Đang tải... (xem toàn văn)
Phi�u h�c t�p tu�n toán 7 Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019 Website tailieumontoan com Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài[.]
Sưu tầm CHUYÊN ĐỀ LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Thanh Hóa, tháng năm 2019 Website:tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN Bài 1: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LŨY THỪA A Lý thuyết: Khái niệm: a a.a.a a (a 0, n N ) nthuaso Quy ước: a1 = ; a0 = 1; 0n = ( n thuộc N*) a2 : bình phương a ( a ≠ 0) ; a3 : lập phương a ( a ≠ 0) Các tính chất: Với a, b ≠ ; m, n thuộc N am an a mn ; a m : an a mn ;(a m )n a( m ) ;(a m )n a m.n ;(a.b)n a m a n n B Bài tập Bài 1: Tính gi{ trị c{c biểu thức sau a A 310.10 310.6 39.22 11.322.37 915 b B (2.314 ) 2 3610.2515 c C 308 11.322.37 915 e E (2.314 ) 212.14.126 d D 355.6 49.36 64 49.4.9 412 410.(9 42 ) F 4 f 100.164 100.48 48.100 Lời giải a A 310.10 310.6 39.22 310.(10 6) 310.24 3 39.24 11.322.37 915 11.329 330 329 (11 3) 3.8 6 b B (2.314 )2 4.328 4.328 3610.2515 (62 )10 (52 )15 620.530 8 612.522 c C 8 30 (6.5) 212.14.126 32.72.2.7.2.32.7 22.34.74 d D 5 35 2.3 2.3 7 11.322.37 915 2 e E (2.314 ) 49.36 64 49.4.9 412 410.(9 42 ) 4 f F 100.164 100.48 48.100 Bài 2: Viết c{c tích sau dạng lũy thừa a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) 100 c z z z x ( z 0) 100 b x x x ( x 0) d (m1 )2 (m2 )3.(m3 )4 (m99 )100 (m 0) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Lời giải a 3y 3y 3y ( y ≠ 0) = (3y)3 b x1.x2 x100 x12 100 x5050 ( x 0) 100 c z z z x ( z 0) z147 100 z (1001).34:2 z101.17 3 99 100 d (m ) (m ) (m ) (m ) (m 0) m m m 1.2 2.3 99.10 m 99.100.101 Bài 3: Tính tổng sau a A 2 b B 2015 2016 Lời giải a A 2015 A 22 23 22016 A A A 22016 1 2016 b B 3B 1 2 2017 2B 2017 32017 1 B Bài 4: Tính S = + + + + < + 8192 Lời giải: S 20 21 213 2S 22 214 S 214 1 16383 Bài 5: Viết tổng sau th|nh bình phương số tự nhiên a 13 b 13 + 23 c 13 + 23 +33 d 13 + 23 + 33 +43 e phát biểu dạng tổng quát ( không cần chứng minh ) Lời giải: a 13 = 12 ; b (1+2)2 ; c (1+2+3)2 ; d (1+2+3+4)2 e 13 + 23 + 33 +43 + 0) a > b Dạng 1: Biến đổi số số mũ Bài 1: Hãy so sánh a 1287 424 c 536 1124 b 818 2711 d 3260 8150 e 3500 7300 Lời giải : 1287 (27 )7 249 1287 424 a Có : 24 24 24 (2 ) 536 12512 536 1124 c 24 12 11 121 818 332 818 2711 b 11 33 27 3500 243100 3500 7300 e 300 100 343 3260 2300 8100 3260 8150 d 50 200 100 81 Bài 2: Hãy so sánh a 1619 825 b 2711 818 e 7.213 216 f 5100 3500 b 6255 1257 d 523 6.522 g 230 330 430 3.2410 Lời giải a 1619 (24 )19 276 ;825 (23 )25 275 276 275 1619 825 b 2711 (33 )11;81 (34 ) 332 333 332 2711 818 c 625 (5 ) 20 ;125 (5 ) 125 625 5 21 d 5.5 6.5 6.5 23 22 22 22 23 e 7.2 8.2 12 7.2 13 13 13 16 16 13 f 5300 (53 )100 125100 & 3500 (33 )100 243100 5300 3500 g 430 (2 ) 30 (2.2) 30 230.230 (23 )10 (2 )15 810.315 810.310.3 (8.3)10 2410.3 Vậy 230 330 430 3.2410 Bài 2: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com ( n 1)2 a 32n.(n+2) (n N ) b 256n 16n+5 với n N Lời giải: 32 n ( n 2) 9n ( n 2) 9n 2 2 n ( n 1) n n 1 9 a Ta có: n 2n n 2n ( n 1)2 9n.( n 2) 9( n 1) 32 n ( n 2) (n N ) 9 b 256n = 162n suy toán trở thành so sánh 2n n + +) Nếu 2n > n + n +) Nếu 2n = n + n +) Nếu 2n < n + n Vậy: Nếu ≤ n < 256n > 162n Nếu n = 256n = 162n ; Nếu n > 256n < 162n Bài 3: Chứng minh rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải: 263 (29 )7 3127 63 27 63 (1); 28 528 (2) 527 263 528 63 9 7 (2 ) 128 (5 ) 625 527 1259 Dạng 2: Đƣa tích có thừa số giống Bài 1: Hãy so sánh b 20152015 – 20152014 20152016 – 2015 2015 a 2115 275 498 d d A 7245 7244 ; B 7244 7243 c 201510 + 20159 201610 - 20152015 e 7150 3775 Lời giải: a 21 ;27 49 21 27 49 15 b 15 15 15 16 15 20152015 20152014 20152014 (2015 1) 2014.20152014 20152016 20152015 2014.20152015 c 2015 2015 2015 (2015 1) 2016.2015 ;2016 2016.2016 10 9 10 d A= 7244 (72 1) 7244.71 B 7243 (72 1) 7243.71 A B e Ta thấy: 7150 < 7250 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 3775 > 3675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150 > 2150.3100 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: 3775 > 7150 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com Bài 2: Hãy so sánh a 3210 2350 b 231 321 c 430 3.2410 d 202303 303202 Lời giải : 2770 ;2350 3270 3210 2350 210 a b 2.2 2.8 ;3 3.3 3.9 31 30 c 30 10 21 20 10 21 31 260 230.230 ;3.2410 3.(3.8)10 311.230 430 3.2410 202303 (2.101)303 2303.101303 2303.1013.101 8101.1013.101 8101.101101.1012.101 d 303202 (3.101)2.101 32.101.101 2.101 9101.1012.101 202303 303202 Bài 3: SO SÁNH HAI LŨY THỪA – PHƢƠNG PHÁP SO SÁNH GIÁN TIẾP Dạng 1: So sánh thông qua lũy thừa trung gian - Để so s{n h lũy thừa A B, ta tìm lũy thừa M cho: A < M < B hoặc: A >M>B Trong đó: A v| M ; M B so sánh trực tiếp Bài 1: Hãy so sánh b 19920 ;200315 a 2225 3151 c 291 536 Lời giải: 225 75 75 75 75 150 151 a (2 ) (3 ) A B M b Ta có: 199 200 (8.25) (2 )20 (2 ) 20 20 20 3 20 60 40 200315 200015 (16.125)15 (24.53 )15 (24.53 )15 260.545 260.545 260.540 200315 19920 91 90 18 18 18 36 c (2 ) 32 25 A M B Bài 2: So sánh a 9920 910.1130 b 96142 100.2393 Lời giải: 9920 [(99) ]10 980110 (223 )10 2230 ; a 2230 (2.11)30 230.1130 810.1130 910.1130 96142 100042 10126 100.10124 ; b 100.2393 100.(233 )31 100.(104 )31 100.10124 96142 100.2393 Bài 3: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 199010 + 19909 199110 c 3339 ;1121 b 10750 7375 Lời giải: a 1990 1990 1990 (1990 1) 1991.1990 1991.1991 1991 10 9 b 107 108 (4.27) 50 50 50 9 10 2100.3150 ;7375 7275 (8.9)75 2225.3150 7375 10750 c Ta có: (3 ) 81 39 40 10 10 1121 1120 (112 )10 12110 12110 1120 1121 339 Bài 4: So sánh a 9920 999910 b 85 3.47 c 202303 303202 d 1010 48.505 Lời giải 2 10 10 20 10 a Ta thấy : 99 < 99.101 = 9999 => (99 ) < 9999 hay 99 < 9999 15 14 14 7 b Ta có: = = 2.2 < 3.2 = 3.4 => < 3.4 c Ta có: 202 303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 10 10 10 10 d Ta có : 10 = = 2 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) v| (**) => 1010 < 48 505 Bài 5: Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528 Lời giải Với b|i n|y , học sinh lớp không định hướng c{ch l|m , gi{o viên gợi ý: chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) Từ (1) v| (2) => 527 < 263 < 52 Dạng 2: So sánh thông qua hai lũy thừa trung gian - Để so s{nh hai lũy thừa A v| B, ta tìm hai lũy thừa X y cho: A < X < Y < B A > X > Y > B Trong c{c lũy thừa A X ; X Y ; Y B so sánh trực tiếp Bài 1: So sánh Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website:tailieumontoan.com a 1720 3115 b 19920 10024 c 3111 1714 Lời giải: 20 20 80 75 15 15 15 a 17 16 (2 ) 32 31 A X B Y 20020 220.10020 (23 )7 10020 107.10020 10024 20 b 199 c 31 32 ;17 16 31 17 11 11 55 14 56 11 14 Bài 2: So sánh a 111979 371321 b 10750 5175 c 3201 6119 Lời giải: 111979 111980 (113 )660 1331660 ; a 371321 371320 (372 )660 1369660 1331660 111979 b 107 150 (3.50) 50 201 c 50 50 925.5050 5025.5050 5075 5175 3200 (35 )40 24340 ;6119 6120 (63 )40 21640 3201 6119 Bài 3: Chứng minh : 21995 < 5863 Lời giải Có 210 =1024, 55 =3025 210 (211)24 > (211) 26 = 2270 21720.2270 < 21720 3172 < 5860 Vậy 21990 3n => 35 > 3n 32 => > n , n nguyên dương Vậy n = 4; 3; Bài 14: Tìm số nguyên n lớn cho: n200 < 6300 Lời giải Ta có: n200 = (n2)100 ; 6300 = (63)100 = 216100 Để n200 < 6300 (n2)100 < 216100 n2 < 216 n Z (*) Số nguyên lớn thoã mãn (*) l| n = 14 Bài 15: Tìm c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 Lời giải Ta giải bất đẳng thức 364 < n48 n48 < 572 Ta có : n48 > 364 (n3)16 > (34)16 (n3)16 > 8116 n3 > 81 Vì n Z nên n > (1) Mặt kh{c n48 < 572 (n2)24 < (53)24 (n2)24 < 12524 n2 < 125 n Z => -11 n 11 (2) Từ (1) (2) => < n 11 Vậy n 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 * Từ tốn thay đổi câu hỏi để đƣợc tốn sau: Số1: Tìm tổng c{c số nguyên n thoã mãn: 364 < n48 < 572 ( giải tương tự ta có c{c số ngun n thỗ mãn 5+6+7+8+9+10+11=56) Số2: Tìm tất c{c số nguyên có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 5; 6; 7; 8; 9;) Số3: Tìm tất c{c số ngun có chữ số cho 364 < n48 < 572 ( số 10; 11) Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC 18 Website:tailieumontoan.com BÀI 6: PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ ĐỂ TÌM THÀNH PHẦN CHƢA BIẾT CỦA LŨY THỪA A PHƢƠNG PHÁP Nội dung tốn : Tìm x để VT (x) = VP , ta đ{nh gi{ sau : - Nếu x > x0 VT(x) > VP - Nếu x < x0 VT(x) < VP - Nếu x = x0 VT(x) = VP Kết luận x = x0 giá trị cần tìm Bài 1: Tìm STN x > , thỏa mãn : a 4x-1 + 4x = b 3x + 32x-1 = 2268 Lời giải : a Nhận thấy x > 4x-1 > 41-1 = 40 = ; 4x > 41 = 4x-1 + 4x > ( loại ) +) Nếu x = 4x-1 + 4x = 40 + 41 = = VP ( thỏa mãn ) Vậy x = thỏa mãn tốn b Nhận thấy x = : VT = VP +) Nếu x > 3x + 32x-1 > 34 + 37 = 2268 ( Loại) +) Nếu ) < x < 3x + 32x-1 < 2268 = VP ( Loại ) Bài 2: Tìm STN x , thỏa mãn a 2x + 5x + 7x = 14 b 2x + x = 20 c 2x = 46 – 3x (1) Lời giải : a Nhận thấy +) Nếu x = 2x + 5x + 7x = ≠ 14 ( Loại ) +) Nếu x = thỏa mãn +) Nếu x > 2x + 5x + 7x > 14 ( Loại ) Vậy x = b Nhận thấy +) Nếu x = 2x + x = 20 ( thỏa mãn ) +) Nếu x > 2x + x > 24 + = 20 ( Loại ) +) Nếu < x < 2x + x < 24 + = 20 ( Loại ) Vậy x = c 2x = 46 – 3x 2x + 3x = 46 +) Nếu x ≥ 2x ≥ 25 = 32 ; 3x ≥ 3.5 = 15 2x + 3x ≥ 47 > 46 ( Loại ) +) Nếu x ≤ 2x ≤ 24 = 16 ; 3x ≤ 3.4 =12 2x + 3x ≤ 28 < 46 ( Loại ) Sưu tầm TÀI LIỆU TỐN HỌC 19 Website:tailieumontoan.com Vậy khơng tồn giá trị x thỏa mãn tốn Bài 3: Tìm x thuộc N, biết: 3x + 3x+1 + 2x+2 = 388 (1) Lời giải : Nếu x < , VT(1) < VP (1) Loại Nếu x > , VT > VP Loại Nếu x = VT = VP ( thỏa mãn ) Vậy x =4 Bài 4: Tìm x , y , z thuộc N , biết : x ≤ y ≤ z v| : 2x + 3y + 5z = 156 (1) Lời giải : Từ (1) 5z < 165 z ≤ z 0,1, 2,3 +) Nếu z = x ≤ y ≤ 3, thay v|o (1) ta : 125 156 31(2) x y x y Ta có : 3y < 31 v| y ≤ +) Nếu y = 3, thay v|o (2) ta : 2x = 4 x = ( thỏa mãn) Vậy x = ; y = ; z = Cách khác : Ta có : 5z < 156 z ≤ +) z = x ≤ y ≤ 2, thay v|o (1) : VT(1) ≤ 22 + 32 + 52 < 156 ( loại) z = Thay vào (1) : 2x + 3y + 53 = 156 2x + 3y = 31 (*) ( x ≤ y ≤ 3) Nếu y ≤ x ≤ 2x + 3y ≤ 22 + 32 = 13 < 31 ( loại) Vậy y = 2x + 33 = 31 2x = x = Vậy x = ; y = ; z = Bài 5: Tìm số tự nhiên x, y, z thỏa mãn : x2 32 y 1 5z 40(1) Lời giải: x Nhận thấy 2 2 x 40 x x x y 1 +) Nếu x =0, (1) trở th|nh : 5z 40 32 y 1 5z 36(2) Ta có : VT (2) khơng chia hết cho ; VP(3) chia hết cho Loại ( Hoặc xét tiếp ) y 1 +) Nếu x = , (1) trở th|nh : 3 5z 40 32 y 1 5z 32(3) Ta có : 32y+1 < 32 y y +) y = , (3) trở th|nh : 27 + 5z = 32 z +) y=0 , (3) trở th|nh : 32 29(loai) z z Vậy x = y = z = Bài 6: ( khó ) Tìm c{c STN x, y, z thỏa mãn : 2x + 2y + 2z = 210 Sưu tầm TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... ;2016 2016.2016 10 9 10 d A= 72 44 (72 1) 72 44 .71 B 72 43 (72 1) 72 43 .71 A B e Ta thấy: 71 50 < 72 50 = (8.9)50 = 2150.3100 (1) 377 5 > 3 675 = (4.9) 75 = 2150 3150 (2) mà 2150 3150... Có 210 =1024, 55 =3025 210 (211)24 > (211) 26 = 2 270 2 172 0.2 270 < 2 172 0 3 172 < 5860 Vậy 21990