.(10 - 7) + 9.10.(11 - 8) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - … + 8.9.10 - 8.9.10 + 9.10.11 = 9.10.11 = 9.10.(10+1) Vậy A = 9.10.(10+1) : = 990 : = 330 Nhận xét: - Trong tổng hạng tử tích số tự nhiên liên tiếp, hạng tử viết theo quy luật, khoảng cách hai thừa số tích 1, ta nhân hai vế A với lần khoảng cách hai thừa số Nhân phá ngoặc để tính kết cần tìm - Một cách khác Trong toán 1a ta nhân vế A với 3(để tích 3số liên tiếp số hạng đầu tiên) ta tách thành hạng tử mà triệt tiêu hàng loạt, để có kết tốn cần tìm - Kết tốn tích hạng tử cuối với số liền sau thừa số lớn Đặt vấn đề : Ta giải tốn cách khác sau: Lời giải : Ta có 3.A = 3.(1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = 3.(0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + 7.8 + 8.9 + 9.10) = [1.(0 + 2) + 3.(2 + 4) + 5.(4 + 6) + 7.(6 + 8) + 9.(8 + 10)].3 = 3.(1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 +9.9.2) = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).2.3 = (12 + 32 + 52 + 72 + 92).6 = 990 = 9.10.11 Vậy A = 9.10.(10+1) : = 990 : = 330 Nhận xét: Trong cách giải số ta nhân vào vế thừa? Đúng vậy, ta nhân hai vế với để kết cuối đưa cơng thức tính tổng qt mà ta cần tìm b) Tính tổng B = 1.2 + 2.3 + 3.4 +….+ 99.100 + 100.101 Tương tự cách giải ta làm câu b thật dễ dàng Ta xét: 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +… + 99.100.3 + 100.101.3 3B = 1.2 (3 – 0) + 2.3.(4 – 1) + 3.4 (5 – 2) + + 99.100.(101 - 98) + 100.101.(102 - 99) = 1.2.3 – 0.1.2 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + … Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp + 99.100.101 – 98.99.100 + 100.101.102 – 99.100.101 = 100.101.102 Vậy B = 100.101.102 : = 100.101.34 = 343400 Nhận xét: Trong câu b này, giải theo cách giải được, gặp khó khăn chỗ việc tính tổng bình phương dãy số cách gặp khó khăn, toán giải phần - Kết tốn tích hạng tử cuối với số liền sau thừa số lớn c) Bài toán tổng quát: An = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) = n( n 1)(n 2) (nN*) Chứng minh tổng quát: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n (n + 1) = n(n 1(n 2) (nN*) Ta dùng phương pháp quy nạp để chứng minh Bước Với n = Vế trái = 1.2 = Vế phải = 1.(1 + 1)(1+2) : = Suy vế trái vế phải Vậy toán với n = Bước Giả thiết toán với n = k ( k > 1) tức ta có: Bk = 1.2 + 2.3 +….+ (k + 1) (k + 2) = k ( k 1)(k 2) Bước 3: Ta phải chứng minh toán với n = k + tức chứng minh Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1)(k+2) = (k 1)(k 2)(k 3) Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1)(k + 2) = k ( k 1)(k 2) + (k + 1)(k + 2) k (k 10(k 2)(l 3) Bk + = (k + 1)(k + 2) 1 3 Kết luận: Bn = 1.2 + 2.3 + 3.4+…+ n(n + 1) = n(n 1)(n 2) (n N*) Bài tốn 2: Tính tổng: a) A = 1.100 + 2.99 + 3.98 +…+99.2 + 100.1 Hướng dẫn: Ta biến đổi số từ 99 đến thành hiệu 100 với số từ đến 99 C = 1.100 + 2.(100-1) + 3(100-2) + …+ 99.(100-98)+ 100.(100 – 99) = 1.100 + 2.100 – 2.1 + 3.100 – 3.2 +…+99.100 – 98.99 + 100.100 – 99.100 = 100 (1 + + +…+99 + 100) – (1.2 + 2.3 +…+ 98.99 + 99.100) = (100.5050) – (99.100.101) : = 50.100 101 – 100 101 33 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp = 100 101 (50-33) = 10100.17 = 171700 b)B = 1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 97.99 lần khoảng cách ta : 6B = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 + … + 97.99.6 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) + … + 97.99(101 - 95) = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 95.97.99 = 1.3.5 + + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 + … + 97.99.101 - 95.97.99 = + 97.99.101 B 97.33.101 = 161 651 c) C = 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 +…+99.101 + 100.102 Ta cần tách số hạng thành tổng hai số tự nhiên để áp dụng tốn tốn Gaux (tính tổng 100 số tự nhiên khác đầu tiên) C = (2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) +…+ 99(100 + 1) + 100 (101 + 1) = 1.2 + + 2.3 + + 3.4 + 3+…+ 99.100 + 99 + 100.101 + 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) + (1 + + + + 99 + 100) = 343400 + 5050 = 348450 Bài tốn 3: a) Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 b) Hãy viết công thức tổng qt tốn Giải : a)Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 Lời giải 1: Tính A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 = + 24 + 60 + 120 + 210 + 336 + 504 + 720 = 1980 Lời giải : A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10 4A = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + 5.6.7 + 6.7.8 + 7.8.9 + 8.9.10).4 4A = [1.2.3.(4 – 0) + 2.3.4.(5 – 1) + … + 8.9.10.(11 – 7)] 4A = (1.2.3.4 – 1.2.3.4 + 2.3.4.5 – 2.3.4.5 + … + 7.8.9.10 – 7.8.9.10 + 8.9.10.11) 4A = 8.9.10.11 A = 8.9.10.11 : = 1980 10 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp tử mẫu số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cịn mẫu gồm có số tự nhiên liên tiếp sau ( có số trùng nhau) 1 1.2 2.3 1.2.3 Ta thấy: 1 3 4 1 1 1.2 2.3 1.2.3 1 1 … 3 1 37.38 38.39 37.38.39 Tổng quát ta áp dụng: 1 1 37.38 38.39 37.38.39 1 n( n 1) (n 1)(n 2) n(n 1)(n 2) * Cách giải: B= 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39 = 1 1 1 1 1 1 + +…+ 1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39 = 1 1 1 1 2 3 37.38 38.39 1 1 1.2 38.39 = 11 22 = 38.39 741 1 740 370 185 = = = 38.39 38.39 741 741 = * Bài tốn tổng qt: Tính tổng B 1 1 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n 1)( n 2) 1 (n 1).(n 2) ( n 1).(n 2) 2(n 1).(n 2) (n 1).(n 2) 4( n 1).(n 2) Bài tốn 7: Tính tổng 100 số hạng dãy sau: 1 1 ; ; ; ; 66 176 336 * Phương pháp tìm lời giải: 13 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Ta thấy số hạng dãy số có tử cịn mẫu là: 6; 66; 176; 336; Vậy trước hết ta phải viết mẫu thành tích số phải tìm số hạng thứ 100 dãy Ta nhận thấy: = 1.6 66 = 11.6 176 = 11.16 336 = 16.21 Ta thấy mẫu phân số có quy luật là: Tích hai số có số tận số tận Trong thừa số mẫu số có thừa số thừa số cịn lại đơn vị Vậy mẫu số số thứ n dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1) => Mẫu số thứ 100 dãy số: (5.100-4)(5.100+1) = 496.501 Ta cần tính tổng A= 1 1 1.6 6.11 11.16 496.501 Tương tự ta tách phân số thành hiệu phân số, ta nhận 1 1 1 thấy : => ( ) 1.6 1.6 Tương tự 1 1 1 => ( ) 11 6.11 11 6.11 1 1 1 ) => ( 496 501 496.501 496 501 496.501 Từ ta tính tổng A cách dễ dàng * Cách giải: A= = 1 1 66 176 336 2484966 1 1 1.6 6.11 11.16 496.501 1 1 1 1 1 1 ) = ( ) + ( ) + ( ) +…+ ( 496 501 6 11 11 16 = = 1 500 100 1 = = 501 501 501 1 1 1 1 11 11 16 496 501 *) Bài toán tổng quát: A= 1 1 1.6 6.11 11.16 (5n 4)(5n 1) 14 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp 1 1 1 1 ) = ( ) + ( ) +…+ ( (5n (5n 1) 6 11 = n 5n 1 1 = = n 5n 5n Bài tập đề nghị: Tính tổng M= 4 5.7 7.9 59.61 A= 5 5 11.16 16.21 21.26 61.66 B= 2 1.2.3 2.3.4 98.99.100 D= 1 n(n 1)( n 2)(n 3) S 1 1 2 3 2004.2005 Q 4 9.10 10.11 2018.2019 E= 4 4 3.7 7.11 11.15 107 111 F= 2 2 15 35 63 399 32 32 32 32 G= 11 11 14 14 17 197 200 Bài toán 8: a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102 b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002 c) Viết công thức tổng qt tốn Giải a) Tính tổng C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102 Cách 1.Giải theo quy tắc thực thứ tự phép tính C1 = 12 + 22 + 32+…+92 + 102 C1 = + + + … + 81 + 100 = 385 Cách C1 = 12 + 22 + 32+…+ 92 + 102 C1 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + 9.9 + 10.10 15 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp C1 = (2 - 1) + 2(3 – 1) + (4 – 1) +…+ 9(10 – 1) + 10 (11 – 1) = 1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +…+ 9.10 – + 10.11 – 10 = (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 9.10 + 10.11) – (1 + + + +…+ + 10) Ta thấy: 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 9.10 + 10.11 = 10.11.12: = 440 + + +….+ 10 = (10+1).10 : = 55 Do C1 = 440 – 55 = 385 = 10.11.(10.2 1) Nhận xét: - Bài toán thực toán vận dụng( trường hợp đặc biệt tốn hạng tử tích thừa số giống nhau; - Dùng biện pháp tách số hạng để sử dụng kết toán - Kết toán liên quan chặt chẽ với số hạng tử cuối Cách Dùng kiến thức lớp để giải toán Khai thác theo hướng sử dụng đẳng thức: (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + Với x = ta có 23 = 13 + 3.12 + 3.1 + Với x = ta có 33 = 23 + 3.22 + 3.2 + Với x = ta có 43 = 33 + 3.32 + 3.3 + …… Với x = ta có 103 = 93 + 3.92 + 3.9 + Với x = 10 ta có 113 = 103 + 3.102 + 3.10 + Cộng vế với vế 10 đẳng thức ta được: 23 + 33 + … + 93 + 103 + 113 = 13 + 23 + 33 +…+ 93 +103 + 3(12 + 22 + 32+…+ 92 + 102) + (1 + + + +….+9 + 10) + (1 + + + ….+ 1) (10 số hạng 1) 113 = 13 + 3.C1 + 3.55 + 10 1331 = 3.C1 + 176 3.C1 = 1331 – 176 = 1155 C1 = 385 = 10.11.(10.2 1) b) Tính tổng C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002 Dùng biện pháp tách số hạng để sử dụng kết toán toán ta tiến hành sau: C2 = 12 + 22 + 32+…+992 + 1002 C2 = 1.1 + 2.2 + 3.3 + … + 99.99 + 100.100 16 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp C2 = (2 - 1) + 2(3 – 1) + (4 – 1) +…+ 99(100 – 1) + 100 (101 – 1) = 1.2 – + 2.3 – + 3.4 – +…+ 99.100 – 99 + 100.101 – 100 = (1.2 + 2.3 + 3.4+…+ 99.100 + 100.101) – (1 + + + +…+ 99 + 100) Ta thấy: 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ 99.100 + 100.101 = 100.101.102: = 343400 + + +….+ 100 = 101.50 = 5050 Do C2 = 343400 – 5050 = 338350 = 100.101.(100.2 1) c)Ta có cơng thức tổng qt: En = 12 + 22 + 32 + …+n2 = n(n 1)(2n 1) ( n N*) Chứng minh tổng quát: En = 12 + 22 + 32 + …+n2 = n(n 10( 2n 1) ( n N*) Chứng minh tương tự cách Với x = n ta có (n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + = (n3 + 1) + (3n2 + 3n) Cộng n đẳng thức rút gọn hạng tử hai vế, ta có: (n + 1)3 = n + + 3En + 1 + + +…+ (n – 1) + n Ta có + + + …+ (n – 1) + n = n (n + 1) : Suy 3En = (n + 1)3 – (n + 1) - 3n(n 1) 3n (n 1) (n 1) 2 2n 4n 3n n(n 1)(2n 1) 2 = (n + 1) Vậy En = n(n 1)(2n 1) Nghĩa là: 12 + 22 + 32+…+ n2 = n(n 1)(2n 1) ( n N*) Ta dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh toán tổng quát Bước Với n = toán Bước Giả sử toán với n = k tức ta có: 12 + 22 + 32 +….+ k2 = k ( k 1)(2k 1) Bước 3: Ta phải chứng minh toán nới n = k + nghĩa là: 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = Thật vậy: VT = (k 1((k 2)(2k 3) k (k 1)(2k 1) k ( 2k + (k + 1) k 1 6 17 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp = (k 1) = 2k k 6k 2k (k 2) 3(k 2) (k 1) 6 (k 1)(l 2)(2k 3) VP Kết luận: 12 + 22 + 32 +…+ n2 = n(n 1)(2n 1) ( n N*) * Một số lưu ý giải toán phương pháp : Trong tốn 8a, 8b tốn tổng bình phương dãy số tự nhiên cách đêù ta viết thành tích để ta tách thừa số hạng tử thành hiệu để ta nhân hạng tử mà triệt tiêu hàng loạt Bài tốn 9: Bài tốn 6: a)Tính tổng B = 22 + 42 + 62 + …+ 1002 b) Viết dạng tổng quát Giải a)A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6.7 + + 100.101 = (1.2 + 2.3) + (3.4 + 4.5) + (5.6 + 6.7) + (7.8 + 8.9) + (99.100 + 100.101) = 2( + 3) + 4( + 5) + 6( + 7) + + 100( 99 + 101) = 2.4 + 4.8 + 6.12 + + 100.200 = 2.2.2 + 2.4.4 + 2.6.6 + + 2.100.100 = 2.22 + 2.42 + 2.62 + + 2.1002 = 2.( 22 + 42 + 62 + + 1002) A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) Theo cách giải dạng ta có: A = 2.(22 + 42 + 62 + + 1002) = 100.101.102 :3 Vậy ta có : B = 22 + 42 + 62 + …+ 1002 = 100.101.102 : b)Công thức tổng quát : A = 22 + 42 + 62 + …+ (2n)2 = 2n.(2n + 1).(2n + 2) :6 C Tính tổng phương pháp giải phương trình với ẩn tổng cần tính ( làm trội ) Bài tốn 1: a) Tính tổng B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210 b) Tính tổng B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015 c) Viết công thức tổng quát cách tính tổng Giải a) B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210 18 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Cách giải 1: B = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 210 = + + + + … + 1024 = 2047 - Ở toán câu a, ta giải cách thơng thường, HS tính tổng B theo cách thơng thường, tính lũy thừa số hạng cộng kết lại câu b ta phải tư cách giải phù hợp ( khơng thể tính trực tiếp cách 1) nên ta cần tìm hiểu cách giải khác Cách giải 2: - Ta thấy biểu thức cần tính tổng dãy số số hạng có số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu? - Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng - Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với số để biểu thức thực phép trừ biểu thức ban đầu Ta có 2B = 21 + 22 + 23 + …… + 210 + 211 Mà B = 20 + 21 + 22 + 23 + …+210 Vậy 2B – B = 211 - 20 = 211 1 B = 211 – = 2047 b) B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + ….+ 20142014 + 20142015 Tương tự toán 1a) theo cách giải ta khơng tính trực tiếp được, mà phải vận dụng cách giải Ta xét: 2014.B1 = 20141 + 20142 + 20143 + 20144+ … +20142015 + 20142016 Mà B1 = + 20141 + 20142 + 20143 + …+ 20142014 + 20142015 Nên 2014.B1 – B1 = 20142016 - Tính được: B1 = 2014 2016 20142016 2014 2013 c)Ta có cơng thức tổng qt cho tốn sau: Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = a n1 (n N; a 1; a 0) a 1 Chứng minh tổng quát: Sn = a0 + a1 + a2 + a3 +… + an = a n1 (n N; a 1; a 0) a 1 Thật vậy: Khi a = ta có Sn = n + Khi a thì: a.Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an + an + a.Sn – Sn = a n + – 19 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Sn (a – 1) = an + – Vậy tổng Sn có giá trị là: Sn = a n1 a 1 Kết luận: Sn = a0 + a1 + a2 + a3+ …+ a n1 (n N; a 1; a 0) a 1 Từ toán tổng quát ta vận dụng để giải tốn tương tự tổng có nhều số hạng nhanh chóng thuận tiện tốn liên quan khác * Một số lưu ý dạy toán dạng này: - Ta thấy biểu thức cần tính tổng dãy số số hạng có số, số mũ dãy số cách tăng dần Vấn đề đặt nhân hai vế biểu thức với số để trừ cho biểu thức ban đầu loạt lũy thừa bị triệt tiêu? - Trong toán ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với số lũy thừa biểu thức thực phép trừ biểu thức cho biểu thức ban đầu ta tìm tổng (có thể để dạng biểu thức) câu a; câu b; - Đối với tập dạng Hs nhận biết cần nhân vế biểu thức với số Bài tốn 2: Tính tổng : S 31 3100 Giải Ta thấy số hạng sau gấp số hạng liền trước lần Cách làm tương tự tốn tốn Ta có : 3S 31 3100 3101 S 3101 3101 S Bài tốn 3: Tính tổng A= + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 Giải Vấn đề đặt nhân hai vế A với số để trừ cho A loạt lũy thừa bị triệt tiêu ? Ta thấy số mũ liền cách đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 Ta có: 32A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 + 3102 A = + 32 + 34 + 36 + 38 + + 3100 32A - A = 3102 - Hay A( 32 - 1) = 3102 - * Bài toán tổng quát : A= + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n 20 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Ta có: a2A = a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n + a2n + A = + a2 + a4 + a6 + a8 + + a2n a2A - A = a2n+2 - Hay A( a2 - 1) = a2n +2 - Hay A = (a2n +2 – 1):( a2 - 1) Bài tốn 4: Tính tổng B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 Giải Tương tự ta có: 72B = 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 + 7101 B = + 73 + 75 + 77 + 79 + + 799 72B - B = 7101 - , hay B( 72 - 1) = 7101 – * Bài toán tổng quát : A= + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 Ta có: a2A = a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 + a2n + A = + a3 + a5 + a7 + a9 + + a2n+1 a2A - A = a2n+3 - Hay A( a2 - 1) = a2n +3 - Hay A = (a2n + – 1):( a2 - 1) * Bài tập vận dụng: Tính tổng A 73 2007 B 42 43 4100 C p p p p n ( p 1) D = + 22 + 24 + 26 + 28 + 210 + + 2200 E = + 53 + 55 + 57 + 59 + + 5101 F = 13 + 133 + 135 + 137 + 139 + + 1399 G = 112 + 132 + 152 + … + 20092 H = 12 + 22 + 32 + … + 1002 S 1 1 3 3 K 1 2005 2 D.Tính tổng phương pháp quy nạp toán học Trong số trường hợp tính tổng dãy số, ta thơng qua số phép tính vài số hạng ta dự đốn kết Phương pháp dễ dàng thực phép tính tổng, nhiên việc vân dụng phương pháp 21 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp giải số tốn dạng tính tổng dãy số Lí số tốn việc tìm giả thiết quy nạp cịn gặp nhiều khó khăn Muốn tính hay chứng minh mệnh đề Sk (k=1;2;3…) mà ta thấy mệnh đề với 1; 2; giá trị k ta dùng phương pháp quy nạp tốn học để tính chứng minh mệnh đề Các bước giải tốn sau: Bước 1: Thử vài giá trị xem tính đắn mệnh đề Bước 2: Giả sử mệnh đề với n = k Nghĩa Sk Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k+1, tức Sk+1 Bước 4: Kết luận tốn Ví dụ : Tính tổng Sn =1 + + + …+ n với nN Dự đoán kết quả: Sn= nn 1 Với n = 1thì S1= (đúng) Với n =2 S2=1+2= 22 1 3 Với n = S3=1+2+3= (đúng) 33 1 6 (đúng) Giả sử kết với n = k tức Sk=1+2+3+…+k= k k 1 Ta phải chứng minh kết với n = k+1 Tức phải chứng minh Sk+1= k 1k 2 Thật Sk+1= 1+2+3+ +k+ (k+1) = = k k 1 + (k+1) k 1k 2 (ĐPCM) Suy dự đoán Vậy Sn=1+2+3+…+n = nn 1 Sau số tập tương tự Tính tổng sau: Sn=1 + + +…+ (2n-1) với nN* Sn=12+22+32+…+n2 với nN* 22 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp Sn=13+23+33+…+n3 với nN* Sn=13+33+53…+(2n-1)3 với nN* E Tính tổng phương pháp thơng qua tổng biết Bài tốn 1: Tính tổng: A = 1.2 + 3.4 + … + 99.100 Giải Trong toán ta không nhân A với số mà tách thừa số số hạng làm xuất dãy số mà ta biết cách tính dễ dàng tính Cách 1: A = + ( 2+ 1).4 + ( + 1)6 + … + (98 + 1).100 = + 2.4 + + 4.6 + + … + 98.100 + 100 = (2.4 + 4.6 + … + 98.100 ) + (2 + + + + … + 100) Trong : tổng ( 2.4 + 4.6 + … + 98.100) (2 + + + + … + 100) biết cách tính Cách 2: A = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) + … + 99(101 - 1) = 1.3 - + 3.5 - + 5.7 - + … + 99.101 - 99 = (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) - (1 + + + + … + 99) Trong tổng (1.3 + 3.5 + 5.7 + … + 99.101) (1 + + + + … + 99) biết cách tính Bài tốn 2: Tính tổng : A = 1.22 + 2.32 + 3.42 + … + 99.1002 Giải A = 1.2.(3 - 1) + 2.3(4 - 1) + 3.4(5 - 1) + … + 99.100.(101 - 1) = 1.2.3 - 1.2 + 2.3.4 - 2.3 + 3.4.5 - 3.4 + … + 99.100.101 - 99.100 = (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) - (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) Trong tổng (1.2.3 + 2.3.4 + … + 99.100.101) (1.2 + 2.3 + 3.4 + … + 99.100) biêt cách tính Bài tập đề nghị: Tính tổng A = 12 + 42 + 72 + … +1002 B = 1.32 + 3.52 + 5.72 + … + 97.992 G = 1.99 + 2.98 + 3.97 + … + 49.51+ 50.50 H = 1.3 + 5.7 + 9.11 + … + 97.101 C = 1.3.5 – 3.5.7 + 5.7.9 – 7.9.11 + … - 97.99.101 23 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp D = 1.99 + 3.97 + 5.95 + … + 49.51 E = 1.33 + 3.53 + 5.73 + … + 49.513 F = 1.992 + 2.982 + 3.972 + … + 49.512 2.3 Kết quả: Trên giới thiệu với bạn số phương pháp giải tốn tính tổng dãy số có quy luật, kết thu rõ ràng vận dụng nhiều dạng toán, ứng dụng tốn khơng phải Nếu rèn luyện cho học sinh dạng tốn trang bị cho em lượng kiến thức khơng phải nhỏ Trong chương trình tốn phổ thơng cịn nhiều phương pháp Trên tơi trình bày số phương pháp thơng dụng chương trình mà tơi cho phù hợp với đối tượng học sinh THCS Hải Tiến Tuy nhiên với dạng tốn khơng phải đối tượng tiếp thu cách dễ dàng, giáo viên phải khéo léo lồng vào tiết dạy ôn luyện học sinh nhằm thu hút phát huy sáng tạo cho học sinh Đây vấn đề hồn tồn mẻ khó khăn cho học sinh mức trung bình, giáo viên nên cho em làm quen dần Dạng toán có tác dụng tương hỗ, cao dần từ kiến thức sách giáo khoa, giúp học sinh khắc sâu kiến thức biết tư sáng tạo, biết tìm cách giải dạng tốn mới, tập trung “Sáng tạo” vấn đề Tôi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho việc ôn luyện học sinh giỏi năm trước thu số kết khả quan Bản thân nhận thấy học sinh có hứng thú ơn, em linh hoạt học, đồng thời linh hoạt tập cụ thể 2.4 Rút học kinh nghiệm Sau áp dụng đề tài này, thân thu kết đáng kể kinh nghiêm quý báu cho thân sau: Bản thân công tác giảng dạy lĩnh vực giải Toán mảng kiến thức tính tổng dãy số có quy luật có hệ thống tập vận dụng phương pháp giải, với hệ thống dạng toán tập, có cách tháo gỡ khó khăn kinh nghiệm vấn đề ôn luyện học sinh Giáo viên cần tạo mơi trường học tập mà học sinh đối tượng hoạt động chính, rèn luyện cho em tính tự giác, chủ động sáng tạo linh hoạt học tập, rèn luyện kỹ giải tập cách thành thạo III Phần kết luận, kiến nghị Kết luận: Trên số phương pháp giải tốn tính tổng dãy số mà áp dụng giảng dạy thực tế lớp trường THCS Hải Tiến cho học sinh đại trà q trình ơn luyện , bồi dưỡng học sinh giỏi Tôi thu kết sau : + Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú tích cực học tập u thích mơn tốn 24 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp + Học sinh tránh sai sót bản, có kĩ vận dụng thành thạo phát huy tính tích cực học sinh Tuy nhiên để đạt kết mong muốn , đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến kiến thức từ cụ thể đến tổng quát, từ dễ đến khó phức tạp ,phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Người thầy cần phát huy trọng tính chủ động tích cực sáng tạo học sinh từ em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng giải tốn đắn Làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Trong đề tài chắn không tránh khỏi hạn chế định Vậy mong giúp đỡ góp ý thầy ,cô giáo cho để rút kinh nghiệm trình giảng dạy năm học sau 2.Kiến nghị Xuất phát từ sở lý luận, thực tiễn, mục đích dạy học thành cơng hạn chế thực đề tài, để góp phần vào việc nâng cao chất lượng đại trà , chất lượng đội tuyển ơn thi HSG mơn Tốn, tơi có kiến nghị sau: * Về phía trường: Đối với tổ chuyên môn cần tăng cường hoạt động trao đổi, thảo luận nội dung chuyên môn buổi sinh hoạt tổ, cần chuẩn bị đưa nội dung khó để thảo luận, bàn phương pháp giải trước truyền đạt vấn đề cho học sinh *Về phía PGD & ĐT : thường xuyên mở lớp tập huấn chuyên môn nghiệp vụ cho đội ngũ giáo viên IV Tài liệu tham khảo – phụ lục Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi THCS - Số học Tác giả : Nguyễn Vũ Thanh Nâng cao phát triển toán - Tập Tác giả : Vũ Hữu Bình Bài tập nâng cao số chuyên đề toán Tác giả : Bùi văn Tuyên 4.Toán nâng cao chuyên đề toán Tác giả : Vũ Dương Thuỵ - Nguyễn Ngọc Đạm Toán bồi dưỡng học sinh lớp Tác giả : Vũ Hữu Bình - Tơn Thân - Đỗ Quang Thiều Mạng internet 25 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp SGK Toán NXB Giáo Dục PHỤ LỤC STT Nội dung Trang I Phần mở đầu 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Thời gian địa điểm Đóng góp mặt thực tiễn II Phần nội dung Chương Tổng quan 1.1 Cơ sở lí luận 1.2 Cơ sở thực tiễn Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu 2.1 Thực trạng 2.2 Các giải pháp 2.3 Kết 24 2.4 Rút học kinh nghiệm 24 III Phần kết luận, kiến nghị Kết luận 24 Kiến nghị 25 IV tài liệu tham khảo , phụ lục 25 - 26 Hải Tiến, ngày 10 tháng 05 năm 2019 Người viết Đỗ Thị Tuyết Mai 26 Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp V.Nhận xét BGH nhà trường, kí, đóng dấu ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… VI Nhận xét hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm ( Xếp loại A, B, C, không xếp loại) ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………… CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG NGƯỜI CHẤM (ký tên, đóng dấu) (ký, ghi rõ họ tên) 27 ... (- 1)k (2 k – 1) = (- 1k)k.k Ta xét: Ak + = -1 + – + – +….+ (- 1)k(2k – 1) + (- 1)k + (2 k + 1) = Ak + (- 1)k +1 (2 k + 1) Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp = (- 1)k k + (- 1)k (- 1) .(2 k... Bk+1 = 1.2 + 2.3+…+ (k + 1 )( k+ 2) = (k 1 )( k 2 )( k 3) Thật vậy: Bk+1 = Bk + (k + 1 )( k + 2) = k ( k 1 )( k 2) + (k + 1 )( k + 2) k (k 10(k 2 )( l 3) Bk + = (k + 1 )( k + 2) 1 3 ... n 1) (n 1) (n 1) = = (n + 1)2 2 b) Số số hạng: (2 n - 2) : + = 2.(n - 1) : + = n (số hạng) Một số phương pháp tính tổng dãy số cho học sinh lớp B= (2 n 2) n = n (n + 1) *) Đặt vấn đề 1: