Các phương pháp tính tổng và bất đẳng thức tổng

Các toán tính tổng thường xuyên xuất kì thi học sinh giỏi hay kì thi vào trường phổ thông chuyên nhiều hình thức khác nhau, ví dụ Số Học, Bất Đẳng Thức tóan tính tổng trực tiếp Để giúp cho bạn đọc có nhìn tổng quan cách tính tổng dãy , mục chuyên đề viết bao gồm phương pháp tính tổng chứng minh số bất đẳng thức tổng thông dụng A.Các dạng tổng thường gặp Trước hết điểm qua số tổng thường gặp: i) Tổng đa thức: + + + + n 12 + 22 + + n 1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ + n.n ! … ii) Tổng phân thức: n + + + 2! 3! (n + 1)! 1 + + + 1.2 2.3 (n − 1)n 1 + + + 2 n iii) Tổng thức: 1 + + + +1 + (n + 1) n + n n + 1 1 + + + 1+ 5+ 4k + + 4k + B Một số phương pháp tính tổng: i) Phương pháp quy nạp Các bạn xem xét thêm mục “phương pháp quy nạp” Ở phương pháp quy nạp sử dụng bạn dự đóan trước kết tổng cần tính n(n + 1) Ví dụ việc tính tổng + + + + n = quen thuộc, bạn dự đóan kết quy nạp cách dễ dàng Tuy nhiên tổng 12 + 22 + 32 + + n khó nhiều Việc dự đoán kết bắt đầu khó khăn, ta nên lập bảng số liệu để xem xét vấn đề rõ ràng n …… 10 15 …… + + + n 2 14 30 55 …… + + + n Quy luật từ dòng thứ xuống dòng thứ có lẽ chưa rõ ràng lằm, dòng thứ hai dòng thứ ba sao, ta thủ lập tỉ số hai dãy số tương ứng theo cột: n ……… + + + n 11 ……… 2 + + + n 3 3 Như quy luật xuất Chúng ta dự đoán ngay: n(n + 1)(2n + 1)  2n +  12 + 22 + + n =   (1 + + + n) =   Công việc chứng minh quy nạp Với n = ta thu đẳng thức = Giả sử mệnh đề với n = k , đề chứng minh đẳng thức cho k + , cần chứng minh: (k + 1)(k + 2)(2k + 3) k (k + 1)(2k + 1) (k + 1) = − 6 Đẳng thức hiển nhiên Do ta có điều phải chứng minh Bây ta tiếp tục xét thêm tổng đại số dạng nữa: 13 + 23 + + n3 Ta lại lập bảng số liều khác để dự đoán kết quả: n …… 10 15 …… + + + n 2 14 30 55 …… + + + n 36 100 225 …… 13 + 23 + + n3 Mối quan hệ dòng dòng không hòan tòan rõ rệt, dòng dòng Tinh tế chút bạn thấy số hạng dòng thứ tương ứng theo cột bình phương số hạng dòng thứ Như ta mạnh dạn phát biểu mệnh đề sau:  n(n + 1)  13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + + + + n) =     Việc lại chứng minh quy nạp: Với n = ta thu đẳng thức = Giả sử mệnh đề với n = k , đề chứng minh đẳng thức cho k + , cần chứng minh: (k + 1) (k + 2) k (k + 1) (k + 1)3 = − 4 Đẳng thức hiển nhiên Do ta có điều phải chứng minh Như bạn thấy phần sức mạnh tổng việc chứng minh quy nạp Thế phương pháp mang nhiều khuyết điểm, kết lúc dự đoán cách dễ dàng Do cần phải có phương pháp khác để hòan thành công việc cách hiệu dễ dàng Chúng ta đến phương pháp khác, phương pháp chứa đựng ý tưởng giải hầu hết tóan tính tổng, bất đẳng thức tổng ii) Phương pháp tạo dãy phụ Trong phần trước, để chứng minh kết phương pháp quy nạp, ta thông qua n(n + 1)(2n + 1) đẳng thức sau ( tổng: f (n) = 12 + 22 + + n = ) (n + 1)(n + 2)(2n + 3) n(n + 1)(2n + 1) (n + 1) = − = f (n + 1) − f (n) 6 Nếu làm tương tự cho hạng tử khác, ta thu kết tương tự: n = f (n) − f (n − 1) (n − 1) = f (n − 1) − f (n − 2) 12 = f (1) − f (0) Khi cộng vế theo vế ta thu được: 12 + 22 + + (n + 1)2 = f (n + 1) − f (0) n(n + 1)(2n + 1) Tuy nhiên ý tưởng thật đáng xem xét, bạn nên ý dãy f (n) bị ràng buộc: Ta thu kết mẻ ta biết f (n + 1) = f (n) − f (n − 1) = n Từ dễ dàng tìm f (n) suy giá trị 12 + 22 + + n mà chẳng cần phải tốn sức dự đoán Chúng ta làm sau: Giả sử f (n) = an3 + bn + cn + d Ta tìm giá trị a, b, c, d cho f (n) − f (n − 1) = n f (n − 1) = a(n − 1)3 + b(n − 1)2 + c(n − 1) + d = an3 + bn + cn + d + −3an + (3a − 2b) n − a + b − c Do đó: f (n) − f (n − 1) = 3an − (3a − 2b)n + a − b + c Lúc ta cần tìm (a, b, c ) cho:  a =  3a =    −3a + 2b = ⇒ b = a −b+c =    c =  Giá trị d tùy ý, đề đơn giản tác giả chọn d = n3 n n Vậy f (n) = + + n3 n n n(n + 1)(2n + 1) Nhu 12 + 22 + + n = f (n) − f (0) = + + − = 6 Ở có lẽ việc cho f (n) đa thức bậc ba thiếu tự nhiên, phân tích kĩ hòan tòan hợp lý Trước hết f (n) − f (n − 1) = n dạng đa thức nên nhiều khả f (n) dạng Đồng thời bậc f (n) − f (n − 1) nhỏ bậc f (n) bậc, mà bậc f (n) − f (n − 1) = n bậc hai nên f (n) đa thức bậc ba Chúng ta thử xét thêm ví dụ trường hợp Hãy tính tổng 13 + 23 + + n3 Ta tìm dãy f (1), f (2), , f (n) cho f (n) − f (n − 1) = n3 Giả sử f (n) = an + bn3 + cn + dn + e Khi đó: f (n − 1) = a(n − 1) + b(n − 1)3 + c(n − 1) + d (n − 1) + e = an + bn3 + cn + dn + e − 4an3 + (6a − 3b)n + (−4a + 3b − 2c)n + a − b + c − d Do đó: f (n) − f (n − 1) = 4an3 + (−6a + 3b)n + (4a − 3b + 2c )n − a + b − c + d Ta cần tìm (a, b, c, d ) cho:  a = 4a =    −6a + 3b = b =  ⇒  a − b + c =   − a + b − c + d =  c =   d = Giá trị e tùy ý,ta chọn e=0 n n3 n n (n + 1) Cuối ta thu được: f (n) = + + = 4 3 + + + n = − f (0) + f (1) − f (1) + f (2) − − f (n − 1) + f (n) Như n (n + 1) = f (n) − f (0) = Để ứng dụng phương pháp trên, bạn nên ý : ü Tổng quát hóa tóan ü Ta làm việc với số hạng tổng quát, thường ghi phía cuối tổng Các bạn thử áp dụng phương pháp số tập sau xem: Bài 1: Tính tổng sau: 14 + 24 + 34 + + 20054 Bài 2: Xác định giá trị P theo n P = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n(n + 1)(n + 2) Bài 3: Cho a số nguyên dương bé n + Đặt : A = 1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ + n.n ! Tìm (a, A) ( x, y ) ký hiệu ước chung lớn x y Trong phần trên,ta xét qua số tập mà tổng bao gồm hạng tử dạng đa thức Thế dạng phân thức thức Thực kỹ thuật nêu nói chung áp dụng cho tổng phân thức hay thức Ta thử xét qua ví dụ sau: Bài toán: Hãy tính tổng theo n 1 P= + + + 1.2 2.3 n(n + 1) Ta sử dụng ý tưởng phương pháp thứ hai, tức tìm f (n) cho: f (n) − f (n − 1) = n(n + 1) P( x) Trước hết, cần phải hiểu bậc phân thức Giả sử bậc P m , Q ( x) P( x) bậc Q n , bậc tính m − n Q ( x) x − 3x + − = −2 − x + 35 Theo phần trước, nhận thấy f (n) có bậc bé so với bậc 1 hạng tử ta Ở đây, bậc −2 nên ta tìm f (n) có bậc −1 Tử n(n + 1) n(n + 1) đa thức bậc nên ta thử f (n) bậc -1 có đa thức tử bậc Tức là: f ( n) = bn + c Ví dụ bậc 1 −b − = = bn + c bn + c − b (bn + c )(bn + c − b) n(n + 1) Ta có: 1 ⇔ = c (b − c ) n + n −bn − (2c − b)n + b Như vậy, ta cần phải tìm số (b, c) thỏa: f (n) − f (n − 1) =  −b =   b − 2c = ⇒ b = c = −1 c (b − c ) =  −1 Tóm lại, ta có: Như vậy, f (n) = n +1 1 1 + + + + = − f (0) + f (1) − f (1) + f (2) − − f (n − 1) + f (n) 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n = f (n) − f (0) = − = n +1 n +1 Ta xét thên tóan tổng thức: Bài tóan: Tính tổng sau theo n 1 + + + +2 3+3 n n + + (n + 1) n Bằng ý tưởng tương tự,ta cố gắng tìm dãy số f (1), f (2), , f (n) cho: f (n) − f (n − 1) = n n + + (n + 1) n S= n Trước hết định nghĩa thêm bậc thức, bậc P( x) a Q ( x ) m + , a m, n bậc đa thức P, Q −3 Theo tư tưởng tương tự, ta tìm f (n) có bậc bé Do bậc n n + + (n + 1) n −1 Thông qua hình dạng ,ta dự đoán dạng f (n) f n n + + (n + 1) n a (b > 0) Ta có: f (n − 1) > f (n) nên a < , chia tử mẫu cho −a ta thu đước dạng bn + c −1 b c f (n) = , A = ,B = a a An + B 1 f (n) − f (n − 1) = − An + B − A An + B A An + B − An + B − A = = An + B + An + B − A ( An + B − A)( An + B ) ( An + B)( An + B − A) Ta có: = A ( An + B − A) ( An + B ) + ( An + B) ( An + B − A) n n + + (n + 1) n Từ ta suy cần tìm ( A, B) cho: =  A =1 A =1  B − A = ⇒  B =  B =1  −1 Tóm lại: n +1 1 + + + +2 +3 n (n + 1) + (n + 1) n Như f (n) = = − f (0) + f (1) − f (1) + f (2) − f (2) + − f (n − 1) + f (n) n +1 Sau phần tập dành cho bạn đọc: Bài 1: Tính tổng sau theo n n + + + 2! 3! (n + 1)! Bài 2: Hãy tính tổng sau: 62 62005 P= + + + (3 − 2)(32 − 22 ) (32 − 22 )(33 − 23 ) (32004 − 22004 )(32005 − 22005 ) = 1− Bài 3: Xác định giá trị của: 1 1 1 S = + + + + + + + + + 2 2004 20052 C Phương pháp điển hình chứng minh bất đẳng thức tổng Qua hai ví dụ trên, bạn nhận ra, tổng phân thức hay thức, việc tìm f (n) lúc thực được, trên, tổng 1 1 + + + + ta thu ba phương trình có hai ẩn, lúc 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) có nghiệm Có nhiều tổng phân thức hòan thoàn không tầm thường, nằm tầm với kiến thức trung học sỏ Ví dụ tổng sau đây: 1 π2 + + + + = 12 22 n2 Tuy nhiên cần khẳng định phương pháp mà chuyên đề nêu hiệu quả, chẳng hạn tính cách xác ta hòan toàn đánh giá tổng Với ý tưởng tương tự, ta tìm f (n) hàm cho f (n) − f (n − 1) ≥ n Bằng lý luận tương tự ta thu f (n) = an + b −a f (n) − f (n − 1) = ≥ Trước hết ta thu a = −1 ta cần tìm b (an + b)(an + b − a) n cho 1 ≥ (n + b)(n + b − 1) n 1 ⇔ ≥ n + (2b − 1)n + b(b − 1) n ⇒ (2b − 1)n + b(b − 1) ≤ ∧ (n + b)(n + b − 1) > 0, ∀n ≥ ⇒ b + (2n − 1)b − n ≤ 0, ∀n ≥ 1 − 2n − 4n + 1 − 2n + 4n + ≤b≤ , ∀n ≥ 2 Để thu đánh giá tốt biểu thức, ta cần tìm giá trị lớn b Dễ −1 dàng tìm Như f (n) = n− Tóm lại ta có: 1 1 + + + ≤ − f (0) + f (1) − f (2) + − f (n − 1) + f (n) = − ≤ 2 1 n n− Đánh giá không chặt, nhiên chấp nhận được, ta thử xét thêm ví dụ thức xem sao: Bài toán: Chứng minh rằng: ⇒