Đang tải... (xem toàn văn)
Thư viện Đề thi Trắc nghiệm Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ https //vndoc com/ | Email hỗ trợ hotro@vndoc com | Hotline 024 2242 6188 Bài tập tính tổng dãy số có quy luật Toán 11 Có đáp án Bản quy[.]
Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Bài tập tính tổng dãy số có quy luật Tốn 11- Có đáp án Bản quyền thuộc VnDoc Nghiêm cấm hình thức chép nhằm mục đích thương mại Tính tổng dãy số áp dụng phương pháp quy nạp Bài toán: Chứng minh mệnh đề P(n) với số tự nhiên n n0 Phương pháp: Bước 1: Xét P ( n0 ) Bước 2: Giả sử P ( k ) ta chứng minh P ( k + 1) với số tự nhiên k n0 mệnh đề P(n) với số tự nhiên n n0 Ví dụ 1: Chứng minh + + + + + + n = n ( n + 1) với số tự nhiên n Hướng dẫn giải + + + + + + n = n ( n + 1) (1) Bước 1: Với n = ta có: VT = VP = ( 1) với n = Bước 2: Giả sử (1) với k, k , k tức là: + + + + + + k = k ( k + 1) Ta phải chứng minh (1) với k + tức là: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí + + + + + + k + ( k + 1) = ( k + 1) ( k + 1) + 1 ( k + 1)( k + ) = (2) Ta có + + + + + + k + ( k + 1) = (1 + + + + k ) + k + = k + 3k + ( k + 1)( k + ) = = = ( ) dpcm 2 k ( k + 1) + k+1 Vậy đẳng thức cho với n Ví dụ 2: Chứng minh sin x + sin x + sin 3x + + sin nx = sin ( n + 1) x nx sin 2 x sin với x k 2 , n Hướng dẫn giải x sin sin x Với n = ta có VT = sin x , VP = = sin x = VT (1) x sin Giả sử (1) với n = k tức là: sin x + sin x + sin 3x + + sin kx = sin ( k + 1) x kx sin 2 (2) x sin Ta chứng minh (1) với n = k + tức là: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí sin x + sin x + sin 3x + + sin kx + sin ( k + 1) x = sin ( k + 1) x sin ( k + ) x 2 sin x Tức là: ( k + 1) x kx sin 2 sin x + sin x + sin x + + sin kx + sin ( k + 1) x = + sin ( k + 1) x x sin ( k + 1) x + sin k + x sin x sin kx sin ( k + 1) x + sin ( k + 1) x cos ( k + 1) x sin x kx sin sin ) ( 2 2 2 = = x x sin sin 2 ( k + 1) x sin x sin ( k + 1) x sin ( k + ) x kx sin + 2.cos ( k + 1) x 2 2= 2 = sin = VP dpcm x x sin sin 2 sin Vậy đẳng thức (1) với x k 2 , n *** Bài tập rèn luyện*** Bài tập 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: a 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = b 12 + 2 + 32 + + n2 = c n ( n + 1)( n + ) n ( n + 1)( 2n + 1) n 2n + + + + + n = − 3 4.3n Bài tập 2: Chứng minh với số tự nhiên n ta có: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí + + + + + + = cos Bài tập 3: Chứng minh đẳng thức với n n +1 * n ( n + 3) 1 1 + + + + = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1)( n + ) ( n + 1)( n + ) Tính tổng số dãy số có quy luật biết Phương pháp: Một số công thức tổng suy từ phương pháp quy nạp trên: n ( n + 1) • + + + + n = • 12 + 2 + 32 + + n2 = • + + + + n = • 15 + + 35 + + n5 = 3 3 n ( n + 1)( 2n + 1) n ( n + 1) ( 2 n ( n + 1) n + n − 12 ) Ví dụ 1: Tính tổng dãy số: a A = 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 1 1 1 b B = − − − − n Hướng dẫn giải a Ta có: Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 1 = − k ( k + 1) k k + A= = 1− 1 1 + + + + 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) 1 1 1 + − + + − = 1− 2 n n+1 n+1 1 1 1 b B = − − − − n Ta có: a − ( a − 1)( a + 1) = a2 a2 1 1 B = − − − − n 1.3 2.4 3.5 ( n − 1)( n + 1) n + = = 2n n2 *** Bài tập rèn luyện *** Bài tập 1: Tính tổng dãy số: a A = b B = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1)( n + ) (1.2 ) + ( 2.3 ) + + 2n + n ( n + 1) Bài tập 2: Tính tổng dãy số: a C = 2+ + +2 + + ( n + 1) n +n n+1 n ( n + 1) 1 1 b C = − − − , an = a1 a2 an Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí 3.Tính tổng theo cơng thức nhị thức Newton Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton: ( a + b) n = Cn0 an + Cn1 an−1b + Cn2 an−2 b2 + + Cnn bn Một số cơng thức liên quan: • Cnk = Cnn− k • n a C = (1 + a ) k =0 • n • ( −1) Cnk = k k k n n Cn0 + Cn1 + Cn2 + Cn3 + + Cnn = 2n k =0 • n n k =0 k =0 C22nk = C22nk−1 = n k C k =0 n ( −1) C n 1 Ví dụ 1: Tính tổng dãy: S = Cn0 − Cn1 + Cn3 + + ( n + 1) n n Hướng dẫn giải ( −1) C n 1 S = Cn0 − Cn1 + Cn3 + + ( n + 1) n n n −1) ( 1 = Cn − Cn + Cn + + Cnn 2 n+1 Ta có: S= ( −1) k k +1 C k n ( −1) = k n+1 Cnk++11 nên suy ra: n k k n +1 −1 k +1 k − C = ( ) ( −1) Cn+1 − Cn+1 = n +1 ( n + 1) k = ( n + 1) k = ( n + 1) Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Ví dụ 2: Tính tổng dãy: S = Cn1 3n−1 + 2Cn2 3n−2 + 3Cn3 3n−3 + + nCnn Hướng dẫn giải Ta có: S = C n n −1 + 2C n k n− + 3C 3 n n− 1 + + nC = k.C k =1 3 n n n n k k n k 1 1 Do kC = n Cnk−−11 , k 3 3 n k k k k n n −1 1 1 1 1 S = k.C = 3n.n. Cnk−−11 = 3n−1.n. Cnk−1 = 3n−1.n + 3 k =1 k =1 k =1 3 3 3 n n k n ***Bài tập rèn luyện*** Bài tập 1: Tính tổng dãy sau a A = ( Cn0 ) + ( Cn1 ) + ( Cn2 ) + + (Cnn )2 2 b B = Cn1 3n −1 + 2Cn2 3n − + 3Cn3 3n −3 + + nCnn Bài tập 2: Tính tổng dãy a D = Cn0 Cnk + Cn2 Cnk−−11 + + CnkCn0−k ,0 k n b E = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + + nCnn Tính tổng cấp số cộng u1 = a ,n Cho dãy số ( un ) cấp số cộng có dạng: u = u + d n n +1 * Phương pháp: Tổng n số hạng cấp số cộng công sai là: Sn = u1 + u2 + u3 + + un = ( n n u1 + un ) = 2u1 + ( n − 1) d ( 2 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 ) n −1 = n.4 n−1 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí u + 3u3 − u2 = −21 Ví dụ 1: Cho cấp số cộng thỏa mãn 3u7 − 2u4 = −34 Tính tổng S = u4 + u5 + + u30 Hướng dẫn giải Từ giả thiết tốn ta có: u5 + 3u3 − u2 = −21 u1 + 4d + ( u1 + 2d ) − u1 − d = −21 u − u = − 34 ( u1 + 6d ) − ( u1 − 3d ) = −34 u + 3d = −7 u = d=3 u1 + 12d = −34 S = u4 + u5 + + u30 = 27 2.u + 26d = 27 ( u1 + 16d ) = −1242 u − u3 + u5 = 10 Ví dụ 2: Cho cấp số cộng có dạng: u4 + u6 = 26 Tính tổng S = u5 + u7 + u9 + + u2011 Hướng dẫn giải u2 − u3 + u5 = 10 u + d − u1 − 2d + u1 + 4d = 10 u1 + 3d + u1 + 5d = 26 u4 + u6 = 26 u + 3d = 10 u = u1 + 4d = 13 d = S = u5 + u7 + u9 + + u2011 = 1003 ( 2u5 + 1002.6 ) = 3028057 ***Bài tập rèn luyện*** Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Bài tập 1: Cho cấp số cộng có u4 = −12, u14 = 18 Tính tổng 16 số hạng cấp số công Bài tập 2: Cho cấp số cộng biết u5 = 18, Sn = S2 n Tìm số hạng công sai cấp số cộng Bài tập 3: Cho cấp số cộng u2013 + u6 = 1000 Tính tổng 2018 số hạng cấp số cộng Tính tổng cấp số nhân u =a ,n Cho dãy số ( un ) cấp số nhân có dạng u = u q n n+1 * Phương pháp: Tổng n số hạng cấp số nhân công bội q là: qn − Sn = u1 + u2 + u3 + + un = u1 q −1 Ví dụ 1: Tính tổng dãy số a S = 1 1 − + − + 16 b S = + 1 + + + 25 125 Tải thêm tài liệu tại: Giải toán 11 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 ... Giải toán 11 Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm - Tài liệu học tập miễn phí Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email... n+1 n ( n + 1) 1 1 b C = − − − , an = a1 a2 an Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: hotro@vndoc.com | Hotline: 024 2242 6188 Thư viện Đề thi - Trắc nghiệm... Phương pháp: Dựa vào khai triển nhị thức Newton: ( a + b) n = Cn0 an + Cn1 an? ??1b + Cn2 an? ??2 b2 + + Cnn bn Một số cơng thức liên quan: • Cnk = Cnn− k • n a C = (1 + a ) k =0 • n • ( −1) Cnk