SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài ( điểm) Tìm cực trị hàm số: x x x y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 ( < x < ) Bài ( điểm) Tìm giá trị lớn tham số m hệ phương trình sau có nghiệm: � x2 + xy + y2 = m � � � � y2 + yz + z2 = m2 ( x, y, z R) � � � � xy + yz + zx = m3 � � Bài ( điểm) Cho tập hợp: A = { a; a + 1; a + 2; a + n} với a = 1998 Tìm tất giá trị nguyên dương n để tồn hai tập hợp B C cho: A = B C BC = mà tổng phần tử tập B phần tử tập C Bài (6 điểm) Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có điểm chung M điểm không gian, đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng lại A,B,C Biết MA + MB + MC = 1998 Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN TỐN 12 BẢNG A, VỊNG x x x + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 x x x + Đặt z = sinx + cotg ; z = sin2x + cotg2 + 4cos2 Do đ ó: y = z2 – 4z 2 x cos x - cosx + cosx x ) = 2(sinx + cotg + y’x = y’z z’x = (2z – 4)( 2) 2sin c osx 2 cos x - cosx + + Do: < x < cosx < 2 Do đó: y’ dấu với t – x p + y’ = t – = tg = x = ( 0< x < ) 2 p x x + tg -1 y’ + Bài 1(3 điểm) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) y = sin2x + cotg2 y -4 Vậy: hàm số có điểm cực tiểu ( Bài (5 điểm) p ; -4) y 3 ; Y= y; Z = (y + z); T = (z – y) 2 2 2 2 2 2 Ta đ ược: x + xy + y = X + Y ; y + yz + z = Z + T ; (xy + yz + zx) = XZ + Y T � � � X2 + Y = m � � � � Z2 + T = m2 Do ta có hệ � � � � 3 � � XZ + Y T = m � � (1.5đ) + Chú ý: (X2 + Y2)(Z2 + T2) = (XZ + YT)2 + (XT – YZ)2 (1.5đ) + Đặt: X = x + Do đó: Hệ cho có nghiệm thì: � 3� � � m3(m3 m.m � m ���ޣ-� � � � � � Suy ra: m (1.75đ)+ Xét m = 3 ) 0 m3 4 � XT = Y Z (1) � � � � 3 XZ + Y T = m (2) Ta có hệ: � � � � � � Z2 + T = m2 (3) � � Từ (1) đặt X = uZ, Y = uT, thay vào (2) (3) ta có: u = m � � 2m + � � X= mZ � x= y � � � 2m � � � � � � m+2 � Y = mT hay � z= y Do ta có hệ: � � � � m � � � � � � Z2 + T = m2 m2 � � y = � � � � 3m2 + 4m + � � � với m = (0.2 5đ) + Từ đó: Đáp số toán m = Bài (6 điểm) (1.5 đ) + Nếu A = B C BC = mà tổng phần tử B tổng phần tử tập C nên tổng: n(n + 1) 1998 + (1998 + 1) + + ( 1998 + n) = 1998(n + 1) + n(n + 1) số chẵn, suy l số chẵn, suy n(n + 1) chia hết Do n có dạng n = 4k + dạng n = 4k (k N) (1.5 đ) + Nếu n = 4k + (k N): Lúc tập A có 4(k+1) phần tử Chia A thành k + tập rời nhau, tập gồm số tự nhiên liên tiếp Ta biết số tự nhiên liên tiếp chia thành hai tập có tổng phần tử hai tập Ví dụ: bốn số a, a + 1, a + 2, a + a + ( a + ) = ( a + ) + ( a + ) Vậy tồn hai tập B C thỏa toán (3 đ) + Nếu n = 4k (k N*): Lúc tập A có 4k + phần tử Giả sử A = B C BC = B C có tập khơng 2k + phần tử Giả sử B có khơng 2k+1 phần tử C có khơng q 2k + phần tử Ký hiệu : SB tổng phần tử B thì: SB 1998 + (1998 + 1) + + ( 1998 + 2k) = 1998(2k+1)+ k(2k+1) SC tổng phần tử C thì: SC (1998+ 2k+1) + (1998+2k+2) + + (1998 + 4k) = 19982k + k(6k+1) Theo giả thiết để SB = SC nên: 1998.2k + k(6k+1) 1998(2k+1) + k(2k+1) 1998 k 23 6k2 + k 1998 + 2k2 + k 4k2 1998 k �۳ + Nếu k = 23 n = 92 Tập A = {1998, 1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 92} với B = {1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 46, 1998 + 59} C = {1998, 1998 + 47, , 1998 + 58, 1998 + 60, , 1998 + 92} Thì SB = SC = 95046 + Nếu k > 23 Ta có: A = A1A2 Trong đó: A1 = {1998, 1998 + 1, , 1998 + 92} A2 = {1998 + 93, 1998 + 94, , 1998 + 4k} Theo A1 chia thành hai tập rời thỏa đề Còn tập A2 gồm (4k - 9z) = 4(k – 23) phần tử Lý luận phần a, tập A chia thành hai tập thảo Như tập A chia hai tập B C, không giao tổng số B tổng số tập C Kết luận: n có dạng 4k+3(kN) hay 4k(kN, k 23) Bài ( điểm) (1.5 đ) + Gọi O giao điểm mặt phẳng a, b, c giao tuyến Dùng tính chất hình uuuur uuur hộp tính chất trọng tâm, ta có: OM ' = OM , với M” trọng tâm ABC U _ B _ C _ M' _ M _ _ C O _ A _ V _ (4đ) + Tìm tập hợp điểm M: Ba mặt phẳng chia không gian làm miền Ta cần xét miền: Gọi U, V, Ư thuộc a, b, c: OU = Ơ = OV = 1998 Chứng minh được: M thuộc miền tam giác UVƯ khi: uuur uuur uuur uuur OM = xOU + yOV + zOW với x + y + z = Mà MA + MB + MC = 1998 x + y + z = Do đó: Tập điểm M miền tam giác UVƯ (0.5 đ) + Suy điểm M’ ( trọng tâm tam giác ABC) ảnh miền tam giác UVƯ qua phép vị tự tâm O tỉ 2/3 ... 1 998 ( 2k+1) + k(2k+1) 1 998 k 23 6k2 + k 1 998 + 2k2 + k 4k2 1 998 k �۳ + Nếu k = 23 n = 92 Tập A = {1 998 , 1 998 + 1, 1 998 + 2, , 1 998 + 92} với B = {1 998 + 1, 1 998 + 2, , 1 998 + 46, 1 998 . .. C = {1 998 , 1 998 + 47, , 1 998 + 58, 1 998 + 60, , 1 998 + 92} Thì SB = SC = 95046 + Nếu k > 23 Ta có: A = A1A2 Trong đó: A1 = {1 998 , 1 998 + 1, , 1 998 + 92} A2 = {1 998 + 93, 1 998 + 94, , 1 998 + 4k}... SB 1 998 + (1 998 + 1) + + ( 1 998 + 2k) = 1 998 ( 2k+1)+ k(2k+1) SC tổng phần tử C thì: SC (1 998 + 2k+1) + (1 998 + 2k+2) + + (1 998 + 4k) = 1 998 2 k + k(6k+1) Theo giả thiết để SB = SC nên: 1 998 . 2k