SKKN dãy số 11

Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở thực tiễn vấn đề nghiên cứu Với 13 năm đứng bục giảng năm tham gia giảng dạy cho học sinh lớp 11 có số năm dạy cho học sinh ôn thi Học sinh giỏi Khi dạy chương dãy số tơi thấy có số vấn đề sau cần phải giải quyết: Một là: Theo qua điểm ngành Giáo dục thời lượng chương trình dạy học nên nội dung chương dãy số giảm tải đáng kể Tuy nhiên việc giảm tải tập trung vào tập lí thuyết giảm tải khơng đáng kể u cầu tối thiểu Nên giáo viên dạy lí thuyết chương vất vả, học sinh học lí thuyết vất vả làm tập Sách giáo khoa học sinh thấy đơn giản tập khó giảm tải, tập lại tương tự ví dụ có phần lí thuyết nên hầu hết học sinh làm theo cách máy móc hiểu rõ vấn đề đề thay đổi chút học sinh cảm thấy khó khăn, chán ngán Hai là: Các vấn đề dãy số không xuất đề thi tuyển sinh Đại học nên nhiều học sinh không hứng thú với nội dung Tài liệu tham khảo dãy số học sinh có nhu cầu tìm hiểu sau thêm dãy số học sinh có ý đinh ơn thi Học sinh giỏi khó tìm cho tài liệu dễ đọc Những vấn đề lý để tơi chọn đề tài: Dãy số Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Những vấn đề tơi trình bày sáng kiến với mục đích sau: Một là: Truyền đạt đến học sinh nhìn tồn diện dãy số theo quan điểm học sinh trung học phổ thơng khơng chun Hệ thống phân tích tập dãy số cách logic từ khó đến khó Hai là: Qua việc luyện tập tốn dãy số ta thấy phép tuyệt đệp, phép quy nạp từ vấn đề đơn giản đến phức tạp tổng quát phép biến đổi điển hình đại số giải tích Ba là: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cách tự nhiên cho toán dãy số chánh gượng ép máy móc Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu tốn dãy số: phương pháp quy nạp toán học, cấp số cộng, cấp số nhân giới hạn dãy số Phạm vi nghiên cứu đề tài chủ yếu tập trung vào chương dãy số, giới hạn dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun tập thi Học sinh giỏi cấp thành phố Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Kế Nguyễn Hà hoạch nghiên cứu Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài thấy cho em học sinh lớp 11 làm tập dãy số hầu hết đề máy móc hiểu vấn đề lờ mờ khơng hệ thống số học sinh có hứng thú với phần dãy số khó tìm tài liệu tham khảo cho học sinh trung học phổ thông không chuyên hầu hết đề thi học sinh giỏi cấp thành phố có dãy số Từ khúc mắc nói tơi nghiên cứu đề tài dãy số qua số tự chon nâng cao lớp 11A2 năm học 2011 – 2012 lớp 11A1 năm học 2012 – 2013 từ xây dựng, hồn thiện viết Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận a) Phương pháp quy nạp toán học b) Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un < un+1 , ∀n ∈ ¥ * * * Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm un > un+1 , ∀n ∈ ¥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số tăng * Nếu un+1 − un < 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy số giảm * * Nếu tồn số M cho un ≤ M , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * * Nếu tồn số m cho un ≥ m , ∀n ∈ ¥ ( un ) bị chặn * Nếu dãy số ( un ) bị chặn bị chặng gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng tổng S n = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) d) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với ∀n ∈ ¥ * , q số không đổi gọi công bội cấp số nhân n−1 * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân un = u1.q * Nếu dãy số ( un ) cấp số nhân vơi q ≠ 1, q ≠ tổng − qn S n = u1 + u2 + + un = u1 1− q e) Một số đinh lí giới hạn - Nếu q < lim q n = - Nếu q > lim q n = +∞ * - Nếu dãy số an ≤ bn ≤ cn , ∀n ∈ ¥ lim an = lim cn = L lim bn = L - Nếu dãy số ( un ) tăng bị chặn ( un ) có giới hạn Nếu dãy số ( un ) giảm bị chặn ( un ) có giới hạn Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Thực Nguyễn Hà trạng vấn đề Để thực đề tài tơi thực khảo sát thực tế sau: Trong năm học 2011 – 2012 sau học sinh lớp 11 học hết chương III IV tức nghiên cứu đầy đủ dãy số giới hạn dãy số theo chương trình trung học phổ thơng khơng chun tơi cho học sinh lớp 11A2 11A5 làm kiểm tra khảo sát 45 phút tự chọn nâng cao với đề kiểm tra sau: u1 = u = u + n − 3, n ≥ n  n+1 Câu I (3 điểm) Cho dãy số ( un ) xác định bởi:  Hãy tìm giới hạn lim un un+1 Câu II (3,5 điểm) Tìm cơng thức thu gọn tính A theo n biết: A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + + n ( 2n + 1) Câu III (3,5 điểm) Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) xác định bởi: u1 =  un+1 = 2un + 5, n ≥ Với đáp án thang điểm sau : CÂU I (3đ) Theo đề suy u1 = NỘI DUNG u2 = u1 + 2.1 − u3 = u2 + 2.2 − … ĐIỂM 1.0 … un = un−1 + ( n − 1) − Cộng theo vế n đẳng thức ta un = + 1 + + + ( n − 1)  − ( n − 1) ⇒ un = + ( n − 1) n − ( n − 1) = n − 4n + 1,0 ⇒ un+1 = un + 2n − = n − 2n + + un n − 4n + n n =1 lim = lim = lim 2 un+1 n − 2n + 1− + n n un lim =1 Vậy un+1 1− 1,0 Sáng kiến kinh nghiệm Hưng II (3,5đ) Nguyễn Hà Ta có n ( 2n + 1) = 2n + n , thay n bới 1, 2, 3, …, ta : 1.3 = 2.12 + 2.5 = 2.22 + 3.7 = 2.32 + … 1,5 … n ( 2n + 1) = 2n + n Cộng đẳng thức theo vế ta A = + + + n + ( 12 + 22 + + n ) Ta có + + + n = n ( n + 1) Và 12 + 2 + + n = (theo cấp số cộng) n ( n + 1) ( 2n + 1) 0,5 (học sinh phải 1,0 chứng minh đẳng thức theo quy nạp) A= III (3,5 đ) n ( n + 1) + n ( n + 1) ( 2n + 1) = n ( n + 1) ( 4n + )  0,5 5 Theo đề un+1 = 2un + ⇔ un+1 = un +  2  Ta nghĩ đến un+1 + a = [ un + a ] ⇔ un+1 = 2un + a Mà un+1 = 2un + nên ta phải có a = 2,0 Đặt = un + ⇒ v1 = u1 + = vn+1 = 2vn ⇒ ( ) cấp số nhân có cơng bội q = ⇒ = v1.q n−1 = 6.2n−1 = 3.2n ⇒ un = − = 3.2n − 1,5 Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = 3.2 − n Chó ý: NÕu thÝ sinh làm không theo cách nêu đáp án mà đợc đủ điểm phần nh đáp án quy định Sỏng kin kinh nghim Nguyn Hà Hưng Kết thu với mức điểm tính tỉ lệ phần trăm sau: Điểm Lớp Lớp 11A2 ( 50 HS ) Lớp 11A5 ( 49 HS ) – 2,5 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 4,0% 20% 60% 12% 4,0% 6,1% 30,6% 51,3% 10% 2% Học sinh có điểm kiểm tra thấp lí sau : Câu I – Một số học sinh lời giải - Một số học sinh có lời giải tương tự đáp án tính tốn khơng xác Câu II – Nhiều học sinh khơng có lời giải - Một số học sinh có giải tương tự đáp án tính tốn khơng xác chưa đến kết cuối Câu III – Hầu hết học sinh khơng có lời giải - Một số học sinh chăm học làm nhiều tập Sách tập Cơ Nâng cao có dự đốn chứng minh theo quy nạp đẳng thức đáp án - rát học sinh có cách giải đáp án Các phương pháp tiến hành Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 11A2 năm học 2012 – 2013 dạy chương III IV tức phần dãy số giới hạn dãy số với số tiết tự chọn nâng cao tội tiến hành triển khai việc thực đề tài sáng kiến Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em thảo luận, trao đổi nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng Để cho việc tiếp thu học dễ dàng chia nội dung viết thành ba phần sau: - Dãy số với phương pháp quy nạp toán học - Dãy số quy cấp số cộng cấp số nhân - Bài tập dãy số số đề thi Học sinh giỏi Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng PHẦN I: DÃY SỐ VỚI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bài ∀n ∈ ¥ * chứng minh đẳng thức sau: a) + + + + n = n ( n + 1) b) 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1)  n n +  ( ) 3 3 c) + + + + n =  ÷   (1) (2) (3) Ba tập toán dễ dàng giải theo phương pháp quy nạp Ta thực lời giải cho ý b) Bước 1: Khi n = (2) ⇔ 12 = 1( + 1) ( 2.1 + 1) ⇔1=1 Vậy (2) với n = Bước 1: Giả sử đẳng thức (2) với n = k ( k ≥ 1) tức k ( k + 1) ( 2k + 1) 12 + 22 + 32 + + k = (giả thiết quy nạp) Ta phải chứng minh (2) với n = k + tức phải chứng minh: ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3) (*) 12 + 22 + 32 + + ( k + 1) = Thật Vế trái (*) [1 = + 22 + 32 + + k ] + ( k + 1) = k ( k + 1) ( 2k + 1) + ( k + 1) ( k + 1) [ 2k + 7k + 6] = k ( k + 1) ( 2k + 1) + ( k + 1) ( k + 1) [ 2k + k + 6k + 6] ( k + 1) ( k + ) ( 2k + 3) suy (*) = = 6 Theo nguyên tắc quy nạp suy đẳng thức (2) ∀n ∈ ¥ * Các ý a) c) chứng minh hoàn tồn tương tự Từ tập ta có lời giải đẹp cho tập sau đây: Bài Rút gọn biểu thức biểu thức a) A = + + + 10 + + n ( n + 1) b) B = + + + + ( 2n − 1) 3 Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Giải a) ∀k ∈ ¥ * ta có Nguyễn Hà k ( k + 1) = [ k + k2] = [ n + n2 ] 2 Khi k = ⇒ = [ + ] 2 Khi k = ⇒ = [ + ] 2 Khi k = ⇒ = [ + ] … … Khi k = n ⇒ n ( n + 1) Cộng theo vế n đẳng thức ta 1 [ + + + + n] + [ 12 + 22 + 32 + + n ] 2 n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ⇒ A= + 2 ⇒ A = n ( n + 1) ( n + ) A= b) ∀k ∈ ¥ * ta có ( 2k − 1) = 8k − 12k + 6k − Khi k = ⇒ 13 = 8.13 − 12.12 + 6.1 − Khi k = ⇒ 33 = 8.23 − 12.2 + 6.2 − Khi k = ⇒ 53 = 8.33 − 12.32 + 6.3 − … … 3 Khi k = n ⇒ ( 2n − 1) = 8.n − 12.n + 6.n − 3 Cộng n đẳng thức theo vế ta B = 8[ 13 + 23 + + n ] − 12 [ 12 + 2 + + n ] + [ + + + n ] − n ⇒ B = n ( n + 1) − 12 n ( n + 1) ( 2n + 1) + n ( n + 1) 2 ⇒ B = 2n ( n + 1) − 2n ( n + 1) ( 2n + 1) + 3n ( n + 1) − n −n ⇒ B = n ( n + 1) ( 2n − 2n + 1) − 1 Bài Tìm cơng thức tính giá trị biểu thức sau theo n a) S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) b) S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng c) S = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + 3.4.5.6 + + n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) d) S k = 1.2 k + 2.3 ( k + 1) + + n ( n + 1) ( n + k − 1) Giải a) ∀k ∈ ¥ * ta có k ( k + 1) = k + k Khi k = ⇒ 1.2 = + 12 Khi k = ⇒ 2.3 = + 2 Khi k = ⇒ 3.4 = + 32 … … Khi k = n ⇒ n ( n + 1) = n + n Cộng n đẳng thức theo vế ta S = [ + + + + n ] + [ 12 + 22 + 32 + + n ] n ( n + 1) n ( n + 1) ( 2n + 1) ⇒ S2 = + ⇒ S = n ( n + 1) ( n + ) b) ∀k ∈ ¥ * ta có k ( k + 1) ( k + ) = k + 3k + 2k Khi k = ⇒ 1.2.3 = 13 + 3.12 + 2.1 Khi k = ⇒ 2.3.4 = 23 + 3.2 + 2.2 Khi k = ⇒ 3.4.5 = 33 + 3.32 + 2.3 … … Khi k = n ⇒ n ( n + 1) ( n + ) = n + 3.n + 2.n Cộng n đẳng thức theo vế ta S3 = [ 13 + 23 + + n3 ] + 3[ 12 + 22 + + n ] + [ + + + n ] ⇒ S3 = n ( n + 1) +3 n ( n + 1) ( 2n + 1) + ⇒ S3 = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) Vậy S = n ( n + 1) ( n + ) S3 = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) n ( n + 1) Từ dễ dàng dự đốn cơng thức tính tổng S S k n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ( n + ) d) S k = n ( n + 1) ( n + k ) k +1 c) S = Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Tổng S S k chứng minh theo phương pháp quy nạp Trong trình giải toán ta khai thác sau đẳng thức (1), (2) (3) nêu có học sinh lại đặt câu hỏi đến đẳng thức (1), (2) (3) tốn giải ? Vấn đề giải sau : Đặt S1 = + + + n ⇒ S1 = 1.2 + 2.2 + 3.2 + + n.2 Và S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) Trừ hai đẳng thức theo vế suy S − 2S1 = 1.2 + 2.3 + + ( n − 1) n ⇒ S − 2S1 = S − n ( n + 1) ⇒ S1 = Vậy S1 = + + + n = n ( n + 1) n ( n + 1) 2 Tương tự S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) ⇒ 3S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n ( n + 1) Và S3 = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + n ( n + 1) ( n + ) Trừ hai đẳng thức theo vế suy S3 − S = 1.2.3 + 2.3.4 + + ( n − 1) n ( n + 1) ⇒ S3 − 2S = S3 − n ( n + 1) ( n + ) ⇒ S = n ( n + 1) ( n + ) Vậu S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) Theo cách ta tìm S k = 1.2 k + 2.3 ( k + 1) + + n ( n + 1) ( n + k − 1) = n ( n + 1) ( n + k ) k Đến ta sử dụng tổng S1 , S S3 để xây dựng đẳng thức (2) (3) Từ S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) ⇒ 1( + 1) + ( + 1) + + n ( n + 1) = n ( n + 1) ( n + ) 10 Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà + 2.( n − 1) + un un−1 Cộng theo vế n đẳng thức ta = + 1 + + + + ( n − 1)  + ( n − 1) un 1 ⇒ = + ( n − 1) n + ( n − 1) = n + 2n − ⇒ un = un n + 2n − Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = n + 2n − = Bài 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho bới công thức truy hồi Giải u1 = −1  2un u = ;n ≥ n +  + ( 3n + ) un  + ( 3n + ) un 1 = ⇒ = + n + ;n ≥ un+1 2un un+1 2un 2 1 ⇒ v1 = = −1 vn+1 = + n + ; n ≥ Đặt = un −1 2 Xét g ( n ) = an + b cho vn+1 + g ( n + 1) =  + g ( n )  ⇒ vn+1 + a ( n + 1) + b = [ + an + b ] 1 ⇒ vn+1 = − an − a − b 2  − a =   a = −3 ⇔ Mà vn+1 = + n + nên ta phải có  2 b = −a − b =  2 ⇒ g ( n ) = −3n + vn+1 + g ( n + 1) = vn + g ( n )  Đặt xn = + g ( n ) ⇒ x1 = v1 + g ( 1) = −3 xn+1 = xn n −1 1− n Do ( xn ) cấp số nhân có cơng bội q = nên xn = x1 q = −3.2 Theo đề suy 31 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ⇒ = xn − g ( n ) = −3.21−n + 3n − ⇒ un = −3.21−n + 3n − Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = −3.21−n + 3n − Theo cách tư tập nêu ta tìm số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi có dạng sau: u1 = α  aun u = ;n ≥  n+1 b +  f ( n ) + g ( n ) β n  u   n  Trong a, b,α , β số thực cho trước, α ≠ ; f ( n ) g ( n ) đa thức theo biến số tự nhiên n Ví dụ: Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) cho bới công thức truy hồi: u1 =  un a)  u =  n+1 + 2n.u ; n ≥ n  u1 =  un−1 b)  un = ;n ≥ 2 n  + n − n + u ( ) n−1  u1 =  3un c)  un+1 = ;n ≥  + n − n + u ( ) n  u1 =  un d)  u =  n+1 + ( n + 1) 2n.u ; n ≥ n  u1 =  un−1 e)  u =  n + ( 2n − 1) 3n.u ; n ≥ n−1  32 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng PHẦN III : MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ THI HỌC SINH GIỎI Sau tập dãy số trích từ số đề thi Học sinh giỏi để học sinh tham khảo qua nhận thấy việc thực lời giải khơng q phức tạp nhìn đề phức tạp Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2012 – 2013) u1 =  un2 Cho dãy số ( un ) xác định  u = , n ≥ 1, n ∈ ¥  n +1 2u − n  1) Chứng minh dãy số ( un ) giảm bị chặn 2) Hãy xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) Giải 1) Ta có u1 = , u2 = 4 = ⇒ u2 > −1 Giả sử uk > 1, k ≥ (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh uk +1 > (*) uk2 > ⇔ uk2 > 2uk − (vì 2uk − > ) Theo công thức truy hồi, (*) ⇔ 2uk − ⇔ uk2 − 2uk + > ⇔ ( uk − 1) > (vì uk > ) * Vậy un > 1, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) bị chặn un2 −un2 + un un ( − un ) − un = = < (vì un > ) +) Xét hiệu un+1 − un = 2un − 2un − 2un − ⇒ ( un ) giảm ⇒ = u1 > u2 > u3 > > ⇒ ( un ) bị chặn Vậy dãy số ( un ) giảm bị chặn 2) Từ un+1 1  un2 1 = ⇒ = − 2⇒ − = −  − + 1÷ 2un − un +1 un un un +1  u n un  33 Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà 1  ⇒ − = −  − 1÷ un +1  un  1 − ⇒ v1 = − = − vn+1 = −vn2 Đặt = un 2 −1 −2 −4 −8 Từ suy v1 = −2 , v2 = −2 , v3 = −2 , v4 = −2 v = −2 , n ≥ (giả thiết quy nạp) ⇒ v = − ( ) = −2 Do v = −2 , ∀n 1 −1 ⇒ u = = = Mà v = u 1+ v 1− 2 −1 Vậy số hạng tổng quát dãy số ( u ) u = −1 −2n−1 Gải sử n −2n−1 −2n−1 −2n n n +1 2n−1 n −2n−1 n n 2n−1 n 2n−1 n 2n−1 n Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) un u1 = Hãy tìm lim un +1 un +1 = un + n; n ≥ Cho dãy số ( un ) thỏa mãn  Giải Theo đề ta có u1 = u2 = u1 + u3 = u + … … un = un−1 + ( n − 1) Cộng theo n đẳng thức ta un = + + + + + ( n − 1) = + ⇒ un+1 = un + n = ( n − 1) n = 1 [ n + n + 2] 2 2 + un n −n+2 n n =1 ⇒ lim = lim = lim un +1 n +n+2 1+ + n n un =1 Vậy lim un +1 1− Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2011 – 2012) 34 [n − n + 2] Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng v1 = v Cho dãy số ( n ) thỏa mãn:  2015 vn +1 = − 2; n ≥ vn2+1 Chứng minh rằng: lim 2 = 2011 v1 v2 Giải 2 Theo đề suy vn+1 = ( − ) = − 4vn + vn2+1 vn2 4 ⇒ 2 = 2 − 2 + 2 v1 v2 v1 v2 vn−1 v1 v2 −1 v1 v2 vn2 vn2−1 4 ⇒ 2 = 2 − 2 + 2 v1 v2 vn−1 v1 v2 −2 v1 v2 vn−2 v1 v2 −1 vn2−1 vn2−2 4 = − + v12 v22 vn2−1 v12 v22 vn2−3 v12 v22 vn2−3 v12 v22 vn2−2 … … v3 v4 4 = − + v12 v22 v32 v12 v22 v12 v22 v12 v22 v32 v32 v22 4 = − + v12 v22 v12 v12 v12 v22 2 Cộng theo vế đẳng thức theo vế ta vn2+1 v22 4 v22 − 4 = − + = + v12 v22 vn2 v12 v12 v12 v22 vn2 v12 v12 v22 vn2 2 v22 − ( v2 + ) ( v2 − ) v1 ( v1 − ) = = = 2011 Và v12 v12 v12 vn2+1 ⇒ lim 2 = 2011 + lim 2 v1 v2 v1 v2 Ta phải chứng minh lim 2 = v1 v2 Ta chứng minh ( ) tăng khơng bị chặn +) Ta có v1 = 2011; v2 = v12 − = 2013 > v1 Giả sử vn+1 > , n ≥ (giả thiết quy nạp) Xét vn+ > vn+1 (*) 2 2 Bất đẳng thức (*) ⇔ +1 − > − ⇔ +1 > ⇔ +1 > (vì > 0; ∀n ) Vậy (*) Theo nguyên tắc quy nạp suy ( ) tăng ≥ 2011; ∀n +) giả sử ( ) bị chặng ⇒ ∃ lim Đặt lim = x ⇒ x ≥ 35 2011 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng ⇒ lim v =x 2 Mà vn+1 = − ⇒ lim vn+1 = lim ( − ) ⇒ x = x − ⇔ x = −1 x = (cả hai nghiệm bị loại) Vậy ( ) không bị chặng vn2+1 Do lim = +∞ ⇒ lim 2 = ⇒ lim 2 = 2011 v1 v2 v1 v2 n +1 Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2010 – 2011) Cho dãy số ( un ) xác định un = Tìm limSn Giải 4n + Đặt S n = u1 + u + + un n n + 2n 2n 1 n 1 1 ⇒ S n =  + + + n  +  + + + n    2 2 1 +) Xét an = + + + n tổng n số hạng đầu cấp số nhân có số 2 1 hạng thứ a1 = công bội q = 2 n 1 1−  ÷ n 2 1  ⇒ an = = −  ÷ ⇒ lim an = 1− 2 2 n −1 n +) bn = + + + n−1 + n 2 2 n −1 n ⇒ 2bn = + + + + n −2 + n−1 2 2 1 n ⇒ 2bn − bn = + + + + n −1 − n 2 2 n  1  n ⇒ bn = 1 −  ÷  − n −1  2  n Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh được: > n , ∀n ≥ n n ⇒ ∀n ≥ 5, ta có < n < ⇒ lim n = ⇒ lim bn = 2 n Vậy limSn = Ta có un = 36 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Bài (Học sinh giỏi Hà Nội 2009 – 2010) Pn Pn số hoán vị n phần Ann+2 k tử, An số chỉnh hợp chập k n phần tử Đặt S n = u1 + u + + un Tìm limSn Cho dãy số ( un ) xác định un = Giải Ta có Pn = n!, An+ = n ( n + 2) ! ⇒ u 2! n = n!.2! = ( n + ) ! ( n + 1) ( n + )   1 ⇒ Sn =  + + + +  2.3 3.4 4.5 n + n + ( ) ( )   3 − − − ( n + ) − ( n + 1)  ⇒ Sn =  + + + +  2.3 3.4 4.5 n + n + ( ) ( )   1  1 1 1 ⇒ S n =  − + − + − + + − n + n +  2 3 4  1 ⇒ Sn =  − ⇒ lim S n =  n +   u1 = a Bài Cho dãy số ( un ) xác định  un +1 = un + a , n ≥ Với a số thực dương cho trước Hãy tìm lim un Giải Theo đề ⇒ u1 = a , u2 = a + a ⇒ u2 > u1 Giả sử uk +1 > uk , k ≥ (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh uk + > uk +1 (*) Theo đề (*) ⇔ uk +1 + a > uk + a ⇔ uk +1 > uk (theo giả thiết quy nạp) Vậy dãy số ( un ) tăng un > 0, ∀n Vì ( un ) tăng ⇒ un+1 > un ⇒ un + a > un ⇔ un + a > un − + 4a + + 4a < un < 2 + + 4a Mà un > 0, ∀n ⇒ < un < Do dãy số ( un ) tăng bị chặng ⇒ ∃ lim un ⇔ un2 − un − a < ⇔ 37 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Đặt lim un = x ⇒ x ≥ lim un+1 = x Mà un+1 = un + a ⇒ lim un+1 = lim un + a ⇒ x = x + a ⇔ x2 = x + a ⇔ x = + + 4a (vì x ≥ ) Vậy lim un = + + 4a Bài (Học sinh giỏi Hà Tây 2004 – 2015) u1 =  Cho dãy số ( un ) xác định  un2 un +1 = un + 2005 , n ≥  u1 u1 u  + + n ÷ Hãy tìm lim  + un+1   u2 u2 Giải 2005 ( un+1 − un ) 1 un un2  = = = 2005  − Ta có ÷ un+1 un+1 un un+1 un  un un+1  1 1 u ⇒ = 2005  − ÷ u2  u1 u2  1 1 u2 = 2005  − ÷ u3  u u3  … … 1 un  = 2005  − ÷ un+1  un un+1  1  u u u   ⇒ + + + n = 2005  − = 2005 − ÷  ÷ u2 u un+1  u1 un+1   un+1  u u  u   ⇒ lim  + + + n ÷ = 2005 1 − lim ÷ un+1  un+1   u2 u2  Theo đề ⇒ u1 = 1, u2 = + ⇒ u2 > u1 ≥ 2005 Giả sử uk +1 > uk ≥ 1, k ≥ (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh uk + > uk +1 (*) uk2+1 uk2 uk2+1 − uk2 Theo đề bài, (*) ⇔ uk +1 + > uk + ⇔ uk +1 − uk + >0 2005 2005 2005 (theo giả thiết quy nạp) Vậy dãy số ( un ) tăng 38 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Ta lại chứng minh ( un ) không bị chặn Giả sử ( un ) bị chặn ⇒ ∃ lim un Đặt lim un = x ⇒ x ≥ lim un+1 = x un2 lim un2 x2 Mà un+1 = un + ⇒ lim un+1 = lim un + ⇒ x= x+ 2005 2005 2005 ⇔ x = loại) suy giả sử ( un ) bị chặn sai Do lim un = +∞  u1 u1 un  lim + + + Vậy  ÷ = 2005 u u u  2 n +1  u1 = a, u2 = b   Bài Cho dãy số (un ) có :  2un + un−1 u = , n≥2  n+1 Tìm số hạng tổng quát un Giải 2un + un−1 ⇒ 3un+1 = 2un + un−1 ⇒ 3un+1 − 3un = −un + un−1 ⇒ un +1 − un = − ( un − un −1 ) Đặt vn−1 = un − un−1 ⇒ v1 = u2 − u1 = b − a = − vn−1 Do ( ) cấp số nhân có cơng bội q = − n−1  1 Nên = v1.q n−1 = ( b − a )  − ÷  3 Mà vn−1 = un − un−1 suy u2 − u1 = v u3 − u2 = v u4 − u3 = v Theo đề ⇒ un+1 = … … un − un−1 = v n−1 Cộng theo vế đẳng thức ta un − u1 = v1 + v2 + + vn−1 ⇒ un = u1 + v1 + v2 + + vn−1 39 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng n−1 − q n−1 3  1  ⇒ un = a + v1 = a + ( b − a ) 1 −  − ÷  1− q     n ⇒ un = a + ( b − a ) 1 + ( −1) 31− n   4 n 1− n Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = a + ( b − a ) 1 + ( −1)     u =  Bài Cho dãy số (un ) có:  u = (n + 1)un , n ≥  n+1 2013n Tìm số hạng tổng quát un Giải (n + 1)un u un ⇒ n+1 = 2013n n + 2013 n u u 1 Đặt = n ⇒ v1 = = vn+1 = n 2013 Suy (vn ) cấp số nhân có cơng bội q = 2013 n −1 1  Nên = v1.q n−1 =  = 20131−n ÷  2013  u 1− n Mà = n ⇒ un = n.vn = n.2013 n Từ un+1 = Vậy số hạng tổng quát dãy số cho un = n.20131−n Bài 10 (Học sinh giỏi Việt Nam 2001) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: x1 = xn xn+1 = ( 2n + 1) xn + với n ∈ ¥ * Hãy tính tổng 2001 số hạng dãy số Giải 2 , x2 = , x3 = 15 35 2 ⇒ x1 = , x2 = , x3 = 1.3 3.5 5.7 Cách Theo đề ⇒ x1 = Theo quy nạp ta dễ dàng chứng minh xn = 40 ( 2n − 1) ( 2n + 1) , ∀n ∈ ¥ * Sáng kiến kinh nghiệm Hưng Nguyễn Hà 2 + + + 1.2 3.5 4001.4003 −1 − 4003 − 4001 = + + + 1.3 3.5 4001.4003 1 1 = − + − + + − 3 4001 4003 4002 =1− = 4003 4003 4002 Vậy x1 + x2 + + x2001 = 4003 ⇒ x1 + x2 + + x2001 = Cách Từ xn+1 = Nên ta có xn 1 ⇒ = ( 2n + 1) + ( 2n + 1) xn + xn+1 xn = x1 1 = ( 2.1 + 1) + x2 x1 1 = ( 2.2 + 1) + x3 x2 … … 1 =  ( n − 1) + 1 + xn xn−1 Cộng theo vế đẳng thức ta 3 = + 1 + + + ( n − 1)  + ( n − 1) = + ( n − 1) n + ( n − 1) xn 2 1 ⇒ =  4n − 1 ⇒ xn = xn ( 2n − 1) ( 2n + 1) 4002 Từ ⇒ x1 + x2 + + x2001 = 4003 Bài 11 (Học sinh giỏi Việt Nam 1991) Cho dãy số ( an ) xác định bởi: a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, an = n ( n + 1) ( n + ) Đặt S n = a1 + a2 + + an Chứng minh Sn + số phương Giải 41 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng S1 = a1 = 1.2.3 S = a1 + a2 = 1.2.3 + 2.3.4 = 2.3.5 S3 = a1 + a2 + a3 = 2.3.5 + 3.4.5 = 3.5.6 1 ⇒ S1 = 1.2.3.4, S2 = 2.3.4.5, S3 = 3.4.5.6 4 Giả sử S k = k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) , k ≥ (giả thiết quy nạp) Ta chứng minh S k +1 = ( k + 1) ( k + ) ( k + ) ( k + ) Thật vậy, theo đề ⇒ S k +1 = S k + ak +1 = S k + ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) Theo giả thiết quy nạp ⇒ S k +1 = k ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) + ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ⇒ S k +1 = ( k + 1) ( k + ) ( k + 3) ( k + ) Theo nguyên tắc quy nạp suy S n = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) ⇒ S n + = n ( n + 1) ( n + ) ( n + 3) + = ( n + 3n ) ( n + 3n + ) + ⇒ S n + = ( n + 3n ) + ( n + 3n ) + = ( n + 3n + 1) 2 Và ∀n ∈ ¥ * ⇒ n + 3n + ∈ ¥ Vậy 4S n + số phương Nhận xét: Trong giải tập dãy số nêu ta thấy cách biến đổi đa dạng, đội có phép biến đổi khéo khơng tự nhiên Nhưng việc tính tốn số phần tử đầu dãy số sau dự đoán chứng minh theo phương pháp quy nạp xem tốt - Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trong trình thực đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm số tập người giáo viên nắm bắt tình hình tiếp thu học Nhưng để có kết luận tồn diện nên học kì II năm học 2012 – 2013 học sinh học song phần liên quan đến nội dung viết cho lớp 11A2, 11A5 làm kiểm tra 45 phút với đề tương tự phần khảo sát thực tiễn thay đổi mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết thu Trong lớp 11A2 lớp thực nghiệm q trình triển khai đề tài lớp 11A5 lớp đối chứng không tham gia việc triển khai đề tài 42 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng Sau chấm kiểm tra thu kết với mức điểm tính phần trăm sau: Lớp thực nghiệm 11A2 (50 học sinh) Lớp đối chứng 11A5 (50 học sinh) Điểm Lớp 1 – 2,53 – 4,5 – 6,5 – 8,5 – 10 Lớp 11A2 0% 2% 18% 20% 60% Lớp 11A5 4% 28% 52% 14% 2% Căn vào kết kiểm tra Đối chiếu so sánh kết làm lớp thực nghiệm lớp lại khơng tham gia thực nghiệm ta thấy: Với nội dung trình bày viết giúp em học sinh lớp 11 có nhìn bao qt cách giải toán dãy số thuộc chương trình trung học phổ thơng khơng chun giúp em tự tin đứng trước toán dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú với mơn Tốn thường có phép tuyệt đẹp suy luận rất logic 43 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng III KẾT LUẬN Với việc triển khai giảng dạy cho học sinh lớp 11 số tự chọn nâng cao, chủ yếu hướng dẫn học sinh tự nghiên cứu nội dung trình bày Tôi thấy em học sinh tự tin đứng trước toán dãy số phép biến đổi dãy số góp phần đáng kể nâng cao khả tư yêu cầu cần thiết người học Tốn nói riêng học mơn tự nhiên nói chung Tơi vui nhiều năm gần tơi bạn đồng nghiệp trường số trường lân cận viết sáng kiến kinh nghiệm nhận thấy việc chấm sáng kiến kinh nghiệm khách quan, xác, việc phổ biến sáng kiến nhà trường góp phần khích lệ tinh thần làm việc say mệ nghiên cứu Với thời gian ngắn, tuổi nghề chưa nhiều nên việc thực đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp Xác nhận Hiệu trưởng trường Trung học phổ thông Mĩ Đức A Hà Nội ngày tháng năm 2013 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm tự viết chép Nếu sai xin chịu trách nhiệm! Tác giả Nguyễn Hà Hưng 44 Sáng kiến kinh nghiệm Nguyễn Hà Hưng IV TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo viên, Sách giáo khoa Sách tập Đại số, Giải tích 11 theo chương trình chuẩn chương trình nâng cao nhà xuất Giáo Dục Chuyên đề chọn lọc Dãy số áp dụng tác giả Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) – Nhầ xuất giáo dục Rèn luyện khả sáng tạo toán học trường phổ thơng tác giả Hồng Chúng – Nhà xuất Thành phố Hồ Chí Minh 45 ... Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn * Dãy số ( un ) gọi dãy số tăng un < un+1 , ∀n ∈ ¥ * * * Dãy số ( un ) gọi dãy số giảm un > un+1 , ∀n ∈ ¥ * Vậy: Nếu un+1 − un > 0, ∀n ∈ ¥ suy ( un ) dãy. .. gọi dãy só bị chặn c) Cấp số cộng * Dãy số ( un ) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d với ∀n ∈ ¥ * , d số khơng đổi gọi công sai cấp số cộng * Nếu dãy số ( un ) cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d * Nếu dãy. .. dãy số ( un ) cấp số cộng tổng S n = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) d) Cấp số nhân * Dãy số ( un ) cấp số nhân ⇔ un+1 = un q với ∀n ∈ ¥ * , q số khơng đổi gọi công bội cấp số nhân n−1 * Nếu dãy