BangA v1 99 2000

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) -Bài 1: ( 2.5 điểm) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = a/ Giải phương trình a = 64 b/ Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 2:(2.5 điểm) Cho hai số a1, b1 với < b1 = a1 < Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, theo quy tắc sau: a n +1 = (a n + b n ) , b n +1 = a n +1.b n a n lim b n Tính: lim n →∞ n →∞ Bài 3:(2.5 điểm)Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm 0) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) cấp số cộng có a1 > công sai d > Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An, Bn, Cn cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn Chứng minh mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn qua đường thẳng cố định Bài 4:(2.5 điểm) Tập hợp M gồm hữu hạn điểm mặt phẳng cho với điểm X thuộc M tồn điểm thuộc M có khoảng cách đến X Hỏi tập hợp Mcó thể chứa phần tử? SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a: ( điểm) +(0.25 đ) Đặt u = v = (x − 1)(x − 33) x − 34x + a  u − (u − 1) = a − 33 (I) +(0.25 đ) Ta có hệ  v = u −1 ≥ +(1.00 đ) Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng [1; + ∞) +(0.50 đ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) f(u) tăng nên hệ (I) có nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ta có nghiệm phương trình là: x = 17 ± 257 Câu b: ( 0.5 điểm) + f(u) tăng [1; + ∞) mà f(1) = nên phương trình có nghiệm a – 33 ≥ hay a ≥ 34 Bài 2: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Tính a2, b2 với < b1 = a1 < ta chọn < a < π cho: b1 = cosa, suy a1 = cos2a 1 a a = (cos a + cos a) = cos a(cosa + 1) = cosa.cos 2 2 a a b = cos acos cosa = cos acos 2 +(0.75 đ) Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a a n = cos aco s cos n −1 cos n −1 (1) b n = cos aco s cos n −1 (2) 2 2 a +(0.75 đ) Nhân hai vế (1) (2) cho sin n −1 áp dụng công thức sin2a được: a sin 2a.cos n −1 sin 2a an = , bn = a a 2n.sin n −1 2n.sin n −1 2 +(0.50 đ) Tính giới hạn: sin 2a sin 2a lim a n = , lim b n = n →∞ n →∞ 2a 2a Bài 3: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X,Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: uuu r uuur uuur OS = xOX + yOY , với điểm O tùy ý   x + y = +(0.25 đ) Từ giả thiết: (an) cấp số cộng công sai d > nên: an+1 = an + d a n +1 a n − = d d +(0.75 đ) áp dụng nhận xét trên, ta có: uur a uuuur a uuuur OI = n +1 OBn − n OA n I ∈ AnBn uuudr uuuurd uuur uuuur OA = a n OA n ; OB = a n +1 OBn ( a n , a n +1 > 0) uuur uuur uur OB OA uuur Thế vào ta được: OI = − = AB , ∀n=1,2 suy I cố định, nên đường thẳng d d d AnBn qua điểm cố định I +(0.50 đ) Tương tự, chứng minh được: uur uuur • BnBn ln qua điểm cố định J xác định bởi: OJ = BC d uuur uuur AC • AnCn ln qua điểm cố định K xác định bởi: OK = 2d Vậy đường thẳng AnBn, BnCn, AnCn qua ba điểm I, J, K cố định +(0.50 đ) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: uur uuur uur uuur uuur uuur AC Ta có: OI = AB , OJ = BC , OK = d d 2d uuur uuur uuur uuur uur uur uur uur AC = (AB + BC) = (d.OI + d.OJ) = (OI + OJ) Do đó: OK = 2d 2d 2d Vậy I, J, K thẳng hàng Điều chứng tỏ mặt phẳng AnBnCn qua đường thẳng cố định Bài 4: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Rõ ràng có hai điểm P,Q thuộc M cho PQ ≠ Ký hiệu : MP = {X ∈ M / PX = 1} Từ giả thiết |MP| = ta có: |Mp ∩ Mq| ≤ Nếu tồn P, Q cho |Mp ∩ Mq| ≤ M chứa điểm +(1.50 đ) Trường hợp với P,Q cho PQ ≠ |Mp ∩ Mq| = Khi Mp ∩ Mq = {R,S}, lúc MP = {R,S,T,U} Mq = {R,S,V,W} giả sử M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ ≠ 1, UQ ≠ 1, VP ≠ 1, WP ≠ • Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy Mt ∩ Mq = Mu ∩ Mq = {V,W} suy T hay U trùng với Q, vô lý • Nếu TR,TS,UR,US có số 1: Khơng giảm tính tổng quát, giả sử TV = lúc TS ≠ TV = hay TW = Giả sử TV = lúc TW≠ suy TU = 1, Mt = {P,R,U,V} Mu = {P,T,V,W} lúc UTV, RPT,UTV tam giác cạnh 1, ta có hình Điều mâu thuẫn VR>2 +(0.50 đ) Vậy M chứa điểm Dấu xảy với hình2 Vậy M chứa điểm A5 T V U R A9 A6 A1 A2 A3 P A7 A8 A4 ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999 -2000 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a: ( điểm) +(0.25