SKKN DAI SO 11

Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY A.PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài : Trong Chương trình giáo dục THPT Đạo hàm với khái niệm khác góp phần quan trọng mơn Giải tích tốn học, sở để nghiên cứu Giải tích đại Muốn học sinh học tốt Đạo hàm người Giáo viên khơng phải truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó ngun nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày u cầu giáo dục đòi hỏi phải đổi phương pháp dạy học mơn tốn theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh Vì người giáo viên phải gây hứng thú học tập cho em cách tinh giản kiến thức, thiết kế giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế Các kiến thức khơng mang nặng tính hàn lâm, phải phù hợp với việc nhận thức em Thơng qua kiến thức mà người giáo viên tinh lọc, qua ứng dụng, thục hành em lĩnh hội tri thức tốn học cách dễ dàng, củng cố, khắc sâu kiến thức cách vững chắc, tạo cho em niềm say mê, hứng thú học tập, việc làm Khi tinh lọc kiến thức cách gọn gàng, ứng dụng thực tế cách thường xun, khoa học chắn chất lượng dạy học mơn tốn ngày nâng cao Riêng phần đạo hàm tích phân khơng nằm ngồi quy luật Chính lý nêu mà tơi chọn đề tài kinh nghiệm “Kinh nghiệm dạy Đạo hàm 11 ” Mục đích nghiên cứu đề tài Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, khơng giúp, giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức Nhiệm vụ phạm vi nghiên cứu : 3.1 Nhiệm vụ : - Tìm hiểu khái niệm Đạo hàm mơn giải tích 11 - Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 11 3.2 Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng : Chương Đạo hàm Giải tích lớp 11 - Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn giáo viên Phương pháp nghiên cứu : Nghiên cứu tài liệu Nghiên cứu thực tế Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY B NỘI DUNG I C¬ së lý thut -1 Đònh nghóa đạo hàm điểm • Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a; b) x0 ∈ (a; b): f '(x ) = lim x →x f(x) − f(x ) x − x0 = ∆y ∆x→0 ∆x lim (∆x = x – x0, ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục diểm Ý nghóa đạo hàm + f′ (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thò hàm số y = f(x) M ( x ;f(x ) ) + Khi phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số y = f(x) M ( x0 ;f(x ) ) là: y – y0 = f′ (x0).(x – x0) Qui tắc tính đạo hàm • (C)' = ( (x)′ = (xn)′ = n.xn–1 n∈N n >1 ÷   ′ x) = x • (u ± v)′ = u′ ± v′ (uv)′ = u′v + v′u  u ′ u′v − v′u (v ≠ 0)  ÷= v v2  ′ v′  ÷ =− v v • Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x u ′x hàm số y = f(u) có đạo hàm u y′u hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: y′x = y′u.u′x Đạo hàm hàm số lượng giác (ku)′ = ku′ • sin x = 1; x→ x lim sin u(x) u(x) =0 ) = (với xlim → x x →x u(x) lim • (sinx)′ = cosx (cosx)′ = – sinx Vi phân • dy = df(x) = f ′(x).∆x Đạo hàm cấp cao • • ( tan x ) ′ = cos2 x ( cot x ) ′ = − f(x + ∆x) ≈ f(x ) + f ′(x ).∆x f ''(x) = [ f '(x)] ′ ; f '''(x) = [ f ''(x)] ′ ; f (n) (x) =  f (n −1) (x)′ Trang (n ∈ N, n ≥ 4) sin x Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm đònh nghóa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x đònh nghóa ta thực bước: B1: Giả sử ∆x số gia đối số x0 Tính ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) B2: Tính ∆y ∆x→0 ∆x lim VD 1: Dùng định nghĩa tính Giải với: Ta có: Xét: Vậy VD2: Dùng định nghĩa tính Ta có: Xét: Vậy Bài 1: với: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = f(x) = 2x − x + b) y = f(x) = x0 = − 2x x0 = –3 2x + x0 = x −1 π d) y = f(x) = sin x x0 = c) y = f(x) = e) y = f(x) = x x0 = x2 + x + f) y = f(x) = x0 = x −1 Bài 2: Dùng đònh nghóa tính đạo hàm hàm số sau: a) b) f(x) = x − 3x + f(x) = x − 2x Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 c) f(x) = ĐỖ THỊ TÚY x + 1, (x > − 1) d) f(x) = sin x e) f(x) = f) f(x) = 2x − cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Ví dụ : Tính đạo hàm hàm số: 3x − a) y = b) y = 2x + c) y = ( x − x + 1).sin x Giải x2 − d) y = x cos3 x 3x − a) y = 2x + ⇒ y'= = = b) y′ = 3x + x − 2x + − 2x + 2x + 3(2 x + 5) − (2 x + 5) x + x + 13 (2 x + 5) x + (3 x + x − 1)′ ( x − 1) − (3 x + x − 1)( x − 1)′ ⇔ y′ = ⇔ y′ = ( x − 1)2 (6 x + 2)( x − 1) − (3 x + x − 1)2 x ( x − 1)2 −2 x − x − ( x − 1)2 c) y = ( x − x + 1).sin x ⇒ y ' = (2 x − 3)sin x + ( x − 3x + 1) cos x d) y′ = ( x ) ′ cos3 x + x (cos3 x )′ ⇔ y′ = x cos3 x − x sin x (3 x )′ ⇔ y′ = x Trang cos3 x − x sin x Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: y = 2x − x3 + x − a) c) y = (x3 − 2)(1 − x2 ) l) y= 2x2 − 4x + x−3 b) y= − x + x x x2 k) y= x2 − 3x + x −1 m) y= Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y = (x + x + 1) d) y= (x + 1)2 (x − 1) 2x x2 − 2x − b) y = (1 − 2x ) e) y= c) (x − 2x + 5) f)  2x +  y= ÷  x −1  y = ( − 2x ) Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) b) y = 2x2 − 5x + y= 4x + x2 + c) y = (x − 2) x + c) y = sin3 (2x + 1) f) y = sin x + 2x h) y = 2sin 4x − 3cos3 5x Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau: a)  sin x  y=  ÷  + cos x  b) d) y = cot 2x g) y = tan 2x + tan3 2x + tan 2x i) y = (2 + sin2 2x)3 e) y = x.cos x y = sin + x2 k) y = sin ( cos2 x tan2 x ) Bài 5: Tính đạo hàm hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx y = (1 + cot x ) x 2 10) y = sin (cos x) y = sin 2) y = cos (x3) 5) y = cos x sin x 8) y = sin x + cos x sin x − cos x 11) y = cot + x  x +1 y = cos  ÷ l)  x −1÷   3) y = x.cotx 6) y = cos x − cos x 4) 7) π 12) y = sin x sin 3x 9) y = cot (2x + ) VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thò hàm số y = f(x) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0) ∈ (C) là: y − y = f '(x0 )(x − x ) (*) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f ′(x0 ) = k (ý nghóa hình học đạo hàm) + Giải phương trình tìm x0, tìm y = f(x0 ) Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x 1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phương trình tiếp tuyến (d): y − y = f '(x0 )(x − x ) (d) qua A (x1 , y1 ) ⇔ y1 − y0 = f '(x0 ) (x1 − x ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y = f(x ) f '(x0 ) + Từ viết phương trình (d) theo công thức (*) Nhắc lại: Cho (∆): y = ax + b Khi đó: + + (d) ⁄⁄ (∆) ⇒ k d = a (d) ⊥ (∆) ⇒ k d = − a x Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = : a) Tại điểm có tung độ b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = − x + Hướng dẫn 1 ⇒ y′ = − ( x ≠ 0) x x 1 1 a) Với y0 = ta có x = ⇔ x0 = ; y′ (2) = − Ta co y=  1 phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  2; ÷là: y = − x +   b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp ⇒ y′ ( x0 ) = −4   x0 = ⇔− = −4 ⇔  x02  x0 = −  1 • Với x0 = ⇒ y0 = 1  phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  ;2 ÷là y = −4 x + 2  • Với x0 = − ⇒ y0 = −2    phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  − ; −2 ÷ y = −4 x − Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) =  x − 2x + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm x +1 số f ( x ) điểm có hồnh độ Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY x2 + x − x2 − 2x + ′ Ta có f ( x ) = ⇒ f ( x) = x +1 ( x + 1)2 Với x0 = ⇒ f ( x0 ) = , f ′(1) = − 2 ⇒ phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = − x + Bài 1: Cho hàm số (C): y = f(x) = x2 − 2x + Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp trục tọa độ Bài 2: Cho hàm số y = f(x) = − x + x2 (C) x −1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) b) Viết phương trình ttiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 3x + (C) 1− x a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y = x + 100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với ∆: 2x + 2y – = Bài 4: Cho hàm số (C): y = − x − x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = Bài ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C ): y=x3-3x+7 1/ T¹i ®iĨm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Bµi ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (c ) y=x3-3x2 , biÕt tiÕp tun vu«ng gãc víi ®êng th¼ng y= x VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y(n) = (y n −1 )/ Để tính đạo hàm cấp n: • Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ dự đoán công thức đạo hàm cấp n • Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức Bài 1: Cho hàm số f(x) = 3(x + 1)cos x f '(x),f ''(x) a) Tính  π f ''(π), f ''  ÷,f ''(1) 2 b) Tính Bài 2: Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: x−3 , y '' x+4 a) y = cos x, y''' b) d) y = 2x − x2 , y'' e) y = xsin x, y'' f) y = x tan x, y'' g) y = (x + 1)3 ,y'' h) i) c) y = y = 5x − 2x3 + 5x − 4x + 7, y'' y = x6 − 4x3 + 4, y(4) y= Bài 3: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 4) y = x x + 2x +1 x + x−2 5) y = x sin x 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x 1) y = x +1 x−2 ĐS:1) y '' = 4) y '' = ( 2) y = ( x − 2) x3 + 3x ) x +1 x +1 x x −1 6) y = (1 − x ) cos x 3) y = 2) y '' = x − 10 x + 30 x + 14 (x + x−2 ) 3) y '' = 5) y '' = ( − x ) sin x + x cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x , y(5) 1− x ( x x2 + (x ) −1 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài : Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: a)  y = xsin x   xy''− 2(y'− sin x) + xy = c)  y = x tan x  2  x y''− 2(x + y )(1 + y) = ) b)  y = 2x − x   y y''+ = d)  x−3 y =  x+4 2y′2 = (y − 1)y'' VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng sin u(x) x→ x u(x) lim Ta sử dụng công thức lượng giác để biến đổi sử dụng công thức Trang Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 sin u(x) =1 x→ x u(x) lim ĐỖ THỊ TÚY (với lim u(x) = x→ x ) Bài 1: Tính giới hạn sau: − cos x a) sin3x lim x→0 sin 2x b) d) cos x − sin x π cos2x x→ e) + sin x − cos x x→ − sin x − cos x g) π  lim  − x ÷tan x π  x→ h)  π sin  x − ÷  6 lim π x→ − cos x lim lim x2 x→ lim lim − sin x c) π x→ f) tan 2x x→ sin 5x lim VẤN ĐỀ 6: Các toán khác Ví dụ: Cho f ( x ) = sin x − 2sin x − Giải phương trình f ′( x ) = HD: f ( x ) = sin x − 2sin x − ⇒ f ′( x ) = cos x − cos x  cos x =  x = k 2π   ⇔ ⇔ ′ 2π Co f ( x ) = ⇔ cos x − cos x − = + k 2π  cos x = − x = ±   Vậy ……… Cho hàm số y = f ( x ) = x − x − x + Giải bất phương trình: y′ ≥ HD: y = f ( x ) = x − x − x + ⇒ y′ = x − x − y ' ≥ ⇔ x − x − ≥ ⇔ x ∈ (−∞;1) ∪ (3; +∞) Bài 1: Giải phương trình f '(x) = với: a) f(x) = 3cos x − 4sin x + 5x b) f(x) = cos x + s ón + 2x − c) f(x) = sin x + cos x d) f(x) = sin x − e) f(x) = − sin(π + x) + cos f) f(x) = sin3x − cos3x + 3(cos x − sin x) Bài 2: Giải phương trình a)  f(x) = sin 3x  g(x) = sin 6x c)  x  f(x) = 2x cos2  g(x) = x − x sin x 3π + x f '(x) = g(x)  f(x) = sin3 2x  g(x) = cos2x − 5sin 4x  x  f(x) = 4x cos  g(x) = 8cos x − − 2xsin x  b) d) Bài 3: Giải bất phương trình f '(x) > g'(x) với: a) cos 4x cos6x − với: f(x) = x3 + x − 2, g(x) = 3x + x + Trang 10 π   − x÷ 2  Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 b) f(x) = 2x3 − x2 + 3, g(x) = x + c) f(x) = , g(x) = x − x3 x ĐỖ THỊ TÚY x2 − Bài 4: Xác đònh m để bất phương trình sau nghiệm với x a) f '(x) > với f(x) = b) ∈ R: mx3 − 3x + mx − f '(x) < với f(x) = mx3 mx2 − + (m + 1)x − 15 Bµi Cho hµm sè: y= x − x + 2mx − t×m m ®Ĩ 1/ y' lµ b×nh ph¬ng cđa mét nhÞ thøc 2/ y'≥ ∀x ∈ R 3/ y' [...]... KẾT LUẬN Trang 11 Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY Thời gian và tầm nhìn có hạn Trên đây là một vài kinh nghiệm nhỏ trong phương pháp giảng dạy “đạo hàm ” Rất mong đựoc q thầy cơ và các bạn đồng nghiệp có nhiều ý kiến đóng góp, trao đổi để lần sau được hồn thiện hơn Nhận xét, đánh giá của tổ trưởng, ban chun mơn: ………………………………………………………………………………… Trang 12 Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 ĐỖ THỊ TÚY …………………………………………………………………………………...Kinh nghiƯm d¹y ®¹o hµm 11 b) f(x) = 2x3 − x2 + 3, g(x) = x 3 + c) 2 f(x) = , g(x) = x − x3 x ĐỖ THỊ TÚY x2 − 3 2 Bài 4: Xác đònh m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x a) f '(x) > 0 với f(x) = b) ∈ R: mx3 − 3x 2 ... hàm mơn giải tích 11 - Tìm hiểu thực trạng học sinh lớp 11 3.2 Phạm vi nghiên cứu : - Đối tượng : Chương Đạo hàm Giải tích lớp 11 - Tài liệu : Sách giáo khoa Giải tích lớp 11, sách hướng dẫn... với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = Bài ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tun cđa (C ): y=x3-3x+7 1/ T¹i ®iĨm A(1;5) 2/ Song song víi ®êng y=6x+1 Bµi ViÕt ph¬ng tr×nh...  1 phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm  2; ÷là: y = − x +   b) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + nên tiếp tuyến có hệ số góc k = –4 Gọi ( x0 ; y0 ) toạ độ tiếp