SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000 - 2001 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) Cho dãy số (an) , a1 = a n +1 = a n + an = Chứng minh: lim n →∞ an n Bài 2: (3 điểm) p ∑ x i = i =1 p −1 a/ Tìm p ∈ N* cho hệ ∑ x1 = có nghiệm i =1 x > 0, ∀i ∈1, p i b/ Với p tìm câu a/, xác địng tập hợp tất giá trị tổng: p p với > ∑ a i = ∑ − a i =1 i =1 i Bài 3: (3 điểm) Với hai đường thẳng MN, PQ chéo khơng gian, kí hiệu d(MN,PQ) (MN,PQ) khoảng cách góc hai đường thẳng MN, PQ a/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) ba số: cotg(AB,CD); cotg(AC,BD); cotg(AD,BC) có số tổng hai số lại b/ Chứng minh tứ diện ABCD thỏa điều kiện: d(AB,CD) = d(AC,BD) = d(AD,BC) (AB,CD) = (AC,BD) =(AD,BC) hình chóp tam giác Bài 4: (3 điểm) Tìm số nhỏ cặp tập hợp có giao khác tập ∅ 2000 tập hợp phân biệt cho với tập hợp 2000 tập hợp có cặp tập hợp có giao khác tập ∅ SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000-2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VỊNG Bài 1: (2.0 điểm) n n −1 n −1 1 2 + ⇒ a = a + + 2(n − 1) ∑ ∑ ∑ i j 2 ak i=2 j=1 j=1 a j • a 2k +1 = a k2 + • a 2n = 2n − + ∑ • • • n −1 j=1 Vậy an > a 2j 2n − , ∀n ≥ 1 1 1 1 < < = = − ÷ 2 a k (2k-1) (2k-1) − 4k(k+1) k − k n −1 n −1 1 1 1 ) < ⇒ ∑ < 1+ = Suy ra: ∑ < (1 − n −1 4 k =2 a k j =1 a j a 2k > 2k − ∀k ≥ ⇒ Suy ra: n −1 j=1 j ∑a n −1 ≤ (n − 1)∑ j=1 • Vậy: a 2n < 2n − + • Suy ra: n ≥ 2; • Do đó: lim n →∞ < (n − 1) (n ≥ 2) aj 5(n − 1) (n ≥ 2) 2n-1 Chọn a1 = − 2x ; a = x ; a = x , a = x thỏa giả 2 2 thiết: a1 + a + a + a = − 3x + x + x + x = với 0