Gioi han cua day so 11 co ban

- HS nàõm laûi âënh nghéa giåïi haûn cuía daîy säú, mäüt säú giåïi haûn âàûc biãût, âënh lyï vãö giåïi haûn hæîu haûn, täøng cuía cáúp säú nhán luìi vä haûn, giåïi haûn vä cæûc.. - Biãút[r]

CHƯƠNG IV GIỚI HẠN 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Tiết 49-52

I Muûc tiãu baìi hoüc:

1 Kiến thức:

- Biết khái niệm giới hạn dãy số

- Biết được: + Nếu lim Un = L lim = L

+ Nếu lim Un = L, Un  với n L

lim √Un=√L

+ Định lý về: lim (Un  Vn), lim(Un Vn),

lim Un

Vn

2 K nàng:

- Biết vận dụng lim

n →∞

1

n=0 ; n →∞lim

1

√n=0 ; n →∞limq n

=0 với

q <1 để tìm giới hạn dãy số đơn giản

- Tìm tổng cấp số nhân lùi vơ hạn

3 Tỉ v thại âäü:

- Xây dựng tư lôgic, linh hoạt; biết quy lạ quen; phát triển suy luận toán học, củng cố tính tốn

- Cẩn thận, xác tính tốn, lập luận, vẽ đồ thị

II Chuẩn bị giáo viên học sinh:

1 Chuẩn bị giáo viên:

- Các bảng phụ phiếu học tập

- Đồ dùng dạy học: thước kẻ, máy tính cầm tay

2 Chuẩn bị học sinh:

- Đồ dùng học tập: thước kẻ, máy tính cầm tay

- Chuẩn bị kiến thức học máy tính bỏ túi, hàm số với đối số tự nhiên

III Phỉång phạp dảy hc:

- Gợi mở, vấn đáp

- Phát giải vấn đề - Tổ chức đan xen hoạt động nhóm

1 Ổn định lớp: (1')

2 Kiểm tra: (4') - Nêu cách cho dãy số?

- Dãy số (Un) với Un = 1n cho

bằng cách nào? Hãy biểu diễn dãy số (Un)đưới

dạng khai triển

3 Đặt vấn đề: Nội dung dạy :

T

G Hoảt âäüng cuía GV âäüng cuíaHoảt

HS

Näüi dung ghi baíng

0' Hoạt động :- Xét dãy số (Un) với

Un = 1n v dảng

khai triển nêu phần kiểm tra

- Dng bng phủ v

biểu diễn (Un)

trục số cho HS quan sát

- Nhận xét xem

khoảng cách từ Un

tới O thay đổi n trở nên lớn ?

- Bắt đầu từ số

haûng Un no ca

dãy số khoảng

cách từ Un đến O

nhỏ 0,01 ? 0,001 ? - Yêu cầu HS khác nhận xét câu trả lời bạn bổ sung (nếu có)

- Nhận xét sửa chữa sai lầm cho HS (nếu có), từ

diễn giải thêm để

HS xem lại dãy số phần

kiểm tra quan sát hình vẽ

HS quan sát, suy nghĩ trả lời câu hỏi GV

I Giới hạn hữu hạn của dãy số :

1/ Âënh nghéa :

dẫn đến định nghĩa

6' Hoảt âäüng :

Củng cố dãy số có giới hạn O

- Hướng dẫn HS làm ví dụ (SGK)

- Cho HS quan saùt baớng phuỷ veợ hỗnh 47 (SGK)

- Kể từ số hạng thứ trở

Un < 0,01 ?

HS quan sát hình vẽ HS suy nghĩ trả lời câu hỏi

Ví dụ : Xét dãy số (Un) với :

Un =

−1¿n ¿ ¿ ¿

7' Hoạt động : Giới thiệu định nghĩa - Củng cố định

nghéa thäng qua vê dủ

- Nãu cạch gii vê dủ ?

- Gi HS lãn bng gii vê dủ

HS xem lải âënh nghéa v nãu cạch gii vê dủ

Âënh nghéa 2: (SGK)

Ví dụ : Cho dãy số (Vn), với Vn =

3n+1

n

Chứng minh:

lim V

n →+∞n

=3

Gii : Ta cọ :

lim

n →+∞(Vn−3)

¿ lim

n →+∞(

3n+1

n −3)

¿ lim

n →+∞

1

n=0 Vậy

lim

n →+∞Vn

=lim

n →+∞

3n+1

n =3

5' Hoạt động : Giới thiệu giới hạn đặc biệt

- Læu yï cho HS :

lim

n →+∞Un=a viết

tắt : limUn = a

HS theo dõi SGK trang 114 phần

2/ Một vài giới hạn đặc biệt :

(SGK) Chuï yï :

lim

được viết tắt :

limUn = a

Hoảt âäüng :

Củng cố tiết - Hãy cho biết nội dung học ?

- Phát biểu vài giới hạn đặc biệt ? - Chia HS thành nhóm làm

nhanh tập sau đại diện nhóm trình bày lời giải 1/ Tính giới hạn sau :

a) lim

n3 b)

lim 3n

2/ Chứng minh :

lim5n2+1

n2 =5

- GV hoàn chỉnh lời giải

Bài tập nhà : 1, (SGK)

(Hướng dẫn tập 1)

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 2) I Mục tiêu học :

- Nắm vững số định lý giới hạn dãy số tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn

- Biết áp dụng lý thuyết để làm tập

II Chuẩn bị GV HS : SGK máy tính bỏ túi

III Phỉång phạp dảy hc :

Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm

IV Tiến trình dạy :

1/ Ổn định lớp

2/ Kiểm tra cũ :

- Gọi HS lên bảng giải tập số SGK (theo trình tự a, b, c)

3/ Bài :

T

G Hoảt âäüngcuía GV âäüng cuíaHoảt

HS

Näüi dung ghi baíng

HÂ1 :

- Gọi HS lên bảng ghi tập theo trình tự a, b, c; qua củng cố khái niệm dãy số có giới hạn O, giới hạn khác O hoàn chỉnh lời giải cho HS

HS lãn

bảng sửa tập

BT1 : (SGK) Gii :

a) Ta cọ : U1 = 12 ; U2

=

; U3 =

1

; ; Un

= 21n

* Ta c/m : Un =

1 2n

(1)

- Khi n = 1, ta coï : U1 = 12

- Giả sử (1) với

n = k  tức Uk =

1 2k+1

coï : Uk+1=

1 2Uk=

1

1 2k

1 2k+1

 (1) âuïng : n =

k +

Vậy Un =

1 2n

b) Ta coï :

limUn=lim

2n ¿lim( 2)

n

=0

c) Ta coï :

10-6g = 10-6.10

-3kg =

109 kg

Xét bất đẳng thức :

1 2n−0<

1

109 

n >

109

Ta chọn n cho 2n > 109, chẳng

haûn n = 36

Vậy sau chu kỳ bán rã thứ 36 khối lượng chất phóng xạ cịn lại khơng ảnh

hưởng đến sức khỏe người (nghĩa sau 36.24000 = 864000 năm)

HĐ2 : Bài - Giới thiệu định lý - Củng cố định lý cho

HS đọc nghiên cứu định lý

II Định lý giới hạn hữu hạn :

HS ví dụ

- Chia HS thnh nhọm cng lm vê dủ v vê dủ

HS hoạt động theo nhóm đại diện nhóm trình bày lời giải

VD3 : Tỗm lim5n

2

n

1 n2 Giaới :

Chia tử mẫu

cho n2, ta được:

5n2− n

1− n2 =

5−1 n

1

n2−1

⇒lim5n

2− n

1− n2 =lim

5−1 n

1

n2−1

¿

lim(5−1 n)

lim(1

n2−1)

¿

lim 5−lim1

n

lim

n2−lim

=5−0

0−1=−5

Vê duỷ : Tỗm

lim1+9n

2

32n

Gii : Ta cọ :

lim√1+9n

2

3−2n =lim√ n2

(n12+9)

3−2n

¿lim

n√ n2+9

n(3 n−2)

=lim√

1

n2+9

3

n−2

¿−3

HÂ3 :

- Cho HS nhắc lại đ/n, công

sai, tổng Sn

của cấp số nhân

- Thuyết trình cho ví dụ

về cấp số Tính tổng

III Tổng

cấp số nhân lùi vô hạn :

nhán li vä hản

- Chú ý tính vơ hạn số số hạng cấp số nhân lùi vô hạn - Đặt vấn đề : cho cấp số

nhán (Un) coï vä

hạn số hạng q <

1 Tênh Sn ?

- Hướng dẫn : Tính tổng

thơng qua việc tìm giới hạn

ca Sn n

+

Sn

Sn=U1(1−q

n

)

1− q

¿ U1 1− q−(

U1

1− q)q

n

Tênh lim Sn

Cho cấp số nhân

li vä hản (Un) cọ

cäng bäüi q Khi âoï Sn = U1 + U2 + +

Un

¿U1(1−q

n)

1− q ¿ U1

1− q( U1

1 q).q

n

Vỗ q < nãn lim qn

=

⇒limSn=lim[

U1

1−q−( U1

1− q)q

n

]

¿ U1 1− q

Tổng số cấp số nhân lùi vô hạn (Un) S = U1 + U2

+ + Un +

Ta coï : S= U1

1− q (q < )

HĐ4 : Củng cố cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn thơng qua ví dụ

- u cầu HS

chè U1, q vaì

tênh S

HS vận dụng cơng thức để tính S

Vê dủ :

a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô

hạn (Un), với Un =

1 4n

b) Tính tổng :

1−1

2+ 4−

1

8+ +(− 2)

n −1

+

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 3) I Mục tiêu học :

- Biết áp dụng lý thuyết vào việc giải tập

II Chuẩn bị GV HS : Bảng phụ, SGK

III Phỉång phạp dảy hc :

Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm

IV Tiến trình dạy :

1/ Ổn định lớp (1')

2/ Kiểm tra cũ : (5') - Tính giới hạn sau: a) lim 5n+3

2−3n b)

4n2

+¿ lim3n

2

+2n+4

¿

c)

lim2

n

+8 4n

4n+3n

3/ Bài :

T

G Hoảt âäüng cuíaGV âäüng cuíaHoảt

HS

Näüi dung ghi baíng 15

' HĐ1: Hướng dẫn HS thực hoạt động trang 117 (SGK), cho HS quan sát bảng phụ vẽ bảng SGK

Dẫn dắt đến định nghĩa Củng cố định nghĩa băng ví dụ (SGK)

HS quan sát bảng phụ đưa nhận xét theo yêu cầu GV

IV Giới hạn vô cực

1/ ÂN: (SGK)

Nhận xét (SGK)

2' HĐ2: Giới thiệu cho HS:

lim k2 = +

; k  Z*+

lim qn = +

; q >

HS đọc tìm hiểu giới hạn

2/ Một vài giới hạn đặc biệt Ta có:

a) lim nk = +

; k  Z*+

b) lim qn = +

;

q > 10

' HĐ3: Giới thiệu định lý cho HS

Củng cố thông HS lên

3/ âënh lyï:

qua vê dủ

Nãu cạch gii vê dủ 7?

Gi HS lãn bng gii

Nãu cạch gii vê dủ 8?

Gi HS lãn bng gii

bng lm

bi lim

4n −5

n 3n

Gii: Ta cọ:

lim4n −5

n 3n =lim 4−5

n

3n

¿

lim(4−5

n)

lim 3n =0

Vỗ lim(45n)=4

lim 3n=+

Vờ duỷ :

Tỗm lim (2n2 - 5n

- 3) Gii : Ta cọ :

lim (2n2 - 5n - 3)

2−5 n−

3

n2

limn2

)

Vỗ lim n2 = +



lim(2−5

n−

3

n2)=2>0

Nãn lim (2n2 - 5n

- 3) = +

12

' HĐ :tồn thơng qua Củng cố tập trắc

nghiệm (GV chuẩn bị phiếu trắc nghiệm trước nhà để phát cho HS)

- Hướng dẫn tập 2, (SGK)

BAÌI TẬP GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (tiết 4) I Mục tiêu :

1/ Kiến thức kỹ :

- HS nắm lại định nghĩa giới hạn dãy số, số giới hạn đặc biệt, định lý giới hạn hữu hạn, tổng cấp số nhân lùi vô hạn, giới hạn vô cực

- Biết dùng định nghĩa để chứng minh dãy số có giới hạn 0, dãy số có giới hạn số a

- Biết vận dụng định lý để tính giới hạn dãy số

- Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn

2/ Tỉ v thaïi âäü :

- Biết kết hợp định lý để đưa toán từ phức tạp dạng đơn giản, quen thuộc

- Biết áp dụng để giải toán vật lý

II Phương pháp : Gợi mở, vấn đáp

III Chuẩn bị GV HS :

1/ Chuẩn bị GV : bảng phụ, câu hỏi trắc nghiệm, giáo án

2/ Chuẩn bị HS : xem lại phần lý thuyết học làm tập nhà

IV Näüi dung :

T

G Hoảt âäüngcuía GV Hoảt âäüng cuía HS Näüi dungghi baíng

12

' HÂ :(SGK) Baìi

Vỗ lim

n3=0 nón

n13 cú th nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở

HS tìm hiểu trả lời theo gợi ý GV

Mặc khác

Un−1<

n3=

1

n3 với n Suy Un - 1

có thể nhỏ số

dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi,

nghéa l lim

(Un - 1) =

Vậy lim Un =

15

' HĐ :thành nhóm Chia HS làm tập (SGK)

HS hoạt động theo nhóm làm tập đại diện

nhóm trả lời

Bài : (SGK) Tìm giới hạn sau :

a) lim6n−1 3n+2

b)

lim3n

2

+n −5

2n2+1

c)

lim3n+5 4n 4n+2n

d)

lim√9n

2

−n+1

4n−2

10

' HÂ : (SGK) Baìi - Cho HS quan saùt baớng phuỷ veợ hỗnh 51 (SGK)

- Tờnh U1, U2, U3

vaì Un ?

(Goüi HS lãn baíng)

U1=1

4 ; U2=

1

1 4=

1 42 ;

U=1

4 42=

1

43 ; ;

Un=

4n

limSn=lim(1

4+

1 42+ +

1 4n)

- Nêu cơng thức tính

tổng cấp số nhân lùi vô hạn ?

- Tênh lim Sn ?

¿ 1−1

4

=1

3

8' HÂ : Bi (SGK)

- Có nhận xét số hạng

tổng S ?

- Vậy tổng S = ?

Các số −1¿n

¿ ¿

−1;

10;−

102 ; ;¿

số hạng cấp số nhân lùi vơ hạn có số hạng

đầu U1 = -1, công

bäüi q=−

10

S= −1

1+

10

=−10

11

Baìi : (SGK)

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1/ lim3n −2

2n+1 :

A -2 B 32 C

D 2/ lim−3n

2

+n −3

2n4+1 :

A −3

2 B -3 C D

3/ lim√2n

2

−3n

1−5n2 :

A √2 B C −√2

5 D

3

4/ lim

n

+5n

3 2n+4 5n :

A 14 B 13 C D

5/ lim√3n4

+5n3−7n :

A B √3 C - D

+

6/ lim−2n

3

+3n−2

3n −2 :

A + B - C −32 D

0

7/ lim

3

√n6−7n3−5n

+8

n+12 :

A B + C - D

1

8/ lim(√n+1−√n).n :

A + B C -

D

9/ lim(√2n+3−√n+1) :

A + B C - D

√2−1

10/ lim

n

+1

2n−1 :

A 32 B -1 C D

+

11/ lim√n

2

+1−2n

2n+1 :

A −1

2 B - C D

1

12/ Tổng cấp số nhân lùi vô hạn 53 ,

tổng số hạng 3925 Tìm số

hạng đầu U1 công bội q cấp số nhân

A U1 = ; q = 52 C U1 = ;

q = −3

2

B U1 = -1 ; q = - 52 D U1 = -1 ;

2: GIỚI HẠN CỦA HAÌM SỐ

Tiết 53 - 57

I Mủc tiãu bi hc :

1/ Kiến thức :

- Biết khái niệm giới hạn hàm số, giới hạn hạn bên

- Biết : Nếu x → xlim0 f(x) = L

lim

x → x0 f(x)=

L

Nếu x → xlim0 f(x) = L, f(x)  với x  xo L  lim

x → xo

√f(x)=√L

Định lý giới hạn : x → xlim0 [f(x)  g(x)] ;

lim

x → x0 [f(x) g(x)] ; x → xlim o

f(x)

g(x)

2/ Kỹ : Tính :

- Giới hạn hàm số điểm - Giới hạn bên

- Giớihạn hàm số 

- Một số giới hạn dạng : 00;∞

∞;∞ −∞

3/ Tỉ v thại âäü :

- Xây dựng tư logic, linh hoạt, biết quy lạ quen, phát triển suy luận tốn học, củng cố tính tốn

- Cẩn thận, xác tính tốn, lập luận vẽ đồ thị

1/ Chuẩn bị GV: - Bảng phụ, phiếu học tập

- Thước kẻ, máy tính bỏ túi

2/ Chuẩn bị HS: - Thước kẻ, máy tính bỏ

tụi

- Kiến thức học hàm số số tự nhiên

II Phương pháp : - Gợi mở, vấn đáp

- Phát giải vấn đề - Tổ chức đan xen hoạt động nhóm

IV Tiến trình bày dạy :

1/ Ổn định lớp : (1')

2/ Kiểm tra cũ : (5')

Nêu định lý giới hạn hữu hạn ? Tính lim√3+2n

2

2n −1 3/ Näüi dung bi dảy :

T

G Hoảt âäüngca GV Hoảt âäüngcuía HS Näüi dung ghibaíng

10

' HĐ :- Xét hàm số f(x)=2x

2

−2x x −1

- Cho HS quan saït bng phủ (bng trang 123/SGK)

- Cho biến x giá trị khác lập thành dãy số

(Xn), xn 

trong bng phủ

Khi giá trị tương ứng hàm số : f(x1) , f(x2) , ,

f(xn) , cng

HS quan sát bảng phụ hoạt động theo nhóm trả lời câu hỏi GV

I Giới hạn của hàm số tại điểm :

lập thành dãy số, ký

hiệu (f(xn))

- Ch/minh : f(xn)=2xn=2n+2

n - Tìm giới hạn dãy số (f(xn)) ?

- C/m với dãy số (xn), xn 

vaì xn  ta

luän coï: f(xn) 

2

(Cho HS hoạt động theo nhóm trả lời câu hỏi trên)

- Khẳng định cho HS : hàm số

f(x)=2x

2−2x

x −1 coï

giới hạn x dần tới Từ giới thiệu định nghĩa

5' HĐ : Hướng dẫn HS làm VD1

- Dỉûa vo âënh nghéa nãu cạch gii bi toạn

f(x)=x

2−3x

+2

x −2 ¿(x −1)(x −2)

x −2

= x - 1 Xét dãy số

(xn) tha mn

xn  v

Ví dụ : Cho hàm số

f (x)=x

2−3x

+2

x −2

C/m : lim

x→2f(x)=1

Giaíi :

Hàm số có tập xác định :

D = R \ {2}

xn  n 

+

Ta coï :

limf(xn)=¿

= lim (xn - 1) =

1

dãy số bất kỳ,

tha mn xn 

vaì

xn  n  +

Ta coï : limf(xn)=¿ ¿lim(xn−1)(xn−2)

xn−2

= lim (xn - 1) =

Vậy lim

x→2f(x)=1

* Nhận xét : (SGK)

5'

7'

HĐ : Từ định lý giới hạn hữu hạn dãy số (ở phần kiểm tra cũ), nêu điều tương tự hàm số giới thiệu định lý

- Hướng dẫn HS áp dụng định lý để làm ví dụ - Chia HS làm nhóm đại diện nhóm trình bày

HS hoảt âäüng theo nhọm cuìng laìm VD2 vaì VD3

Âënh lyï : (SGK)

Ví dụ : Cho hàm số :

f(x)=x

2

+x+1

x

Tỗm lim

x→2f

(x)

Gii : Ta cọ :

lim

x→2f(x) =

lim

x→2

x2

+x+1

√x

¿ lim

x→2(x

+x+1)

lim

x→2√x

¿ lim

x→2x limx→2x+limx →2x+limx →21

√lim

x →2x

¿2 2+2+1

√2 =

√2

Vê duû : Tênh :

lim

x →−2

x2+3x+2

x+2

Giaíi : Ta coï :

lim

x →−2

x2+3x+2

x+2 =

¿lim

x→2

(x+1)(x+2)

x+2

lim

HĐ : Cho HS đọc nghiên cứu định

nghéa

- Gọi HS phát biểu hiểu biết đ/n - GV diễn giải thêm đ/n, hoàn chỉnh phát biểu HS

- Giới thiệu định lý

HS đọc tìm hiểu định nghĩa

Âënh nghéa :

Âënh lyï :

lim

x → xo

f(x)=L⇔lim

x → xo −f(x)

x → x+o¿f

(x)=L

¿lim

¿

HÂ :

- Cho HS hoảt âäüng theo nhọm laìm vê dủ

- Trong biểu thức f(x) = 3x

+ x  -2,

cần thay số bao

nhiêu để hàm số có giới hạn x

HS hoạt động nhóm đại diện nhóm trả lời

lim

x →−2−f(x)=x →−lim2(2x

2

−1)

= 7 x →−2+¿

(3x+4)

x → −2+¿

f(x)=lim

¿

lim

¿

= -2 Vỗ :

x 2+f

(x)

lim

x →−2−f

(x)≠lim

¿

nên không tồn

lim

x →−2f

(x)

Ví dụ : Cho hàm số :

f(x)={3x+4

2x2−1

x ≥ −2

x<2

Tỗm lim

x 2f(x) ;

x → −2+¿f

(x)

lim

¿

vaì

lim

x →−2f

(x) (nếu

coï)

 -2 ?

- Vê duû

(Hết tiết 1)

Ví dụ : Với hàm số :

f(x)={3x+13

2x2−1

x ≥ −2

x<−2

Ta coï :

lim

x →−2−f(x)=x →−lim2(2x

2−1

)

=7 x → −2+¿

(3x+13)=7

x → −2+¿f

(x)=lim

¿

lim

¿

x → −2+¿f

(x)=7

lim

x →−2−f

(x)=lim

¿

Vậy lim

x →−2f(x)=7

7' Tiết :Kiểm tra : 1/ Tính

lim

x→1

√x −3

x2+x+1

lim

x →4

x2−3x −4

x −4

2/ Cho hàm số :

f(x)={1−3x

2

3x −2

x ≥1

x<1

Tỗm lim

x 1f(x) ;

x →1+¿f

(x)

lim

¿

;

lim

x→1f(x) (nếu

coï) 10

'

Bài : HĐ :

- Cho HS quan saùt baớng phuỷ veợ hỗnh 52

HS quan sát bảng phụ trả lời câu

II Giới hạn hữu hạn hàm số vô cực :

nế u nế

(SGK)

Khi x dần tới dương vô cực f(x) dần tới giá trị ? Khi x dần tới âm vơ cực f(x) dần tới giá trị ? - GV hòan chỉnh phát biểu HS, từ dẫn dắt đến định nghĩa

hoới cuớa GV

x + thỗ f(x)

x - thỗ f(x)

Âënh nghéa : (SGK)

8' HĐ2 : Củng cố đ/n ví dụ

(xn) l dy

số

tha mn xn <

1 v xn  -

Tỗm : lim f(xn) ?

- Gii thiu v giải thích ý trang 129 (SGK)

limf(x)=lim2xn+3

xn−1

¿lim 2+

xn

1−1 x

=2

Ví dụ : (SGK) Cho hàm s :

f(x)=2x+3

x 1

Tỗm lim

x →− ∞f(x) vaì

lim

x →+∞f(x)

* Chuï yï : (SGK)

7' HĐ3 : Chia HS thành nhóm làm ví dụ sau đại diện nhóm trình bày lời giải

HS hoạt động theo nhóm đại diện nhóm trình bày

Vờ duỷ :Tỗm :

lim

x →+∞

2x2−1

x2−3x

vaì lim

x →− ∞

3x2−2x+1

3−4x2

13

' HĐ4 :dẫn gọi Hướng HS lên bảng

HS laìm baìi

làm tập - Bài tập nhà : 5/133 SGK

8' Tiết :1/ Kiểm tra : Gọi HS lên bảng lúc - HS1 : Nêu định lý giới hạn hữu hạn hàm số ?

Nêu định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số vô cực?

- HS2 : Tênh :

lim

x→2

x2−4 2− x

lim

x →+∞

2x2−3x+1

x2−1

10 '

2/ Bài : HĐ1 :

- Giới thiệu định nghĩa cho HS, nêu giải thích

nhận xét trang 130 - Giới thiệu vài giới hạn đặc biệt

HS đọc tìm hiểu định nghĩa

III Giới hạn vô cực hàm số :

1/ Giới hạn vô cực :

Â/n : (SGK)

2/ Một vài giới hạn đặc biệt

(SGK) 15

' HĐ2 : - Lưu ý HS : định lý

giới hạn tích thương hàm số áp dụng

được tất hàm số xét có giới hạn hữu hạn - Giới thiệu quy tắc tìm giới hạn tích f(x) g(x) - Giới thiệu quy tắc tìm giới hạn thương gf((xx))

HS xem quy tắc trang 130 SGK

HS xem quy tắc trang 131 theo hướng dẫn GV

a) Quy tắc tìm giới hạn tích f(x) g(x) : (SGK)

b) Quy tắc tìm giới hạn thương gf((xx)) : (SGK)

* Chuï yï : (SGK)

12

' HĐ3 :cố quy tắc Củng ví dụ

- Nãu cạch gii vê dủ ?

- GV hướng dẫn thêm

(nếu cần) gọi HS lên bảng làm

HS nãu caùch giaới vaỡ lón baớng trỗnh baỡy

HS trung làm ví dụ

Vê dủ : Tỗm :

lim

x (2x

3

−3x −1)

vaì lim

x →+∞(x

3

−2)

Gii : Ta cọ :

lim

x →− ∞(2x

3−3x −1

)

2−

x2−

1

x3

¿ lim

x→ − ∞x

3

)

Vỗ lim

x x

3

=−∞

Vaì lim

x →− ∞

(2−

x2−

1

x3)=2

Nãn lim

x →− ∞(2x

3−3x −1

)

= -

(HS trỗnh baỡy tổồng tæû cho

lim

x →+∞(x

3−2

) )

Ví dụ : Tính giới hạn

- Hướng dẫn HS áp dụng quy tắc trang 131 để giải ví dụ

Tỗm lim

x 1(x 1) ;

lim

x →1−(2x −3) vaì

xét dấu (x-1) ? Suy :

lim

x →1−

2x 3

x 1 ?

Tỗm x 1

+¿

(x −1)

lim

¿

; x →1+¿

(2x −3)

lim

¿

xét dấu (x - 1) ?

Suy : x →1+¿2x −3

x −1 lim

¿

? Bài tập nhà : 4, 5, 6,

(SGK)

lim

x →1−(x −1)=0

lim

x →1−

(2x −3)=−1

Vaì x - < 0,

x <  lim

x →1−

2x −3

x −1 =

+

HS laìm tæång tæû cáu a

lim

x →1−

2x −3

x −1

b) x →1

+¿2x −3

x −1 lim

¿

Giaíi :

a) lim

x →1−

2x −3

x −1

Ta coï : lim

x →1−(x −1)=0

;

x - < với x <

lim

x →1−(2x −3)=2 1−3=−1<0

Vậy lim

x →1−

2x −3

x −1 =

+

b) x →1

+¿2x −3

x −1 lim

¿

Ta coï : x →1+¿

(x −1)=0

lim

¿

x - > 0, với x >

x →1+¿

(2x −3)=2 1−3=−1<0

lim

¿

Vậy x →1

+¿2x −3

x −1 lim

¿

BAÌI TẬP GIỚI HẠN CỦA HAÌM SỐ ( tiết )

I Muûc tiãu :

1/ Kiến thức kỹ :

- Biết khái niệm giới hạn hàm số định nghĩa Biết vận dụng định nghĩa vào việc giải số toán đơn giản giới hạn hàm số

- Biết định lý giới hạn hàm số biết vận dụng chúng vào việc tính giới hạn dạng đơn giản

2/ Tỉ v thại âäü :

- Xây dựng tư logic, linh hoạt, phát triển suy luận tốn học

- Cẩn thận, xác tính toán

II Phương pháp : Gợi mở, vấn đáp

III Chuẩn bị GV HS :

1/ Chuẩn bị GV : Câu hỏi trắc nghiệm, giáo án, bảng phụ

2/ Chuẩn bị HS : Chuẩn bị tập nhà

IV Näüi dung :

1/ Kiểm tra cũ (thông qua tập)

2/ Näüi dung :

T

G Hoảt âäüngcuía GV Hoảt âäüngcuía HS Näüi dung ghibaíng

12

' Baìi : (SGK)HÂ1 : lim

x →4

x+1

3x −2

Tìm TXĐ hàm số

f(x)= x+1

3x −2 ?

Hàm số xác định

(-; 32 )  ( 32

; +)

vaì x =  (

2

3 ; +)

Giả sử (xn)

D = R \ { 32 }

Bài : (HS đọc đề lên bảng trình bày lời giải)

dãy số bất kỳ, xn  ( 32 ;

+) ; xn 

vaì xn n

+

Tỗm lim f(x) ?

Vậy lim

x →4

x+1

3x −2 ¿1

2

- Hướng dẫn HS làm b tương tự hòan chỉnh lời giải cho HS

(2 HS cng lãn bng lm cáu a vaì b)

limf(xn)=lim xn+1

3xn−2

¿ 4+1 12−2=

1

b)

10 '

Baỡi : (SGK)

H2 : Tỗm

limUn = ?

limVn ?

Tỗm f(Un) , lim

f(Un) ?

f(Vn) , lim

f(Vn) ?

limUn = lim 1n

=

limVn =

lim(-1

n ) =

f(Un)=√1

n+1

(do Un = 1n >

0)

Do Vn = - 1n <

0 nãn f(Vn)=−2

n

limf(Un)=lim(√1

n+1) =

limf(Vn)=lim−2

n =0

- Từ

nhận xét giới hạn hàm số

khi x  ?

Un  ; Vn 

lim f(Un)  lim

f(Vn)

 Hàm số

khơng có giới

hản x 

12

' HĐ3 :thành nhóm Chia HS làm câu tập

HS hoạt động theo nhóm đại diện nhóm trình bày

Baìi : Tênh :

a)

3 lim    x x x

b) lim

x →−1

x2−4x −5

x+1

c) lim

x→3

x −3

√x+1−2

d) lim

x →+∞

5x+3

2−3x

e) lim

x →+∞

3x2−2x −1

2x+3

11

' HĐ4 : tập SGK)(Bài - HS hoạt động nhóm đại diện nhóm trình bày lời giải - GV sửa sai (nếu có) hịan chỉnh lời giải

- Cho HS nêu lại quy tắc tìm giới hạn thương

f(x)

g(x)

- Củng cố lại định nghĩa, định lý, quy tắc học (cho HS nhắc lại)

HS làm theo nhóm đại diện nhóm trả lời

HS nêu lại quy tắc tìm giới hạn thương gf((xx))

Baìi : (SGK) a)

x −2¿2 ¿ lim

x→2

3x −5 ¿

Ta coï : x −2¿

2

=0

lim

x→2¿

(x - 2)2 > 0, x  2

lim

x→2

(3x −5)=1>0

Vậy

x −2¿2 ¿ lim

x→2

3x −5 ¿

=

+

Hết tiết 1. 10

'

Tiết : HĐ1 :

- Cho HS quan sạt bng

phụ vẽ hình 53 để làm tập (SGK)

- Tênh lim

x →− ∞f(x)

; f(x)

xeït trãn (- ;

-3)

lim

x →3−f(x);f(x)

được xét (-3 ; 3)

x → −3+¿

f(x); f(x)

lim

¿

được xét (-3 ; 3)

HS quan sát bảng phụ làm tập

f(x)  x 

-

f(x)  - x 

-f(x)  + x

 -3+

HS lên bảng trình bày lời giải

Baìi : (SGK)

a) f(x)  x 

-

f(x)  - x 

3

f(x)  + x

 -3+

b) lim

x →− ∞f(x) =

lim

x →3−f(x)=− ∞

x → −3+¿f

(x)=+∞

lim

¿

12

' HĐ2 : tập (SGK) Bài - Chia HS

thành nhóm làm đại diện nhóm trả lời - GV sửa sai cho HS (nếu có) hịan chỉnh lời giải

HS hoạt động theo nhóm đại diện nhóm trình bày Các nhóm khác chỉnh sửa bổ sung (nếu có)

Bi : (SGK)

a) lim

x →+∞

(x4− x2+x −1) =

lim

x →+∞x

4

lim

x→+∞

(1−

x2+

1

x3−

1

x4)

= + = +

b)

c) lim

x →− ∞√x

2

−2x+5

¿ lim

x →− ∞x.√1−

2

x+

5

x2

= + = +

d) lim

x →+∞

√x2+1+x

¿ lim

x →+∞(√

1+

x2+1)

lim

x →+∞(

5

x−2)

¿

−2=−1

10

' HĐ3 :(SGK) Bài - Gọi HS lên bảng làm theo thứ tự a, b

HS lên bảng trình bày lời giải

HS khác nhận xét, bổ sung (nếu có)

Bi (SGK) a) Ta coï : 1d+

d '=

1

f

⇔

d '=

1

f −

1

d

 d '= f d

d − f=ϕ(d) b)

*

d → f+¿ f.d

d − f =+∞ d → f+¿ϕ

(d)=lim

¿

lim

(vỗ d - f > d

 f+)

Điều có nghĩa vật dần đến tiêu điểm lớn tiêu điểm có ảnh thật ngồi vơ cực

* lim

d → f−

ϕ(d)=lim

d → f

f.d d f= (vỗ d - f < d

 f- )

Nghĩa vật dần đến tiêu điểm tiêu điểm quang tâm có ảnh ảo

ngoi vä cỉûc

* lim

x →+∞ϕ(d)=x→lim+∞

¿ lim

d →+∞

f

1−f d

=f

Khi vật xa vơ cực khoảng cách từ ảnh đến quang tâm tiêu cự 13

' HĐ4 : cố tồn Củng

 HM SỐ LIÊN TỤC

Tiết 58 - 59

I Muûc tiãu baìi hoüc:

1 Kiến thức: Học sinh biết được:

- Định nghĩa hàm số liên tục (tại điểm, khoảng)

- Định lý về: tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục

- Định lý hàm đa thức, phân thức hữu tỉ liên tục tập xác định chúng

- Âënh l SGK

2 K nàng:

- Biết ứng dụng định lý nói xét tính liên tục hàm số đơn giản

Biết chứng minh phương trình có nghiệm dựa vào định lý

3 Tỉ v thại âäü:

- Xây dựng tư lôgic, linh hoạt; biết quy lạ quen; phát triển suy luận toán học, củng cố tính tốn Biết đặc trưng "liền nét" đồ thị hàm số liên tục khoảng, đoạn, biết xét tính liên tục hàm số điểm, kết luận điểm gián đoạn (nếu có) hàm số

Biết cách phân biệt khái niệm: Hàm số liên tục khoảng, đoạn, nửa khoảng

1 Chuẩn bị giáo viên:

- Các bảng phụ câu hỏi trắc ngihệm, phiếu học tập

- Đồ dùng dạy học GV: thước kẻ, máy tính cầm tay

2 Chuẩn bị học sinh:

- Đồ dùng học tập: thước kẻ, compa, máy tính cầm tay

- Kiến thức học hàm số với đối số tự nhiên

III Phỉång phạp dảy hc:

- Gợi mở, vấn đáp

- Phát giải vấn đề - Tổ chức đan xen hoạt động nhóm

IV Tiến trình dạy:

1 Ổn định lớp: (1')

2 Kiểm tra: (5')

- Nêu định nghĩa tập xác địnhcủa hàm số y = f(x), cách tìm giá trị y = f(x) điểm thuộc tập xác định hàm số

- Cho lim

x → x0

f(x)=M ;lim

x→ x0

f(x)=N , giới hạn

các hàm số

f(x) (g(x); f(x).g(x); gf((xx)) xx0 tính

thế nào?

3 Näüi dung bi dảy: T.gi

an Hoảt âäüng ca GV Hoảt âäüngcuía HS Näüi dungghi baíng

14' HÂ1: Chia HS thnh

nhóm thực cơng việc sau (GV phát phiếu học tập)

Nhọm 1: Cho hm

số f(x) = x2

a) Tênh: f(-2), f(1)

Các nhóm làm việc cử đại diện nhóm trình

b) Tênh

¿ lim

x → x −2f(x) ¿

, lim

x → x1

f(x)

c) Có nhận xét

¿ lim

x → x −2f(x) ¿

vaì f(2);

lim

x → x1

f(x) v f(x)?

Nhóm 2: Cho hàm số

2x - 1, x 

, x <

a) Tênh g(-2) , g(1)

b) Tênh lim

x → x1

g(x) ;

lim

x → x1

g(x)

c) Có nhận xét

về lim

x → x1

g(x) vaì g(1)?

Nhóm 3: Vẽ đồ thị

hs: f(x) = x2

- Đồ thị đường có "liền nét" khơng?

Nhóm 4: Vẽ đồ thị hàm số

2x - 1, x 

, x <

- Đồ thị đường có "liền nét" khơng?

- Hàm số f(x) = x2 có

¿ lim

x → x −2f(x) ¿

= f(-2) ta nói hàm số f(x) liên tục

tải x = -2 Vaì lim

x → x1

f(x)

= f(1), ta nói hàm số liên tục x = Hàm số g(x) có

baìy

HS âoüc ÂN1 (SGK) vaì vd1

ÂN1 (SGK) Vd1 (SGK) g(x)

=

lim

x → x1

g(x)  g(1), ta noïi

hàm số g(x) gián đoạn x =

GV phát biểu định nghĩa Yêu cầu HS đọc ĐN1 (SGK) vd1 (SGK)

10' HĐ2: Dựa vào vd

HĐ1 định nghĩa 1, kiểm tra xem

hám số f(x) = x2 liên

tục điểm nào?

Nhận xét câu trả lời HS xác hóa nội dung Dẫn dắt để đến định nghĩa hàm số liên tục tập R

2

5 x

( )

3 x <1 x

f x

x

 

 

 

Tênh x →1+¿

f(x),lim

x→1−f

(x), f(1)?

lim

¿

Hàm số có liên tục x = khơng?

Hàm số có liên tục x>1 không?

GV đến phát

biểu hàm số liên tục nửa khoảng

[1; +)

Khái quát để đến khái niệm hàm số liên tục [a;

Hàm số f(x) =

x2 liãn tủc tải

mi xR

Tính được: x →1+¿

f(x)=7

lim

¿

lim

x →1−f(x)=−2

f(x) =

HS đọc phát biểu ĐN2 (SGK)

II Hàm số liên tục trên khoảng

x →1+¿f

(x)=7

lim

¿

lim

x →1−f(x)=−2

f(x) =

b], dẫn dắt đến ĐN2

7' HĐ3: Củng cố ĐN2

bằng phiếu học tập cho nhóm:

Nhóm 1: Hồn chỉnh mệnh đề sau: Hàm số y=f(x) liên tục nửa khoảng [a;b)

Nhóm 2: Hồn chỉnh mệnh đề sau: Hàm số y=f(x) liên tục nửa khoảng (a;b]

Nhóm 3: Hồn chỉnh mệnh đề sau: Hàm số y=f(x) liên tục nửa khoảng (a;

+]

Nhóm 4: Hồn chỉnh mệnh đề sau: Hàm số y=f(x) liên tục

trên nửa khoảng (-;

a]

GV chênh xạc họa näüi dung

Nêu khác ĐN liên tục hàm số khoảng đoạn?

Cho HS trả lời, HS khác nhận xét, GV xác hóa nội dung

Từ đồ thị hàm số f(x) g(x) HĐ1, cho HS nhận xét liên tục hàm số

HS làm việc cử đại diện nhóm trả lời

Các nhóm khác nhận xét bổ sung (nếu có)

HS trả lời câu hỏi

HS phát biểu nhận xét

Nhận xét

và đồ thị

Khái quát đến nhận xét SGK

8' HĐ4: Hướng dẫn HS

laìm BT1 vaì (SGK) Gi HS lãn bnglm bi

Bi (SGK)

Nêu cách làm 2? GV hướng dẫn HS phân tích

x3-8 = (x-2)(x2+2x+4)

Goüi HS lón baớng trỗnh baỡy

Bi v nh: Chng minh hàm số:

¿

x2−3x

+2

x −2 ¿f(x)={

¿

Liãn tuûc tải x =

HS lãn bng lm bi

HS khác nhận xét

Phân tích được:

x3-8= (x2)

(x2+2x+4)

lim

x→2g(x)=limx→2(x

+2x+4)

= 12 G(x) =

Baìi (SGK)

Baìi (SGK)

 HAÌM SỐ LIÊN TỤC (tiết 2) I Mục tiêu học:

1 Kiến thức: Học sinh hiểu được:

- Các hàm đa thức liên tục toàn tập số thực, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục khoảng tập xác định chúng

- Biết f(x) g(x) liên tục khoảng K f(x) + g(x); f(x) - g(x); f(x) g(x); gf((xx)) ;

, với x2

với g(x)  hàm liên tục khoảng

K

- Biết f(x) liên tục khoảng K tồn số a, b thuộc K cho f(a).f(b) < tồn

tải c (a,b) cho f(c) =

2 K nàng:

- Biết xét tính liên tục hàm số dựa vào kiến thức học

- Biết chứng minh phương trình có nghiệm

3 Tỉ v thại âäü:

- Tích cực tham gia vào học, có tinh thần hợp tác

- Biết qui lạ quen, rèn luyện tư lôgic

II Chuẩn bị giáo viên học sinh:

1 Chuẩn bị giáo viên:

- Phiếu học tập, bảng phụ

2 Chuẩn bị học sinh:

- Kiến thức học tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn

III Phỉång phạp dảy hc:

- Gợi mở, vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm

IV Tiến trình dạy:

1 Ổn định lớp: (1')

2 Kiểm tra: (5')

- Nêu định nghĩa hàm số liên tục điểm, khoảng? Khi hàm số gián đoạn

điểm x0?

- Đồ thị hàm số liên tục khoảng có đặc điểm bật?

- Xét tính liên tục hàm số f(x) = 2x2 + x - 4

taûi x =

3 Bài mới: T.gi

an Hoảt âäüng cuía GV âäüng cuíaHoảt

HS

Näüi dung ghi baíng

7' HÂ1: Xẹt liãn tủc

của hàm số sau:

f(x) = x2 + x - (1) HS phát biểu điều

g(x)= x

2

+1

x2+x+1 (2)

h(x)=2x+5

x −3

Từ khái quát hóa, phát biểu điều nhận xét

GV nhận xét câu trả lời HS dẫn dắt đến định lý

nhận xét

Âënh lyï (SGK)

6' HĐ2: Từ nhận xét

HĐ 1, cho biết hàm số:

F(x) = f(x)  g(x) cọ l

hàm số liên tục R hay không?

GV khái quát phát biểu định lý2

Hàm số f(x)

= f(x)  g(x)

là hàm số liên tục R

Âënh lyï (SGK)

5' HĐ3: Củng cố định lý

1 định lý ví dụ

Nếu x  hàm

số h(x)=x

2

−3x+2

x −1 coï liãn

tục khơng? Nếu có liên tục

khong no?

Hàm số h(x) hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục tập xác định nó, tức liên tục

khong (-;

1)  (1; +)

Ví dụ: Cho hàm số

¿

x2−3x

+2

x −1 ¿f(x)={

¿

Xét tính liên tục hàm số tập xác định

Giải: Tập xác định hàm số là:

+ Nu x

thỗ: h(x)=x

23x

+2

x −1

laì

Haìm phán

, với x2

thức hữu tỉ nên liên tục

khong (-,

1) (1; +)

+ x = ta coï:

lim

x→1h(x)=limx →1

x2−3x

+2

x −1 ¿lim

x→1

(x −1)(x −2)

x 1 lim

x1(x 2)=1

Vỗ lim

x→1h(x)≠ h(1)

Nên hàm số h(x) gián

âoản tải x =1

Vậy hàm số cho liên tục khoảng (-, 1) (1;

+) v giạn

âoản tải x =

7' HÂ4: Cho HS quan sạt

bảng phụ hình vẽ hình 58 (SGK) trả lời câu hỏi HĐ trang 138 (SGK)

GV khái quát phát biểu định lý

Lưu ý cách phát biểu khác định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a; b] f(a).f(b) < pt f(x) = có nghiệm nămg khoảng (a; b)

HS quan sát bảng phụ, nhận xét trả lời câu hỏi

4' HĐ 5: Củng cố định lý ví dụ

Xét hàm số f(x) = x3

+ 2x - liên tục R Hãy áp dụng định lý để giải

Cho HS chuï yï SGK

Hàm số

f(x) = x3 + 2x

-

liãn tuûc trãn R

Coï f(0) = -5 F(2) = f(0).f(2) <

Vậy pt cho có nghiệm x0 (0.; 2)

HS chụ trang 139 SGK

Vê dủ: CMR

pt x3 + 2x -5 =

0

có nghiệm Giải: (SGK)

10' HĐ6: Bài tập (SGK)

Cho HS quan sát bảng phụ vẽ đồ thị hàm số y = f(x) Gọi HS nhận xét tính liên tục hàm số tập xác định Gọi HS khác lên bảng làm câu b

Chia HS thành nhóm làm tập 4, 5, (SGK)

Nhọm 1: Xạc âënh cạc khong liãn tủc ca

hàm số f(x)= x2x+1

+x −6

Nhóm 2: Xác định các khoảng liên tục hàm số f(x)= tanx +

HS quan sạt bng phủ v lm BT3

HS hoạt động nhóm làm tập theo yêu

cầu GV đại

diện nhóm trả lời Đại diện nhóm khác nhận xét

Bài (SGK) a) Hàm số cho gián đoạn x =

b)

Baìi (SGK)

sinx

Nhóm 3: Bài tập SGK

Nhóm 4: Bài tập SGK

- GV xác hóa lời giải HS

Bài tập nhà: 1/ CMR hàm số

¿

x2−3x

+2

x −2 ¿f(x)={

¿

Liãn tủc tải x =

2/ CMR pt x2 cosx + sinx

+ = có nghiệm

thüc khong (0; )

Bài tập ôn tập chương IV

, x

2

 ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Tiết 60 - 61

I Mủc tiãu bi hc:

1 Kiến thức:

- Củng cố kiến thức xác định học: Biết khái niệm, định

nghĩa, định lý, quy tắc giưói hạn đặc biệt trình bày SGK

2 K nàng:

- Có khả áp dụng kiến thức lý

thuyết học vào việc giải toán thuộc dạng

3 Tỉ v thại âäü:

- Tích cực tham gia vào học, có tinh thần hợp tác

- Rèn luyện tư lôgic

II Chuẩn bị giáo viên học sinh:

1 Chuẩn bị giáo viên:

- Câu hỏi trắc nghiệm, giáo án

2 Chuẩn bị học sinh:

- Kiến thức học chương IV, làm tập nhà, máy tính bỏ túi

III Phỉång phạp dảy hc:

- Gợi mở, vấn đáp

IV Tiến trình dạy:

1 Ổn định lớp

2 Kiểm tra: Thông qua tập

3 Näüi dung bi dảy: T.gi

an Hoảt âäüng ca GV Hoảt âäüngcuía HS Näüi dungghi baíng

Bài 1: GV kiểm tra bài HS làm nhà số HS, gọi HS lên bảng liệt kê

HS lên bảng liệt kê giới hạn đặc biệt dãy

GV nhận xét, sửa sai bổ sung (nếu có)

Bi 2: (SGK)

Gi HS lãn bng lm bi

GV hướng dẫn: lim Vn = nghĩa có số dương nhỏ tùy ý

bắt đầu từ số n0

no âọ cho Vn<d

với n < n0

lim (un - 2) = ⇒ lim

un =

Baìi (SGK)

Gọi HS lên bảng tính giới hạn, sau gọi HS khác tìm tên HS theo yêu cầu toán

Bài :

A=lim 3nn −1

+2 =3

H=lim (√n2+2n− n) =

=lim n2+2n − n2

√n2+2n+n =lim

2n

√n2+2n+n

=lim

2 √1+2

n+1

=1

số hàm số

A =

lim3n−1

n+2 =lim

3−1 n

1+2

n

=3

Baìi 2:

Baìi 3:

4.Luyện tập : ĐA tập trắc nghiệm

5.Củng cố dặn dị : Bài tập làm thêm : Tính lim3

n

+1−sinπ

n