Mot chut ve da thuc

Chuyên đề: MỘT CHÚT VỀ ĐA THỨC NGUYỄN ĐỨC TẤN TP Hồ Chí Minh Nếu biết vận dụng khéo léo tính chất đa thức học THCS tìm lời giải đẹp số tốn giải số tốn khó thường gặp kì thi chọn lọc học sinh giỏi tốn Xin trao đổi bạn đọc “Một chút đa thức” Nhắc lại số tính chất học: Giả sử f (x) g(x) hai đa thức biến x 1) f (a)  0, a  Q  f (x) có nghiệm x  a 2) Dư f (x) chia cho x  a f (a) (định lí Bezout) 3) f (x)  g(x) , bậc f (x)  bậc g(x)  f (x)  4) f (x)  g(x)  hệ số tương ứng 5) Số nghiệm đa thức bậc n không n (n  Z* ) Một số tốn áp dụng: Bài 1:Phân tích thành nhân tử P  (x  y  z)3  x  y  z3 Giải: Xem P đa thức biến x Khi x   y P   P  x  y Trong P vai trò x, y, z nên có P  x  z, P  y  z P  (x  y) (x  z) (y  z)Q Mà P đa thức bậc x, y z nên Q số Với x  0, y  z  ta có Q  Vậy P  3(x  y) (x  z) (y  z) Bài 2:Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn xP(x  1)  (x  26) P(x) (Vơ địch tốn Matxcơva 1963) Giải: Dễ thấy P(0)   P(1)   P(2)    P(25)  Vậy Suy P(x)  x (x  1) (x  25)Q(x) P(x  1)  (x  1)(x  2) (x  26)Q(x  1) xP(x  1)  (x  26) P(x) (giả thiết)  Q(x  1)  Q(x)  Q(x)  a (bằng số) Vậy P(x)  ax (x  1) (x  25) Tuyển tập chuyên đề báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Bài 3:Cho hai đa thức với hệ số nguyên f1(x), f (x) thỏa mãn f(x)  f1(x3 )  x f2 (x3 )  x2  x  CMR USCLN (f1(1984), f (1984))  1983 (Toán học tuổi trẻ 2/134) Giải: f (x)  [f1(x3 )  f1(1)]  x[f2 (x3 )  f (1)]  x f 2(1)  f1(1) Dễ thấy f1(x3 )  f1(1)  x2  x  f2 (x3 )  f1(1)  x2  x  Suy ra: Vậy x f2 (1)  f1(1)  x2  x  nhờ t/c (3) suy f1(1)  f (1)  f1(x)  x  1, f (x)  x  , USCLN (f1(1984), f (1984))  k.1983 (k  N), k  f1(x)  f (x)  x  Bài 4: Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên f(0), f(1) số lẻ CMR f(x) có nghiệm số nguyên Giải: Giả sử đa thức f(x) có nghiệm số ngun a f (x)  x  a f (x)  (x  a) g(x) (g(x) đa thức có hệ số nguyên) Ta có f (0)   ag(0) số lẻ, suy a số lẻ Tương tự f (1)  (1  a) g(1)   a số lẻ , suy a số chẵn Điều mâu thuẫn suy đpcm Bài 5:Cho đa thức f(x) bậc có hệ số nguyên Biết f(x) nhận giá trị 1975 với giá trị nguyên khác x CMR với x  Z f(x) khơng thể có số trị 1992 Giải: Gọi x1 , x , x , x giá trị nguyên khác đa thức f(x) - 1975 suy f (x)  1975  (x  x1 )(x  x )(x  x )(x  x ) (g(x) đa thức có hệ số nguyên) Giả sử tồn a  Z mà f(a) = 1992 ta có: (a  x1 ) (a  x ) (a  x ) (a  x ) g(a)  17 (* ) Do x1 , x , x , x  Z khác nên a  x1, a  x , a  x , a  x số nguyên khác g(a)  Z , mà 17 phân tích thành tích có nhiều thừa số nguyên khác nhau: Tuyển tập chuyên đề báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page 17  (1) (17) nên (*) không xảy suy đpcm Bài 6:Với a, b, c ba số khác Hãy tính ak (x  b)(x  c) (x  a)(x  c) (x  a)(x  b)  bk  ck (a  b) (a  c) (b  a) (b  c) (c  a) (c  b) Giải: Đặt f (x)  ak với k  ; ; (x  b)(x  c) (x  a)(x  c) (x  a)(x  b)  bk  ck  xk (a  b) (a  c) (b  a) (b  c) (c  a) (c  b) Dễ thấy f (a)  f (b)  f (c)  Vậy a, b, c nghirmj khác f(x) bậc Do ak f (x)  f (x)  vậy: (x  b)(x  c) (x  a)(x  c) (x  a)(x  b)  bk  ck  xk (a  b) (a  c) (b  a) (b  c) (c  a) (c  b) Bài 7:Đa thức P(x) bậc n thỏa mãn đẳng thức P(x)  k với k  ; ; ; ; n Tìm k 1 P(n  1) ? (Vơ đich tốn Mỹ 1975) Giải: Đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện Vì có đa thức khác Q(x)  P(x) thỏa mãn bậc đa thức Q(x)  P(x)  n có số nghiệm Xét đa thức R(x)  x   n  (0  x)(1  x) (n  x) R(1)  nên (n  1)! R(x)  x  S(x)  R(x) R(k) đa thức bậc n S(k)  với k  ; ; ; n nên x 1 k 1 S(x) thỏa mãn điều kiện toán nghĩa P(x) = S(x) P(n  1)  R(n  1) n   (1)n   n2 n2 Bài 8:Chứng tỏ đa thức f (x)  (x  a1 )(x  a2 ) (x  an )  (a1 ; a2 ; ; an  Z khác nhau) khơng phân tích thành nhân tử Giải: Giả sử f (x)  g(x) h(x) với g(x), h(x) có hệ số nguyên f (ai )   1(i  1,n) nên g(ai )  1, h(ai )   Tuyển tập chuyên đề báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page Hoặc g(ai )   1; Do g(ai )  h(ai )  0, (i  1,n) Đa thức g(x)  h(x) h(ai )  có n nghiệm khác bậc  n g(x)  h(x)  Vì f (x)   h2 (x) điều hệ số cao f(x) số dương Dưới số toán thêm để bạn tự luyện: 1) Phân tích thành nhân tử (x  y)4 (x  y)  (y  z) (y  z)  (z  x) (z  x) 2) Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện (x  1992) P(x)  x P(x  1) P(1993)  1993! 3) Chứng minh đa thức: f(x)  (x  a1)2 (x  a2 )2 (x  an )2  (với a1 , a2 , , an số ngun khác nhau) khơng phân tích thành nhân tử 4) a b hai số khác Phần dư phép chia đa thức f(x) cho x  a A phần dư phép chia f(x) cho x  b B tìm phần dư phép chia f(x) cho (x  a)(x  b) Tuyển tập chuyên đề báo toán học tuổi trẻ Trung tâm luyện thi EDUFLY-Hotline: 0987708400 Page