Chuyên đề Tính tổng dãy số có quy luật Toán lớp 6

1 CHUYÊN ĐỀ TÍNH TỔNG DÃY SỐ CÓ QUY LUẬT A TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Dạng 1 Tổng các số hạng cách đều 1 2 3 nS a a a a     Cần tính tổng 1 2 3 nS a a a a     (1) Với 2 1 3 2 1 n na a a a a a d  [.]

1     CHUN ĐỀ: TÍNH TỔNG DÃY SỐ CĨ QUY LUẬT A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT Dạng 1: Tổng số hạng cách S  a1  a2  a3   an Cần tính tổng:   S  a1  a2  a3   an   (1)  Với  a2  a1  a3  a2   an  an1  d  (các số hạng cách đều nhau một giá trị  d )  Số số hạng tổng n   an  a1  : d  với a1 số hạng thứ nhất  an số hạng thứ n   Tổng S  n  a1  an  :   Số hạng thứ n dãy an  a1   n  1 d   Ví dụ 1: Tính tổng  S       2019  2020   Phân tích:  Các số hạng cách đều nhau  với  d    Lời giải Số số hạng của dãy là   2020  1 :1   2020   Tổng  S  1  2020 .2020 :  2041210   Bài tốn tổng qt: Tính tổng   S      n   Số số hạng của dãy là   n 1 :1   n   Tổng  S   n  1 n :   Ví dụ 2: Tính tổng  S      2019  2021   Phân tích:  Các số hạng cách đều nhau  với  d    Lời giải Số số hạng của dãy là   2021 1 :   1011   Tổng  S  1  2021.1011:  1022121   Ví dụ 3: Tính tổng  S  10 15   2015  2020   Phân tích:  Các số hạng cách đều nhau  với  d    Lời giải Số số hạng của dãy là   2020  5 :   404   Tổng  S  5  2020.404 :  409050       4039  2020   Ví dụ 4: Tính tổng  S       2 Phân tích:  Các số hạng cách đều nhau  với  d    Lời giải Số số hạng của dãy là   2020 1 : 1  4039   Tổng  S  1  2020.4039 :  4081409,5   Ví dụ 5: Tính tổng   S  10,11    11,12    12,13       98,99    100   Phân tích:  Các số hạng cách đều nhau  với  d  1,01   Lời giải Số số hạng của dãy là  100 10,1 :1, 01   90   Tổng  S  10,11  100.90 :  4954, 95   Dạng 2: Tổng có dạng S   a  a  a3   a n (1)  Phương pháp TH 1: Nếu  a   thì  S  n    TH 2: Nếu  a   để tính tổng  S  ta làm như sau  Bước 1: Nhân hai vế của  1  với số  a  ta được  aS  a  a  a3  a   a n  2   Bước 2: Lấy   2  trừ  1  vế theo vế ta được  aS  S  a n1   S  a n 1    a 1 Ví dụ 1: Tính tổng  S   2  23  24   220 Lời giải Ta có  S  2  23   25   221   Vậy  S  S  S  221    Ví dụ 2: Tính tổng  S    2  23  24   2100 Lời giải Ta có  S   2  23  24  25   2101   Vậy  S  S  S  2101    Ví dụ 3: Tính tổng  S   62  63    699     Lời giải Ta có  S  62  63   65  6100   Vậy  S  S  5S  6100    Suy ra  S  6100    Dạng 3: Tính tổng có dạng A   a  a  a   a n (1)  Phương pháp: Bước 1: Nhân hai vế của đẳng thức với  a  ta được:  a A  a  a  a  a   a n    (2)  Bước 2: Lấy     1  theo vế ta được:  a A  A   a  a  a  a   a n   1  a  a  a   a n   A  a  1  a 2n    A  a 2n  a2 1   Ví dụ 1: Tính tổng sau: A   2   26      298  2100 (1)  Lời giải Nhân vào hai vế với  2  ta được:  2.A  2   26  28      2100  2102 (2)  Lấy     1  theo vế :  22.A  A   2  24  26  28      2100  2102   1  22        298  2100  A  2102   A  2102  Ví dụ 2: Tính tổng sau: B  1 1      2018 (1)  9 81 729 Lời giải Đặt  C  1 1     2018  B   C   81 729 Ta có:  C   1 1     2018   3 1 1 C      2020   32 3 C 1  1 1  1 1 C       2018        2020  3  3 3  3 1 1  32018   C   2020  C    2020   3  3  8.32018       Ví dụ 3: Tìm giá trị của  x  biết:   52  54   52 x  256    24 Lời giải Đặt   A   52  54   52 x   (1)  Nhân vào hai vế với  52  ta được:  2.A  52  54  56  58      52 x  (2)  Lấy     1  theo vế :  2.A  A   52  54  56  58      2 x    1  52  54  .52 x  24 A  2x2 52 x   1  A  24 Vì   52  54  .52 x  256  512  52 x   512      x   Vậy  x   là giá trị cần tìm.  24 24 24 24 Ví dụ 4: Tìm giá trị của  x  biết:    x  1   x  1    x  1 2020  172022   x  12  1   , với  x    Lời giải Đặt  B    x  1   x  1    x  1 2020   (1).  Nhân cả hai vế của (1) cho   x  1  ta được:  B. x  1   x  1   x  1   x  1    x  1 2 2022   (2).  Lấy     1  theo vế ta được:  B  x  1  B   x  1   x  1   x  1    x  1  2 2022   1   x  1   x  14   x  1 2020      x  1  2022 B  x  1  1   x  1   B     x  1  2022    x  1   172022   x   17  x  18  ( thỏa mãn) .  Theo bài cho:  B    x  1  1  x  1   x  12  1   172022  2022 Vậy  x  18   Ví dụ 5: Chứng minh rằng:   52  54   540  chia hết cho 26.  Lời giải Phân tích: Ta nhóm 2 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 26.  Ta có:       52  54   540  1  52    54  56    538  540                                  1  52   54 1  52   538 1  52                                    26  54.26  538.26 Vậy    52  54  .540  chia hết cho 26.  Ví dụ 6: Chứng minh rằng:   22  24   2100  chia hết cho 21.  Lời giải Phân tích: Ta nhóm 3 thừa số liền kề để làm xuất hiện thừa số 21.  Ta có:   22  24   2100  1  2     26  28  210    296  298  2100                                     1  22  24   26 1  2  24    296 1  2                                        21  26.21   296.21 Do đó:   22  24   2100  chia hết cho 21  Ví dụ 7: Chứng minh rằng:   32  34   3100  chia hết cho 82.  Lời giải Phân tích: Ta nhóm hai thừa số cách đều để làm xuất hiện thừa số 82.  Ta có:   32  34   3100  1  34    32  36     390  394    396  3100                                    1  34   32 1  34    390 1  34   396 1  34                                      82  32.82   390.82  396.82 Vậy   32  34   3100  chia hết cho 82.  Ví dụ 8: So sánh:   52  54   540  với  542    23 Lời giải Đặt  A   52  54   540    52 A  52  54  56   542  52 A  A   52  54  56   542   1  52  54   540     24 A  542   A  542  542  542    24 24 23 Vậy   52  54   540  542    23 Ví dụ 9: So sánh:      7100  với   Lời giải   7102  2019   2021   Đặt  A      7100    A      7102  A  A       7102   1     7100     48 A  7102   A  7102  7102  2019 7102  2019   48 48 2021 Dạng 4: Tính tổng S  a  a3  a   a n1 , với n  1, n N ; a   Phương pháp: S  a  a3  a5   a n1 1 Bước 1: Nhân cả 2 vế của  1 với  a  ta được :  a S  a3  a5   a n1  a n1  2   Bước 2: Lấy     1  ta được :  a  1 S  a n 1  a S  a n 1  a   a2 1 Vậy  a  a  a   a n 1  a n 1  a   a2 1 Ví dụ 1: Tính tổng S1   23  25   251 Lời giải Áp dụng công thức  a  a  a   a n 1  S1   23  25   251  a n 1  a  với  n  26; a   ta được :  a2 1 252  252     22  3   99     Ví dụ 2: Tính tổng  S               3  3 Lời giải Áp dụng công thức  a  a  a   a n 1    99     S             3  3  3 a n 1  a  với  n  50; a   ta được :  a 1   101    100  3 3 1       1 8.399   1  3   Ví dụ 3: S3   999  99999   999    15  so 9     Phân tích:  15 + )   10  ; 999  103  ; 99999  105  ;….; 999   10    15 so 9   +)  Tổng trên có 8 số hạng.  Lời giải 15 Ta có:  S3   999  99999   999   10  10  10   10     15 so 9 Áp dụng công thức  a  a  a   a n 1  10  103  105   1015  Vậy  S3  a n 1  a  với  n  8; a  10  ta được :  a2 1 1017  10 1017  10    102  99 1017  10 1017  802   8  99 99 Dạng 5: Tổng có dạng: S  1.2  2.3  3.4   n  n  1 Ví dụ 1: Tính tổng:  A  1.2  2.3  3.4   98.99   Phân tích:  Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 1.  Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của  A  với 3 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 3 này được viết dưới dạng      ở số  hạng thứ nhất,    1  ở số hạng thứ hai,      ở số hạng thứ ba, …,  100  97   ở số hạng cuối  cùng.  Lời giải: Ta có:  A  1.2.3  2.3.3  3.4.3   98.99.3   A  1.2     2.3   1  3.4      98.99 100  97    A  1.2     2.3   1  3.4      98.99 100  97    A  1.2.3  2.3.4  3.4.5   97.98.99  98.99.100    0.1.2  1.2.3  2.3.4   97.98.99    A  98.99.100   Suy ra:  A  98.99.100  323400   Bình luận: Ta thấy:  A  98.99.100 là tích của ba thừa số, trong đó  98.99  là hai thừa số của số hạng lớn nhất  trong tổng, còn thừa số 100 bằng  99  (bằng thừa số lớn nhất của  A  cộng với khoảng cách giữa  hai thừa số của mỗi số hạng trong  A )     Bài toán tổng quát:  S  1.2  2.3  3.4   n  n  1  n  n  1 n     Ví dụ 2: Tính tổng:  B  1.3  3.5  5.7   99.101.  Phân tích:  Khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng là 2.  Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta nhân mỗi số hạng của  B  với 6 (ba lần khoảng cách giữa hai thừa số). Thừa số 6 này được viết dưới dạng    1  ở số hạng  thứ nhất,    1  ở số hạng thứ hai,    3  ở số hạng thứ ba, …,  103  97   ở số hạng cuối cùng.  Lời giải: Ta có:  B  1.3.6  3.5.6  5.7.6   99.101.6   B  1.3   1  3.5   1  5.7   3   99.101 103  97     1.3.1  1.3.5  3.5.7  5.7.9   97.99.101  99.101.103  1.3.5  3.5.7   97.99.101     99.101.103    1029900   Suy ra:  B  1029900  171650   Bài toán tổng quát:  n S  1  k   1  k 1  2k    n  n  k    n  n  k  ,  n, k   *   n 1 (khoảng cách giữa các thừa số của mỗi số hạng là  k )  n * Nhân  S  với ba lần khoảng cách ta được:  3kS   3kn  n  k    n 1 * Phân tích từng số hạng của tổng mới để xuất hiện các số hạng đối nhau:  3kn  n  k   n  n  k  n  2k    n  k  n  n  k    Từ đó tính được tổng  S   Dạng 6: Tổng có dạng: 12  22  32   n Bài toán tổng quát: Chứng minh rằng :  12   2   32         n    Lời giải  S = 12  22  32  42   n   S  1.1  2.2  3.3  4.4   n.n     n. n     1 n     1    1  1  2.  1  3.  1   n  n  1  1   1.2  2.3  3.4   n  n  1  1       n  Mà 1.2  2.3  3.4  4.5   n  n  1  S n  n  1 n     (Theo dạng trước)  n  n  1 n   n  n  1 2n    n 1      n  n  1     n  n  1 2  n  n  1 2n  1 Do đó, ta có cơng thức tính dãy số:  Vậy S  S  12   22   32         n    n  n     1 2n     1   Ví dụ 1: Tính các tổng sau:  N    1    2   32   4   52   99   A    1    4    9    16    25    36         10000   Lời giải Tính   N   Áp dụng bài tốn tổng qt  S  12   22   32         n      Ta thấy   n  99   nên  N  n  n     1 2n     1   n  n  1 2n  1 99. 99  1 2.99  1   328350   6 Tính  A   Ta biến đổi  A  về dạng tương tự như  biểu thức  N  ta có:  A    1    4    9    16    25    36         10000 =  12  22  32   52    1002   =  100.100  1 2.100  1  338350  (với  n  100 )  Ví dụ Tính tổng sau: B        12   2 –  32   42         192   20 Lời giải Tính  B   Ta biến đổi  B về dạng quen thuộc như biểu thức  N bằng cách thêm bớt tổng   2    1002   B        12   2 –  32   4         192   20 B   12  2  32   20    2  42  62   202    10   B 20  20  1 2.20  1  2.22 12  22  32   102  B  2870  10 10  1 2.10  1 B  2870  3080  210 Dạng : Tính tổng có dạng S  12  32  52    2k  1  với  k     PHƯƠNG PHÁP: Cách 1: Ta tính tổng S  12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 1.2  2.3  3.4    n  1 n Trước hết ta xét tổng  A  1.2  2.3  3.4    2k  1 2k    A  1.2.3  2.3.3  3.4.3    2k  1 2k    A  1.2     2.3   1  3.4       2k  1 2k  2k  1   2k       A  1.2.3  0.1.2  2.3.4  1.2.3  3.4.5  2.3.4    2k  1 2k  2k  1   2k    2k  1 2k    A   2k  1 2k  2k  1    A  2k 1 2k  2k  1   Mặt khác  A  0.1  1.2  2.3  3.4    2k  1 2k    A   0.1  1.2    2.3  3.4     2k  2 2k  1   2k  1 2k     A  1          2k  1  2k    2k     A  1.2  3.6    2k  1  4k      A  1.1.2  3.3.2    2k  1  2k  1    A  12  32    2k  1   2.S     Vậy  S  A  2k  1 2k  2k  1    Cách 2: Ta tính tổng S  12  32  52    2k  1 dựa vào tổng dạng 2.4  4.6    2k   2k công thức n    n  1  n  1     ... 4: Tính? ?tổng? ? S       2 Phân tích:  Các? ?số? ?hạng cách đều nhau  với  d    Lời giải Số? ?số? ?hạng của? ?dãy? ?là   2020 1 : 1  4039   Tổng? ? S  1  2020.4039 :  4081409,5   Ví dụ 5: Tính? ?tổng? ? ... là tích của ba thừa? ?số,  trong đó  98.99  là hai thừa? ?số? ?của? ?số? ?hạng lớn nhất  trong? ?tổng,  cịn thừa? ?số? ?100 bằng  99  (bằng thừa? ?số? ?lớn nhất của  A  cộng với khoảng cách giữa  hai thừa? ?số? ?của mỗi? ?số? ?hạng trong ... Dạng 5: Tổng có dạng: S  1.2  2.3  3.4   n  n  1 Ví dụ 1: Tính? ?tổng:   A  1.2  2.3  3.4   98.99   Phân tích:  Khoảng cách giữa hai thừa? ?số? ?trong mỗi? ?số? ?hạng là 1.  Để tách mỗi? ?số? ?hạng thành hiệu của hai? ?số? ?nhằm triệt tiêu từng cặp hai? ?số,  ta nhân mỗi? ?số? ?hạng của