HƯỚNG DẪN BÀI TOÁN ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC CHUNG LÀ TÀI LIỆU THAM KHẢO CỰC HAY DÀNH CHO SINH VIÊN, THẦY CÔ GIÁO ÔN TẬP CHO HỌC SINH THI ĐẠI HỌC. TÀI LIỆU ĐƯA RA PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ ĐÁP ÁN ĐẦY ĐỦ CHO MỌI NGƯỜI THAM KHẢO.
Trang 1Chủ đề: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG
THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG
Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai
đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối
khó khăn với đa số học sinh Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn
I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:
Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung,
thông thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau:
Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( )α ⊥ a
tại A và (α) cắt b
Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống ( )α
được hình chiếu b '
Bước 3: Kẻ AH ⊥ , dựng hình chữ b'
nhật AHKP
Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vuông
góc chung của 2 đường thẳng a và b
Trong trường hợp đặt biệt : ( )
( )
b a
α α
⊂
⊥
+ Dựng AH ⊥ ⇒ AH là đoạn vuông b
góc chung của 2 đường thẳng a và b
Phương pháp 2:
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( )α // a và
( )
b⊂ α
Bước 2: Chiếu vuông góc đường thẳng
a trên mặt phẳng ( )α được đường thẳng
'
a , a'∩ =b { }K
Bước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP
Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn
vuông góc chung của 2 đường thẳng a
và b
I H
K P
A b'
b a
α
α
a
b
A
H
K
P
b
H A
a' a
α
Trang 2II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ:
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của AB và CD
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (AHB )
Rõ ràng: CD⊥(AHB)
Bước 2: Dễ thấy, AB⊂(AHB)
Dựng HK ⊥ AB⇒ HK là đoạn vuông góc chung
của AB và CD
Bước 3: Tính HK:
HK = AH −AK
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật Dựng
đoạn vuông góc chung của : a) SA và CD b) AB và SC
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (ABCD )
Rõ ràng: SA⊥(ABCD)
Bước 2: Dễ thấy, CD⊂(ABCD)
và AD ⊥CD⇒ AD là đoạn vuông góc chung
của SA và CD
Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết)
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SAD )
Dễ chứng minh được: AB⊥(SAD)
Bước 2: Chiếu SC trên (SAD : )
Ta có: CD⊥(SAD)⇒SD là hình chiếu của SC trên (SAD )
+ Dựng AH ⊥SD⇒ AH là khoảng cách của SC và AB
+ Dựng hình chữ nhật AHKP⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SC và AB
Bước 3: Tính AH
Xét SAD∆ vuông tại A: 1 2 12 1 2
AH = SA + AD
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì ?
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’
Hướng dẫn:
a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’:
K
D
C
B
H A
S
A
D
P
D
C B
A S
Trang 3Bước 1: Chọn mặt phẳng (AII A ' ')
Dễ chứng minh được: B C' '⊥(AII A' ')
Bước 2: Chiếu A’B trên (AII A : ' ')
Ta có: BI ⊥(AII A' ')⇒ A I' là hình chiếu của A’B trên (AII A ' ')
+ Dựng 'I H ⊥ A I' ⇒I H' là khoảng cách của A’B và B’C’
+ Dựng hình chữ nhật HKPI’⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’
Bước 3: Tính I’H
Xét Xét ∆A I I' ' vuông tại I’: 1 2 1 2 12
I H = A I +II
Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng
vuông góc với nhau Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) AD và SB b) SA và BD
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SIM )
Dễ chứng minh được: AD⊥(SIM)
Bước 2: Chiếu SB trên (SIM : )
Ta có: BM ⊥(SIM)⇒SM là hình chiếu của SB trên (SIM )
+ Dựng IH ⊥SM ⇒IH là khoảng cách của SB và AD
+ Dựng hình chữ nhật HKPI⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD
Bước 3: Tính IH
Xét SIM∆ vuông tại I: 12 12 12
IH = IS + IM b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SEA)⇒ BD//(SEA)
Bước 2: Chiếu BD trên (SEA : )
Gọi L và J là trung điểm EA và DO⇒ IL⊥SL
+ Dựng IH ⊥SL⇒IH ⊥(SEA)
+ Dựng JR IH// ⇒ JR⊥(SEA)
Suy ra: d(BD SA, )=d(BD SAE,( ) )=d(J SAE,( ) )=JR
+ Dựng hình chữ nhật RKPJ⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SA và BD
Bước 3: Tính JR
Ta có: JR =2IH. Xét SIL∆ vuông tại I: 12 12 12
IH = IS +IL
P
I
C A
B
A'
B'
C' I'
M P
K H
I
B A
S
R
J O E
S
C D
I H
K
P L
Trang 4Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB a= ,
BC a AD= = a CD a= SA a= Khi SA⊥(ABCD), dựng và tính độ dài đoạn
vuông góc chung giữa các đường thẳng:
a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC
Hướng dẫn:
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (ABCD )
Rõ ràng: SA⊥(ABCD)
Bước 2: Dễ thấy, CD⊂(ABCD)
Dựng AH ⊥CD⇒ AH là đoạn vuông góc chung
của SA và CD
Bước 3: Tính AH:
Xét ACD∆ vuông tại A: 1 2 12 12
AH = AC + AD b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SAD )
Rõ ràng: AB⊥(SAD)
Bước 2: Dễ thấy, SD⊂(SAD)
Dựng AK ⊥SD⇒ AK là đoạn vuông góc chung của SD và AB
Bước 3: Tính AK:
Xét SAD∆ vuông tại A: 1 2 12 1 2
AK = AS + AD c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SC:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SAB )
Dễ chứng minh được: AD⊥(SAB)
Bước 2: Chiếu SB trên (SIM : )
Ta có: BC⊥(SAB)⇒SB là hình chiếu của SC trên (SAB )
+ Dựng AI ⊥SB⇒ AI là khoảng cách của SB và AD
+ Dựng hình chữ nhật AIJP⇒ JP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng SC và AD
Bước 3: Tính AI
Xét SAB∆ vuông tại I: 12 12 12
AI = AS + AB
Bài tập 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB a= , đường cao SO h= Xác
định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SBC )
Dễ chứng minh được: AD//(SBC )
K
H
S
A
D
C
B
D A
S
P
Trang 5Bước 2: Chiếu AD trên (SBC (hay tính ) d(AD SB ) , )
Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD⇒ON ⊥BC
Ta có: (SMN) (⊥ SBC), dựng OH ⊥SN ⇒OH ⊥(SBC)
+ Dựng MI OH// ⇒MI ⊥(SBC)
Suy ra: d(AD SB, )=d(AD SBC,( ) )=d(M SBC,( ) )=MI
+ Dựng hình chữ nhật MIKP⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng SB và AD
Bước 3: Tính MI Ta có: MI =2OH
Xét SON∆ vuông tại O: 1 2 12 12
OH =OS +ON
Bài tập 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là
trung điểm AC và AD Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng
DM và D’N
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (D NJ (với hình bình hành DJIM) ' )
Dễ chứng minh được: DM //(D NJ ' )
Bước 2: Chiếu DM trên (D NJ (hay tính ' ) d(DM D N ) , ' )
Do DJ MI// ⇒DJ ⊥IJ ⇒IJ ⊥(D JD' )
Ta có: (D JD' ) (⊥ D NJ' ), dựng DH ⊥D J' ⇒ DH ⊥(D NJ' )
Suy ra:
( , ' ) ( ,( ' ) ) ( ,( ' ) )
d DM D N =d DM D NJ =d D D NJ =DH
+ Dựng hình chữ nhật HKPD⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng DM và D’N
Bước 3: Tính DH
Xét ∆D DJ' vuông tại D: 1 2 1 2 12 1 2 12 1 2 4 2
DH = DD +DJ = DD +MI == DD + AM
Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ Hãy xác định đoạn vuông góc chung
của BD’, B’C
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (ABC D ' ')
Dễ dàng chứng minhBC'⊥(ABC D' ')
Bước 2: Dễ thấy, BD'⊂(ABC D' ')
Dựng HK ⊥BD'⇒ HK là đoạn vuông góc
chung của BD’ và B’C
Bước 3: Tính HK: Ta có 1
' 2
HK = C P
Xét ∆BC D' ' vuông tại C’: 1 2 1 2 1 2
C P =C D +C B
O P
K I
H S
A
B
C D
M
N
P
K H
J
I N
D
C B
A
B'
C' A'
D'
M
P
K
H
D
C
B A
B'
C'
A'
D'
Trang 6Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định đoạn vuông góc
chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C
Hướng dẫn:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (DBB D ' ')
Dễ chứng minh được: A C' '⊥(DBB D' ')
Bước 2: Chiếu B’C trên (DBB D : ' ')
Ta có: OC⊥(DBB D' ')
'
B O
⇒ là hình chiếu của B’C trên (DBB D ' ')
+ Dựng 'O H ⊥B O' ⇒O H' là khoảng cách của A’C’ và B’C
+ Dựng hình chữ nhật O’HKP⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C
Bước 3: Tính O’H
Xét ∆O B O' ' vuông tại O’: 1 2 1 2 1 2
O H =O B +OO
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a , cạnh bên SA a= ,
SA⊥(ABC), I là trung điểm cạnh BC Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa
hai đường thẳng SI và AB
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (SIJ , với ) IJ AB và AJ// ⊥IJ
Dễ chứng minh được: AB//(SIJ )
Bước 2: Chiếu AB trên (SIJ (hay tính ) d(AB SI ) , )
Ta có: (SAJ) (⊥ SIJ), dựng AH ⊥SJ ⇒ AH ⊥(SIJ)
Suy ra: d(AB SI, )=d(AB SIJ,( ) )=d(A SIJ,( ) )= AH
+ Dựng hình chữ nhật AHKP⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng AB và SI
Bước 3: Tính AH Xét SAJ∆ vuông tại A: 1 2 12 12
AH = AJ +SA
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I, J lần lượt là tâm các
hình vuông ADD’A’ và BCC’B’ Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai
đường thẳng CI và AJ
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (AA J ' )
Dễ chứng minh được: CI//(AA J ' )
Bước 2: Chiếu IC trên (AA J (hay tính ' ) d(CI AJ ) , )
Dựng IH ⊥MJ , để ý rằng A A' ⊥(MIJ)
'
IH MJ
IH AA J
IH A A
⊥
Suy ra: (CI AJ, )= (CI AA J,( ' ) )= (I AA J,( ' ) )=IH
P
O'
D
C B
A
B'
C'
A'
D'
O
P
K H
S
C
P
K H
M
J I
D
D'
C'
C
Trang 7+ Dựng hình chữ nhật IHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI
Bước 3: Tính IH
Xét MIJ∆ vuông tại I: 12 12 12
IH = IM + IJ
Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a ,
cạnh bên AA'=a 2, AD’⊥BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (AD E , với ' ) // '
'
BE DD
BE DD
Dễ chứng minh được: A B' //(AD E ' )
Bước 2: Chiếu A’B trên (AD E (hay tính ' ) d(A B AD ) ' , ')
'
AI BD
AI BB D B AD E BB D B
AI BB
⊥
Dựng BH ⊥D E' ⇒BH ⊥(AD E' )
Suy ra: d(A B AD' , ')=d(A B AD E' ,( ' ) )=d(B AD E,( ' ) )=BH
+ Dựng hình chữ nhật BHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và
AD’
Bước 3: Tính BH
Xét IBE∆ vuông tại B: 1 2 12 12
BH = BE + BI
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a , cạnh
bên bằng h Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’
Hướng dẫn:
Giải bằng Phương pháp 2:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (BDC , với ') CD AB//
CD AB
Dễ chứng minh được: AC//(BDC ')
Bước 2: Chiếu AC trên (BDC (hay tính ') d(AC BC ) , ')
Gọi I là trung điểm BD
'
CI BD
BD CC I BDC CC I
CC BD
⊥
⊥
Dựng CH ⊥C I' ⇒CH ⊥(BDC')
Suy ra: d(AC BC, ')=d(AC BDC,( ') )=d(C BDC,( ') )=CH
+ Dựng hình chữ nhật CHKP⇒ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và
BC’
Bước 3: Tính CH
Xét ∆ICC' vuông tại C: 1 2 12 1 2
'
CH = CI +CC
I
P K
H
E
C D
A'
B'
C' D'
D I
C'
B' A'
B
H K
P
Trang 8Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC' 2= a và
'
AB= AA = a
a) Chứng minh: AC'⊥CD'
b) Tính d(D,(ACD’))
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’
Hướng dẫn:
a) Do AA'= AB a= ⇒ ABB A' ' là hình vuông
CD DC
CD ADCB CD AC
CD A D
⊥
b) Ta có: CD'⊥(ADCB') (⇒ ADI) (⊥ AD C' )
và (ADI) (∩ AD C' )=AI
Dựng DH ⊥ AI
( ' ) d( ,( ' ) )
DH AD C D AD C DH
Xét ∆ADC' vuông tại D: 1 2 12 1 2
'
DH = DA + DC
c) Theo câu a, CD'⊥(ADCB') và CD'∩(ADCB') { }= I
Xét ∆DAC' đồng dạng với ∆KIC', ta có: ' '
KI KC AD KC
KI
AD = DC ⇔ = DC
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) Chứng minh: BC'⊥(A B CD' ' )
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’
Hướng dẫn:
a) Chứng minh BC'⊥(A B CD' ' ):
'
BC B C
BC A B CD
BC CD
⊥
⊥
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’:
Bước 1: Chọn mặt phẳng (A B CD ' ' )
Dễ chứng minh được: BC'⊥(A B CD' ' )
Bước 2: Chiếu AB’ trên (A B CD : ' ' )
Ta có: AH ⊥(A B CD' ' )
'
HB
⇒ là hình chiếu của AB’ trên (A B CD ' ' )
+ DựngIJ ⊥B H' ⇒ IJ là khoảng cách của AB’ và BC’
+ Dựng hình chữ nhật IJKP⇒ KP là đoạn vuông góc
chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’
Bước 3: Tính IJ
Xét ∆CB D' đồng dạng với ∆JB I' , ta có: ' '
IJ IB CD IB
IJ
CD = B D ⇔ = B D
B' A'
B A
I
J P
I
D' A'
C' B'
A
D
K
H
Trang 9III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD⊥BC, AD a= và
( , )
d D BC = Gọi H là trung điểm của BC a
a) Chứng minh: BC ⊥(ADH) b) DI ⊥(ABC)
c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC
Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a , góc BAD =600và
có đường cao SO a= Tính: a) d(O,(SBC)) b) d(AD,SB)
Bài tập 3: Cho hình lập phương ABCD.A/B/C/D/ tâm đáy là O, O/.Xác định đoạn vuông góc chung giữa:
a) OO/ và CD/ b) BD và CD/ c) BO/ và CD/
Bài tập 4: (Đại Học Y Dược Tp HCM – 1999) Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông
ABCD cạnh a Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình vuông ABCD Trên đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng (P) lấy điểm S Gọi α là góc nhọn tạo bởi mặt bên và đáy của hình chóp S.ABCD
a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABCD theo a và α
b) Xác định đường vuông góc chung của SA cà CD Tính độ dài đường vuông góc chung đó theo a và α
Trang 10MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC:
Đề 02: ĐH B- 2002 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và B’D
b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C’N
Đề 03: ĐH Dự bị D-1 2002 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a=6 2 Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC
Đề 04: ĐH B- 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi
E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng MN và AC
Đề 05: ĐH Dự bị D-2 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều
bằng a M là trung điểm của đoạn AA’ Chứng minh: BM⊥B C' và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B’C
Đề 06: ĐH D- 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông,
AB BC a= = , cạnh bên AA'=a 2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể
tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
Đề 07: ĐH A-2010 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M,
N lần lượt là trung điểm của AB và AD H là giao điểm của CN và DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD và SH) =a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a
Đề 08: ĐH A- 2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu
vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao HA=2HB Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60 Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính 0
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ
VÀ CÁC BẠN HỌC SINH!
Xin trân trọng cám ơn!
