Chuyên đề Lũy thừa với số mũ tự nhiên Toán lớp 6

Phi�u h�c t�p tu�n toán 7  Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019 Website tailieumontoan com Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài[.]

 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A Lý thuyết: Khái niệm: a  a.a.a a (a  0, n  N ) nthuaso Quy ước: a1 = ; a0 = 1; 0n = ( n thuộc N*) a2 : bình phương a ( a ≠ 0) ; a3 : lập phương a ( a ≠ 0) Các tính chất: Với a, b ≠ ; m, n thuộc N am an  a mn ; a m : an  a mn ;(a m )n  a( m ) ;(a m )n  a m.n ;(a.b)n  a m a n n B Bài tập Bài 1: Tính gi{ trị c{c biểu thức sau a A  310.10  310.6 39.22 11.322.37  915 b B  (2.314 ) 2 3610.2515 c C  308 11.322.37  915 e E  (2.314 ) 212.14.126 d D  355.6 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 ) F    4 f 100.164 100.48 48.100 Lời giải a A  310.10  310.6 39.22 310.(10  6) 310.24   3 39.24 11.322.37  915 11.329  330 329 (11  3) 3.8    6 b B  (2.314 )2 4.328 4.328 3610.2515 (62 )10 (52 )15 620.530   8  612.522 c C  8 30 (6.5) 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74    d D  5 35 2.3 2.3 7 11.322.37  915 2 e E  (2.314 ) 49.36  64 49.4.9  412 410.(9  42 )   4 f F  100.164 100.48 48.100 Bài 2: Viết c{c tích sau dạng lũy thừa a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) 100 c z z z x ( z  0) 100 b x x x ( x  0) d (m1 )2 (m2 )3.(m3 )4 (m99 )100 (m  0) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) = (3y)3 b x1.x2 x100  x12 100  x5050 ( x  0) 100 c z z z x ( z  0)  z147 100  z (1001).34:2  z101.17 3 99 100 d (m ) (m ) (m ) (m ) (m  0)  m m m 1.2 2.3 99.10 m 99.100.101 Bài 3: Tính tổng sau a A      2 b B      2015 2016 Lời giải a A      2015  A   22  23   22016  A  A  A  22016 1 2016 b B       3B     1 2 2017  2B  2017 32017  1  B  Bài 4: Tính S = + + + + < + 8192 Lời giải: S  20  21   213  2S   22   214  S  214 1  16383 Bài 5: Viết tổng sau th|nh bình phương số tự nhiên a 13 b 13 + 23 c 13 + 23 +33 d 13 + 23 + 33 +43 e phát biểu dạng tổng quát ( không cần chứng minh ) Lời giải: a 13 = 12 ; b (1+2)2 ; c (1+2+3)2 ; d (1+2+3+4)2 e 13 + 23 + 33 +43 + 0)  a > b Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh a 1287 424 c 536 1124 b 818 2711 d 3260 8150 e 3500 7300 Lời giải : 1287  (27 )7  249   1287  424 a Có : 24 24 24   (2 )    536  12512   536  1124 c 24 12  11  121   818  332   818  2711 b 11 33  27   3500  243100   3500  7300 e 300 100   343  3260  2300  8100   3260  8150 d 50 200 100  81    Bài 2: Hãy so sánh a 1619 825 b 2711 818 e 7.213 216 f 5100 3500 b 6255 1257 d 523 6.522 g 230  330  430 3.2410 Lời giải a 1619  (24 )19  276 ;825  (23 )25  275  276  275  1619  825 b 2711  (33 )11;81  (34 )  332  333  332  2711  818 c 625  (5 )  20 ;125  (5 )   125  625 5 21 d  5.5  6.5  6.5  23 22 22 22 23 e 7.2  8.2  12    7.2 13 13 13 16 16 13 f 5300  (53 )100  125100 & 3500  (33 )100  243100  5300  3500 g 430  (2 ) 30  (2.2) 30  230.230  (23 )10 (2 )15  810.315  810.310.3  (8.3)10  2410.3 Vậy 230  330  430  3.2410 Bài 2: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( n 1)2 a 32n.(n+2) (n  N ) b 256n 16n+5 với n N Lời giải: 32 n ( n  2)  9n ( n  2)  9n 2 2 n ( n 1) n  n 1 9  a Ta có: n  2n   n  2n    ( n 1)2  9n.( n  2)  9( n 1)  32 n ( n  2) (n  N ) 9    b 256n = 162n suy toán trở thành so sánh 2n n + +) Nếu 2n > n +  n  +) Nếu 2n = n +  n  +) Nếu 2n < n +  n  Vậy: Nếu ≤ n < 256n > 162n Nếu n = 256n = 162n ; Nếu n > 256n < 162n Bài 3: Chứng minh rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải:  263  (29 )7  3127  63 27 63   (1); 28  528 (2)  527  263  528 63 9 7  (2 )  128   (5 )  625  527  1259 Dạng 2: Đƣa tích có thừa số giống Bài 1: Hãy so sánh b 20152015 – 20152014 20152016 – 2015 2015 a 2115 275 498 d d A  7245  7244 ; B  7244  7243 c 201510 + 20159 201610 - 20152015 e 7150 3775 Lời giải: a 21  ;27 49   21  27 49 15 b 15 15 15 16 15 20152015  20152014  20152014 (2015  1)  2014.20152014 20152016  20152015  2014.20152015  c 2015  2015  2015 (2015  1)  2016.2015 ;2016  2016.2016  10 9 10 d A= 7244 (72  1)  7244.71 B  7243 (72  1)  7243.71  A  B e Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: Hãy so sánh a 3210 2350 b 231 321 c 430 3.2410 d 202303 303202 Lời giải :  2770 ;2350  3270  3210  2350 210 a b  2.2  2.8 ;3  3.3  3.9   31 30 c 30 10 21 20 10 21 31  260  230.230 ;3.2410  3.(3.8)10  311.230  430  3.2410 202303  (2.101)303  2303.101303  2303.1013.101  8101.1013.101  8101.101101.1012.101 d 303202  (3.101)2.101  32.101.101 2.101  9101.1012.101  202303  303202 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua lũy thừa trung gian - Để so s{n h lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho: A < M < B hoặc: A >M>B Trong đó: A v| M ; M B so sánh trực tiếp Bài 1: Hãy so sánh b 19920 ;200315 a 2225 3151 c 291 536 Lời giải: 225 75 75 75 75 150 151 a  (2 )    (3 )   A B M b Ta có: 199  200  (8.25)  (2 )20  (2 )  20 20 20 3 20 60 40 200315  200015  (16.125)15  (24.53 )15  (24.53 )15  260.545  260.545  260.540  200315  19920 91 90 18 18 18 36 c   (2 )  32  25  A M B Bài 2: So sánh a 9920 910.1130 b 96142 100.2393 Lời giải: 9920  [(99) ]10  980110  (223 )10  2230 ; a 2230  (2.11)30  230.1130  810.1130  910.1130 96142  100042  10126  100.10124 ; b 100.2393  100.(233 )31  100.(104 )31  100.10124  96142  100.2393 Bài 3: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 199010 + 19909 199110 c 3339 ;1121 b 10750 7375 Lời giải: a 1990  1990  1990 (1990  1)  1991.1990  1991.1991  1991 10 9 b 107  108  (4.27) 50 50 50 9 10  2100.3150 ;7375  7275  (8.9)75  2225.3150  7375  10750 c Ta có:   (3 )  81 39 40 10 10 1121  1120  (112 )10  12110  12110  1120  1121  339 Bài 4: So sánh a 9920 999910 b 85 3.47 c 202303 303202 d 1010 48.505 Lời giải 2 10 10 20 10 a Ta thấy : 99 < 99.101 = 9999 => (99 ) < 9999 hay 99 < 9999 15 14 14 7 b Ta có: = = 2.2 < 3.2 = 3.4 => < 3.4 c Ta có: 202 303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 10 10 10 10 d Ta có : 10 = = 2 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) v| (**) => 1010 < 48 505 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải Với b|i n|y , học sinh lớp không định hướng c{ch l|m , gi{o viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) v| (2) => 527 < 263 < 52 Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian - Để so s{nh hai lũy thừa A v| B, ta tìm hai lũy thừa X y cho: A < X < Y < B A > X > Y > B Trong c{c lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp Bài 1: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 1720 3115 b 19920 10024 c 3111 1714 Lời giải: 20 20 80 75 15 15 15 a 17  16    (2 )  32  31 A X B Y  20020  220.10020  (23 )7 10020  107.10020  10024 20 b 199 c 31  32  ;17  16   31  17 11 11 55 14 56 11 14 Bài 2: So sánh a 111979 371321 b 10750 5175 c 3201 6119 Lời giải: 111979  111980  (113 )660  1331660 ; a 371321  371320  (372 )660  1369660  1331660  111979 b 107  150  (3.50) 50 201 c 50 50  925.5050  5025.5050  5075  5175  3200  (35 )40  24340 ;6119  6120  (63 )40  21640  3201  6119 Bài 3: Chứng minh : 21995 < 5863 Lời giải Có 210 =1024, 55 =3025  210 (211)24 > (211) 26 = 2270  21720.2270 < 21720 3172 < 5860 Vậy 21990 3n  => 35 > 3n  32 => > n  , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; Bài 14: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Lời giải Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300  (n2)100 < 216100  n2 < 216 n Z (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) l| n = 14 Bài 15: Tìm c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 Lời giải Ta giải bất đẳng thức 364 < n48 n48 < 572 Ta có : n48 > 364  (n3)16 > (34)16  (n3)16 > 8116  n3 > 81 Vì n  Z nên n > (1) Mặt kh{c n48 < 572  (n2)24 < (53)24  (n2)24 < 12524 n2 < 125 n  Z => -11  n  11 (2) Từ (1) (2) => < n  11 Vậy n   5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ tốn thay đổi câu hỏi để đƣợc tốn sau: Số1: Tìm tổng c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự ta có c{c số ngun n thỗ mãn 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất c{c số nguyên có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất c{c số ngun có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com BÀI 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A PHƢƠNG PHÁP Nội dung tốn : Tìm x để VT (x) = VP , ta đ{nh gi{ sau : - Nếu x > x0 VT(x) > VP - Nếu x < x0 VT(x) < VP - Nếu x = x0 VT(x) = VP Kết luận x = x0 giá trị cần tìm Bài 1: Tìm STN x > , thỏa mãn : a 4x-1 + 4x = b 3x + 32x-1 = 2268 Lời giải : a Nhận thấy x > 4x-1 > 41-1 = 40 = ; 4x > 41 =  4x-1 + 4x > ( loại ) +) Nếu x = 4x-1 + 4x = 40 + 41 = = VP ( thỏa mãn ) Vậy x = thỏa mãn tốn b Nhận thấy x = : VT = VP +) Nếu x > 3x + 32x-1 > 34 + 37 = 2268 ( Loại) +) Nếu ) < x < 3x + 32x-1 < 2268 = VP ( Loại ) Bài 2: Tìm STN x , thỏa mãn a 2x + 5x + 7x = 14 b 2x + x = 20 c 2x = 46 – 3x (1) Lời giải : a Nhận thấy +) Nếu x = 2x + 5x + 7x = ≠ 14 ( Loại ) +) Nếu x = thỏa mãn +) Nếu x > 2x + 5x + 7x > 14 ( Loại ) Vậy x = b Nhận thấy +) Nếu x = 2x + x = 20 ( thỏa mãn ) +) Nếu x > 2x + x > 24 + = 20 ( Loại ) +) Nếu < x < 2x + x < 24 + = 20 ( Loại ) Vậy x = c 2x = 46 – 3x  2x + 3x = 46 +) Nếu x ≥  2x ≥ 25 = 32 ; 3x ≥ 3.5 = 15  2x + 3x ≥ 47 > 46 ( Loại ) +) Nếu x ≤  2x ≤ 24 = 16 ; 3x ≤ 3.4 =12  2x + 3x ≤ 28 < 46 ( Loại ) Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Vậy khơng tồn giá trị x thỏa mãn tốn Bài 3: Tìm x thuộc N, biết: 3x + 3x+1 + 2x+2 = 388 (1) Lời giải : Nếu x < , VT(1) < VP (1)  Loại Nếu x > , VT > VP  Loại Nếu x =  VT = VP ( thỏa mãn ) Vậy x =4 Bài 4: Tìm x , y , z thuộc N , biết : x ≤ y ≤ z v| : 2x + 3y + 5z = 156 (1) Lời giải : Từ (1)  5z < 165  z ≤  z 0,1, 2,3 +) Nếu z =  x ≤ y ≤ 3, thay v|o (1) ta :   125  156    31(2) x y x y Ta có : 3y < 31 v| y ≤ +) Nếu y = 3, thay v|o (2) ta : 2x = 4 x = ( thỏa mãn) Vậy x = ; y = ; z = Cách khác : Ta có : 5z < 156  z ≤ +) z =  x ≤ y ≤ 2, thay v|o (1) : VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại)  z = Thay vào (1) : 2x + 3y + 53 = 156  2x + 3y = 31 (*) ( x ≤ y ≤ 3) Nếu y ≤  x ≤  2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 ( loại) Vậy y =  2x + 33 = 31  2x =  x = Vậy x = ; y = ; z = Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : x2   32 y 1  5z  40(1) Lời giải: x Nhận thấy 2 2 x   40  x    x    x  y 1 +) Nếu x =0, (1) trở th|nh :   5z  40  32 y 1  5z  36(2) Ta có : VT (2) khơng chia hết cho ; VP(3) chia hết cho  Loại ( Hoặc xét tiếp ) y 1 +) Nếu x = , (1) trở th|nh :  3  5z  40  32 y 1  5z  32(3) Ta có : 32y+1 < 32  y    y  +) y = , (3) trở th|nh : 27 + 5z = 32  z  +) y=0 , (3) trở th|nh :   32   29(loai) z z Vậy x = y = z = Bài 6: ( khó ) Tìm c{c STN x, y, z thỏa mãn : 2x + 2y + 2z = 210 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... ;2016  2016.2016  10 9 10 d A= 72 44 (72  1)  72 44 .71 B  72 43 (72  1)  72 43 .71  A  B e Ta thấy: 71 50 < 72 50 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 377 5 > 3 675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150... Có 210 =1024, 55 =3025  210 (211)24 > (211) 26 = 2 270  2 172 0.2 270 < 2 172 0 3 172 < 5860 Vậy 21990