DUNG DUONG VUONG GOC CHUNG

DỰNG ĐƯỜNG VNG GĨC CHUNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU PHƯƠNG PHÁP CHUNG Để dựng đường vng góc chung đường thẳng chéo ta tiến hành theo phương pháp sau: Cách 1) Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b song song với a Bước 2) Chọn M a dựng MH vng góc với mặt phẳng (P) H( chất tìm hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P) ) Bước 3) Từ H ta dựng đường thẳng a’ song song với a cắt b B Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt mặt phẳng (P) A AB đoạn vng góc chung A M a H P a’ B b Cách 2) Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vng góc với a O Bước 2) Tìm hình chiếu vng góc b1 b mặt phẳng (P) Dựng hình chiếu vng góc O b1 H Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A đoạn AB đoạn vng góc chung A B O a H b b1 Cách 3) Dùng a vng góc với b Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A Bước 2) Dựng AB vng góc với b B AB đoạn vng góc chung a b A B Ta xét ví dụ sau Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA vng góc với ABCD SA=a Tính khoảng cách đường thẳng a) SB AD b) SC BD c) SB CD d) SC AD e) SB AC HD giải : A F M A H D E C B x a) Nhận xét rằng: AD  AB ABCD hình vng AD  SA SA vng góc với (ABCD) Suy AD  ( SAB ) Dựng AM vng góc với SB AM đoạn vng góc chung SB AD 1 a Trong tam giác SAB vng cân A, ta có: AM  SB  SA2  AB  2 b) Nhận xét rằng: BD  AC ABCD hình vng BD  SA SA vng góc với (ABCD) Suy BD  ( SAC ) Dựng OH vng góc với SC OH đoạn vng góc chung SC BD Nhận xét tam giác HCO tam giác ACS tam giác vng có chung góc nhọn Cˆ nên OH OC SA.OC  � OH  chúng đồng dạng, suy ra: SA SC SC a Trong đó: OC  AC  ; SC  SA2  AC  a  a  3a � SC  a 2 a a Suy ra: a OH  a   a 6 c) Nhận xét rằng: CD // AB � CD //  SAB  Vậy khoảng cách SC BD � d  CD, SB   d  CD ,  SAB    d  D,  SAB    DA  a Vậy khoảng cách SB CD a d) Nhận xét rằng: AD // BC � AD //  SBC  � d  AD, SC   d  AD, SBC   d  A,  SBC    AM  a 2 a 2 e) Dựng: Bx // AC � AC //  S , Bx  � d  AC , SB   d  A,  S , Bx   hạ AE vng góc với Bx ta được: �Bx  AE � Bx   S , Bx  �  S , Bx    SAE  ;  S , Bx  � SAE   SE � �Bx  SA Vậy khoảng cách SC AD Hạ AF vng góc với SE, ta có AE   S , Bx  Vậy AF khoảng cách từ điểm A tới (S,Bx) Trong tam giác SAE vuông A, ta có: AE  OB  a 2 1 1 a  2  2  � AF  2 AF SA AE a �a � a � � �2 � a 3 Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có SA=2ª vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông cân B với AB=a Gọi M trung điểm AC a) Hãy dựng đoạn vng góc chung SM BC b) Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC Vậy khoảng cách SB AC S M A N C F E H B HD giải: a) Để dựng đoạn vng góc chung SM BC ta lựa chọn cách sau: Cách 1: Gọi N trung điểm AB, suy ra: BC // MN � BC //  SMN  �MN  AB � MN   SAB  �  SMN    SAB  ;  SMN  � SAB   SN Ta có: � �MN  SA Hạ BH  SN � BH   SMN  Từ H dựng Hx song song với BC cắt SM E Từ E dựng Ey song song với BH cắt BC F Đoạn EF đoạn vng góc chung SM BC �BC  AB � BC   SAB  Do (SAB) mặt phẳng qua B Cách 2: Nhận xét rằng: � �BC  SA thuộc BC vng góc với BC Gọi N trung điểm AB suy ra: MN // BC � MN   SAB  , suy MN hình chiếu vng góc SM (SAB) Hạ BH  SN � BH   SMN  Từ H dựng Hx song song với BC cắt SM E Từ E dựng Ey song song với BH cắt BC F Đoạn EF đoạn vng góc chung SM BC b) Nhận xét tam giác SAN tam giác BHN tam giác vng có góc nhọn đối đỉnh BH BN SA.BN  � BH  nên chúng đồng dạng, suy ra: SA SN SN 2 a a 17 �a � 17a 2 BN  AB  Trong đó: ; SN  SA  AN   2a   � � � SN  2 �2 � a 2a  2a 17 Suy ra: BH  17 a 17 2a 17 17 Ví dụ 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc Aˆ  600 đường cao SO=a a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC) b) Tính khoảng cách đường thẳng AD SB S Vậy khoảng cách SM BC A B H J O D I C A J D B C HD giải: �BC  OI � BC   SOI  a) Hạ OI vng góc với BC kéo dài OI cắt AD J Ta có: � �BC  SO �  SBC    SOI  ;  SBC  � SOI   SI Hạ OH vng góc với SI, ta có OH   SBC  Vậy OH khoảng cách từ điểm O tới (SBC) a Với hình thoi ABCD ta có: BD=a tam giác ABD � OB  a AC  AO  a Trong tam giác OBC vng O, ta có: 1 1 13 a 39      � OI  2 2 OI OB OC 3a 13 �a � a �� �2 � Trong tam giác SAE vuông A ta có: 1 1 16 a    2  � OH  2 OH SO OI a �a 39 � 3a � � � 13 �   a b) Nhận xét rằng: AD // BC � AD //  SBC  � d  AD, SB   d  AD,  SBC    d  J ,  SBC   Vậy khoảng cách từ O đến (SBC) Mặt khác ta lại có: JO � SBC   I nên: d  J ,  SBC   d  O,  SBC    JI a  � d  J ,  SBC    2d  O,  SBC    2OH  OI Vậy khoảng cách SB AD a BÀI TẬP 1) Cho hình vng ABCD có cạnh a I trung điểm AB Dựng IS vng góc với mặt a phẳng (ABCD) IS  Gọi M, N , P trung điểm BC,SD,SB Dựng tính đoạn vng góc chung cặp đường thẳng: a) AB SD b) SA BD c) NP AC d) MN AP 2) Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vuông đỉnh B, AB  2a, BC  a 3, SA  2a vng góc với (ABC) Gọi M trung điểm AB a) Tính góc mp (SBC) (ABC) b) Tính khoảng cách từ A đến CM c) Tính góc mp (SCM) (ABC) d) Tính khoảng cách từ A đến (SCM) ... điểm AC a) Hãy dựng đoạn vng góc chung SM BC b) Tính độ dài đoạn vng góc chung SM BC Vậy khoảng cách SB AC S M A N C F E H B HD giải: a) Để dựng đoạn vng góc chung SM BC ta lựa chọn cách sau:... với (ABCD) Suy BD  ( SAC ) Dựng OH vng góc với SC OH đoạn vng góc chung SC BD Nhận xét tam giác HCO tam giác ACS tam giác vng có chung góc nhọn Cˆ nên OH OC SA.OC  � OH  chúng đồng dạng, suy... Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) chứa b vng góc với a A Bước 2) Dựng AB vng góc với b B AB đoạn vng góc chung a b A B Ta xét ví dụ sau Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a tâm O SA