Dãy số 11

Lúâi nối àêìu Trong chûúng trònh 11, cố thïí nối Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên cng lâ mưåt nưåi dung quan trổng trong chûúng trònh 11. Chûúng nây gip chng ta lâm quen vúái nhûäng dậy sưë, nhûäng phûúng phấp chûáng minh khùèng àõnh toấn hổc. Chûúng nây gip chng ta rên luån kơ nùng tđnh toấn, têåp vâ lâm quen vúái phûúng phấp chûáng minh quy nẩp àêìy th võ. Àêy lâ mưåt phûúng phấp chûáng minh quan trổng vâ hûäu hiïåu trong Toấn hổc. 2010 Đỗ Đức Thành Trường THPT TP Cao Lãnh Chun đề về dãy số Tuy khưng nùçm nhiïìu trong chûúng trònh thi àẩi hổc nhûng Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên sệ lâ lâ bûúác cú súã àïí ta dêìn tiïëp cêån vúái toấn cao cêëp (Sệ àûúåc hổc úã Àẩi Hổc). Mònh giúái thiïåu vúái cấc bẩn chun àïì vê Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên Àố lâ cưng sûác trong quấ trònh hổc têåp sấch giấo khoa cng nhû sấch bâi têåp, mònh àậ thu nhùåt àûúåc vâ phên loẩi chng, biïën chng thânh nhûäng thûá rêët cêìn thiïët. Chun àïì giúái thiïåu mưåt sưë bâi toấn theo ch àïì. Gip cấc bẩn dïỵ dâng tiïëp thu vúái Dậy sưë - Cêëp sưë cưång vâ cêëp sưë nhên. Cấc bâi têåp àûúåc sùỉp xïëp tûâ dïỵ àïën khố, tûâ ban cú bẫn àïën ban nêng cao. Mong rùçng sệ àûúåc cấc bẩn àốn nhêån. Trong quấ trònh lâm sệ khưng trấnh thiïëu xốt, mong cấc bẩn cố nhiïìu gốp gip mònh hoân thiïån chun àïì hún. Àưìng Thấp, ngây 7 thấng 10 nùm 2010 Àưỵ Àûác Thânh Chun àïì vïì dậy sưë I - Dãy Số:  Nhắc lại một số khái niệm về dãy số: - Một hàm số u xác đònh trên tập hợp các số nguyên dương ¥ * được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số). - Có 3 cách cho một dãy số: • Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. • Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi. • Diễn đạt bằng lời cách xác đònh mỗi số hạng của dãy số. Chuyên đề dãy số Trang 2 - Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có + < 1n n u u . - Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có + > 1n n u u . - Dãy số bò chặn: • Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số bò chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ∀ ∈ ≤¥*, . n n u M • Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số bò chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho ∀ ∈ ≥¥*, . n n u m • Dãy số ( ) n u được gọi là dạy số bò chặn nếu nó vừa bò chặn trên, vừa bò chặn dưới; nghóa là, tồn tại một số M và một số m sao cho ( ) ∀ ∈ ≤ ≤ < <¥*, hoặc . n n m u M m u M Vấn đề 1: Xét tính tăng – giảm của các dãy số (hay tính đơn điệu). Bài 1: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau: a) Dãy số ( ) n u với = − + − 3 2 3 5 7; n u n n n b) Dãy số ( ) n x với + = 1 ; 3 n n n x c) Dãy số ( ) n a với = + −1 . n a n n Bài Làm a) Ta có: • = − + − 3 2 3 5 7; n u n n n • ( ) ( ) ( ) + = + − + + + − = + − 3 2 3 1 1 3 1 5 1 7 2 4; n u n n n n n Xét: +   − = − + = − + > ∀ ≥  ÷   2 2 1 1 9 3 3 3 3 0, 1. 2 4 n n u u n n n n ( ) + → > → 1 dãy số u là dãy số tăng. n n n u u b) Ta có: • + = 1 ; 3 n n n x • + + + = 1 1 2 ; 3 n n n x Chuyên đề dãy số Trang 3 Xét: + + + + = = < ∀ ≥ + + 1 1 1 3 1 . 1, 1 2 2 3 n n n n x n n n x n n . ( ) + → > → 1 dãy số la dãy số tăng. n n n x x x ø c) Ta có: • = + − = + + 1 1 ; 1 n a n n n n • + = + − + = + + + 1 1 2 1 ; 2 1 n a n n n n Xét: + + + + = > ∀ ≥ + + 1 2 1 1, 1 1 n n a n n n a n n . + → < → 1 dãy số là dãy số giảm. n n n a a a Bài 2: Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau: a) Dãy số ( ) n a với 2 3 2 1 ; 1 n n n a n − + = + b) Dãy số ( ) n b với 2 2 1 . 2 1 n n n b n + + = + Bài Làm a) Ta có: • 2 3 2 1 6 3 1 1 1 n n n a n n n − + = = − + + + ; • 1 6 3 2 . 2 n a n n + = − + + Xét: ( ) ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 6 0, 1. 2 1 1 2 n n n n a a n n n n n + +   − = + − = > ∀ ≥  ÷ + + + +   ( ) 1 dãy số là dãy số tăng. n n n a a a + → > → b) Ta có: • 2 2 2 1 1 2 1 ; 2 2 1 2(2 1) n n n n b n n + + + = = + + + • 1 2 1 1 2 3 . 2 2 4 8 6 n n b n n + + = + + + Chuyên đề dãy số Trang 4 Xét: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 1 0, 1. 4 8 6 2 2 4 1 2 2 1 n n n n n b b n n n n n n + − + + + − = − = < ∀ ≥   + + + + + +     ( ) 1 dãy số là dãy số giảm. n n n b b b + → > → Bài 3: Hãy xét tính tăng – giảm của các dãy số sau: a) Dãy số ( ) n a với 3 2 5 1; n a n n= − + b) Dãy số ( ) n b với 3 ; n n b n= − c) Dãy số ( ) 2 . 1 n n c n = + Bài làm: a) Ta có: • 3 2 5 1; n a n n= − + • ( ) ( ) 3 3 2 1 2 1 5 1 1 2 6 2. n a n n n n n + = + − + + = + + − Xét: 2 1 6 6 3 0, 1. n n a a n n n + − = + − ≥ ∀ ≥ ( ) 1 dãy số là dãy số tăng. n n n a a a + → > → b) Ta có: • 3 ; n n b n= − • 1 1 3 . n n b n + + = − Xét: 1 1 3 3 2.3 0, 1. n n n n n b b n + + − = − = > ∀ ≥ ( ) 1 dãy số là dãy số tăng. n n n b b b + → > → c) Ta có: • 2 ; 1 n n c n = + • 1 2 1 . 2 2 n n c n n + + = + + Chuyên đề dãy số Trang 5 Xét: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 0, 1. 1 1 1 n n n n c c n n n + − + − − = < ∀ ≥   + + +     ( ) 1 dãy số la dãy số giảm. n n n c c c ø + → < → Bài 4: Hãy xác đònh số thực a để dãy số ( ) n u với 2 2 1 , 2 3 n an u n + = + là: a) Một dãy số giảm; b) Một dãy số tăng. Bài Làm Ta có: ( ) 2 2 2 1 2 1 3 2 2 2 3 2 3 . 3 2 2 2 2 3 8 4 n n an a a u n n a a u n n +  + − = = −  + +   −  = −  + + +  a) Để ( ) n u là dãy số giảm thì: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 0 3 2 0 . 3 2 3 2 2 3 8 4 n n n n u u u u a a n n n + +    ÷ < ↔ − < ↔ − − < ↔ <  ÷ + + + +   b) Để ( ) n u là dãy số tăng thì: 1 1 2 0 . 3 n n n n u u u u a + + > ↔ − > ↔ > Vấn đề 2: Dãy số bò chặn. Bài 5: Trong các dãy số ( ) n u sau, dãy số nào bò chặn dưới, bò chặn trên và bò chặn? a) 2 2 1; n u n= − b) 2 1 ; 2 1 n u n = − c) ( ) 1 ; 2 n u n n = + d) sin cos . n u n n= + Bài Làm a) Ta có: 2 1 2 1 1 1; n n n u≥ ↔ − ≥ → ≥ Chuyên đề dãy số Trang 6 ( ) là dãy số bò chặn dưới. n u→ b) Ta có: 2 1 1 0 1 0 1. 2 1 n n u n ≥ ↔ < ≤ → < ≤ − ( ) là dãy số bò chặn. n u→ c) Ta có: ( ) ( ) 1 0; 1; 1 . 2 n u n n n = > ∀ ≥ + Xét: ( ) ( ) ( ) 1 1 3 1, 1. 2 n n n n u n u n n + + + = > ∀ ≥ + ( ) 1 1 2 3 là dãy số giảm u . n n n n u u u u u u + → > → → > > > > ( ) 1 1 ; 1; 2 . 3 n u u n→ ≤ = ∀ ≥ Từ ( ) ( ) ( ) 1 1 ; 2 0 là dãy số bò chặn. 3 n n u u→ < ≤ → d) Ta có: 1 sin 1 2 2 sin 2 2 sin cos 2 4 4 n n n n π π     − ≤ + ≤ ↔ − ≤ + ≤ ↔ − ≤ + ≤  ÷  ÷     ( ) 2 2 la dãy số bò chặn. n n u u ø→ − ≤ ≤ → Bài 6: Chứng minh rằng dãy số ( ) n u với: 2 3 3 2 n n u n + = + là một dãy số giảm và bò chặn. Bài Làm Ta có: ( ) ( ) 2 3 2 5 2 ; 1; 1 . 3 2 3 3 3 3 2 n n u n n n + = = + > ∀ ≥ + + Xét: ( ) ( ) 1 2 5 2 3 5 0, 1. 3 5 3 2 3 5 3 2 n n n n u u n n n n n + + + − − = − = < ∀ ≥ + + + + ( ) 1 1 2 3 . là dãy số giảm n n n n u u u u u u u + → < → → > > > > ( ) 1 1; 1; 2 . n u u n→ ≤ = ∀ ≥ Từ ( ) ( ) ( ) 2 1 và 2 1 là dãy số bò chặn. 3 n n u u→ < ≤ → Chuyên đề dãy số Trang 7 Bài 7: Chứng minh rằng dãy số ( ) n v , với 2 2 1 2 3 n n v n + = − , là dãy số bò chặn. Bài Làm Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 2; 1; 1 . 2 2 3 2 2 3 n n v n n n + = = + ≥ − ∀ ≥ − − Xét: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 5 4 2 0, 2. 2 2 1 3 2 3 n n n v v n n n + − + − = < ∀ ≥   + − −     ( ) ( ) 1 2 3 là dãy số giảm . 2 n n n n v v v v v v n + → < → → < < < ≥ ( ) 1 1; 2; 2 . n v v n→ ≤ = ∀ ≥ Từ ( ) ( ) ( ) 1 và 2 2 1 là dãy số bò chặn. n n v v→ − ≤ ≤ → Bài 8: Chứng minh rằng dãy số ( ) n u , với 7 5 5 7 n n u n + = + , là một dãy số tăng và bò chặn. Bài Làm Ta có: ( ) ( ) 7 24 7 ; 1; 1 . 5 5 5 5 7 n u n n = − < ∀ ≥ + Xét: ( ) ( ) 1 24 1 1 24 0, 1. 5 5 7 5 12 5 7 5 12 n n u u n n n n n +   − = − = > ∀ ≥   + + + +   ( ) 1 1 2 3 là dãy số tăng . n n n n u u u u u u u + → > → → < < < < ( ) 1 1; 1; 2 . n u u n→ ≥ = ∀ ≥ Từ ( ) ( ) ( ) 7 1 và 2 1 là dãy số bò chặn. 5 n n u u→ ≤ < → Vấn đề 3: Chứng minh các yếu tố trong dãy số. Bài 9: Cho dãy số ( ) n u xác đònh bởi: 1 1 và 2 3 với mọi 2. n n u u u n − = + ≥ Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh rằng với mọi 1n ≥ ta có 1 2 3 n n u + = − . Chuyên đề dãy số Trang 8 Bài Làm Ta có: ( ) 1 2 3; 1; * . n n u + = − ∀ ≥ • Với 1n = , rõ ràng: 2 1 3 2 2 3 5 : đúng. 2 3 5 u u u  = + =   = − =   • Giả sử (*) đúng với , 2n k k= ≥ , tức là: 1 2 3. k k u + = − • Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với 1n k= + , nghóa là: 2 1 2 3 k k u + + = − . • Thật vậy, theo giả thiết: ( ) 1 2 1 2 3 2.2 3 2 3; đpcm . k k k k u u + + + = + = − = − Bài 10: Cho dãy số ( ) n u với 1 5.4 3 n n u − = + . Chứng minh rằng 1 4 9 n n u u + = − với mọi 1.n ≥ Bài Làm Ta có: ( ) ( ) 1 1 1 5.4 3 5.4 .4 12 9 4 5.4 3 9 4 9; đpcm . n n n n n u u − − + = + = + − = + − = − Bài 11: Cho các dãy số ( ) n u và ( ) n v , với n u n= và 2 . n n v n= + Chứng minh rằng với mọi 1n ≥ , ta luôn có 1 1 2 1 và 2 1. n n n n u u n v v n + + = − + = − + Bài Làm Ta có: • 1 1 2 1 2 1; n n u n n n u n + = + = − + = − + • ( ) 1 1 2 1 2 .2 2 1 2 2 1 2 1. k k k n k v k k k k k u k + + = + + = + − + = + − + = − + đpcm.→ Bài 12: Cho dãy số ( ) n u với sin cos . 3 6 n n n u π π = + Chứng minh rằng 12n n u u + = với mọi 1.n ≥ Bài Làm Chuyên đề dãy số Trang 9 Ta có: • sin cos ; 3 6 n n n u π π = + • ( ) ( ) 12 12 12 sin cos sin 4 cos 2 sin cos . 3 6 3 6 3 6 n n n n n n n u π π π π π π π π + + +     = + = + + + = +  ÷  ÷     ( ) 12 ; đpcm . n n u u + → = Bài 13: Cho dãy số ( ) n v xác đònh bởi: 1 2 1 1 3 5 1; 1. 2 2 n n n v v v v n +  =   = − + + ∀ ≥   Chứng minh rằng 2n n v v + = với mọi 1.n ≥ Bài Làm Ta có: ( ) 3 ; * n n v v + = • Với 1n = , rõ ràng ( ) 1 2 2 1 1 1 4 2 3 2 2 2 4 3 3 1 3 5 1 2 2 2 ; đúng . 3 5 1 0 2 2 3 5 1 1 2 2 v v v v v v v v v v v v  =   = − + + =   → =  − = + + =   −  = + + =   • Giả sử (*) đúng với ( ) ; 1n k k= ≥ , tức là: 3k k v v + = . • Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với 1n k= + , nghóa là: 1 4k k v v + + = Chuyên đề dãy số Trang 10 [...]... Chuyên đề dãy số − 3 2 Trang 13 III – Cấp số cộng:  Nhắc lại một số kiến thức về cấp số cộng: - Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghóa là (u ) n là cấp số cộng ↔ ∀n ≥ 2, un = un−1 + d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng - Nếu ( un ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng... cấp số cộng với công sai là 1 u1 = 1  Bài 36: Cho dãy số ( un ) xác đònh bởi:  un+1 = un + 2n − 1; ( ∀n ≥ 1)  Xét dãy số ( vn ) , mà vn = un+1 − un ; ( ∀n ≥ 1) a) Chứng minh rằng dãy số ( vn ) là một cấp số cộng Hãy xác đònh số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó b) Cho số nguyên dương N, hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số ( vn ) theo N Từ đó, suy ra số hạng tổng quát của dãy số. .. nó và một số q không đổi, nghóa là: (u ) n là cấp số nhân ↔ ∀n ≥ 2, un = un−1 q Số q được gọi là công bội của cấp số nhân - Nếu ( un ) là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là: 2 uk = uk−1 uk+1 - Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q ≠ 0 thì số hạng tổng... số cộng Bài 29: Hãy tính các tổng sau đây : a) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ thứ hai bằng 105 và số hạng cuối bằng 999 b) Tổng tất cả các số hạng của một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 102, số hạng thứ hai bằng −1 và số hạng cuối bằng -2007 3 Bài Làm u1 = 102  a) Theo đề bài ta có: u2 = 105 ↔ u = 998  n →S= (u 1 + u300 ) 300 2 Chuyên đề dãy số. .. Chuyên đề dãy số Trang 22 → vn+1 = vn + 2 → ( vn ) là một cấp số cộng với công sai d = 2 và v1 = 1 b) Vì ( vn ) là một cấp số cộng nên: SN = (v + vN ) N 1 2 = ( 1 + 2 N − 1) N = N 2 2 = un+1 − u1 → uN +1 = N 2 + 1 IV – Cấp số nhân:  Nhắc lại một số kiến thức về cấp số nhân: - Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng... ) u = 11 u = 11 ( u1 + u5 ) 5 = ( 2u1 + 4d ) 5 = 95  u15 = 11    → → 1 ↔ 1 → S5 = 2 2  d = 4 u1 + 14 d = 67    u1 = 11   u = 67   15 Vấn đề 4: Một số bài toán tổng hợp Bài 33: Cho dãy số ( un ) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó, kí hiệu là Sn , được tính theo công thức sau: Sn = n ( 7 − 3n ) 2 a) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số ( un ) b) Chứng minh rằng dãy số ( un...   5     − ( 2 + 3 N ) 5 N + 2 N +1 6.5 N Vấn đề 5: Một số bài toán tổng hợp u1 = 1  Bài 59: Cho dãy số ( un ) xác đònh bởi:  un+1 = 5un + 8; ( ∀n ≥ 1)  Chuyên đề dãy số Trang 34 a) Chứng minh rằng dãy số ( vn ) , với vn = un + 2 , là một cấp số nhân Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó b) Tìm số hạng tổng quát của dãy số ( un ) Bài Làm a) Ta có: • vn = un + 2 • vn+1 = un+1 + 2... tổng của dãy số Bài 17: Cho dãy số ( un ) với un = sin ( 2n − 1) π ; ∀n ≥ 1 3 Tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho Bài Làm  Nhận xét: un = un+ 3 ; ∀n ≥ 1  π un = sin ( 2n − 1) 3  ↔ un = un+ 3 Thật vậy, ta có:    π π π u = sin 2 ( n + 3) − 1 = sin ( 2n − 1) + 2π  = sin ( 2n − 1 )  3  n+ 3 3 3    Chuyên đề dãy số Trang 12 Gọi Sn là tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho... cấp số nhân với công bộ i q = 5 n−1 n−1 b) Vì ( vn ) là một cấp số nhân nên: vn = v1 5 = 3.5 → vn = un + 2 = 3.5n−1 ↔ un = 3.5n−1 − 2 Bài 60: Cho dãy số ( un ) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó (kí hiệu là Sn ) được tính theo công thức sau: 3n − 1 Sn = n−1 3 a) Hãy xác đònh số hạng tổng quát của dãy số ( un ) b) Chứng minh rằng dãy số ( un ) là một cấp số nhân Hãy xác đònh cộng bội của cấp số nhân... số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là uk = - uk−1 + uk+1 2 Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác đònh theo công thức sau: un = u1 + ( n − 1) d - Giả sử ( un ) là một cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương n, gọi Sn là tổng n số hạng đầu tiên của . một dãy số: • Cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát. • Cho dãy số bởi hệ thức truy hồi. • Diễn đạt bằng lời cách xác đònh mỗi số hạng của dãy số. Chuyên đề dãy số Trang 2 - Dãy số ( ) n u được. - Dãy Số:  Nhắc lại một số khái niệm về dãy số: - Một hàm số u xác đònh trên tập hợp các số nguyên dương ¥ * được gọi là một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số) . - Có 3 cách cho một dãy. là dãy số tăng nếu với mọi n ta có + < 1n n u u . - Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có + > 1n n u u . - Dãy số bò chặn: • Dãy số ( ) n u được gọi là dãy số bò