Chuyên đề tính tổng dãy số có quy luật (102 trang)

1 CHUN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Dạng 1: Tổng số hạng cách S = a1 + a2 + a3 + + an Cần tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + + an (1) Với a2 - a1 = a3 - a2 = = an - an- = d (các số hạng cách giá trị d ) Số số hạng tổng n  an  a1  : d  với a1 số hạng thứ an số hạng thứ n Tổng S n  a1  an  : Số hạng thứ n dãy an a1   n  1 d Ví dụ 1: Tính tổng S = + + + + + 2019 + 2020 Phân tích: Các số hạng cách với d = Lời giải Số số hạng dãy ( 2020 - 1) :1 +1 = 2020 Tổng S = ( + 2020) 2020 : = 2041210 Bài toán tổng quát: Tính tổng S = + + + + n Số số hạng dãy ( n - 1) :1 +1 = n Tổng S = ( n +1) n : Ví dụ 2: Tính tổng S = + + + + 2019 + 2021 Phân tích: Các số hạng cách với d = Lời giải Số số hạng dãy ( 2021- 1) : +1 =1011 Tổng S = ( + 2021) 1011: =1022121 Ví dụ 3: Tính tổng S = +10 +15 + + 2015 + 2020 Phân tích: Các số hạng cách với d = Lời giải Số số hạng dãy ( 2020 - 5) : +1 = 404 Tổng S = ( + 2020) 404 : = 409050 4039 + 2020 Ví dụ 4: Tính tổng S = + + + + + 2 Phân tích: Các số hạng cách với d = Lời giải Số số hạng dãy ( 2020 - 1) : +1 = 4039 Tổng S = ( + 2020) 4039 : = 4081409,5 Ví dụ 5: Tính tổng S = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ¼+ 98,99 + 100 Phân tích: Các số hạng cách với d = 1, 01 Lời giải Số số hạng dãy ( 100 - 10,1) :1, 01 +1 = 90 Tổng S = ( 10,11 +100) 90 : = 4954, 95 Dạng 2: Tổng có dạng S 1  a  a  a   a n (1) Phương pháp TH 1: Nếu a 1 S n  TH 2: Nếu a 1 để tính tổng S ta làm sau Bước 1: Nhân hai vế  1 với số a ta aS a  a  a3  a   a n  2 Bước 2: Lấy   trừ  1 vế theo vế ta aS  S a n 1 a n 1   1 S  a Ví dụ 1: Tính tổng S 2  22  23  24   220 Lời giải Ta có S 22  23  24  25   221 Vậy S  S S 221  Ví dụ 2: Tính tổng S 1   2  23  24   2100 Lời giải Ta có S 2  22  23  24  25   2101 Vậy S  S S 2101  Ví dụ 3: Tính tổng S 6  62  63  64   699 Lời giải Ta có S 62  63  64  65  6100 Vậy S  S 5S 6100  Suy S  6100  Dạng 3: Tính tổng có dạng A 1  a  a  a   a n (1) Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế đẳng thức với a ta được: a A a  a  a  a   a n 2 (2) Bước 2: Lấy     1 theo vế ta được: a A  A  a  a  a  a8   a n 2     a  a  a   a n   A  a  1 a 2 n 2 a n 2   1 A  a 1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: A 1  22  24  26    298  2100 (1) Lời giải Nhân vào hai vế với 22 ta được: 22.A 22  24  26  28    2100  2102 (2) Lấy     1 theo vế : 22.A  A  22   26  28    2100  2102     2   26    298  2100  102 A 2 2102   1 A  1 1   2018 (1) Ví dụ 2: Tính tổng sau: B     9 81 729 Lời giải 1 1   2018  B   C Đặt C    81 729 Ta có: C   1 1     2018 3 1 1 C      2020 3 3    1        2020    3 2018 1  1  1  C   2020  C    2020   2018 3  3  8.3  C 1  1 C      2018 3 3 25  Ví dụ 3: Tìm giá trị x biết:  52  54   52 x  24 Lời giải Đặt A 1  52  54   52 x (1) Nhân vào hai vế với 52 ta được: 2.A 52  54  56  58    52 x 2 (2) Lấy     1 theo vế : 2.A  A  52  54  56  58    22 x 2     52  54  .52 x  24 A 52 x 2   A  52 x   24 256  512  52 x 2  512  Vì    .5      x 5 Vậy x 5 giá trị cần tìm 24 24 24 24 2x Ví dụ 4: Tìm giá trị x biết:   x  1   x  1    x  1 2020  17 2022    x  1  1 , với x 2   Lời giải Đặt B 1   x  1   x  1    x  1 2020 (1) Nhân hai vế (1) cho  x  1 ta được: 2 B  x  1  x  1   x  1   x  1    x  1 2022 (2) Lấy     1 theo vế ta được: 2 B  x  1  B   x  1   x  1   x  1    x  1  2022   1   x  1   x  1   x  1 2020     2022  x  1  2022 B   x  1  1  x  1  1 B     x  1  Theo cho: B  17 2022    x  1  1   2022   x  1   172022   x  1    x  1  1  x  17  x 18 ( thỏa mãn) Vậy x 18 Ví dụ 5: Chứng minh rằng:  52  54   540 chia hết cho 26 Lời giải Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 26 Ta có:  52  54   540   52    54  56    538  540    52   54   52   538   52  26  54.26  538.26 Vậy  52  54  .540 chia hết cho 26 Ví dụ 6: Chứng minh rằng:  22  24   2100 chia hết cho 21 Lời giải Phân tích: Ta nhóm thừa số liền kề để làm xuất thừa số 21 Ta có:  22  24   2100   22  24    26  28  210    296  298  2100    22  24   26   22  24    296   22  24  21  26.21   296.21 Do đó:  22  24   2100 chia hết cho 21 Ví dụ 7: Chứng minh rằng:  32  34   3100 chia hết cho 82 Lời giải Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách để làm xuất thừa số 82 Ta có:  32  34   3100   34    32  36     390  394    396  3100    34   32   34    390   34   396   34  82  32.82   390.82  396.82 Vậy  32  34   3100 chia hết cho 82 Ví dụ 8: So sánh:  52  54   540 với 542  23 Lời giải Đặt A 1  52  54   540  52 A 52  54  56   542  52 A  A  52  54  56   542     52  54   540   24 A 542   A  542  542  542    24 24 23 Vậy  52  54   540  542  23 Ví dụ 9: So sánh:     7100 với 7102  2019 2021 Lời giải Đặt A 1     7100  A 7     7102  A  A    76   7102        7100  102  48 A 7 7102  7102  2019 7102  2019  1 A    48 48 2021 Dạng 4: Tính tổng S a  a  a   a n  , với n 1, n N ; a 1 Phương pháp: S a  a  a   a n   1 Bước 1: Nhân vế  1 với a ta : a S a  a   a n   a n 1  2 Bước 2: Lấy     1 ta :  a  1 S a 2n1  a  S  a n 1  a a2  Vậy a  a  a   a n   a n 1  a a2  51 Ví dụ 1: Tính tổng S1 2     Lời giải Áp dụng công thức a  a  a   a n   S1 2  23  25   251  a n 1  a với n 26; a 2 ta : a2  252  252   22  3   1 Ví dụ 2: Tính tổng S        3        3    99 Lời giải Áp dụng công thức a  a  a   a  S      1          3        99     2n 1 a n 1  a với n 50; a  ta :  a 1 101    3 3100   99  1 8.3   1  3      Ví dụ 3: S3 9  999  99999   999 15 so Phân tích: 15    10  + ) 10  ; 999 103  ; 99999 105  ;….; 999 15 so +) Tổng có số hạng Lời giải 15     10  10  10   10   Ta có: S3 9  999  99999   999 15 so Áp dụng công thức a  a  a   a n   a n 1  a với n 8; a 10 ta : a2  1017  10 1017  10 10  103  105   1015   10  99 1017  10 1017  802 Vậy S3   8 99 99 Dạng 5: Tổng có dạng: S 1.2  2.3  3.4   n  n  1 Ví dụ 1: Tính tổng: A 1.2  2.3  3.4   98.99 Phân tích: Khoảng cách hai thừa số số hạng Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng A với (ba lần khoảng cách hai thừa số) Thừa số viết dạng    số hạng thứ nhất,   1 số hạng thứ hai,    số hạng thứ ba, …,  100  97  số hạng cuối Lời giải: Ta có: A 1.2.3  2.3.3  3.4.3   98.99.3 A 1.2     2.3   1  3.4      98.99  100  97  A 1.2     2.3   1  3.4      98.99  100  97  A  1.2.3  2.3.4  3.4.5   97.98.99  98.99.100    0.1.2  1.2.3  2.3.4   97.98.99  A 98.99.100 Suy ra: A  98.99.100 323400 Bình luận: Ta thấy: A 98.99.100 tích ba thừa số, 98.99 hai thừa số số hạng lớn tổng, thừa số 100 99  (bằng thừa số lớn A cộng với khoảng cách hai thừa số số hạng A ) Bài toán tổng quát: S 1.2  2.3  3.4   n  n  1  n  n  1  n   Ví dụ 2: Tính tổng: B 1.3  3.5  5.7   99.101 Phân tích: Khoảng cách hai thừa số số hạng Để tách số hạng thành hiệu hai số nhằm triệt tiêu cặp hai số, ta nhân số hạng B với (ba lần khoảng cách hai thừa số) Thừa số viết dạng   1 số hạng thứ nhất,   1 số hạng thứ hai,   3 số hạng thứ ba, …,  103  97  số hạng cuối Lời giải: Ta có: B 1.3.6  3.5.6  5.7.6   99.101.6 B 1.3   1  3.5   1  5.7      99.101  103  97   1.3.1  1.3.5  3.5.7  5.7.9   97.99.101  99.101.103   1.3.5  3.5.7   97.99.101 3  99.101.103 1029900 1029900 171650 Suy ra: B  Bài toán tổng quát: n S 1   k     k    2k    n  n  k   n  n  k  , n, k   * n 1 (khoảng cách thừa số số hạng k ) n * Nhân S với ba lần khoảng cách ta được: 3kS  3kn  n  k  n 1 * Phân tích số hạng tổng để xuất số hạng đối nhau: 3kn  n  k  n  n  k   n  2k    n  k  n  n  k  Từ tính tổng S Dạng 6: Tổng có dạng: 12  22  32   n Bài toán tổng quát: Chứng minh : 12  22  32    n  n. n  1  2n  1 Lời giải S = 12  2  32    n S 1.1  2.2  3.3  4.4   n.n 1  1    1    1   n   n  1  1 1.2  2.3  3.4   n  n  1         n  Mà 1.2  2.3  3.4  4.5   n  n  1   S n  n  1  n   (Theo dạng trước) n  n  1  n   n  n  1 2n    n 1   n  n  1    n  n  1 2  n  n  1  2n  1 Do đó, ta có cơng thức tính dãy số: Vậy S  S 12  2  32    n  n  n  1  2n  1 Ví dụ 1: Tính tổng sau: N   22  32  42  52  992 A     16  25  36   10000 Lời giải Tính N Áp dụng toán tổng quát Ta thấy n 99 nên N  S 12  22  32    n  n  n  1  2n  1 n  n  1  2n  1 99  99  1  2.99  1  328350 6 Tính A Ta biến đổi A dạng tương tự biểu thức N ta có: A     16  25  36   10000 = 12  22  32  42  52  62   1002 = 100  100  1  2.100  1 338350 (với n 100 ) Ví dụ Tính tổng sau: B   12  22 – 32  42    19  202 Lời giải Tính B Ta biến đổi B dạng quen thuộc biểu thức N cách thêm bớt tổng 22  42   1002 B   12  22 – 32  42    19  20 B   12  22  32   202    22  42  62   202  B  20. 20  1  2.20  1  2.22  12  22  32   102  B  2870  10  10  1  2.10  1 B  2870  3080 210 10 Dạng : Tính tổng có dạng S 12  32  52    2k  1 với k   PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: Ta tính tổng S 12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 1.2  2.3  3.4    n  1 n Trước hết ta xét tổng A 1.2  2.3  3.4    2k  1 2k  A 1.2.3  2.3.3  3.4.3    2k  1 2k.3  A 1.2     2.3   1  3.4       2k  1 k   k 1   k     A 1.2.3  0.1.2  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4    2k  1 2k  2k  1   2k    2k  1 2k  A  2k  1 2k  2k  1  A  2k  1 2k  2k 1 Mặt khác A 0.1  1.2  2.3  3.4    2k  1 2k  A  0.1  1.2    2.3  3.4      2k    2k  1   2k  1 2k   A 1          2k  1   k    k   A 1.2  3.6    2k  1  4k    A 1.1.2  3.3.2    2k  1  2k  1 2  A 2  12  32    2k  1  2.S   Vậy S  A  2k  1 2k  2k  1  Cách 2: Ta tính tổng S 12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 2.4  4.6    2k   k công thức n   n  1  n  1 2 Ta chứng minh công thức sau: n  n  n  n  n  n  1   n  1  n  1  n  1 (đpcm) Nhận thấy tổng S 12  32  52    2k  1 có  2k   1 :  k số hạng, từ ta có: S  k  12  1   32  1   52  1     2k  1  1    S  k 2.4  4.6    2k   2k