TH1 e1 DungDTL tinh chan le

TÍNH CHẴN LẺ TRONG BÀI TỐN TỔ HỢP Đào Thị Lê Dung – THPT Chun Thái Bình Tính chẵn lẻ bất biến quan trọng số tình tổ hợp Đó ý tưởng đơn giản vơ hiệu Tính chẵn lẻ việc xét đồng dư theo modulo 2, cách phức tạp ta nghĩ đến lớp đồng dư theo modulo số tự nhiên tùy ý bất biến số tốn Dạng 1: Bất biến tính chẵn lẻ Sự đơn giản chủ đề tạo nhứng vấn đề thú vị kể với học sinh khơng có tảng kiến thức ý tưởng hữu dụng việc xử lý tốn khó Ta tìm hiểu số kỹ thuật việc bất biến tính chẵn lẻ 1.1: Sự xen kẽ VD1: Có 2015 bánh xếp mặt phẳng kề tạo thành vòng kín Hỏi bánh quay lúc hay khơng? HD: Câu trả lời không Mấu chốt việc phát hai bánh kề quay ngược Giả sử bánh thứ quay theo chiều dương kéo theo bánh thứ hai quay chiều âm, bánh thứ ba quay chiều dương Như bánh có số thứ tự lẻ quay chiều dương bánh có thứ tự chẵn quay chiều âm Do bánh số số thứ 2015 quay chiều dương Vơ lý Ý tưởng tốn xen kẽ chiều quay bánh Tìm đối tượng xen kẽ hướng toán sau VD2:Trong bàn cờ vua , quân mã bắt đầu từ vị trí a1 trở lại sau số bước Chứng minh số bước vừa thực số chẵn HD: Vị trí ban đầu mã màu đen Sau bước thứ đến màu trắng, sau bước thứ hai đến ô màu đen Như sau lẻ bước đến ô trắng sau chẵn bước đến ô đen Suy đpcm VD3: Một đường gấp khúc khép kín tạo 11 đoạn thẳng nằm mặt phẳng Tồn hay không đường thẳng d không qua đầu mút đoạn thẳng cắt tất 11 đoạn thẳng HD: Gọi (P1), (P2) hai nửa mặt phẳng có bờ đt d Kí hiệu đường gấp khúc A1A2A3 A11A1 Giả sử A1 thuộc (P1) A2 thuộc (P2), A3 thuộc (P1), ,A11 thuộc (P1) Nhưng A1 A11 thuộc (P1) nên d cắt đoạn A1A11 điều trái với giả thiết nên tồn đường thẳng d thỏa mãn VD4 Ba bóng hockey A, B, C nằm sân chơi Một người đánh ba cho qua hai lại Anh ta làm thể 25 lần Liệu đưa ba bóng trở vị trí ban đầu hay khơng? HD: Giả sử ban đầu ba bóng thứ tự theo chiều dương Sau lượt chơi thứ tự chúng thay đổi từ dương sang âm ngược lại Do sau lượt đánh thứ thứ tự chúng theo chiều âm, sau lượt thứ hai lại đổi thành chiều dương, Sau 25 lượt thứ tự bóng chiều âm, khơng thể đưa chúng vị trí ban đầu 1.2: Chia thành cặp VD5: Có hay khơng đường gấp khúc khép kín gồm đoạn thẳng cho đoạn cắt đoạn lại? HD: Nếu tồn đường gấp khúc tập hợp đoạn thẳng chia thành cặp đoạn thẳng giao Như tổng số đoạn thẳng phải số chẵn Điểm mấu chốt ví dụ nhóm đối tượng chia thành cặp số đối tượng số chẵn Sau số ví dụ tương tự VD6: Có thể chia đa giác lồi 13 cạnh thành hình bình hành không? HD: Giả sử thực công việc Khi cạnh A1A2 phải thuộc hình bình hành A1PNM A1P thuộc A1A2 Tiếp tồn hình bình hành RSPQ P,Q thuộc MN Quá trình tiếp tục đến tồn hình bình hành có cạnh song song với A1 A2 thuộc cạnh AmAm+1 cạnh Am Am+1 tương ứng với A1A2 Như cạnh đa giác chia thành cặp nên số cạnh phải số chẵn Vơ lý Tương tự ta giải tốn sau nhờ kỹ thuật “ghép cặp” VD7: 25 quân cờ đặt bàn cờ 25x25 cho quân cờ đối xứng với quân cờ khác qua đường chéo Chứng minh có qn cờ đặt đường chéo VD8: Cho bảng 15x15 ta viết số từ đến 15 cho hai ô đối xứng với qua hai đường chéo chứa hai số khơng có số hàng cột Chứng tỏ khơng có hai số đường chéo 1.3: Chẵn lẻ VD9: Có thể lập hình vng “kỳ diệu” từ 36 số nguyên tố không? ( hình vng “kỳ diệu” bảng vng 6x6 với số ô cho tổng số cột, hàng hai đường chéo nhau) HD Khơng Vì tổng số thuộc hình vng số chẵn tổng 36 số nguyên tố lại số lẻ VD10: Các số từ đến 10 viết bảng theo hàng ngang theo thứ tự Liệu chèn vào tất hai số kề cách tùy ý dấu “+” dấu “-” cho kết cuối nhận số hay khơng? HD: Giả sử ban đầu dấu gồm tồn dấu “+” sau ta thay số dấu cộng dấu trừ Bất biến tính chẵn lẻ tổng 10 số khơng đổi Nhưng tổng số từ đến 10 số lẻ nên sau hữu hạn bước khơng thể đưa tình đề yêu cầu VD11: Một châu chấu nhảy đường thẳng Bước dài cm, bước thứ hai dài 2cm thế, bước nhảy bên trái bên phải Chứng minh sau 2015 bước khơng thể trở vị trí ban đầu Câu trả lời khơng VD12: Trên bảng có số 1;2;3; ;2013 Một học sinh xóa hai số thay giá trị tuyệt đối hiệu hai số Sau hữu hạn bước số bảng Số abừng khơng? HD: Ta có (a + b) - |a - b| số chẵn với hai số tự nhiên a, b Như tổng cac số sau bước ln tính chẵn lẻ Do số cuối phải số lẻ tổng số ban đầu lẻ VD13: Có 45 điểm nằm đường thẳng AB, tất nằm đoạn AB Chứng minh tổng khoảng cách tổng khoảng cách từ điểm tới A khác tổng khoảng cách từ điểm tới B HD: Nhận thấy hiệu hai tổng khoảng cách ln số lẻ lần độ dài đoạn thẳng AB nên ta có đpcm Bản chất bất biến xét theo tính chẵn lẻ xét theo modul Ta tổng quát thay số tự nhiên khác Dạng 2: Bất biến lớp đồng dư theo modul n( n số tự nhiên lớn 2) VD14: Cho 1000 số từ đến 1000 viết theo hàng ngang bảng Mỗi lần ta thay vài số bảng tổng chữ số Hỏi dãy số cuối thu có nhiều số hay nhiều số hơn? Đại lượng bất biến số tự nhiên tổng chữ số có số dư phép chia cho HD: Trong dãy số có 112 số chia dư 111 số chia dư Vậy dãy số cuối có số nhiều số VD15: Mối bước cho phép chọn số tự nhiên a phân tích a thành tích hai số tự nhiên m, n sau viết lên bảng hai số bốn số m ± 2; n ± Ban đầu ta có số a = 20152015 2015 (100 số 2015) Hỏi sau số bước có thu dãy gồm tồn số hay không? Bài ta để ý đến a số chia dư việc tồn số dãy HD: Vì a chia dư nên hai số m, n phải có số chia dư số chia dư 3.Mà số chia dư cộng hay trừ chia dư Do bước ln có mặt số chia dư 3, sau hữu hạn bước kết đề yêu cầu VD16:Trên bảng có hai số Thực việc ghi số theo nguyên tắc sau: Nếu bảng có hai số a, b phép ghi thêm số c = a + b + ab Hỏi cách xuất số 2013, 2014 2015 không? HD: Dãy số viết là: 1; 2; 5; 11; 17; Dễ thấy số viết thêm dãy chia dư Như bất biến cho phép ta khẳng định số 2013 2014 khơng thể có mặt Với số 2015 ta phải dùng bất biến khác Đem tăng thêm cho số hạng dãy ta nhận dãy: 2; 3; 6; 12; 18; Ta chứng minh cho số hạng dãy có dạng 2m.3n số 2015 + khơng có tính chất VD17: Có ba đống sỏi với số lượng tương ứng 8; 9; 19 viên Ta phép chọn hai đống sỏi chuyển viên đống chọn sang đống lại Hỏi sau số lần làm ta thu ba đống sỏi đống có 12 viên không? HD: Bất biến trong tất trạng thái số dư số sỏi mối đống phép chia cho hốn vị {0;1;2} Do khơng thể thưch Tương tự ta có sau: VD18: Ngồi biển đơng, đảo sinh sống ba giống thằn lằn có ba loại màu: màuxám có 133 con, màu nâu có 155 màu đỏ có 177 Nếu hai thằn lằn khác màu gặp chúng đồng thời đổi sang màu thứ ba (ví dụ thằn lằn màu xám gặp thằn lằn màu nâu hai đổi sang màu đỏ) Trong trường hợp hai thằn lằn màu gặp chúng giữ ngun khơng đổi màu Có xảy tình trạng đảo tất thằn lằn màu không? VD19: A B tiến hành trò chơi với 2014 hạt gạo Một nước lấy khỏi đống gạo 1;2 hạt A trước thay phiên Người lấy hạt gạo sau người chiến thắng Ai người ln chiến thắng chiến thuật sao? HD: A người chiến thắng chới theo chiến thuật sau: Bước 1: A lấy hạt gạo Bước 2: B lấy x hạt (x = 1;2;3) Bước 3: A lấy – x hạt Cứ tiếp tục Ta thấy sau mối lần A lấy số gạo lại ln bội Ở bước áp chót số gạo lại hạt dù B có chọn cách chơi A người thắng VD20: Có tờ giấy cắt thành mảnh 11 mảnh Sau mảnh số lại cắt thành 11 mảnh nhỏ Hỏi tạo thành 2015 mảnh không? HD: Sau lần cắt mảnh giấy thành mảnh 11 mảnh số mảnh giấy tăng lên 10 Như tính bất biến tốn “số mảnh giấy tăng lên bội số 5” Vậy số mảnh giấy sau lần cắt có dạng + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt trên, từ tờ giấy ban đầu, ta cắt thành 2005 mảnh Nhận xét Bất biến toán số mảnh giấy tăng lên bội số VD21: Trên bảng, người ta viết số tự nhiên liên tiếp từ đến 100 sau thực trò chơi sau: lần xóa hai số viết số tổng lập phương hai số cho Việc làm thực liên tục số bảng Hỏi số cuối lại bảng 987654321n (n số tự nhiên lớn 1) hay không? Tại sao? Nhận xét: Bất biến toán tổng số bảng thời điểm bội số HD: Để ý : (a3 + b3) – (a + b) = (a3 - a) + (b3 - b ) chia hết cho với cặp số tự nhiên a, b Do sau lần chơi tổng số ban đầu thay đổi lượng bội Vì tổng số từ đến 100 chia cho dư nên trạng thái kết thúc ta phải thu số chia dư 1, số đề cho lại số chia hết cho Ta luyện tập thêm số chủ đề sau Bài 1: Một ốc sên bò mặt phẳng với vận tốc không đổi Sau 15 phút lại rẽ theo góc vng Chứng minh ốc sên quay lại điểm xuất phát sau số nguyên lần HD: Khi ốc sên quay trở lại vị trí xuất phát đường     gấp khúc khép kín Kí hiệu: a , − a, b, − b hướng lên, xuống, sang trái, sang phải ốc sên Gọi m, n, p,q số lần lên , xuống, sang trái, sang phải Ta cần chứng minh (m + n + p + q) bội        Từ ma + n( − a) + p b + q( − b) = mà hai véc tơ a , b khác phương nên suy m = n p = q Do sau 15 phút ốc sên lại rẽ sang góc 900 nên m + n = p + q Từ ta đpcm Bài 2: Ba châu chấu chơi trò nhảy cóc đường thẳng Cứ nước châu chấu nhảy qua khác khơng nhảy qua hai Chúng trở vị trí ban đầu sau 2n + bước khơng? HD: Sau lần nhảy ln có giữ nguyên vị trí Sau số chẵn lần nhảy có vị trí ban đầu Nhưng 2n + số lẻ lần thực Bài 3: Một số tự nhiên gồm 17 chữ số Một học sinh đảo ngược thứ tự chữ số số đem cộng với số ban đầu Chứng minh tổng tạo thành có chữ số chẵn HD: Gọi số A = a1a2 a17, B = a17a16 a1 C = A + B Đặt x1 = a1 + a17; x2 = a2 + a16; x3 = a3 + a15; , x9 =2a9 Xét dãy x1x2x3 x7x8x9x8x7 x1 Giả sử chữ số C gồm toàn số lẻ Cộng theo hàng dọc ta thấy: x9 chẵn nên x8 phải nhớ sang suy ra: x7 chẵn, x6 nhớ sang, x5 chẵn, , x1 chẵn Do chữ số đơn vị C chẵn Mâu thuẫn Bài 4: Có 100 người lính doanh trại Mỗi tối người số họ có ca trực Hỏi xảy tình sau khoảng thời gian người trực với tất người lại lần hay khơng? HD: Giả sử xảy tình Xét người lính A đó, từ gt suy số người lại phân hoạch thành cặp trực A Nhưng suy tổng số lính doanh trại phải số lẻ Vơ lý Bài 5: Có số đặt vòng tròn gồm số số Mỗi hành động sau coi bước: Ta thêm số vào hai số cạnh hai số khác nhau, trường hợp ngược lại ta thêm số Hai số cũ sau bị xóa Hỏi sau số bước số lại hay khơng? (xem lại) Bài 6: Có 25 bạn nam 25 bạn nữ ngồi quanh bàn tròn Chứng minh tồn bạn có hai “hàng xóm” nam (Tương tự có bạn có hai hàng xóm nữ) HD: Kí hiệu 25 bạn nam N1, N2, , N25 Gọi x1, x2, , x25 số bạn nữ ngồi hai bạn nam (Ni, Ni+1) với N1 = N26 Ta có: x1+ x2+ + x25 = 25 (1) Nếu tồn xi = tốn chứng minh Trường hợp ngược lại: Từ (1) có 13 số xi Nếu x1 = x25 = N25 người cần tìm Nếu x1, x25 khơng đồng thời theo nguyên lý Diricle có cặp xj = xj+1 = Nj+1 người cần tìm Bài 7: Hai người chơi cờ Sau ván người thắng điểm, người thua điểm, hòa người điểm Hỏi sau số ván cờ liệu có xảy tình người 10 điểm, người 13 điểm hay không? HD: Câu trả lời không Bất biến tính chẵn lẻ tổng số điểm hai người chơi không đổi Bài 8: Trên mặt bàn có 2017 viên bi gồm 667 viên xanh, 669 viên đỏ 671 viên vàng Thực thuật toán sau: Mỗi lần lấy hai viên bi khác màu đặt thêm hai viên bi có màu lại Hỏi có nhận trạng thái tất viên bi bàn có màu khơng? HD: Kí hiệu X(n), Đ(n), V(n) tương ứng với số bi màu xanh, đỏ, vàng sau bước thứ n Như X(0) = 667, Đ(0) = 669 , V(0) = 671 Từ thuật toán đề ta thấy bất biến số dư hiệu X(n) – Đ(n), Đ(n) – V(n), V(n) – X(n) không đổi phép chia cho Xuất phát từ trạng thái ban đầu ta có số dư 1;2;1 Nhưng trạng thái kết thức số bi ba loại hốn vị {0;0;2007} nên khơng thể thực Bài Trong dãy 1, 9, 9, 9, 8, , chữ số chữ số thứ năm chữ số hàng đơn vị tổng bốn chữ số liền trước Hỏi dãy có gặp 1234 5678 không? HD: Ta thay chữ số dãy cho số số chẵn số số lẻ Ta nhận dãy số 111101111011110 , sau bốn chữ số có chữ số sau số có bốn chữ số Các số 1234 5678 ứng với chữ số 1010 1001 nên có mặt dãy số cho Kết luận: Như thơng qua dạng hệ thống ví dụ ta phần thấy hữu hiệu bất biến chẵn lẻ số toán tổ hợp Điều quan trọng phải phát yếu tố bất biến 10 Vì trình độ hạn chế nên chun đề chưa có độ sâu mong muốn Tơi mong nhận góp ý xây dựng từ Ban tổ chức bạn đồng nghiệp Tài liệu tham khảo 1) Mathematical – Circles – Russian Experience 2) Giải toán đại lượng bất biến – Nguyễn Hữu Điển 3) Một số chuyên đề mạng 11 ... (1) có 13 số xi Nếu x1 = x25 = N25 người cần tìm Nếu x1, x25 khơng đồng thời theo ngun lý Diricle có cặp xj = xj+1 = Nj+1 người cần tìm Bài 7: Hai người chơi cờ Sau ván người thắng điểm, người... mong nhận góp ý xây dựng từ Ban tổ chức bạn đồng nghiệp Tài liệu tham khảo 1) Mathematical – Circles – Russian Experience 2) Giải toán đại lượng bất biến – Nguyễn Hữu Điển 3) Một số chuyên đề mạng