SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài ( điểm) Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: y = (1 + ax )x , (a > 0) Bài ( điểm) Định dạng tam giác ABC, biết rằng: cosA cosB cos A cos B + = + = sinB sinA A B p Bài ( điểm) Cho dãy số (xn) Biết x1 = x2 = xn + = xn + + , " n �N* p a/ Tìm số hạng tổng quát xn ( n N*) b/ Xác định tất giá trị n cho xn số nguyên Bài (6 điểm) Trong mặt phẳng cho đường tròn (C), giả sử tâm chưa đánh dấu A điểm mặt phẳng Chỉ dùng thước thẳng dựng qua A tiếp tuyến đường tròn (C) ( Thước thẳng dụng cụ để vẽ đường thẳng) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN: TỐN BẢNG A VÒNG Baìi (3õióứm) (1 õ) + Tỗm tióỷm cỏỷn õổùng: Tỏỷp xaùc õởnh: R\{0} x 0+ thỗ + vaỡ ax x Do âoï : x x lim(1 + a ) = +� nãn x = laì âỉåìng tiãûm cáûn âỉïng x�0+ (1 â) a/+ Xẹt trỉåìng håüp: < a + x (0; + ): < + ax 1 Do âoï: < (1 + a x ) x ( vỗ > ) x 1 nón: � lim (1 + a x ) x � lim 2x = x �+ � x�+� x x Do âoï: lim(1 + a ) = nãn y = l âỉåìng tiãûm cáûn ngang nhạnh + x�0 phaíi x �� 1� + x (- ; 0): < + � � �2 � �� a� � Do âoï: > � 1+ � � � � lim � 1+ x �- � � � x 1 x �� � x ( vỗ < ) nón � � x �� a �� � x x �� � x �� � � lim =1 �� � � x �- � a� � � � 1+ Do âoï: xlim �- � � � x �� � �� ��=1 � �� a �� � x � �� �� + ax )x = lim a � 1+ � Suy xlim(1 ��= a � �- � x �- � � a �� � �� � Váûy y = a laì tiãûm cáûn ngang nhạnh trại (1 â) b/+ Xẹt trỉåìng håüp a > + x (- ; 0) : < + ax < 1 1 Do âoï: 1> (1 + a x ) x > 2x ( vỗ < ) nón: lim (1 + a x ) x � lim 2x = x x �- � x�- � Do âoï: lim(1 + ax )x = nãn y = laì âỉåìng tiãûm cáûn ngang nhạnh x�- � trại x �� 1� + x (0; + ): < + � �< � �� a� � Do âoï: < � 1+ � � � � lim � 1+ x �+� � � x 1 x x ( vỗ > ) nãn � � < � � �� x � a� � x x �� � x �� � � lim =1 � � x �+� �� a �� � � Do âoï: lim � 1+ x �+� � � 1 x x x x � �� �� �� �� x x nãn � � � � � =1 lim (1 + a ) = lim a + =a � � � � x�+� x �+� � �� a �� a �� � � �� � Váûy y = a laì âỉåìng tiãûm ngang nhạnh phi Bi ( âiãøm) cosA cosB (1 â) + = � sin2A + sin2B = 4sinAsinB + sinB sinA sin(A + B)cos(A - B) = cos(A - B) - cos(A + B) � cos(A - B)[ sinC - 1] = cosC cos(A - B) cos(A - B) sinC cosC = (1) + cos2(A - B) 1+ cos2(A - B) + cos2(A - B) cos(A - B) j = Âàût cos j = vaì sin + cos2(A - B) + cos2(A - B) p (1) tråí thnh: sin(C - ) = cos cos = cos( + j - C ) p � C = + kp (3) � � �� , k �Z p � 2j = C + kp (4) � p p (2.5 õ) + Nóỳu coù (4) thỗ k = C = + 2j � < j < cos(A - B) � cosj > � > � cos2(A - B) > (vä lyï) 2 + cos (A - B) Váûy tam giaïc ABC vuäng 2 a = cos3 A � � � � � cos6 A cos6 B � a b � � � + =� + Màût khaïc: � � � � våïi � �+ � � �A � � �B � b = cos3 B A B � � 2� � 2� �a � � �b � � p p� cos6 A cos6 B � � � � � � � � + � Maì A + B = � � (a + b)2 � ( A ) +( B) � � � � �= � � � �+ � � � �A � � � � � 2� B � B A � � (5) cos6 A cos6 B + � (a + b)2 Suy ra: A B p cos6 A cos6 B + � (7) Sỉí dủng bäø âãư: (a + b) (6) suy A B p cos6 A cos6 B + = (2) nãn (7) xy âàóng thỉïc tỉïc Theo gi thiãút: A B p l : Âàóng thỉïc xy �cos3 A cos3 B � = � � A B � A =B tải (5) v (6) tỉïc l: � � � � � A B � � cos� � �= � � � � � � Suy tam giaïc ABC cán âènh C Thỉí lải ta tháúy âụng våïi gi thiãút Váûy ABC l tam giạc vng cán âènh C (1 â) + Chỉïng minh bäø âãư: Cos3 A + cos3B = ( cosA + cosB)(cos2A+cos2B - cosAcosB) A +B A- B� � cos 1- [ cos(A + B) + cos(A - B)]� � = 2cos � 2 � p A- B� A - B� 3 �- cos2 Vỗ A + B = nón cos A + cos B = 2cos 2 � 2 � A- B A- B p 2 < � < x �1) Xeït y = 2x( - x ) våïi x = cos (0� 2 2 A- B 2 =1� A = B Ta âỉåüc y � v y = x = � cos 2 Baìi3 ( âiãøm) xn xn+2 = xn+1 + , nN* xn våïi x1 = x2 = 1; Do âoï nãúu âàût x0 = ta âæåüc: xn+2 = xn+1 + , nN (hồûc khäng cáưn âàût trãn v chỉïng minh trỉûc tiãúp) Cáu a ( 2âiãøm) xn xn Tỉì âàóng thỉïc: xn+2 = xn+1 + xn+2 - xn+1 = 2 1- 1+ Coï phổồng trỗnh õỷc trổng laỡ: x2 - x - = � x = hay x = 2 n n � � 1+ 3� 1- 3� � � � � � � + b� Suy xn = a� � � � � � � � � � � a+b = � � � � a=- b= Våïi x0 = 0, x1 = ta âæåüc: � + 3 � a+ b=1 � � � Váûy cäng thỉïc täøng quạt: n n � � � � + 3� - 3� � � � � � � � � xn = � � � � � �� � � 3� � � � � � � Cáu b (4 âiãøm) n n � ( + 3) - ( - 3) � � �, " n �N Ta coï: x2n = � � n 3� � � � n n � (1+ 3) ( + 3) - (1- 3) ( - 3) � � �, " n �N Vaì x2n+1 = � � n+1 3� � � � (1.5 â) + Xeït x 2n+1 (nN) n n � �, " n �N (1 + 3) + (1 3) ( ) ( ) Goüi bn = � � � 3� Ta coï: b0 = 2, b1 = vaì bn+1 = 4bn - bn-1 nãn bn+1 - bn-1 bn-1 ( mod 4) Suy bn chia hãút vaì khäng chia hãút ( nN) b n+1 Váûy x2n+1 = n+n1 �Z � = � n = Váûy chè coï x1 Z (2 â) + Xeït x2n (nN) n n � � + 3 ( ) ( ) Âàût an = � � � 3� Ta coï: a0 = 0, a1 = vaì an+1 = 4an - an-1 nãn an an-1 ( mod 4) Do: a1 = nãn a2k+1 chia hãút vaì khäng chia hãút Xeït f(n) N cho an chia hãút 2f(n) vaì khäng chia hãút 2f(n)+1 Suy ra: Nãúu n sọỳ leợ thỗ f(n) = 2n 2n n n � + 3) - ( - 3) � = an � + 3) + ( - 3) � ( ( Ta coï: a2n = � � � � � � � 3� n n Laûi âàût Cn = ( + 3) + ( - 3) ta coï C0 = 2, C1 = v Cn = 4Cn-1 C n-2, nãúu n chàơn (vỗ C0 n = 2, 3, 4, = 2) C n 2(mod 4) nóỳu n chụn (vỗ C1 Suy � C 4(mod 8) �n = 4) Maì a2n = an.Cn n f (n) nãúu � chàơn Do âọ: f(2n) = � f (n) � nãúu n h Gi sỉí: n = s ( schàơn l säú tỉû nhiãûn l, h N) h Thỗ f(n) = f(2 s ) = f(2h - 1.s) + = f(2h - 2.s) + = = f(2s) + h -1 = h + an Z ��� a n M2n � f (n) n h 2 h.s h h 3(h N) Váûy âãø : x 2n ��۳� n Váûy: h = n = x8 = h = n = x4 = h = n = x2 = (0.5 â) + Kãút luáûn: caïc säú x1, x2, x4, x8 l cạc säú ngun Bi ( âiãøm) (1.5 â) + Bäø âãư 1: Tỉì mäüt âiãø M ngoi âỉåìng trn (C) tám O bạn kênh R v hai tiãúp tuún MA, MB Hai cạt tuún âi qua M cừt õổồỡng troỡn PQ, RS, thỗ giao õióứm hai âỉåìng thàóng SP v QR thüc âỉåìng thàóng AB _ Y O _ K _ _ X A _ Q _ I_ _ P _ M J _ R _ _ S B _ uuur uuur uuur uuur OX.OY OK.OX (QPIM) (SRJM) 1 2: X laì mäüt âiãøm cho trỉåïc, táûp håüp táút c cạc âiãøm Y (1.5 â)Bäø âãö u uur uuur cho OX.OY R l âỉåìng thàóng dx vng gọc våïi Ox X, X’, X” thàóng hng v O khäng thüc XX thỗ dx, dx, dx õọửng quy Trồớ laỷi baỡi toaùn: (1.5 õ)a/ Nóỳu A khọng thuọỹc õổồỡng troỡn thỗ sỉí dủng bäø âãư (1.5 â)b/ Nãúu A thüc âỉåìng trn Chn B, C cho A, B, C thàóng hng v B, C åí ngoi âỉåìng trn Dng bäø âãư v dỉûng tiãúp tuún BE, BF v CG, CH, EF v GH càõt tải T thỗ AT laỡ tióỳp tuyóỳn cỏửn dổỷng ...THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1 998 - 1999 MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG Baìi (3âiãøm) (1 â) + Tỗm